椭圆性质第二定义及焦半径

2a,2b 的椭圆
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椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。
定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
l1
y
l2
Md
H
左准线
F1左焦点o
x a2
c
a F2
右焦点
x
右准线 2
x
c4
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
据题意，所求轨迹就是集合
I’
y
l
M
P={M|
MF
}
c
da
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为
4、椭圆离心率的两种表示方法：
e
c a
椭圆上任意一点P至焦点F的距离 P至与F对应的准线的距离
a a 准线方程为：
2
2
x 或 c
椭圆焦点在x轴
y c
椭圆焦点在y轴 5
5、
6
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例2、两焦点坐标分别为（0，-2），（0，2）
且经过点
3 2
,
5 2
的椭圆的标准方程是什么？
| PF2 | 2a | PF1 | 2a (ex0 a) a ex0
该公式的记忆方法为“左加右减”，即在a与ex0之间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”
号连接．
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焦半径公式
①焦点在x轴上时： │PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
1、椭圆 x2 y 2 1上一点到准线 x 11 与
11 7
2
到焦点（-2，0）的距离的比是
（B ）
( A) 2 11 (B) 11
11
2
(C ) 2 11
(D) 7 11 10
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆
的离心率是( C )
A 3
B 3
2
C 3
3
D 3
4
3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 则椭
准线方程是什么？
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设P(x0,y0)是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上的一点,F1(c,0),
F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点,我们把线段
PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.
| |
PF1 PM
| |
e
x0
| PF1 | ( a2
c
)
e
a2 | PF1 | e( x0 c ) ex0 a
椭圆的第二定义
1
例1：设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线
l：x
25 4
的距离的比是常数
4 5
，求点M的轨迹。
y
l
Md
H
o
F
x
2
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根
圆的方程是 ____________
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x2 y2 1 43
11
4. 解：
12
5、设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长 轴长是短轴长的4倍，且椭圆过点 P(2, 3 )，求
2
P点到左焦点和右准线的距离之比。
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