编号 1251401157
电力系统课程设计
（ 2012 届本科）
题目：基于MATLAB的电力网络潮流计算
学院：物理与机电工程学院
专业：电气工程及其自动化
作者姓名：周文宽
指导教师：刘永科职称：副教授
完成日期： 2015 年 6 月 28 日
二○一五年六月
河西学院本科生课程设计任务书
摘要
本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。
众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。
此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用。
牛顿－拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿－拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。
关键词：电力系统潮流计算、牛顿—拉夫逊法、MATLAB
目录
河西学院本科生课程设计任务书 (2)
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1 引言 (4)
1.1 潮流计算的现状 (4)
1.2 潮流计算的背景和意义 (8)
2 电力系统潮流计算 (10)
2.1 节点的分类 (10)
2.2 牛顿—拉夫逊法的概要 (11)
2.3 节点导纳矩阵 (13)
2.4 非标准变比变压器等值电路 (15)
2.5 牛顿-拉夫逊法潮流计算 (16)
2.6 潮流计算的约束条件 (20)
2.7 牛顿-拉夫逊法的程序框图 (21)
3 Matlab编程 (23)
3.1 Matlab简介 (23)
3.2矩阵的运算 (23)
3.3 牛顿拉夫逊法潮流计算的主要程序 (24)
3.4.设计内容 (34)
4 校验 (36)
5 总结 (43)
参考文献 (44)
1 引言
1.1 潮流计算的现状
近年来，大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模不断扩大，对计算速度要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛应用，成为重要的研究领域。
经过三十多年的发展，潮流算法已经比较成熟，但是仍存在不少尚待解决的问题。例如各种牛顿法潮流算法，对于某些条件可能导致不收敛。潮流计算的多解现象及其机理在重负荷情况下，临近多根与电压不稳定问题的关联。当前无论在实践上还是在理论上，均有许多问题需待解决，特别是如何快速求解成千上万个变量的大规模非线性规划问题。
近几年，对潮流计算的研究仍然是如何改善传统的潮流算法，牛顿拉夫逊法。由于其在求解非线性潮流方程时采用逐次线性化方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。
在这种情况下，进行电力系统规划和运行条件分析时，若不考虑随机变化因素，就要对众多可能发生的情况作大量的方案计算，计算时间是难以承受的，并且很难反映系统整体的状况。随机潮流计算是解决上述问题的有效方法和手段。应用随机理论来描述这种不确定性，探讨相应的数学建模，计算机算法和实际应用，称为随机潮流（Probabilistic Load Flow,简写为PLF）研究，也称为随机潮流。采用随机潮流计算方法，输入数据为已知的随机变量，给定的是它们的随机统计特性（例如，给定节点注入功率的期望和方差或随机密度函数等），输出数据则是节点电压和支路潮流的统计特性，有期望值和方差或随机密度函数等。由这些结果，可以知道节点电压、支路功率、PV节点无功功率及平衡节点功率的平均值、取值范围以及其随机等。这样，只要通过一次计算就能为电力系统的运行条件提供更完备的信息，减少了大量的计算工作量。根据这些信息，可以更深刻地揭示系统运行状况、存在问题和薄弱环节，为规划与运行决策提供更全面的信息，可以更恰当地确定输电线和无功补偿装置的容量以及系统的备用容量等，从而提高了电力系统的安全运行水平。
到目前为止潮流计算已经很成熟，潮流计算是一个很活跃的研究课题，其算法有很多种，国内外学者也提出了很多算法，近年来随着人工智能里理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。在进行潮流计算时，有多种方法可供选择，如：
正交背传算法：正交背传算法最初是由研究人员在进行动态系统的参数辨识时提出来的，之后应用于矩阵求逆运算以及线性代数方程组的求解并正式将其命名为正交背传算法
