第1章 绪 论
§1.1 材料力学的任务与研究对象
·材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和
现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。
·材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。直至50～60年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。 ·信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础课。
构件：组成机械与结构的零构件。
理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。
材力：变形体力学，研究内力与变形
1. 材料力学任务
（1）构件设计基本要求
能力）（保持原有平衡形式的（抵抗变形能力）（抵抗破坏能力）稳定性刚度
强度
经济矛盾安全合理设计???
????
?
??)
( （2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律，为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。 2. 研究对象
(1) 构件按几何特征分类
体（三维同量级） 板（壳）（一维（厚度）很小） 杆（一维（长度）很大）
(2) 构件按受力分类
材料力学主要研究杆。杆常常是决定结构强度关键部件。（房屋承载：梁、柱；飞机：主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱---），“一根细杆打天下，学好压弯扭就不怕”（顺口溜，工作体会）。材料力学----------工程师知识结构的梁和柱。
§1.2 变形固体的基本假设
从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域，
从事的人不多，宇观力学研究天体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学行为。但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。
1.连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数。
2.均匀性假设：（晶粒在统计意义上是平均的）。
拉压：杆
扭转：轴 弯曲：梁
3.各向同性假设：沿各方向力学性能相同。
如图，（木材）A、B两点及其它点性能相同，材料均匀；A点在x和y方向性能不同，各向异性。
§1.3 外力及其分类
1. 外力（其它物体或构件的作用力，包括载荷与约束反力）
外力在理力中已经研究，理论力学（刚体静力学）一般只研究外力，它采用刚体模型，通过求解平衡方程，求解约束反力，解决了外力问题。
§1.4 内力、截面法和应力概念
（承受同样大小的力，细杆比粗杆易断，可见控制强度的是应力，即内力分布的集度或单位截面上的内力）
1. 内力与截面法
刚体静力学（理力），通过力系（外力）的简化与平衡，求得约束反力。
变形体力学，则要求计算内力，它是解决构件的强度、刚度与稳定性问题的基础。
内力：物体两部分之间的相互作用力。
截面法：由假想截面将杆件截开，即接触内部约束，相应内力得以显露。这样内
力转化为外力。内力通常是分布力，内力的合力亦简称内力，即内力常指内力的合力。
内力向截面形心简化（得一主矢量和主力矩），有6个内力分量：轴力（沿轴线的内力分量）N ，剪力（位于横截面内力分量）y Q ，
z Q ，扭矩（矢量沿轴线的内力矩分量）T ，弯矩（矢量位于横截面
的内力矩分量）y M ，z M 。力偶矢量方向按右手螺旋法则确定。
例1：均质杆，考虑自重，单位体积重γ，横截面积A ，求内力。
解：单位长度重为
γ=A q
沿坐标为处截开，取下段为研究对象，则力的平衡方称为
()03
1
=γ+-=∑l A qx x N F x ()??? ??
-γ=γ-=l x A l A qx x N 3131
()()l A l N l A N γ=γ-=3
2
310,
2. 正应力与剪应力
（在截面任一点周围去微小面积A ?，设其上内力F ?，则应力定义为(比较压强概
念)
应力A
F
p A ??=→?0lim ，类似于压强作用于表面。总应力p 的法向
分量σ(σ⊥垂直横截面)称为正应力；切向分量τ称为剪应力。
222τ+σ=p
单位：2
11m N Pa =，2
2
6
1101mm N m N MPa ==
§1.5 变形与应变
为了了解构件各点的应变状态，需要研究一点的应变
线变形（棱边长度的改变）
角变形（相邻直角边夹角的改变）
正应变：s
u
s ??=ε→?0lim
剪应变：γ（弧度），小变形：γ=γtg
第2章 拉压、压缩与剪切
§2.1 轴向拉压的概念与实例
在不同形式的外力作用下，杆件的变形与应力也相应不同。
（1）外力的合力沿轴线作用(偏离轴线、怎样处理?)
（2）内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。规定拉力为正，压力为负。 （3）变形：轴向伸缩
§2.2 横截面上的内力和应力
1. 轴力
通常规定拉力为正，压力为负（画轴力图的原则）。
N F F =
(1)
2. 轴力计算
采用截面法求轴力“三步法”：
（1）在需要求轴力的横截面处，假想地切开杆，任选切开后的一段杆为研究对象； （2）采用设正法，假定轴力为拉力，画受力图； （3）应用平衡方程求出该段的轴力。
0x
F
=∑
(2)
3. 轴力图
表示轴力沿轴线方向变换情况的图线称为轴力图。
平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示轴力，外正内负（或上正下负）。
做轴力图的三步：
（1）计算约束反力；
（2）分段计算轴力；
（3）参照轴力图的画法，画轴力图。
4. 拉压杆横截面上的应力
平面假设→应变均匀→应力均匀
A
N
=
σ或
A
P
=
σ(拉为正，压为负)
(3) §2.3 斜截面上的应力
设斜截面外法线与轴线正方向的夹角为α。
2
p cos cos
p sin cos sin
α
α
αα
?σ
=α=σα
?
