第四章 静电场
本章提要
1．电荷的基本性质
两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。
2．库仑定律
两个静止的点电荷之间的作用力
1212
2204kq q q q r r
=
=F r r πε 其中
922910(N m /C )k =??
122-1-201
8.8510(C N m )4k -=
=??επ
3．电场强度
q =
F E 0q 为静止电荷。由
1010
22
04kq q q q r r =
=F r r πε 得
11
22
04kq q r r =
=E r r πε
4．场强的计算
（1）场强叠加原理
电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。
i =∑E E
（2）高斯定理
电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ?=?S n ，θ为
E 与n 之间的夹角，通过S ?的电场强度通量定义为
e cos E S ?ψ=?=??v S θ
取积分可得电场中有限大的曲面的电通量
ψd e s
S =
???E
高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。即
i 0
1
d s
q
=
∑??
E S 内
ε
5．典型静电场
（1）均匀带电球面
0=E （球面内）
2
04q r
πε=
E r （球面外）
（2）均匀带电球体
3
04q R πε=
E r （球体内）
2
04q r πε=
E r （球体外）
（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为
02E r
λ
πε=
（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为
2E σε=
6．电偶极矩
电偶极子在电场中受到的力矩
=?M P E
思考题
4-1 0
20
0 4q
q r
=
=
πεr 与F
E E 两式有什么区别与联系。 答：公式
q F
E =
是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。而公式
02
04q r πε=
E r
是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。
4-2一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化
（1） 气球内部 （2） 气球外部 （3） 气球表面
答：取球面高斯面，由00
d n
i i q ε=?=∑??E S 可知
（1）内部无电荷，而面积不为零，所以E 内= 0。 （2）E 外=
2
04r q πε与气球吹大无关。
（3）E 表=
2
04R q πε随气球吹大而变小。
4-3 下列几种说法是否正确，为什么
（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。 （2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。 （3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。 （4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为
零。 答：（1）错
因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。
（2）错
高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的d s
??E S 的累积为零。
并不一定电场强度处处为零。
（3）错
穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的d s
??
E S 的累积为
零。并不一定电场强度处处为零。
（4）对
E = 0，则整个高斯面的d s ??E S 的累积为零。所以电通量φ=0。
4-4 试利用电场强度与电势的关系式d d l U
E l
=-
分析下列问题： （1） 在电势不变的空间内，电场强度是否为零 （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零 （3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零
答：（1）是 由d d l U
E l
=-
可知，当电势处处相等时，d 0U =，E l =0 实际例子：静电平衡的导体内。 （2）否
电势为零处电势梯度
d d U
l
不一定为零，所以E l 也不一定为零。 实际例子：电偶极子连线中点处。 （3）否
如果E l 等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。 实际例子：两个相同电荷连线中点处。
4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一电介质板摩擦插入电容器C 2的两板间，试定性地描述C 1、
C 2上的电量、电容、电压、及电场强度的变化。
答：插入电介质板后，C 2的增大，致使整个
电路电容1/C=1/C 1+1/C 2增大，而总电压U 又没变，所以每个电容器所储存的电量q 1 = q 2增加。由于无摩擦，这种增加的电量全部由电源提供。
C 1=ε0S/d 不变，而储存的电量增加时，U 1= q 1/C 增大，故U 2减小。由U = Ed 可知E 2减小。U 1增大而两极板距离d 不变，故E 1增大。
4-6 一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化如果在灌煤油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化 答：电容器灌入煤油后，电容量增大，但极板上的电量没有改变，由C q W e 22=可知电容器的能量W e 会减少。减少的那部分能量，由煤油分子在静电场极化过程中转化成煤油的内能。
如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式22CU W e =可知，C 增大而U 不变时，电容器的能量W e 增大。这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。
练习题
4-1 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，对图4-2中的P 点(OP 平行于正方形的一边)，证明当x l 时
4
043
x pl
E p πε≈
其中，p=ql 称电偶极矩。
解：将左边和右边的电偶极子在P 点产生的场强分别称为E 左和E 右，则：
()
()302
4l p E x πε=
+
左方向向下
()
()302
4l p E x πε=
-
右方向向上
P 点处的合场强为
图 4-2
()
()
()()3
22
333
220002
2
232444l
l l l x l p p p E E E x x x πεπεπε+=-=
-
=
-
+
??-??