多波前法:多波前法的基本思路是找出、构造稀疏矩阵中的密集子块（即波前，指连续的相同结构的列所构成的子矩阵）。波前的构造相当于滤掉矩阵中大量的零元素，使得大规模的稀疏矩阵集成为多个小规模的密集阵，波前的分解直接调用高效的BLAS库。相互独立的波前可以被同时分解，具有并行特性。波前更新矩阵由一系列特定的外积组成，这些外积的结构用树状构来表达。相对于传统的稀疏三角分解法直接求解大规模稀疏线性方程组，多波前算法的一优点是可以采用分阶段的求解模式：即符号分析、数值分解和回代求解。线性方程组系数矩阵的结构一旦确定并且在以后的迭代求解过程中保持不变，那么通常只需对该矩阵做一次符号分析，避免重复分析占用求解时间。
牛顿法：牛顿法是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程。
免疫禁忌混合算法：免疫禁忌混合算法是在免疫算法的基础上,通过把禁忌搜索算法引入到免疫算法的变异操作中而得到的改进的免疫算法。该混合算法中,免疫算法的作用是使化解满足全局收敛;禁忌搜索算法的作用是使群体的解保持多样性,并可很好地避免陷入局部最优,以有效地搜索到最优解附近的解空间。
蒙特卡罗仿真随机潮流算法：蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段，是一种从随机变量的随机分布中，通过随机选择数字的方法产生一种符合该随机变量随机分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法。在应用该方法时、要求产生的随机数序列应符合该随机变量特定的随机分布。而产生各种特定的、不均匀的随机分布的随机数序列、可行的方法是先产生一种均匀分布的随机数序列、然后再设法转换成特定要求的随机分布的随机数序列、以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解。
半不变量法潮流计算：为了避免复杂的卷积运算,在这里引入随机论中随机变量的一个数字特征:半不变量。半不变量是随机变量一个数字特征，将卷积和反卷积计算简化为几个半不量的加法和减法运算，可以使计算量显著减少。当已知某随机变量的各阶半不变量的时候，可以利用Gram-Charilier级数展开式求得随机变量的分布函数或随机密度。
把随机分析方法应用在电力系统的潮流研究上来最初是 B.Borkowska在1974年提出来的。自从那以后，就有两种方法采用了随机分析方法来研究潮流问题：随机潮流方法和随机潮流方法。在随机潮流研究中，负荷和发电量在ti 瞬间被看成随机变量。这种方法研究了这种不确定性在每个瞬间给传统的潮流计算结果带来的影响。因此，随机潮流方法可以处理短时间的不确定性，对系统运行很有用。因为本文是研究负荷和发电机的不确定性在一个很长时间内对输电网络的充裕性的影响，所以取了随机潮流的分析方法来进行系统规划研究。
蒙特卡罗仿真方法是一种可以获得状态变量和支路潮流的累积分布函数方法。这种方法是根据输入变量（节点注入的有功功率和无功功率）的随机分布情况进行多次取值，然后用确定性潮流计算方法依次根据这些被选择的输入变量的值来计算状态变量和支路潮流的值。最后，从多次的计算结果中统计状态变量和支路潮流的随机分布情况。为了获得有实际意义的结果，通常需要上千次的蒙特卡罗仿真计算。
以前学者认为，虽然蒙特卡罗仿真方法可以得到精确的结果，但是这种计算是非常的耗费时间的，因此蒙特卡罗方法不适合处理实际的系统。大多数研究者仅仅只是用它来和其它方法进行比较而已。卷积方法是另一种可以获得支路潮流累积分布函数的方法，。通过应用线性化方法，状态变量和支路潮流被转换成输入变量的组合量。因此，假定所有的变量之间都是相互独立，卷积方法可以用来获得目标变量的随机密度函数。
传统的卷积方法将随机学中对随机变量累积分布函数的卷积计算公式作为算法的核心，其概念清晰，但计算工作量较大。因为等效持续负荷曲线（ELDC －Equivalent Load Duration Curve）是用离散点的函数值来描述的，为了保证计算的精确度，往往需要数以百计的离散点描述其持续负荷曲线；而每次卷积及反卷积计算都必须重新计算这些离散点的函数值，计算量相当大。并且，随着电力系统规模的扩大以及对水电机组和分段机组的考虑，这种采用递归卷积计算处理离散点的方法使计算量急剧上升，给随机生产模拟的实际应用带来很大困难。