?
τ=α=σαα
??
(4)
1
45
2
max
max
,
,
?σ=σα=
?
?
τ=σα=
??
(5) §2.4 材料拉压时的力学性能
1. 拉伸时的应力－应变图
标距l与实验段截面直径d的关系为：
105
115
l d l d
l.l.
==
??
?
==
??
或
(6)
构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。拉伸试验是最基本、最常用的试验。
拉伸图
绘图系统
放大变形传感器力传感器-
-→
→→
→
2. 低碳钢拉伸时的力学性能
（1）材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)
（2） 四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑）
（3）三(四个)特征点： 比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。弹性极限e σ与比例极限p σ接近，通常认为二者一样。 （4）材料在卸载与再加载时的力学行为
见前节图，冷作硬化(钢筋、链条)，加工硬化，提高比例极限。 （5）材料的塑性
材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力，称为材料的延性或塑性。
塑性指标： 延伸率%1000
??=
δl
l ，0l ?为残余变形。
%5≥δ塑性材料，延性材料；%5<δ脆性材料 断面收缩率%1001
?-=
ψA
A A
低碳钢Q235的断面收缩率≈ψ60%，%~%3025=δ。
问题：低碳钢的应力应变曲线如图所示。试在图中标出的D 点的弹性应变e ε、塑性应变p ε及延伸率δ。
3. 其它材料的力学性能
（1）一般金属材料的拉伸力学性能（见P19页）
(有些材料无明显屈服阶段，工程中通常以卸载后产生数值0.2%的残余应力作为屈服强度或名义屈服应力)，名义屈服应力：20.σ。 （2）脆性材料拉伸的力学性能 不存在屈服与局部变形阶段 铸铁，没有明显的直线段。
（3）复合材料与高分子材料的拉伸力学性能 复合材料，纤维增强，各向异性
高分子材料，从脆性到延伸率为500～600%的塑性。 随温度变化，从脆性→塑性→粘弹性
§2.5 材料压缩时的力学性能
脆性材料（铸铁）：压缩强度远大于拉伸
强度（3～4倍)，压缩+
-σ>>σb b ，只有强度极限，无屈服极限。
断口方位角约55
～60
，通常认为剪断。
塑性材料（低碳钢）：能拉断，但压不断，愈压愈扁，压成饼。
§2.6 温度和时间对材料力学性能的影响（略）
蠕变的概念
§2.7 失效、安全因子和强度计算
1. 失效与许用应力
A
N
=
σ(工作应力) (工作应力随外载变化。要判断构件是否失效，还要知道材料抵抗破坏的能力。)
脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形：
u mac
σ<σ 极限应力???σσ=σ塑
脆
s b u (极限应力是材料的强度指标)
工作应力的计算不可能绝对精确，材料也不可能有完全理
想。因此工作应力的最大允许值低于u σ。
许用应力[]n
u
σ=σ
1>n ，安全因数，0351..=
=b s n n ～0
52
2..(一般工程中)
2. 强度条件
[]σ≤???
??=σm ax
m ax
A N []σ≤A
N max
(7)
（1）求轴力
α=sin P N 1
α
-=tg P N 2
（2）求内力(A 1和A2为横截面积)
11
22P A sin P A tg ?
σ=?α??
?σ=-
?α?
（3）由
强度条件能解决的几类问题
校核强度
[]σ≤σ 选择截面尺寸
[]
N ,max
F A ≥
σ 确定承载能力
[]=A[]N F σ
§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
1. 拉压杆的轴向变形与胡克定律
E σ=ε
N F l l EA
?=
(8)
2. 拉压杆的横向变形与泊松比
10'
'
b b b b b E
?
?=-?
?ε=?
?
σ?ε=-με=-μ??
(9)
3. 叠加原理
几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。
§2.9 轴向拉伸或压缩时的应变能 §2.10 拉伸超静定问题 §2.11 温度应力和装配应力 §2.12 应力集中的概念
原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。
应力系中系数K ，名义应力n σ。 拉力为F ，板后为δ，板宽为b ，孔径为d 。
()max n n K F b d σ?=?σ?
?
?σ=?-δ?