左右
∵2
l
x
∴()4
03 4pl
E x
πε=
方向向上 原题证毕。
4-2 一个均匀带电的细棒长为l ，带电总量为q ，证明，在棒的垂直平分线上离棒为a 处的电场强度为
2204
21
a l a q
E +=
πε
解：棒的线电荷密度为q ρ=。如图4-3，对称地取距中点为x 处的电荷 d d d /q x q x l ρ==。其d E 和d 'E 的水平方向的分量相互抵消，P 点的场强为d E 和d 'E 沿竖直向上分量之和：
()()
()
122222032
220 d 2d cos 2d 4d 2 E E q a
a x a x aq x l a x θ
πεπε==++=
+合 棒在P 处的场强为
()
2
2
32
0 0
2
20d d 2 l l aq x E E l a x
πε==+??合
将tan x a θ=代入上式，并考虑x 由0积分到
2l 时，sin θ由0
E 积分
可得：
2
204
21
a l a q
E +=
πε
图 4-3
4-3 一个半径为R 的带电圆盘，电荷面密度为σ，求： （1）圆盘轴线上距盘心为x
处的任一点P 的电场强度； （2）当R →∞时，P 点的电场强度为多少 （3）当x
R 时，P 点的电场强度又为多少
解：（1）取半径为r —r+d r 的圆环，如图4-4所示，因其上电荷对P 点的产生的场强垂直分量相互抵消，所以其对P 点场强为
()()
()
()
12
2222032
32
222200 d d d 4 2 d d 42S x
E x r x r x r r x r r x r x r σθπεσπσπεε==
++=
=
++E cos
整个圆盘的电荷在P 点的产生的场强为
()
()
32
12
222200 d 122R
x r r x
E x r x R σσεε?
? ?==- ?++?
?
?
（2）当R →∞时，可将带电圆盘看作无限大带电平面，因此P 点电场强度为
2E σε'=
（3）当x R 时，可将带电圆盘看作点电荷，因此P 点电场强度为：
22
22
0044R R E x x
σπσπεε''==
4-4 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个
分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在本题图4-5中，设半径为1R 和2R 的球壳上分别带有电荷1Q 和2Q ，求：
（1）I 、II 、III 三个区域中的场强；
图4-4
（2）若1Q =－2Q 各区域的电场强度又为多少画出此时的电场强度分布曲线 (即E －r 关系曲线)。从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。
解：（1）I ：以r 1﹤R 1为半径作球面高斯面，因面内无电荷，依
1
d i S
i
q
ε=
∑??
E S 内
可得：
E 1= 0
II ：以122R r R <<为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q 1，依
1
d S
Q ε=
??
E S
可得：
1
22
024Q E r πε=
III ：以23R r <为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q 1+Q 2，同理可得：
E 3 =
23
0214r Q Q πε+
（2）根据上部分结果可得 I ： E 1= 0 II ：1
22
024Q E r πε=
III ：E 3= 0
根据已知条件画出E r -关系曲线如图4-6所示
4-5 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为-1100N C ?；在离地面 km 高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为-125N C ?。
（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度； （2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度； （3）已知地球的半径为6610m ?，地球表面的总电量为多少 解：（1）由已知可得，离地面高度为的大气电场-1225N C E =?，地面的
曲线
大气电场为-11100N C E =?。
从km 高处至地面作圆柱体高斯面，依题意得：
120
e q
E S E S φε∑=-=
得
()012q E E S ε=-∑
故
()()
012123
13-38.8510751.5104.4310C m E E q q V hS h ερ----∑∑=
==??=?=??
（2）靠近地球表面作球面高斯面
∵10 E S S σε=
∴()121021 1008.85108.910C m E S σ---==-??=-??
（3）()()2
1065 8.9104610 4.010C q S σπ--==-???=-?∑
4-6 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子。这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系
()()
2
22
2r
a
a r e +=
ρρ
其中，e ρ为电荷体密度，0ρ为圆柱轴线上的e ρ值，a 为常量，求电场强度
H =
图4-7
分布。
解：以半径r 长度L 作圆柱高斯面，如图4-8所示，则：
00
2
d 2 ()2d r
s
r
e r E S rLE
r rL r r L πρπερπε?===
???