为了克服上述生产困难，国外学者提出了不少简化算法。例如：基于直流潮流模型下，计算支路的随机密度函数（Probabilistic Density Function－PDF）和累计分布函数（CumulativeDistribution Function－CDF）的方法。该方法结合了累积量和Gram-Charlier展开级数理论，通过综合的方法来计算支路的随机密度函数和累计分布函数。该方法避免了负责的卷积计算，取而代之的是简单的代数计算过程，这是由于半不变量所特有的性质决定的。并且，一次运行就可以得到支路的随机密度函数和累计分布函数。这种方法可以大大地减少存储空间，这是由于低阶的Gram-Charlier展开级数估计随机密度函数和累计分布函数有着足够高
的精度。
多重线性化模拟算法。该模型假定负荷为正态分布的随机变量，认为节点注入功率要么相互独立的，要么为线性相关的随机变量，因而支路功率是节点注入功率的线性组合（当采用线性化潮流计算时），因此其随机分布可用随机理论中卷积公式计算。该方法存在的不足在于：（1）节点注入功率的相关性不易处理。这种相关性是极为复杂的，不局限于前面假设的两种最简单状态，它不仅受到随时间、空间分布变化的负荷影响，并且受到系统调度决策（如机组组合、经济运行、发电再调度、电力市场中的阻塞管理、输电开放等）影响。（2）采用卷积计算需要将潮流方程在假定的负荷点附近线性化，由于负荷变化的不确定性，这种线性化会导致较大的误差。（3）没有考虑网络拓扑结构的随机变化。实际上，网络的计划检修和随机故障均可导致线路停运，进而对系统潮流分布有着显著影响。
传统的潮流分析计算是在所有给定量，如节点负荷、投运的发电机台数、出力，都是在确定量的基础上进行的。然而，电网规划实际上涉及了大量不确定性因素，如负荷的变化、长期规划负荷预测的不准确性、发电机装机及出力计划发生变化、设备故障退出运行等。这些因素对电网规划方案有很大影响。为了全面考察电网性能，规划人员要分别对很多运行方式进行确定性潮流计算这样不仅计算量大而且也难以反映全局情况。因此，有必要采用能计入不确定性影响因素的潮流分析方法，将直接能处理不确定变量的随机论引入潮流分析计算中，形成了随机潮流。
在现有电力系统随机特征根分析方法的基础上，依据特征根各阶矩对整体随机分布的影响程度，将随机变量的中心矩与累加量混合使用，以求达到计算精度与计算量需求之间的协调。文中所考虑的不确定因素为基于节点功率运行曲线的系统多运行方式，利用不同近似程度的特征根1阶和2阶灵敏度算式，从节点电压或节点注入功率的随机特性计算出特征根的各阶数字特征，然后由Gram-Charlier级数确定临界特征根的随机密度和稳定随机。在该混和算法中，既不限制随机变量的分布类型，又充分计及变量之间的相关性，同时也考虑了运算过程中方差对均值的修正。
在探讨随机潮流计算在电力系统规划设计和运行方式研究中的应用，特别是对无功补偿和调压计算的研究时。提出了在随机潮流计算中设置电压控制节点的概念和方法，可用来分析节点电压随机波动对系统其它节点电压和支路潮流的影响。对于电压控制节点，还可以计算它的无功注入功率的随机分布，并由此确定在这些节点上应配置的无功补偿设备容量。以节点注入功率和PV电压运行曲线为基础，比较了线性化模型，近似二阶模型和完整二阶模型等三种随机潮流模型
在迭代算式和计算准确度上的差别。各种模型中除计及方差对均值的修正，还采用扩展的雅可比矩阵考虑PV节点和平衡节点电压运行曲线的影响。算例结果表明，线性化模型和近似二阶模型可以保证电压均值的准确性，但电压实部的方差有较大误差。完整二阶模型中，通过多个运行样本在均值点处的二阶迭代求取电压偏差曲线，能够准确计及电压的三阶和四阶中心矩对电压协方差的修正，准确度很高。因此可以根据计算时间和不同的计算精度要求采用相应的计算模型。
针对目前随机潮流算法在处理节点功率间变化的相关性、网络拓扑随机变化及评价指标方面的不足，提出了一种基于蒙特卡罗模拟的随机潮流算法，采用K 均值聚类负荷模型，考虑了发电和输电元件的故障停运和检修停运，并在网络模型中计及继电保护和重合闸等二次元件故障的影响，建立了较为完整的评估指标体系，从而在随机潮流的实用化方面取得了显著进展。
1.2 潮流计算的背景和意义
电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行状况的一种基本电气计算，其任务是根据给定的运行条件和网络结构确定整个系统的运行状态，如各母线上的电压幅值和相位角，网络中的功率分布和功率损耗等。用以检查系统各元件是否过负荷。各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。潮流计算结果可用电作力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等。潮流计算的结果对研究系统的运行方式以及确定电网规划阶段中的供电方案有着重要作用。此外，潮流计算对于安全监控和预想事故分析也有重要作用。潮流计算是在给定电力系统网络结构、参数和决定系统运行状态的边界条件的情况下确定系统稳态运行状态的一种基本方法，是电力系统规划和运营中不可缺少的一个重要组成部分。可以说，它是电力系统分析中最基本、最重要的计算，是系统安全、经济分析和实时控制与调度的基础。是电力系统研究人员长期研究的一个课题。
