基于MATLAB的平面连杆机构运动分析及动画
摘要
建立了平面机构运动分析的数学模型，利用MATLAB进行了编程并设计了计算交互界面进而求解，为解析法的复杂计算提供了便利的方法，此方法也同样适用于复杂平面机构的运动分析，并为以后机构运动分析的通用软件的设计提供了基础。
建立了平面四杆机构运动分析的数学模型，以MATLAB 程序设计语言为平台，将参数化设计与交互式相结合，设计了平面四杆机构仿真软件，该软件具有方便用户的良好界面，并给出界面设计程序，从而使机构分析更加方便、快捷、直观和形象。设计者只需输入参数就可得到仿真结果，再将运行结果与设计要求相比较，对怎样修改设计做出决策，它为四杆机构设计提供了一种实用的软件与方法。
以一种平面六连杆为例建立了平面多连杆机构的运动分析数学模型，应用MATLAB 软件进行了优化设计和仿真分析，为机构优化设计提供了一种高效、直观的仿真手段，提高了对平面多连杆机构的分析设计能力。同时，也为其他机构的仿真设计提供了借鉴。
关键词：解析法，平面连杆机构，MATLAB，运动分析，运动仿真
Based on the MATLAB Planar Linkage Mechanism Motion
Analysis and Animation
ABSTRACT
This article established the kinematical mathematic model of the planar mechanism ,which is programmed and solved with designing the mutual interface of the calculation by MATLAB.This convenient method is provided for the complicated calculation of the analysis and also applicable to the kinematical analysis of the complex planar mechanism.
A mathematical model of motion analysis was established in planar four- linkage ,and emulational software was developed. The software adopted MATLA
B as a design language. It combined parametric design with interactive design and had good interfacefor user. Thus,it was faster and more convenient to analyse linkage. The emulational result was obtained as soon as input parameters was imported and the devisers can make decision-making of modification by the comparing emulational result with design demand. It provides an applied software and method for linkage.
This paper took a planar six-linkage mechanism as a example to set up the mathematics model of planar multi-linkage mechanisms, and made the optimization design and simulation by the MATLAB software. It gave a efficiently and directly method to optimization design of mechanisms, and improved the ability of analyzing and designing the planar multi-linkage mechanisms. At the same time, it also provides a use for reference to the design and simulation for other mechanisms.
KEY WORDS: analysis, planar linkage mechanisms, MATLAB, kinematical analysis, kinematical simulation
目录
第1章前言 (1)
1.1 平面连杆机构的研究意义 (1)
1.2 平面连杆机构的研究现状 (1)
1.3 MATLAB软件介绍 (2)
1.3.1 MATLAB简介 (2)
1.3.2 MATLAB软件的特点 (4)
1.3.3 用MATLAB处理工程问题优缺点 (5)
第2章平面机构运动分析的复数矢量解 (7)
第3章平面四杆机构运动分析 (9)
3.1 铰链四杆机构曲柄存在条件 (9)
3.2 平面四杆机构的位移分析 (9)
3.3 平面四杆机构的速度分析 (14)
3.4 平面四杆机构的加速度分析 (15)
第4章基于MATLAB的平面四杆机构运动分析 (17)
4.1 基于MATLAB的平面四杆机构运动参数输入界面 (17)
4.2 基于MATLAB的平面四杆机构运动参数计算 (21)
4.3 基于MATLAB的平面四杆机构运动分析界面 (24)
4.4 基于MATLAB的平面四杆机构运动仿真 (27)
