数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题附解析
一、选择题
1．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2
()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝
1∶2∶3 ;⑤111
,,345
a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 2．如图所示，在中，
，
，
.分别以
，
，
为直径作
半圆（以
为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．6
3．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( )
A ．3cm
B ．14cm
C ．5cm
D ．4cm
4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．
10
2
B ．2
C ．
51
2
+ D ．
32
5．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ） A ．24
B ．30
C ．40
D ．48
6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器
底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．12cm
B ．14cm
C ．20cm
D ．24cm
7．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定
ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．以上都不对
8．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
A ．3
B ．
154
C ．5
D ．
152
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）
A ．7
B ．
254
C ．6
D ．
112
二、填空题
11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．
12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．
13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．
14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
15．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ?的周长为_______________． 16．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．
18．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
19．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．
20．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，﹣22），连接PG，则线段PG的长度是_____．
三、解答题
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．
22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 24．已知ABC ?中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：
BD CE =
（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，
CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求
AD
AB
的值.
25．已知：如图，在ABC ?中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求
m
n
的值.
26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒）， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
28．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
②求证：BD2+CD2＝2AD2；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．
29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．
（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；
（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；
（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】
解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2
()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴3
18090123
C ∠=??
=?++，故④正确；
∵222111()()()45
3
+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个； 故选择：D. 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积.
【详解】 解：在中 ∵，
,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直
径的半圆面积=6.故选D.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长. 【详解】
解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2， 又∵1010A B C D S S S S +++=? ， ∴36+25+25+S D =100， ∴S D =14，
∴正方形D 的边长为14cm. 故选：B. 【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.
4．A
解析：A 【解析】
试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD=∠ABD ∵∠C=∠DKB=90°， ∴CD=KD ，
在△BCD 和△BKD 中，
CD KD
BD BD ??
?
＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ， ∴BC=BK=3 ∵E 为AB 中点 ∴BE=AE=2.5，EK=0.5， ∴AK=AE-EK=2， 设DK=DC=x ，AD=4-x ， ∴AD 2=AK 2+DK 2 即（4-x ）2=22+x 2 解得：x=
3
2
∴在Rt △DEK 中，
. 故选A ．
5．A
解析：A 【解析】
已知△ABC 的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC 是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC 的面积为
1
2
×6×8=24，故选A ． 6．D
解析：D 【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求． 【详解】
解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，
作A 关于E 的对称点A'，连接A'B 交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm ，
延长BG ，过A'作A'D ⊥BG 于D ， ∵AE=A'E=DG=4cm ， ∴BD=16cm ，
Rt △A'DB 中，由勾股定理得：22201612-=cm ∴则该圆柱底面周长为24cm ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
7．C
解析：C 【分析】
利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断. 【详解】
解：由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=?，
90ADC ∴∠=?
222AD CD AC ∴+=
2251213AC ∴+= 13AB AC ∴==
故ABC 是等腰三角形. 故选C 【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.
8．B
解析：B 【分析】
首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=15
4
，
∴ED=15
4
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
9．A
解析：A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．
【详解】
解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
∴62+（8-x）2=x2，
解得x= 25 4
∴BD=25
4
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题
11．45
【分析】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC
∠+∠=∠，只需证△ADC是等腰直角三角形即可
【详解】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD
设正方形网络每一小格的长度为1
则根据网络，555BC=5，∴5
其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理
∴∠CDA=90°
∵AD=DC
∴△ADC是等腰直角三角形
∴∠DAC=45°
故答案为：45°
【点睛】
本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD
【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到1
2
BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB . 【详解】
在Rt △ACD 中，CD=AD=32， ∴AC=
226AD CD +=，
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴1
2BC AB =
， ∵222AC BC AB +=， ∴2
2
2
16()2
AB AB +=, 解得AB=43，负值舍去， 故答案为：43. 【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 13．15厘米 【分析】
要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米．
故答案为：15厘米 【点睛】
求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．
【分析】
延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．
【详解】
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，
∵D是BC边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中，2222
64213
=++=，
BD BE DE
∴BC＝2BD＝13
故答案为：13
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
15．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
-=-=,
CD AC AD
13125
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
15129
=-=-,
BD AB AD
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC 是锐角三角形时， ∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD =
-=-=，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=， ∴BC=BD-CD=9+5=14， ∴△ABC 的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC 的周长是32或42， 故答案为：32或42. 【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 16．232 【分析】
先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可. 【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==， ∴AB=2BC=4， ∴22224223AC AB BC =
-=-=
当AC 为腰时，则该三角形的腰长为3
当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则3
设DE=x ，则AD=2x ， ∵222AE DE AD +=, ∴222(3)(2)x x += ∴x=1（负值舍去）， ∴腰长AD=2x=2，
故答案为：32 【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处. 17．4或2510 【分析】
分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ． 【详解】
①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，如图1． ∵∠DAC =90°，且AD =AC ， ∴BD =BA +AD =2+2=4；
②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，如图2． 连接BD ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于E ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACD =90°， ∴∠DCE =45°． 又∵DE ⊥CE ， ∴∠DEC =90°， ∴∠CDE =45°， ∴CE =DE =22
2= 在Rt △BAC 中，BC 2222=
+= 22BD 2222
2222BE DE （）（）=+=++=
5
③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，如图3． ∵∠ADC =90°，AD =DC ，且AC =2，
∴AD=DC=AC sin45°=2
2
2
2
?=．
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°．
又∵在Rt△ABC中，BC22
22
=+=22，
∴BD2222
22210
BC CD
=+=+=
（）（）．
故BD的长等于4或25或10．
故答案为4或25或10．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，18．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB==10cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB==10cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB==100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
1925
【解析】
试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四
边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即EF=CD=25 5
.
