北京工业大学2017--2018学年第一学期考试试卷A 答案
课程名称： 高等数学 A 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 页，共 大部分，请勿漏答；
2. 考试时间为 １２０ 分钟，请掌握好答题时间；
3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；
4. 本试卷全部答案都写在试卷上；
5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；
6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！
一、填空题（每题3分，共30分） 1
．2
lim
2x x →=-1
2
2. 设2ln(1)
,0()sin ,0
x x f x x
x b x +?>?
=??+≤?
在0=x 处连续，则=b 1
3．()0,()1,f a f a '==则极限1lim ()n nf a n
→∞
-= -1 4．已知sin3y x =, n 为自然数，则()
n y
=3sin(3)2
n x n π
+
5． 设,sin cos t
x te y t t
?=??
=+?? 则0
t dy dx == 1
6．
2
222
cos (cos )1cos x x
x dx x
π
π-
+=+?
2π 7． 设()f x '连续，则()sin cos xf x dx '=?
(cos )f x c -+
8.已知0
()arcsin x g x tdt =
?
, 则0g '（
）= 0 9. 微分方程1
y y x x
'-
=的通解是y =()x c x + 10. 微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =1x
二、单项选择题（每小题2分，共8分） 1.
函数的定义域y =
是（ C ） A. ]3,2(- B. )3,(-∞ C. (2,3)- D. ]3,2[- 2. 设(0)2f '=，则当0x →时，()(0)f x f -是x 的 （ B ）
A ．低阶无穷小量
B ．同阶无穷小量
C ．高阶无穷小量
D ．等价无穷小量
3. 设sin 2()24x x f x ''
??=+ ???
，则()d f x x =?（ A ）
A ． 1cos 222x C ++
B ． sin 224
x x
C ++ C ． 2cos 248x x C -
+ D ．2cos 244x x C -+ 4. 已知1
1lim(
)a ax t x x te dt x
+-∞→∞+=?，则a =（ D ）
A. 1
B. 12
C. 5
2
D. 2
三、求解下列各题（每小题5分，满分30分）
1. 求极限??? ??-→x x x x tan 11lim 20
2. ()
2
11arctan ,y x x =+求
dy dx
及dy 解： 220011tan lim lim tan tan x x x x x x x x x →→-??-= ??? （1分） 解：222
1
12arctan (1)11x y x x x x
-
'=+++ 23200tan sec 1lim lim 3x x x x x x x →→--== （3分） 1
2arctan 1x x
=- （4分） 220tan 1lim 33x x x →== （5分） 1
(2arctan 1)dy x dx x
=- （5分） 3. 设arcsin 1xy
y x xe +=+，求
=x dx
dy
4.
dx
解：()xy xy y e xe y xy ''=++ （4分）
解：令t =，则32,3x t dx t == （1分）
当 0x =时，1y =，代人上式得 2
33
(33)11t dx dt t dt t t ==-+++?? （3分） (0)0y '= （5分） 23
33ln(1)2
t t t c =-+++
2
11
333333ln(1)2
x x x c =-+++ （5分）
5. ?1
arctan xdx x 6.
20
π?
解：1
12
00
1arctan arctan 2x xdx xdx =?? （1分） 解：0π?
21
2
01821x dx x π
=-+? 0|cos |x dx π= （2分）
1
2011(1)821dx x π
=--+? （4分） 2
02
cos cos )xdx xdx π
ππ=-?? （4分）
1
42
π
=
- （5分） = （5分） 四、（6分）已知曲线)(x f y =于任意点处的切线斜率为632
--x ax ，且当1-=x 时，2
11=y 为
其极大值，试求曲线)(x f y =，且求函数)(x f 的极小值.
解：由于2
()36f x ax x '=--，所以32
3()632
a f x x x x c =
--+ （1分） 由当1-=x 时，211=
y 为其极大值可得11
(1),(1)02f f '-=-=，即32
a c =??=? （4分） 323
()622
f x x x x =--+
由于2
()3363(2)(1)f x x x x x '=--=-+，当2x =时，(2)0,(2)90f f '''==>
故2x =时，函数)(x f 取得极小值8-. （6分）
五、 (6分) 证明：当0x >时，2
1128
x x +-
<
证明：令21()1
28x f x x =-+，则11
()024
f x x '=
-+>， （1分） 由于
11()(10 (0)44f x x ''=+=>>，因此()f x '在[0,)+∞上单调增加，（4分）当0x >时，()(0)0f x f ''>=，从而()f x 在[0,)+∞上单调增加，当0x >时，
()(0)0f x f >=，
因此()f x 在[0,)+∞上单调增加，由于(0)0f =，故当0x >时，有()(0)0f x f >=，即
2
1
128
x x +-<（6分）
六、（6分）设函数)(x f y =满足微分方程x
e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12
+-=x x y 在该点的切线重合，求)(x f .
解：解特征方程2
320r r -+=得：121,2r r == （2分）
设微分方程的一特解为*x
y Axe =，代入原方程比较系数得：2A =- （4分）
微分方程x
e y y y 223=+'-''的通解为：2122x x x y c e c e xe =+- （5分）
由(0)1,(0)1y y '==-得：12121,21c c c c +=+=，解得210,1c c == 故()2x
x
f x e xe =- （6分）
七、（6分）求由抛物线y =y x =所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x 轴旋
转一周所得旋转体的体积.
解 抛物线y =
y x =的交点为()0,0，()1,1 （1分）
故抛物线和直线所围城的平面图形的面积1
01d 6
S x x ?=
=?? （3分）
平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V= 1
1
2
2
0πd π()d x x x -?
?
=
π
6
（6分）
八、（5分）设连续函数()f x 满足2
()()sin f x f x x +-=，求积分
622
()sin f x xdx π
π
-
?
证明：
6
62
22
2
()sin ()sin f x xdx f t tdt π
π
π
π-
-=-?
? （2分）
故
6
68
8222202
22
11()sin (()())sin sin sin 22f x xdx f x f x xdx xdx xdx π
πππ
π
ππ-
--=+-==????
753135
86422256
ππ=
= （5分）
九、（3分）设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1
10
(1)() (1)x k f k xe f x dx k -=>?
，
证明在(0,1) 内至少存在一点ξ，使1
()(1)()f f ξξξ
'=-.
证明：设()()x
F x xf x e -=，（1分）
则()()()()(1)()()x
x x x x F x f x e xf x e xf x e x f x e xf x e -----''=+-=-+，1(1)(1)F f e -=，
因为
1110
1
()()() (0)x k k xe f x dx e f F e k
ξξξξξ--==<
所以有(1)()F e F e ξ=，即(1)()F F ξ=. 又因为()F x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，根据罗尔定理可知：在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0F ξ'=，即1
()(1)()f f ξξξ
'=- （3分）