()20
2
2200
22e r r ra E a r ρρεε==+
4-7 测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。在该法中，使土壤颗粒在已知黏滞系数??的液体中沉降，测出其收尾速度(即最后的稳定速度) 1V 。然后，再通过极间电压施加一个如图所示的静电场(假定土壤颗粒带正电荷)，调节E 使颗粒达到新的收尾速度2V ，这时有下列关系成立：
()
E
v v r q 21 6-=
πη
其中，r 为土粒的半径，q 为土粒所带电量。请证明这个关系。
解：对进入电场前后的带电土壤颗粒（后简称q ）进行受力分析可得：
q 进入电场前：
16mg r πην=
q 进入电场达v 2后：
26mg qE r πην=+
联立①②得：
()
E
v v r q 21 6-=
ηπ
原题证毕
4-8 为了将混合在一起的带负电荷的石英颗粒和带正电荷的磷酸盐颗
①
②
r
图4-8
粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到。如果电场强度51510N C E -=?，颗粒带电率为5110C Kg --，假设颗粒进入电场区域的初速度为零，欲将石英颗粒和磷酸盐颗粒分离100 mm 以上，问颗粒通过电场区域的距离至少应为多少该题说明了在农业上很有实用价值的静电分选技术的原理。
解：正、负带电颗粒受水平方向的电场力和竖直方向的重力，在电场中运动轨迹如图4-9所示。
分别对带正、负电荷的颗粒进行受力分析： 正电荷：
q E m a +++=
负电荷：
q E m a ---=
-25 (m s )q E
a a a m ++-+
==?==
水平位移为：
21 22
l a t = 竖直位移为：
21
2h g t =
联立①②两式得带电颗粒通过电场距离为
2
9810(m)2 .g l h a
-=
=?
4-9 水分子的电偶极矩为-306.1310C m ??，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e 引起的(e 为电子电量)，那么，它们的距离是多少如果电偶极矩的取向与强度为6-110N C ?电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV 表示) 解：（1）依题意得：
P = ql
则
①
②
图4-9
301119
6.1310 3.8310(m)1.610
P l q ---?===?? （2）若使电偶极矩倒转需要能量为A ，则
19611
19
522 1.61010 3.83101.6107.6610(eV)
E l E l A q q qEl
+----=?+?=?????=
?=?
4-10 一个细胞的膜电势差为50mV ，膜厚度为103010m -?。若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大当一个钾离子(K +)通过该膜时需作多少功
解：依题意得：
37-110
5010 1.6710(V m )3010
U E d ---?===??? 若令一个钾离子(K +)通过该膜时需做功A ，则
193211.6105010810(J)A qU ---==???=?
4-11 动物的一些神经纤维可视为半径410m -、长m 的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的Na +泵(一种运输Na +的特种蛋白)可以将Na +输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出11310mol -?的Na +，问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维 (2) 每小时必须反抗电场力作多少功
解：（1）由已知得：圆柱体半径210cm r -=，圆柱体长度10cm L =，3600s t =，11-1-2310mol s cm v -=???，阿伏伽德罗常数236.0210N =?，基本电荷191.610C e -=?。
因此，每小时被送出纤维的电荷量为：
2112319322 3.1410103600310 6.0210 1.6106.5410(C)
q rLtvNe
π----==??????????=? （2）每小时反抗电场力做功A
A = qU = ×10-3× = ×10-4( J )
4-12 计算练习4-4中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。
解：（1）由题4-4可得I 、II 、III 区域中的电场分布，则区域I 电势：
12
1
2
2
1
2 1 12
3 112
2
2
00
d d d d d d 44E r
r R R r
R R R R R U E r E r E r Q Q Q r r
r
r πεπε∞
∞
∞
=?=+++=+???
??
?
解得
12101214Q Q U R R πε??=
+ ???
同理可得区域II 电势分布：
2
2
12223 021 d d d 4E r R r r
R Q Q U E r E r r R πε∞
∞
???
==+=+ ???
??
? 区域III 电势分布
12
33 0 d d 4E r r
r
Q Q U E r r
πε∞
∞
?+===
?? （2）若12Q Q =-，则区域I 电势：
12
1
2
2
1
1 123 12
01012 d d d d d 4114E r
r R R r
R R R R U E r E r E r
Q r
r Q R R πεπε∞
∞
=?=++=??=- ???