25
点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
20．5
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
=+=+=
PN PH NH
215
∴PG＝2PN＝5．
故答案为5
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
三、解答题
21．BF的长为32
【分析】
先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
WORD格式 . 专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题 1.如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P为边BC上的中点，连结 22 AP，求证：BP×CP=AB-AP； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由； A B C P （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论 A . B C P （二）最值问题 2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是
A D E P 3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， B C . 专业资料整理
WORD格式 . 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1） 求证：△AMB≌△ENB； A D （2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； N E M C B C ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； A D N E M B C C （3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长. A D N E M B C C
4.问题：如图①，在ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的. 专业资料整理
WORD格式 . 长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD的长为； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长． A A B D C B D C 图①图②
勾股定理培优试题 1.如图，正方形的边长是1个单位长度，则图中B点所表示的数是；若点C是数轴上一点，且点C到A点的距离与点C到原点的距离相等，则点C所表示的数是． 2.如图,将长方形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将长方形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E. (1)当m=3时,点B的坐标为_________,点E的坐标为_________; (2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由. 3.如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位置,长方形ABCD 的长和宽分别为a,b,AC的长为c. (1)你能用只含a,b的代数式表示S△ABC,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA吗?能用只含c的代数式表示S△ACA'吗?(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗? 4.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6/cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）cm. A.6 B.8 C.10 D.12 5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或25 6.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.（A）49（B）25（C）13（D）1 7.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于． 8.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（） A．5≤h≤12 B．5≤h≤24C．11≤h≤12D．12≤h≤24 9.如图，将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm的装满水的圆柱形水杯中，已知水深为12cm，设筷子露出水面的长为hcm，则h的取值范围是．
初二数学勾股定理试卷 一．选择题（共2小题） 1．下列说法正确的是（） A．a0=1 B．夹在两条平行线间的线段相等 C．勾股定理是a2+b2=c2 D．若有意义，则x≥1且x≠2 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（） A． B．27 C．3 D．25 二．填空题（共1小题） 3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米． 三．解答题（共5小题） 4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE． 6．阅读： （1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0． 利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题． 问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长． 7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC， （1）求证：CE平分∠BCD； （2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积； （3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解） 8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）
人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5A C．∠+∠B＝∠C 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） 2 222cm．72cm108B．36cm D A．18cm C．3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对 ＝，则∠B为（＝4，BC）＝4．在△ABC中，∠A30°，AB C．30°或60°D．30°或90°．30A．°B90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A，则梯子底部B滑开的距离1BB是（）1 A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直与．为比较 6．
为边长定理可求得长角边的分别其为斜与，则由勾股 ，可得．根据“三角形三边关系”．小）亮的这一做法体现的数学思想是（ A．分类讨论思想B．方程思想．数形结合思想DC．类此思想是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个“赵爽弦图”7．，则中间小正方形与大正方形的面积差是6直角三角形的两条直角边的长分别是3和） （ 27D．34A．9B．36C．．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方8，60S＝+S、S、S．若SS+ABCD形、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为311232）则S的值是（2 30D C．20．BA．12．15小题）二．填空题（共6．9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是时，这个三角a，如果a+b，﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于a10．设＞b形为直角三角形．米处折断（未完1米高的小孩，如果大树在距地面4米高的大树，树下有一个11．有一棵9米之外才是安全的．全折断），则小孩至少离开大树 扩充为等腰三角形，将△3ABC，°，90AC＝4BC＝＝中，∠△．如图，在12Rt ABCACB．的长为CD为直角边的直角三角形，则AC，使扩充的部分是以 ABD． ，吸管放进杯里（如cm，高为1213．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm 3.6cm，为节省材料，管长acm．的取值范围是图所示），杯口外面至少要露出
勾股定理培优练习集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
勾股定理 【知识点】1、勾股定理__________________________________________________________________ 2、勾股定理逆定理_____________________________________________________________________ 【基础练习】 1．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=20，点M，N在边OB上，PM=PN．若MN=6，则OM=（） A．4 B．5 C．6 D．7 第1题第3题第5题第6题 4．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．（2015?石家庄模拟）图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 7．下列命题中，是假命题的是( )． A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米． 第8题第9题第10题 9．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= ． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度． 【例题讲解】 例1、）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 错解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4…（1）， ∴c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）…（2）， ∴c2=a2+b2 (3) 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号． （2）错误的原因是． （3）本题正确的结论是． 例2．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 例3、我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及解析 一、选择题 1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ） ①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④ 2．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ） A ．3 B ．11 C ．23 D ．4 3．如图所示，在中， ， ， .分别以 ， ， 为直径作 半圆（以 为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．6 4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为 （ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 5．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，
DE=3，BC=1，CD=13，则CE的长是（） A．14B．17C．15D．13 6．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则 DN+MN的最小值是（） A．8 B．9 C．10 D．12 7．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（） A．1，26B．3，5，4 C．5，12，13 D．3，213 9．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直10．下列说法不能得到直角三角形的（） A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案 一、选择题 1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（） 53 A．5B．53C．53D． 4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（） A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（） A．3．5 B．3C13D 36 9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）
勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）． A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）． A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）． 7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______． 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以 对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正 方形AEGH ，如此下去． （1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形150o 20米30米
数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题含答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( ) A ． 245 B ． 365 C ．12 D ．15 3．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于 ,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ） A ．1 B ． 54 C ． 74 D ． 254 4．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木
块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ．cm B ． cm C ． cm D ．9cm 5．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?，若AD =4，CD =2，则BD 的长为 （ ） A ．6 B ．27 C ．5 D ．25 6．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ） A ．12cm B ．14cm C ．20cm D ．24cm 9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形 B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°
(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名： 分数： 一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。 二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（ ） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )
八年级下勾股定理培优训练 一．选择题 1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD AB、AC于E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC 4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有dm 2dm 7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交
8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第 2 （1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么=a （3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为2 EF的长是（） 二．填空题 14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．
16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号） ①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是． 17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是． 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为． 三．解答题 19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长． 20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC 与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12 4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，则EM+BM的最小值为． 7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见勾股数有： 3、常见平方数： 121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=?90,a=5,c=3.， 则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。 5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。 7、如图1，?=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？ 7、如下图，在?ABC 中，?=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示，?=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7 米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1 B C P
图1 勾股定理（第一周周清试卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、 如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ .8 C 2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 3、 一架 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m 4、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上 答案都不对 5、一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离 树底部4米处，则树折断之前有 （ ） A ．5米 B ．7米 C ．8米 D ．10米 6、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行， 离开港口2小时后，则两船相距（ ） 海里 海里 海里 海里 _C _B _A
7、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( ) 8、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是 ㎝2 ㎝2 C.22㎝2 ㎝2 9、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ． B ． C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C 10、如图1，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为_________三角形 12、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 。 13、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 14、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 15．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原
. 勾股定理 一、知识要点 1、勾股定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” . 222，它的变形式为ca=+b勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即222222. =--ab=ba或cc勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理 222，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形=满足、cac+b. 如果三角形的三边长a、b勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”. 二、基本知识过关测试 1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 . 2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S= . A3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 . 23，∠BCD=30°AB，=5，CD，则=AC= . ABC4.如图.在△中，CD⊥AB于D532的线段5. 作长为. ，，22222-1，2a(a＞；⑤a+1，a1)；⑥5；③，135.6在下列各组数中①，12，；②724，2534，，，5；④3a4a，a2222(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组mn-mn，2，m+n. 7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积 是 . 1 / 12 . AC A B13A aABD B D12C 题图4题图第7第2题图第3题图第1. ，试判断△AEF=中点，E为BC上一点，且EC的形状BCDC8.如图，在正方形ABCD中，F为 4DAFCBE 创新.提高.三、综合、B重合，折痕与ABAC=3，折叠该纸片，使点A与点=】（1）在三角形纸片ABC中，∠C90°，∠A=30°，1【例DE的长是多少？D和点E（如图），折痕AC 分别相交于点BDAEC
八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题 一、选择题 1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600m B ．500m C ．400m D ．300m 2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ． A ．25 B ．20 C ．24 D ．105 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是 （ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为( ) 22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长 等于BC 的长． A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④ 4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 5．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 6．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ） A ．217 B ．25 C ．42 D ．7 9．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．1510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的
2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03） 理想文化教育培训中心 学生姓名：__________ 得分：_______ 一、知识点梳理： 1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a 2＋b 2＝c 2。 （1）变式：a c b c b a b a c 2 2 2 2 2 2 ;;-= -= += （2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果c b a 2 2 2 =+，那么△ABC 是直角三角形. 勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等. 二、典型例题： 例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。 （2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. （3）蚂蚁沿图3中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米） 图(1) 图(2) 图(3) 课堂练习1： （1）要登上12 m 高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m ，则梯子的长度至少为（ ） A ．12 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m （2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．1.5，2，2.5 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．20，30，40 （3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ） ①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5 ③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 (第4题图)