课时练：第六章 《反比例函数》 （培优篇）
一．选择题
1．下列各点中，在反比例函数y ＝图象上的是（ ） A ．（﹣1，8）
B ．（﹣2，4）
C ．（1，7）
D ．（2，4） 2．如果点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是反比例函数图象上的三个点，则
下列结论正确的是（ ） A ．y 1＞y 3＞y 2 B ．y 3＞y 2＞y 1
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 3＞y 1＞y 2
3．函数
图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝﹣x +6于B 、C 两点，若函数y ＝（x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．5≤k ≤20
B ．8≤k ≤20
C ．5≤k ≤8
D ．9≤k ≤20
5．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）
A ．16
B ．1
C ．4
D ．﹣16
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的两边在坐标轴上，OB ＝1，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置，此时点A 1在函数
y ＝（x ＞0）的图象上，C 1O 1与此图象交于点P ，则点P 的纵坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数y ＝ax ﹣a 与y ＝（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，A 、C 分别是x 轴、y 轴上的点，双曲线y ＝（x ＞0）与矩形OABC 的边BC 、AB 分别交于E 、F ，若AF ：BF ＝1：2，则△OEF 的面积为（ ）
A．2 B．C．3 D．
9．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y＝与AB交于点D，与BC 交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）
A．B．+1 C．D．2
10．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y
＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S
平行四边形ABCD 为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，平面直角坐标系中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段
AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（）
A．B．C．6 D．12
二．填空题
13．反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足．
14．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．
15．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作?ABCD，使点B、C 在x轴上，点D在y轴上，则?ABCD的面积为．
16．如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l
1和l
2
．设点P在l
1
上，PC⊥x
轴，垂足为C，交l
2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l
2
于点B，则△PAB的面积为．
17．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y ＝（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．
18．如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3…△P n A n ﹣1A n …都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2…A n ﹣1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n ＝ ．
三．解答题
19．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，且点A
的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围．
20．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加热前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数解析式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
22．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y＝与OA边交于点E，连接OP．
（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，求直线AB和反比例函数y＝的解析式；
（2）如图2，若∠AOB＝60°，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若OE＝4，并且△OPC 的面积为，求反比例函数y＝的解析式及点P的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵﹣1×8＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错不合题意；
B、∵﹣2×4＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵反比例函数的比例系数为﹣1，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴y
1
最大，
∵1＜2，y随x的增大而增大，
∴y
2＜y
3
，
∴y
1＞y
3
＞y
2
．
故选：A．
3．解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．
故选：D．
4．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），∴1×5≤k≤4×5
即5≤k≤20，
故选：A．
5．解：∵图中阴影部分的面积等于16，
∴正方形OABC 的面积＝16， ∵P 点坐标为（4a ，a ）， ∴4a ×4a ＝16，
∴a ＝1（a ＝﹣1舍去）， ∴P 点坐标为（4，1）， 把P （4，1）代入y ＝，得
k ＝4×1＝4．
故选：C ．
6．解：∵OB ＝1，AB ⊥OB ，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上， ∴当x ＝﹣1时，y ＝2， ∴A （﹣1，2）．
∵此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置， ∴B 1（2，0）， ∴A 1（2，2）．
∵点A 1在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴k ＝4，
∴反比例函数的解析式为y ＝，O 1（3，0）， ∵C 1O 1⊥x 轴， ∴当x ＝3时，y ＝， ∴P （3，）． 故选：C ．
7．解：A 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四
象限，所以A 选项错误；
B 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四象限，
所以B 选项错误；
C 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，
所以C 选项错误；
D 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，
所以D 选项正确． 故选：D ．
8．解：设F 点的坐标为（t ，）， ∵AF ：BF ＝1：2， ∴AB ＝3AF ，
∴B 点坐标为（t ，）， 把y ＝代入y ＝得x ＝， ∴E 点坐标为（，），
∴△OEF 的面积＝S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF ＝t ?﹣×2﹣×2﹣?（﹣）?（t ﹣） ＝． 故选：B ．
9．解：设D （t ，），
∵矩形OGHF 的面积为1，DF ⊥x 轴于点F ， ∴HF ＝， 而EG ⊥y 轴于点G ， ∴E 点的纵坐标为，
当y ＝时，＝，解得x ＝kt ， ∴E （kt ，）， ∵矩形HDBE 的面积为2，
∴（kt ﹣t ）?（﹣）＝2， 整理得（k ﹣1）2＝2， 而k ＞0， ∴k ＝
+1．