1. 应力集中对构件强度的影响
塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静强度极限影响不大。
疲劳强度，应力集中影响
§2.13 剪切和挤压的实用计算
第3章 扭转
§3.1 概述
受扭杆通常称为轴。
工程实例：方向盘轴、传动轴。 (力学特征)
外力特征：力偶矩矢//杆轴。
变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1. 功率与扭力偶的关系
kW
n m r {}{}9549
{}P P M M n =ω?=
(1)
2. 扭矩与扭矩图
类似与轴力图，规定扭矩T 的矢量方向与外法线的方向一致时为正（右手螺旋法则）。
T M =
(2)
3. 解题步骤
参见171-172P 页例题：
（1） 计算扭力偶（外力偶）； （2） 分段计算扭矩（轴的内力）； （3） 画扭矩图。
§3.3 纯剪切
1. 薄壁圆管的扭转应力
在圆管横截面上的各点处，仅存在垂直于半径方向的切应力τ，而且它们沿圆周大小不变；管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚方向（半径方向）均匀分布。
精确分析表明：当100R t ≤时，上式具有足够的精度，误差不超过4.53%，此时，可以采用该式计算应力。
由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立，故公式(4-9)对于弹性、非弹性；大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。
222000
d 2T R R π
=δ=πδ?τθτ
20=2T R δ
πτ
(3)
2. 切应力互等定理
3. 切应变 剪切胡克定律
=G G 2(1μ)E ??
?=?+?
τγ (4)
各向同性材料只有两个相互独立的弹性常数；钢的剪切模量7580GPa G ~=，铝（铝合金）的剪切模量约为2630GPa G ~=。
4. 剪切应变能
2
122v G
εττγ==
( )
§3.4 圆轴扭转横截面上的应力
1. 扭转切应力的一般公式
变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然，根据本
假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形为横截面间相对转动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂直半径的剪切应变。
外部现象
各圆周线形状不变，仅绕轴线作相对转动； 小变形时，各圆周线的大小与间距均不改变； 小变形时，纵线转动一角度。
可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。
内部变形假定
根据所观测外部现象，对内部变形作如下假设：
平面假设：横截面绕轴
线作刚性转动。(横截
面仍保持为平面，其形状和大小均不改变，半径仍为直线)
各截面之间间距保持
不变。
（2）物理方面
τρ
?
ρ=G d dx
ρ为横截面上任一点到轴线的距离，ρτ为该点的剪应力。上式表明：扭转剪应力随ρ线性变化（如图示）0=ρ的点，
即原点处剪应力为0，轴边缘剪应力最大，半径为ρ圆圈上剪应力相同；剪应力垂直
半径。 (G ，
d dx
?
常数，τρ沿半径线性变化，τρ⊥半
径)
由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。
ρτρdA T A
?=
将物理方程代入上式，即将式(c)代入
G d dx dA T A ?ρ2?=
p GI T
dx d =
? I dA p =?ρ
2
极惯性矩
τρ
ρ=T I p
式中?=
A
p dA I 2
ρ
是一个纯几何量，称为截面的极惯性矩，由此式可以看出：p I 是与材料
力学性能无关的几何性质参数，只与截面几何尺寸有关。教材294给出了实心圆轴的即惯
性矩32
4
d I p π=
，空心圆轴()
44
32
d D I p -π=。应该指出的是：采用空心圆轴
能更充分地利用材料。
2. 最大扭转切应力
u max (
)[]=n
max p T
W ττ=≤τ
max p p
p p TR T I W I W R
?τ==???
?=?? (5)
§3.5 圆轴扭转时的变形
1. 圆轴扭转变形
微段dx 的扭转变形为
p
T
d dx GI φ=
()
相距l 的两横截面间的扭转角：
l p
p
T dx GI T l
GI φ=φ=?
()
2. 圆轴扭转刚度条件
max (
)[]p
d T dx GI φ=≤θ ()
3. 例题分析
§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
1. 弹簧丝横截面上的应力
max 3
8[]FD k
d ττπ=≤，410.61544c k c c -=+-，D
c d
= ()
2. 弹簧的变形
刚度4
3
64Gd C R n
= ()
例题3.6（参见93P 页）
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
矩形截面（宽b ，高h ）：
max 2
T
hb τα=
() 3t
Tl Tl G hb GI ?β==
对于狭长矩形，1
3αβ=≈，所以
max 2313
13T h Tl G h τδ?δ?
=
??
???
=
???
