一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED＝BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD 6．下列命题的逆命题是假命题的是（）
A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等7．下列各命题中，假命题是（）
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
8．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
∠=∠，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且
9．如图，在ABC中，B C
=，BD CF
BE CD
=，若104
∠=?，则EDF
A
∠的度数为（）
A．24°B．32°C．38°D．52°
10．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为( )
A ．50°
B ．65°
C ．70°
D ．80° 11．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，D
E ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则
AC 长是（ ）
A ．2.5
B ．3
C ．3.5
D ．4 12．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL 二、填空题
13．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=?），其中30BAC ∠=?，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．
14．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．
15．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________
秒．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
17．已知点A、E、F、C在同一条直线l上，点B、D在直线l的异侧，若AB=CD，AE=CF，BF=DE，则AB与CD的位置关系是_______．
?，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若
18．如图，ABC ADE
∠=________?．
∠=?，10
B
120
∠=?，30
EAB
CAD
∠=?，则CFD
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．
三、解答题
21．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=?-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．
（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=?时，PA 和PB 的数量关系是______．
（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=?时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．
（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=?，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．
22．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
23．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ?∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．
（1）求证：AD AF =；
（2）求证：BD EF =．
24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．
25．已知在ABC 中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且
()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形
ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．
（1）求证：AO AB =；
（2）求证：AOC ABD ??≌；
（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，
∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，
∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，ABE CAF AB AC BAE FCA ∠=∠??=??∠=∠?
，
∴△ABE ≌△CAF （ASA ），
∴S △ABE =S △ACF ，
∴阴影部分的面积为S △ABE +S △CDF =S △ACD ，
∵S △ABC =30，
BD=12
DC ， ∴S △ACD =20，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．D
解析：D
【分析】
过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．
【详解】
解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，
BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，
'''MF F E ∴=，
'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．
三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102
CM ??=，
21054CM ?∴==． 即CF EF +的最小值为5，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ?????
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ??∠∠???
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．
【详解】
如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .
∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，
∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD
∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12
×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12
×OD×8＝12 OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明
△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，
∴DE ＝DC ，
A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；
在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ?∠=∠??∠=∠=??=?
，
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AD平分∠EDC，故C选项正确；
但∠ADE与∠BDE不一定相等，故B选项错误；
D、∵△ACD≌△AED，
∴AE＝AC，
∴ED+AC＝ED+AE＞AD（三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明
△≌△是解题的关键．
ACD AED
6．B
解析：B
【分析】
先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：B ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
易证ABD EBC ??≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ??≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，
∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：
∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE
EF EG =??=?
∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF ，
在△CEG 和△AFE 中EF EG
AE CE =??=?
∴△CEG ≌△AFE ，
∴ AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
9．C
解析：C
【分析】
根据题意可证明BDE CFD ≌，以及求解∠B 的度数，再由三角形的外角性质和全等三角形的性质推出∠EDF=∠B ，从而得出结果．
【详解】
在BDE 与CFD 中，
BE CD B C BD CF =??∠=∠??=?
∴()BDE CFD SAS ≌
∴∠BED=∠CDF ，
又∵∠B+∠BED=∠EDC=∠EDF+∠CDF ，
∴∠B=∠EDF ，
∵在BAC 中，∠A=104°，∠B=∠C ，
∴∠B=（180°-104°）÷2=38°，
∴∠EDF=38°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角性质，熟练证明全等并利用其性质进行推理演算是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据题意可证明ABE ACD ?，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出
DME ∠，继而求出BMD ∠．
【详解】
根据题意ABE ACD ?（SAS ），
∴30B C ∠=∠=?
∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠
∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=?+?+?=?
∴180********BMD DME ∠=?-∠=?-?=?
故选A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
作DH ⊥AC 于H ，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得12×2×AC+12
×2×4=7，于是可求出AC 的值． 【详解】
解：作DH ⊥AC 于H ，如图，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DH ⊥AC ， ∴DH=DE=2，
∵S △ABC =S △ADC +S △ABD ，
∴12×2×AC+12
×2×4=7， ∴AC=3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
12．C
解析：C
【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS ．
【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以O 为圆心，任意长为半径画弧，交AO 、BO 于点F 、E ，
②再分别以F 、E 为圆心，大于12
EF 长为半径画弧，两弧交于点M ， ③画射线OM ，射线OM 即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
二、填空题
13．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边
解析：12
【分析】
根据题意证明三角形全等即可得解；
【详解】
如图所示，
由题可知ABC ADC ?△△，
∴30BAC DAC ∠=∠=?，90ACB ACD ∠=∠=?，2BC BD ==，
∴60BAD ∠=?，180BCD ∠=?，
∴B ，C ，D 在一条直线上，
∵60B D ∠=∠=?，
∴△ABD 是等边三角形，
∴△ABD 的周长()33
12BD BC CD ==+=； 故答案是12．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 14．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴
解析：4
【分析】
根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．
【详解】
解：∵AB=6，BD=2
∴AD=AB-BD=6-2=4
∵//CE AB
∴∠BAC=∠FCE ，
在△ADE 和△CFE 中
BAC FCE AE CE
AED CEF ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ADE ≌△CFE
∴CF=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 15．5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全 解析：5
【分析】
根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM =
=米，再利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】
解：∵90CMD ∠=?，
∴90CMA DMB +=?∠∠，
又∵90CAM ∠=?，
∴90CMA C ?∠+∠=，
∴C DMB ∠=∠，
在 Rt ACM △和Rt BMD △中，
A B C DMB CM MD ∠=∠??∠=∠??=?
，
∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，
∴12BD AM ==米，
221210BM =-=（米），
∵该人的运动速度2m/s ，
他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．
16．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H 使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】
∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD
解析：4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=90?，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．
【详解】
∵ DC ⊥BC ，
∴ ∠BCD=90?，
∵ ∠ACB=120?，
∴ ∠ACD=30?，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD ，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
CD DH ADH BDC AD BD =??∠=∠??=?
，
∴ ΔADH ?ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A 到CD 的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在
解析：AB//CD
【分析】
先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】
解：∵AE=CF ，
∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC
在△ABF 和△CDE 中，
,,,AB CD AF EC BF DE =??=??=?
∴△ABF ≌△CDE （SSS ），
∴∠DCE=∠BAF ．
∴AB//CD ．
故答案为：AB//CD ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．
18．95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵ABC ADE
?，
∴()
12010255
BAC DAE
∠=∠=-÷=，
∴85
ACF BAC B
∠=∠+∠=，
∴18085
CFA ACF CAD
∠=-∠-∠=，
∴1808595
CFD
∠=-=．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
19．8cm或15cm【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时Rt△ABC≌Rt△QPA （HL）；②当P运动到与C点重合时Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）此时AP＝AC＝15cm【详解】解：①当P运动
解析：8cm或15cm
【分析】
分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．
【详解】
解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
AB QP BC PA
=
?
?
=
?
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝B＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，
AB PQ AC PA =??=?
， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），
即AP ＝AC ＝15cm ．
综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．
故答案为：8cm 或15cm ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
20．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴
解析：32°
【分析】
由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．
【详解】
解：∵DE ⊥AB ，
∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，
在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，
AD AD AE AC =??=?
， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），
∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，
∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，
∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．
故答案为：32°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．
三、解答题
21．（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC
【分析】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．
【详解】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=90°，
∴∠APB=90°，∠CPD=90°，
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠??=??∠=∠?
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（2）（1）中的结论还成立
理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，