早期的电力系统潮流计算主要是通过手工计算或者是利用交流计算台模拟的方法进行的简单计算。随着计算机技术的发展，以节点阻抗矩阵为基础的高斯迭代法应运而生。高斯迭代法收敛性好，但是随着系统规模的不断扩大，因其占用内存大而使解题规模受到了限制。此时牛顿法应时而生，牛顿法是求解非线性方程式的一种典型的数学方法，它在导纳矩阵的基础上求解电力系统的潮流计算问题，其核心是反复形成并求解修正方程式。只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿潮流程序的计算效率，而且其收敛性也很好。实际电力系统的潮流技术主要采用牛顿-拉夫逊法。
MATLAB自1980年问世以来，它的强大的矩阵处理功能给电力系统的分析、计算带来许多方便。在处理潮流计算时，其计算机软件的速度已无法满足大电网模拟和实时控制的仿真要求，而高效的潮流问题相关软件的研究已成为大规模电力系统仿真计算的关键。随着计算机技术的不断发展和成熟，对MATLAB潮流计算的研究为快速、详细地解决大电网的计算问题开辟了新思路。
在用数字计算机解电力系统潮流问题的开始阶段，普遍采取以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存量比较小，适应50年代电子计算机制造水平和当时电力系统理论水平。但它的收敛性较差，当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，在计算中往往出现迭代不收敛的情况。这就迫使电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法。阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，在60年代获得了广泛的应用。阻抗法的主要缺点是占用计算机内存大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，60年代中期发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间联络线的阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高了计算速度。克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-拉夫逊法。这是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。在解决电力系统潮流计算问题时，是以导纳矩阵为基础的，因此，只要我们能在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从60年代中期，在牛顿法中利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存、速度方面都超过了阻抗法，成为60年代末期以后广泛采用的优秀方法。
20世纪70年代以来，潮流计算方法通过不同的途径继续向前发展，其中最成功的方法是P-Q分解法。这个方法，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯属数学的牛顿法进行了改造，在计算速度方面有明显的提高，迅速得到了推广。随着人工智能里理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。但是，到目前为止这些新模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统的不断扩大和对计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也引起一些研究人员的兴趣，今后会成为重要的研究领域。
2 电力系统潮流计算
迄今为止最成功的算法是牛顿-拉夫逊法，牛顿- 拉夫逊法早在50年代末就已应用于求解电力系统潮流问题,但作为一种实用的,有竞争力的电力系统潮流计算方法,则是在应用了稀疏矩阵技巧和高斯消去法求修正方程后。牛顿- 拉夫逊法是求解非线性代数方程有效的迭代计算。牛顿- 拉夫逊法收敛性好,是非线性方程数值求解的有效方法。该方法把非线性方程线性化,由于线性方程的系数矩阵结构上是稀疏的非对称矩阵,结合稀疏矩阵技术可使计算机内存占用量大大减少,计算速度大大加快;而P - Q分解法是在牛顿- 拉夫逊法基础上,将有功功率P和无功功率Q分开交替迭代的潮流计算方法,该方法计算过程简单,计算速度显著加快,是目前常用的潮流计算方法。牛顿-拉夫逊法，一直以来备受欢迎，许多国内外研究者仍在努力改善此法。目前牛顿-拉夫逊法可以说是最成功的一种潮流计算的算法。所以在我的毕业设计中也将沿用此法来进行设计。