故选：B ．
10．解：连结OA 、OB ，AB 交y 轴于E ，如图， ∵AB ∥x 轴， ∴AB ⊥y 轴，
∴S △OEA ＝×3＝，S △OBE ＝×2＝1， ∴S △OAB ＝1+＝，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴S 平行四边形ABCD ＝2S △OAB ＝5． 故选：D ．
11．解：作AC ⊥y 轴于C ，AD ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，它们相交于D ，如图， ∵A 点坐标为（1，2）， ∴AC ＝1，OC ＝2，
∵AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点， 即把△AOC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ABD ， ∴AD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，
∴B 点坐标为（3，1）， ∴k ＝3×1＝3． 故选：B ．
12．解：设反比例函数解析式为y ＝，一次函数解析式为y ＝ax +b ， 将点A （1，12）代入y ＝中，得k ＝12， ∴反比例函数解析式为y ＝
，
将点A （1，12）、B （6，2）代入y ＝ax +b 中， 得
，解得
，
∴一次函数解析式为y ＝﹣2x +14． 设点P 的坐标为（m ，14﹣2m ），
则S 四边形PMON ＝S 矩形OCPD ﹣S △OCM ﹣S △ODN ＝S 矩形OCPD ﹣|k |＝m （14﹣2m ）﹣12＝﹣2m 2+14m ﹣12＝﹣2
+
，
∴四边形PMON 面积的最大值是．
故选：A ．
二．填空题（共6小题） 13．解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，
则k +2＞0， 解得k ＞﹣2． 故答案为k ＞﹣2．
14．解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图， 设A 点坐标为（a ，），
∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为（﹣，a），
∵﹣?a＝﹣4，
∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．故答案为y＝﹣（x＜0）．
15．解：连结OA、CA，如图，
则S
△OAD
＝|k|＝×6＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴S
△CAD ＝S
△OAD
＝3，
∴?ABCD的面积＝2S
△CAD
＝6．
故答案为6．
16．解：∵点P在y＝上，
∴|x p|×|y p|＝|k|＝1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y＝﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y＝﹣上，
∴代入得：＝﹣，
解得：x＝﹣2a，
∴B的坐标是（﹣2a，），
∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝
故答案为：．
17．解：如图，设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，
∵A点的横坐标为1，A点在直线y＝x上，
∴A（1，1），
又∵AB ＝AC ＝2，AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，
∴B （3，1），C （1，3），且△ABC 为等腰直角三角形，
BC 的中点坐标为（，），即为（2，2），
∵点（2，2）满足直线y ＝x ，
∴点（2，2）即为E 点坐标，E 点坐标为（2，2）， ∴k ＝OD ×AD ＝1，或k ＝OF ×EF ＝4， 当双曲线与△ABC 有唯一交点时，1≤k ≤4． 故答案为：1≤k ≤4．
18．解：（方法一）如图，过点P 1作P 1M ⊥x 轴， ∵△OP 1A 1是等腰直角三角形， ∴P 1M ＝OM ＝MA 1， 设P 1的坐标是（a ，a ），
把（a ，a ）代入解析式y ＝（x ＞0）中，得a ＝3， ∴A 1的坐标是（6，0）， 又∵△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，
设P 2的纵坐标是b ，则P 2的横坐标是6+b ， 把（6+b ，b ）代入函数解析式得b ＝，
解得b ＝3
﹣3，
∴A 2的横坐标是6+2b ＝6+6﹣6＝6， 同理可以得到A 3的横坐标是6
，
A n 的横坐标是6
，
根据等腰三角形的性质得到y 1+y 2+…y n 等于A n 点横坐标的一半， ∴y 1+y 2+…y n ＝． 故答案为：
．
（方法二）设OA 1＝2a 1，A 1A 2＝2a 2，A 2A 3＝2a 3，…，A n ﹣1A n ＝2a n ，
∴A 1（2a 1，0），A 2（2a 1+2a 2，0），…，A n （2a 1+2a 2+…+2a n ，0）． ∵△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n ，…，都是等腰直角三角形，
∴y 1＝a 1，y 2＝a 2，y 3＝a 3，…，y n ＝a n ，x 1＝a 1，x 2＝2a 1+a 2，x 3＝2a 1+2a 2+a 3，…，x n ＝2a 1+2a 2+…+a n ，
∴y 1+y 2+…y n ＝OA n ．
∵P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴a 12＝9，（2a 1+a 2）a 2＝9，（2a 1+2a 2+a 3）a 3＝9，…，（2a 1+2a 2+…+a n ）a n ＝9， ∴a 1＝3，a 2＝3
﹣3，a 3＝3
﹣3
，…，a n ＝3
﹣3
，
∴y 1+y 2+…y n ＝a 1+a 2+…+a n ＝3+3﹣3+3﹣3
+…+3
﹣3
＝3
．
故答案为：
．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）由题意A （﹣2，4），B （4，﹣2）， ∵一次函数过A 、B 两点， ∴， 解得
，
∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +2；
（2）设直线AB 与y 轴交于C ，则C （0，2）， ∵S △AOC ＝×OC ×|A x |，S △BOC ＝×OC ×|B x | ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝?OC ?|A x |+?OC ?|B x |＝＝6；
（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜4．
20．解：（1）材料加热时，设y＝ax+15（a≠0），
由题意得60＝5a+15，
解得a＝9．
则材料加热时，y与x的函数关系式为y＝9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y＝（k≠0），
由题意得60＝，
解得k＝300．
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y＝（x≥5）；
（2）把y＝15代入y＝，得x＝20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
21．解：（1）把A（2，1）代入y＝，得：m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），
将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
则S
＝×1×1+×1×2＝；
△AOB
（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．22．解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
＝AF?BE＝×k（3﹣k），
∴S
△EFA
＝k﹣k2
＝﹣（k2﹣6k+9﹣9）
＝﹣（k﹣3）2+
当k＝3时，S有最大值．
S
＝．
最大值
23．解：（1）如图1，过点P作PQ⊥x轴交x轴于点Q，
∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+10．
∵点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，
∴PQ＝2，点P纵坐标为2．
∵点P在直线AB上﹣2x+10＝2，解得x＝4，
∴点P坐标为（4，2）
∴此反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，过点P作PS⊥x轴交x轴于点S，∵∠AOB＝60°，∠EFO＝90°，OE＝4，
∴OF＝2，EF＝2，
∴此反比例函数的解析式为y＝．
＝＝OC?PS，
∵S
△OCP
∴OC?PS＝3．
∵OS?PS＝4，
∴CS?PS＝．
∵∠AOB＝60°PC∥OA，
∴∠PCS＝60°，
∴PS＝CS，
∴CS＝1．
∴点P坐标为（4，）．