4.5 基于MATLAB的平面四杆机构运动参数清空及退出 (31)
第5章平面六杆机构运动分析 (33)
5.1 构建平面六杆机构数学模型 (33)
5.2 平面六杆机构的运动分析 (34)
5.2.1 曲柄导杆机构的运动分析 (34)
5.2.2 摆动滑块机构的运动分析 (37)
第6章基于MATLAB的平面六杆机构运动分析 (41)
6.1 基于MATLAB的平面六杆机构运动参数输入界面 (41)
6.2 基于MATLAB的平面六杆机构运动参数计算 (47)
6.3 基于MATLAB的平面六杆机构运动分析界面 (51)
6.4 基于MATLAB的平面六杆机构运动仿真 (54)
6.5 基于MATLAB的平面六杆机构运动参数清空及退出 (58)
结论 (60)
谢辞 (61)
参考文献 (62)
第1章前言
1.1 平面连杆机构的研究意义
机构运动分析是不考虑引起机构运动的外力的影响，而仅从几何角度出发，根据已知的原动件的运动规律（通常假设为匀速运动），确定机构其它构件上各点的位移、速度、加速度，或构件的角位移、角速度、角加速度等运动参数。无论是分析研究现有机械的工作性能，还是优化综合新机械，机构运动分析都是十分重要的。
通过对机构的位移和轨迹分析，可以考察某构件能否实现预定的位置、构件上某点能否实现预定的轨迹要求，可以确定从动件的行程或所需的运动空间，据此判断运动中是否发生碰撞干涉或确定机构的外形轮廓尺寸。
通过速度和加速度分析可以了解机构从动件的速度、加速度的变化规律能否达到工作要求。
而在本设计课题中通过对机构的速度和加速度分析，就可以在设计铰链四杆机构时保证构件间相对运动部分的单位面积上的压力较小，并且低副的构造便于润滑，摩擦磨损较小，寿命长，保证传递较大的动力；也可以在设计牛头刨床的导杆机构时保证刨刀在切削过程中接近于等速运动，从而保证加工质量和延长刀具寿命；此外还保证了刀具的急回性能，从而提高了生产率。
1.2 平面连杆机构的研究现状
在机构设计过程中，结构综合起着重要作用。把杆组看作是机构结构的单元，这个创始意念是前苏联机构学家阿苏尔所得出的，他的观点是每一个机构都是由机架、主动构件以及一个或若干个基本杆组所组成。这个结构逻辑的识别，使设计者通过清楚的杆组类型的识别与机构结构联系起来。前苏联阿尔列夫斯基院士根据杆组的类型提出了机构分类的方法（阿氏分类法），此方法迄今仍为国际上通用。
用一定数目的构件及运动副的配置以组成一定自由度的运动链，这一工作称为运动链及机构的结构类型综合，亦称之为数综合。
目前已解决的机构及运动链的型综合问题，为单自由度机构及多自由度机构的结构类型以及与之相应的杆组结构类型。型综合理论已进展到含复合铰链及高副的平面机构。空间机构的型综合尚研究得不够，仅有P、H、R副单闭链空间机构的若干类型。
如何在型综合所得结果中选择所需要的类型，即选型问题在机构设计中是很重要的。改进现有机构、创新新机构是产品设计更新中的关键措施，对于消化引进设备亦起着重要的作用。这需要进行大量的调查研究及关于机构结构方案设计理论分析，需要丰富的设计实践与专家知识相结合。
例如，人们所熟知的内燃机中的机构是曲柄连杆机构，一百多年前开始研究用摆盘式发动机，出现了上百种方案设计的专利，最后选择了一种双回路机构，这种机型结构紧凑，活塞侧推力小，惯性载荷易于平衡，因而近年应用于水下运载体、航空、发电等设计中。
而平面机构的运动分析是机构学中最基本、最典型的运动分析之一，进行机构运动分析是设计机构、研究机构的速度和加速度的变化规律以及进行受力分析的基础。而平面机构的运动分析，常采用解析法和图解法，图解法直观、方便，但精度低；解析法虽计算复杂，但精度高。随着计算机软硬件的快速发展，解析法在进行更高层次的理论研究中得到了更广泛的应用。
1.3 MATLAB软件介绍
1.3.1MATLAB简介
随着科学研究的不断深入，以及工程应用不断朝着专业化、精确化方向发展，科研工作者以及工程技术人员对计算机技术的要求也越来越高。面对越来越繁重的科学以及工程计算任务，虽然用传统的c或Fortran语言也能完成任务，但是程序设计者所承担的编程工作是极为繁重的，而且要求程序设计者对算法有比较深入的理解，这就使工作人员不得不将大量的时间和精力放在与研究课题关系不大的计算编程上来。为了减轻科技工作
者的压力，使工作人员将时间和精力更多的放在建立模型等关键性的工作中，许多公司相继开发了一系列的数学应用软件，如MATHEMATICA、Maple、MATHCAD以及MATLAB等，其中MATLAB以其强大的功能和极高的编程效率吸引了众多的用户。
MATLAB 是MATRIX LABORATORY（“矩阵实验室”）的缩写，是由美国MATHWORKS 公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的，功能强大、操作简单的语言。是国际公认的优秀数学应用软件之一。
20世纪80年代初期，Cleve Moler与John Little等利用C语言开发了新一代的MATLAB语言，其开发环境如图1-1所示，此时的MATLAB语言已同时具备了数值计算功能和简单的图形处理功能。1984年，Cleve Moler与John Little等正式成立了MATHWORKS公司，把MATLAB语言推向市场，并开始了对MATLAB工具箱等的开发设计。1993年，MATHWORKS公司推出了基于个人计算机的MATLAB 4.0版本，到了1997年又推出了MATLAB 5.X版本（Release 11），并在2000年又推出了最新的MATLAB 6版本（Release 12）,如今，MATLAB7.0已经问世。
图1-1 MATLAB开发环境
现在，MATLAB已经发展成为适合多学科的大型软件，在世界各高校，