2.1 节点的分类
用一般的的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流（或电压）分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负载连接母线上电压或电流（都是向量）的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率（P）和母线电压的幅值（U），给出负载母线上负载消耗的有功功率（P）和无功功率（Q）。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统各节点性质的不同，很自然的把节点分成三种类型。
1.PQ节点
对这一类节点，事先给定的是节点功率（P、Q），待求的未知量是节点电压向量（U 、θ）,所以叫“PQ节点”。通常变电所母线都是PQ节点，当某些发电机的输出功率P、Q给定时，也作为PQ节点。PQ节点上的发电机称之为PQ机（或PQ 给定型发电机）。在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。
2.PU节点
这类节点给出的参数是该节点的有功功率P及电压幅值U，待求量为该节点的无功功率Q及电压向量的相角θ。这类节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源，用以维持给定电压值。通常选择有一定无功功率储备的发电机母线或者变电所无功补偿设备的母线作PU节点处理。PU节点上的发电机称之为PU机（或PU 给定性发电机）。
3.平衡节点
在潮流计算中，这类节点一般只设一个。对该节点，给定其电压值，并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零。也就是说，对平衡节点给定的运行参数是U 和θ，因此又称为U θ节点，而待求量是该节点的P 、Q ，整个系统的功率平衡由这一节点承担。
2.2 牛顿—拉夫逊法的概要
已知变量X 的函数为
0)(=X f （2-1）
解此方程式时，由适当的近似值)0(X 出发，根据 )
()()
(')()
(n )
1n (n n X f X f X
X -=+ （n=1,2,...）
（2-2）
反复进行计算，当）（n X 满足适当的收敛判定条件时就是式（2-1）的根。这样的方法就是牛顿—拉夫逊法。
式（2-2）就是取第n 次近似解)n (X 在曲线)(X f y =上的点[]
)(,)()(n n X f X 处的切线与X 轴的交点作下一次)1(+n X 值的方法，在这一方法中为了能收敛于真解，初值)0(X 的选取及函数)(X f 必须满足适当的条件。
设第n 次迭代得到的解与真值之差，即）（n X 的误差为ε时，则
0)()(=+εn X f （2-3）
把)(n ε+）（X f 在)(n X 附近对ε用泰勒级数展开 0.....)(''!
2)(')()()(2
)
()
()
(=+++
+=+n n n n X f X
f X
f X
f εεε
（2-4）
式（2-4）略去2ε以后的项，则
0)(')()()(≈+n n X f X f ε （2-5）
)
(')
(-)()(n n X f X f =ε
（2-6）
）（n X 的误差可近似由上式计算出来。
比较（2-2）和（2-6），可以看出牛顿-拉夫逊法的修正量和）（n X 的误差相等。 用同样的方法考虑，给出对n 个变量n 21,.....,,X X X 的n 个方程式
??
????
?===0),...,,(.0),...,,(0
),...,,(21212211n n n n X X X f X X X f X X X f
（2-7）
对其近似解',....,','n 21X X X 的修正量n 21,...,,X X X ???，可以解下面的方程式来确定
?????
???
??
?
???
??
????????
?????????
?
??
?????
?
?????????????????????????-=????????????????????n n n n n
n n n X X X X f X f X f X f X f X f X f X f X
f X X X f X X X f X X X f .........