第1章 绪 论 §1.1 材料力学的任务与研究对象 ·材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和 现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。 ·材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。直至50～60年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。 ·信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础课。 构件：组成机械与结构的零构件。 理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。 材力：变形体力学，研究内力与变形 1. 材料力学任务 （1）构件设计基本要求 能力）（保持原有平衡形式的（抵抗变形能力）（抵抗破坏能力）稳定性刚度 强度 经济矛盾安全合理设计??? ???? ? ??) ( （2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律，为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。 2. 研究对象 (1) 构件按几何特征分类
体（三维同量级） 板（壳）（一维（厚度）很小） 杆（一维（长度）很大） (2) 构件按受力分类 材料力学主要研究杆。杆常常是决定结构强度关键部件。（房屋承载：梁、柱；飞机：主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱---），“一根细杆打天下，学好压弯扭就不怕”（顺口溜，工作体会）。材料力学----------工程师知识结构的梁和柱。 §1.2 变形固体的基本假设 从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域， 从事的人不多，宇观力学研究天体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学行为。但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。 1.连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数。 2.均匀性假设：（晶粒在统计意义上是平均的）。 拉压：杆 扭转：轴 弯曲：梁
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。 7－1 （a ） 0M()M x = '' 0EJ M y ∴= '0EJ M y x C =+ 201 EJ M 2 y x Cx D = ++ 边界条件: 0x =时 0y = ；' 0y = 代入上面方程可求得：C=D=0 201M 2EJ y x ∴= '01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l （b ）22 2()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2'' 21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+- 3'22 11EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+ 4 22311EJ 4624 qx y ql x qlx Cx D =-+-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；' 0y = 代入上面方程可求得：C=D=0 4 223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+- '2231111 =(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+- 3-1=6EJ B ql θ 4 -1=8EJ B y ql （c ）
()()() ()()0303 ''04 '05 0()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l x q x q l q l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x C l q y l x Cx D l -= -?? =--=-- ? ??∴=-=--+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；' 0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 5 0120q l D l = () 45 5 0002 32230120EJ 24EJ 120EJ (10105)120EJ q q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4 030EJ B q l y =- (d) '''223()EJ 1EJ 211 EJ 26 M x Pa Px y Pa Px y Pax Px C y Pax Px Cx D =-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；' 0y = 代入上面方程可求得：C=D=0 2 3'23 2 3 2 1 112611253262B C C B y Pax Px EJ y Pax Px EJ Pa Pa Pa y y a a EJ EJ EJ Pa EJ θθθ??∴= - ??? ?? ==- ???=+=+== g g
材料力学刘鸿文第六版 （1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。 （2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对刘鸿文主编的《材料力学》（第6版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。 （3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关考研真题，这些高校均以该教材作为考研参考书目。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。 目录 第1章绪论 1. 复习笔记 1.2 课后习题详解
1.3 名校考研真题详解 第2章拉伸、压缩与剪切2. 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解 第3章扭转 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解 第4章弯曲内力 4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解 第5章弯曲应力 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解 第6章弯曲变形 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解 第7章应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解第8章组合变形 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解第9章压杆稳定 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 名校考研真题详解
第10章动载荷 10.1 复习笔记 10.2 课后习题详解 10.3 名校考研真题详解 第11章交变应力 11.1 复习笔记 11.2 课后习题详解 11.3 名校考研真题详解 第12章弯曲的几个补充问题12.1 复习笔记 12.2 课后习题详解
第10章 动载荷 10.1 均质等截面杆，长为l ，重为W ，横截面面积为A ，水平放置在一排光滑的滚子上。杆的两端受轴向力F 1和F 2 的作用，且F 2＞F 1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设滚动摩擦可以忽略不计）。 图10-1 解：杆在已知力作用下有向右的加速度：21-==F F F a g m W 如图10-2所示，将杆沿x 截面断开，分析杆受力，可得轴力沿长度分布情况： ()2111-=+ =+g g N F F W x F x F a F x g l l 则正应力沿长度分布情况：。()()2111σ-??==+ ??? N F x F F x F x A A l 图10-2 10.2 长为l ，横截面面积为A 的杆以加速度a 向上提升。若材料单位体积的质量为ρ，试求杆内的最大应力。
图10-3解：如图 10-3（b ）所示，取长为x 的杆段进行受力分析：自重：，惯性力：根据平衡条件 ，可得： 故该截面上的应力： 由此可知，当时，有最大应力：。10.3 桥式起重机上悬挂一重量P ＝50 kN 的重物，以匀速度υ＝1 m/s 向前移（在图10-4中，移动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁为No.14工字钢，吊索横截面面积A ＝5×10-4 m 2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略不计。
图10-4 解：物体突然停止时，产生的向心加速度为： 由此产生的与加速度方向相反的惯性力为： 吊索内最大应力增量为：14 1275.5 2.55510σ?= ==?a F MPa A 梁内最大弯矩的增加量为：查型钢表得14号工字钢，则梁内最大应力增加量为：3102W cm =。 10.4 飞轮的最大圆周速度 υ＝25 m/s ，材料单位体积的质量为7.41×10 3 kg/m 3。若不计轮幅的影响，试求轮缘内的最大正应力。 图10-5解：假想沿过直径的面将圆环断开，则由平衡条件得： 其中，沿轴线均匀分布的惯性力集度： 则有： 轮缘内的最大正应力：。22327.411025 4.63ρσρ====??=d d F A v v MPa A A