???
??
区域II 电势：
2
122 0211 d d 4E r R r r
Q U E r r R πε∞
???
===
- ???
??
区域III 电势：
33 d d 0E r r
r
U E r ∞∞
?===??
4-13 一个半径为R 的均匀带电细圆环，所带总电量为q ，求圆环轴线上距圆心为x 处的电势。
解：环上线电荷密度为 R
q
πλ2=，在环上取
电荷元d d q l λ=，如图4-10所示，其电场在P 点的电势为
0d d 4q U r
πε=
=
对整个环进行积分得：
2 0
R
p U π==
?
4-14 核技术应用中常用的盖革—米勒(G —M)计数管，其外形结构如图4-11所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为a ，金属圆筒(负极)的半径为R ，正、负极之间为真空。当两极加上电压U 时，求导线附近的电场强度和金属圆筒
内表面附近的电场强度。
解：设正极的线电荷密度为λ，作半径为()r a r R <<长度为L 的圆柱高斯面，据高斯定理得距轴心为处的场强为：
0 2E r
λ
πε=
两极间的电压为
00 d d ln 22R
R
a a
R
U r r a
λλπεπε=?==??
E r 联立①②式得
①
②
图4-10
图4-11
ln U
E r R a
=
故正极附近的场强为
ln r a U
E a R a
→=
圆筒表面的场强为
ln r R U
E R R a
→=
4-15 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图4-12所示。设内圆柱体的电势为1V ，半径为1R ，外圆柱体的电势为2V ，外圆柱体的内半径为2R ，两圆柱体之间为空气。求两圆柱体的空隙中离轴为r 处(12R r R <<)的电势。
解：（1）设内圆柱体的体电荷密度为ρ。作以为半径r (12R r R <<)，长度为l 的圆柱高
斯面，依高斯定理得距轴心为r 处场强为
22
1100 2 2R l R E rl r
ρπρπεε==
内 两圆柱间电压为
2
1
2 12
12 01
d ln 2R R R R U U U R ρε?=-==?
E r
联立①②式得：
1221
ln U U E r R R -=
内
则
2
12
22 21
d ln ln R r r
U U U U R r R R ?--==
?
E r
①
②
图4-12
令内筒电势为零，则距轴心为r 处的电势为
12
221
ln ln r U U U R r R R -=
4-16动物体是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上轴突由圆筒形细胞膜组成。设圆筒形细胞膜的内半径为A R ，外半径为B R ，细胞膜的相对介电常量为r ε，求轴突单位长度的电容。 解：由习题4-15公式②，可得圆筒形细胞膜内外的电压为：
U = 20 ln
2A B
r A
R R R ρεε 轴突单位长度的电容为：
202/ln r l A B A
C l R Ul R R εεπ
ρπ==
4-17一个球形电容器，内外壳半径分别为1R 和2R ，两极板间电介质的相对介电常量为ε，球形电容器内极板所带电量为q ，试计算这一电容器所储存的能量。
解：在两极板间以半径r 作一高斯面，由高斯定理得两极板间场强：
2
4 q E r
πε=
电容器两极板间的电压：
2
1
1211d 4 R R q U R R πε??
=?=
- ???
?
E r 则电容器所储存的能量为：
1
21
22821R R R R q qU W e -==πε
或
212
2 22
212 21
()
11 d 4 d 224 8R e R V R R q q W E V r r r R R εεππεπε-??=
== ??????
?
l
4-18 两个同轴圆柱面长为l ，半径为1R 和2R （12R R <，且1R 、2R 远小于 l ），两圆柱面间充满空气。（1）、当内外柱面分别均匀带电Q +和Q -时，求圆柱面间储存的电场能。（2）、由能量关系推算此电容器的电容。
解：（1）由4-15题公式①，可
得两圆柱面间场强：
rl
Q E 02πε=
两圆柱面间电压：
2
1
d R R U =??
E r =
1
20ln 2R R
l Q
πε 圆柱面间储存的电场能：
1
202
ln 421R R l Q QU W e πε==
（2）由212
e W CU = 得电容器电容：
2
2201
2ln 4e W R Q
C U l R πε=
=
?图4-13