......)',','(...)',','()',','(212122212
12111
n 21n 212n 211
（2-8）
式（2-8）等号右边的矩阵的i
i
X f ??等都是对于',....,','n 21X X X 的值，这一矩阵称为雅可比（Jacobi ）矩阵。
按上述得到修正量n 21,...,,X X X ???后，得到如下关系
n n X X X X X X X X X ?+=?+=?+=''',''','''n 222111 （2-9）
这比',....,','n 21X X X 进一步接近于真值。这一步骤在收敛到希望的值以前重复进行。
有上式可见，牛顿法的核心便是反复形式并求解修正方程式。牛顿法当初始估计值(0)
x 和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。
牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4~5次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。
牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定：(0)1i U =
(0)0i θ=或(0)1i e = (0)0i f = 。这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代1~2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。
2.3 节点导纳矩阵
电力网络的节点电压方程：
B B B I Y U =
(2-10)
式(2-10)B I 为节点注入电流列向量，注入电流有正有负，注入网络的电流为正，流出网络的电流为负。根据这一规定，电源节点的注入电流为正，负荷节点为负。既无电源又无负荷的联络节点为零，带有地方负荷的电源节点为二者代数之和。式(2-10)B U 为节点电压列向量，由于节点电压是对称于参考节点而言的，因而需先选定参考节点。在电力系统中一般以地为参考节点。如整个网络无接地支路，则需要选定某一节点为参考。设网络中节点数为n(不含参考节点)，则B I ，B U 均为n*n 列向量。B Y 为n*n 阶节点导纳矩阵。
节电导纳矩阵的节点电压方程： B B B I Y U = 展开为：
1112
13
11
12122232223132333331
23
n n n n n n nn n n Y Y
Y Y I U Y Y Y Y I U Y Y Y Y I
U Y Y Y Y I U ??????????
??????
????????=?????
?
??????????????????
(2-11)
B Y 是一个n*n 阶节点导纳矩阵，其阶数就等于网络中除参考节点外的节点
数。节点导纳矩阵的对角元素ii Y (i=1，2， n)成为自导纳。自导纳数ii Y 值上就等于在i 节点施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i 注入网络的电流，因此，它可以定义为：
/(0,)ii i i j
Y I U U j i ==≠ (2-12)
节点i 的自导纳ii Y 数值上就等于与节点直接连接的所有支路导纳的总和。 节点导纳矩阵的非对角元素ij Y ( j =1，2，…，n ; i =1，2，…，n ; j = i )称互导纳，由此
可得互导纳ij Y 数值上就等于在节点i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点j 注入网络的电流，因此可定义为：
/(0,)j i j i i j
Y I U U j i =≠≠ (2-13)
节点j ，i 之间的互导纳ij Y 数值上就等于连接节点j ，i 支路到导纳的负值。显然，恒ij Y 等于ji Y 。互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称稀疏矩阵。
B Y 为稀疏矩阵，因节点i ，j 之间无支路直接相连时ij Y =0，这种情况在实
际电力系统中非常普遍。矩阵的稀疏性用稀疏度表示，其定义为矩阵中的零元素
与全部元素之比，即 2
/S Z n =， 式中Z 为B Y 中的零元素。S 随节点数n 的
增加而增加：n =50，S 可达92%；n=100，S 可达90%；n =500，S 可达99%，充分利用节点导纳矩阵的稀疏性可节省计算机内存，加快计算速度，这种技巧称为稀疏技术。
根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点：
(1) 节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。参考节点一般取大地，编号为零。
(2)节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。
(3) 节点导纳矩阵的对角元素就等于各该节点所连接导纳的总和。因此，与没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和的负值。
(4) 节点导纳矩阵的非对角元素等于连接节点i ，j 支路导纳的负值。因此，一般情况下，节点导纳矩阵的对角元素往往大于非对角元素的负值。
(5)节点导纳矩阵一般是对称矩阵，这是网络的互易特性所决定的。从而，一般只要求求取这个矩阵的上三角或下三角部分。
2.4 非标准变比变压器等值电路
变压器型等值电路更便于计算机反复计算,更适宜于复杂网络的潮流计算.双绕组变压器可用阻抗与一个理想变压器串联的电路表示.理想变压器只是一个参数,那就是变比1/2K U U =。现在变压器阻抗按实际变比归算到低压侧为例,推导出变压器型等值电路。
图2-1双绕组变压器原理图
图2-2变压器阻抗归算到低压侧等值模型
流入和流出理想变压器的功率相等
1112/U I U I K =
12
/I I K = (2-14)
式(2-14)中, 12/K U U =是理想变压器的变比,1U 和 2U 分别为变压器高,低绕组的实际电压.从图2-2直接可得： 122T U U I Z K
=+ (2-15)
从而可得: 1122
122
T T T T U U Y U Y U I K Z KZ K K
????
?
=
-=- 12T 12T 2
T T U U Y U I =-=-Y U KZ Z K
(2-16)
式(2-16)中Y 1/Z T T =,又因节点电流方程应具有如下形式:
111112I =Y U +Y U +2211
222-I Y U Y U
= (2-
17)
将式(2-16)与(2-17)比较，得：
211T Y =Y /K ，12T Y =-Y /K ；
21T
Y =-Y /K ，22T Y =Y 。 因此可得各支路导纳为：
21212T 211T 101112T 2
202221T Y =-Y =Y /K Y =-Y =Y /K 1-K
Y =Y -Y =Y K K -1Y =Y -Y =Y K ?
??
????
?
?
(2-18)
由此可得用导纳表示的变压器型等值电路：
2.5 牛顿-拉夫逊法潮流计算
在电力系统中，节点电压和导纳可表示为
?????+=+=ij
ij ij i
i jB G Y jf U e .
（2-19）
根据电工理论，节点功率与节点电流之间的关系为
i i i i S P jQ U I ?*
=+=
（2-20）
i i i
i i
i
S P jQ I U U *?
*
*
-=
=
（2-21）
1
(1,2,...,)
n
i ij j j I Y U i n ?
===∑
（2-22）
由式（2-21）、（2-22）可得
1
(1,2,...,)
n
i i
ij j j i
P jQ Y U i n U ?
*
=-==∑
（2-23）
将式（2-19）带入式（2-23）的右端，展开并分出实部和虚部，便得
∑∑==++-=n
j j ij j ij i n
j j ij j ij i i e B f G f f B e G e P 11)()(
∑∑==+--=n
j n
j j ij j ij i j ij j ij i i e B f G e f B e G f Q 1
1
)()(
（2-24）
按照分类，PQ 节点的有功功率和无功功率是给定的，第i 个节点的给定功率设为is P 和is Q 。
假设系统中的第1，2，...,m 节点为PQ 节点，对其每一个节点可列方程：
1111
()()0
()()0n n
i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j n n i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j P P P P e G e B f f G f B e Q Q Q Q f
G e B f e G f B e ====?
?=-=---+=??
???=-=--++=??∑∑∑∑
(1,2,...,)i m =
（2-25）
PU 节点的有功功率和节点电压幅值是给定的。假定系统中的第m+1,m+2,...,n-1号节点为PU 节点，则对其中每一节点可列方程：
11222222()()0
()0n n
i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j i is i is i i P P P P e G e B f f G f B e U U U U e f ==?
?=-=---+=??
??=-=-+=?∑∑
(1,2,...,1)i m m n =++-
（2-26）
第n 号节点为平衡节点，其电压n n n U e jf ?
=+是给定的，故不参加迭代。
式（2-25）（2-26）总共包含了2（n-1）个方程，待求的变量有
112211,,...,,,,--n n f e f e f e 也是2（n-1）个。同时可以看到，方程式（2-25）（2-26）
具备方程组（2-8）的形式：
U J W ?-=? （2-27）
式中
??
?
?????????????????????????????????????=?++1-n 2
1-n 1m 21m m m 11..U P U P Q P Q P W ????
?
??????
???
?
?????????
????????????????=?--++111111..n n m m m m f e f e f e f e U 上式方程中雅可比矩阵J 的各元素，可以对式（2-25）（2-26）求偏导获得
1
1
11111
11
111
11111111111111
111111
m m m
m n n m m m m
n n m
m m m m m m m m m m n
P P P P P P P P e
f e f e f e f Q Q Q Q Q Q Q Q e
f e f e f e f P P P P P P P e f e f e f e J ++--++--++-????????????????
????????????????????
??
???????????????????????????????=
11111111111111111
111112222211
1
1
111
m n m m m m m
m m m m m m m n n m m m m m m m m m m m m n n m m m m m m
m
P f Q Q Q Q Q Q Q Q e f e f e f e f P P P P P P P P e
f e f e f e f U U U U U e
f e f e -++--++++++++++--+++++?????????????????????????????????????????????????????????? 2221111
1
111111111111111122222211
1
1
1111
1
1
m m m m m n n n n n n n n n n m m m m n n n n n n n n m
m
m m U U U f e f P P P P P P P P e f e f e f e f U U U U U U e
f e f e f +++++----------++--------++?????????????????????????????????????????????????????
221111n n n n U U e f ----?????
?
?????????
?
?????
?
????
?
?
????
?
?
??????
???
?
????
??
?????????
?
当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为