MATLAB已经成为线性代数、数值分析、数理统计、优化方法、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。特别是最近几年，MATLAB在我国大学生数学建模竞赛中的应用，为参赛者在有限的时间内准确、有效的解决问题提供了有力的保证。
1.3.2 MATLAB软件的特点
MATLAB是一种高度集成化的科学计算环境，是集数值计算和图形处理等功能于一体的工程计算应用软件。MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理和仿真模拟等功能。MATLAB 能够很好的帮助工程师及科学家解决实际问题，它经过20多年来的不断完善和改进，已经成为公认的优秀的数学应用软件之一。
概括地讲，整个MATLAB系统由两部分组成，即MATLAB内核及辅助工具箱，两者的调用构成了MATLAB的强大功能。MATLAB语言以数组为基本数据单位，包括控制流语句、函数、数据结构、输入输出及面向对象等特点的高级语言，它具有以下主要特点：
（1）MATLAB的程序设计语言编程效率较高，运算符和库函数极其丰富，语言简洁，编程效率高，MATLAB除了提供和C语言一样的运算符号外，还提供广泛的矩阵和向量运算符。利用其运算符号和库函数可使其程序相当简短，两三行语句就可实现几十行甚至几百行C或FORTRAN的程序功能，从而极大的简化了线性运算，而线性运算是整个数值计算的基础，所以以矩阵作为基本语言要素可以提高数值计算的编程效率。MATLAB本身拥有丰富的库函数，并具有结构化的流程控制语句和运算符，用户可以在使用的过程中方便自如的使用。
（2）既具有结构化的控制语句（如for循环、while循环、break语句、if语句和switch语句），又有面向对象的编程特性。
（3）图形功能强大。它既包括对二维和三维数据可视化、图像处理、动画制作等高层次的绘图命令，也包括可以修改图形及编制完整图形界面的、低层次的绘图命令。
（4）功能强大的工具箱。工具箱可分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功
能、文字处理功能以及与硬件实时交互的功能。而学科性工具箱是专业性比较强的，如优化工具箱、统计工具箱、控制工具箱、小波工具箱、图象处理工具箱、通信工具箱等。
（5）易于扩充。除内部函数外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可修改源文件和加入自己的文件，它们可以与库函数一样被调用。
当然，任何事物都不是十全十美的。与C、Fortran等传统的程序设计语言相比，MATLAB的程序设计语言的一个显著缺点即使循环代码执行效率较低，这是与其执行方式直接相关的。MATLAB编写的程序在应用的过程中为解释执行，既不需要编译生成也不生成可执行文件，而是解释一句，执行一句，其速度是可想而知的了。当然这个问题也不是不可以解决的，由于MATLAB以矩阵作为基本的程序设计语言要素，对于在c、Fortran 的那个编程语言中需要使用循环来解决的问题，MATLAB程序设计语言中巧妙的利用矩阵的特点，就可以避免使用循环代码。所以，通过对MATLAB 的深入学习，提高编程技巧，完全可以做到扬长避短，并充分发挥MATLAB 语言的强大功能。
目前，MATLAB已经成为国际上公认的优秀数学应用软件之一。
1.3.3 用MATLAB处理工程问题优缺点
MATLAB是MATHWOTKS公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便、界面友好的用户环境。它还包括了TOOLBOX(工具箱)的各类问题的求解工具，可用来求解特定学科的问题。其特点是：（1）可扩展性：MATLAB最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立指定功能的M文件。对于一个从事特定领域的工程师来说，不仅可利用MATLAB所提供的函数及基本工具箱函数，还可方便地构造出专用的函数，从而大大扩展了其应用范围。当前支持MATLAB的商用Toolbox(工具箱)有数百种之多。而由个人开发的Toolbox则不可计数。
（2）易学易用性：MATLAB不需要用户有高深的数学知识和程序设计能力，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。
（3）高效性：MATLAB语句功能十分强大，一条语句可完成十分复杂的任务。如FFT语句可完成对指定数据的快速傅立叶变换，这相当于上百条C语言语句的功能。它大大加快了工程技术人员从事软件开发的效率。据MATHWOKS公司声称，MATLAB软件中所包含的MATLAB源代码相当于70万行C代码。
由于MATLAB具有如此之多的特点，在欧美高等院校，MATLAB已成为应用于线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；在研究单位、工业部门，MATLAB也被广泛用于研究和解决各种工程问题。当前在全世界有超过40万工程师和科学家使用它来分析和解决问题。
然而MATLAB自身所存在的某些缺点限制了它的应用范围：
（1）MATLAB是一种解释性语言，因此它的实时效率是相当差的。
（2）MATLAB程序不能脱离其环境运行，因为MATLAB不是计算机语言，而如今它已经可以进行编译，但是还不太方便。
第2章 平面机构运动分析的复数矢量解
如图2-1复数矢量的单位矢量
11sin cos 1θθθi e i +=
（2-1） 矢量
y x i ia a i a ae a 1111)sin (cos 1+=+==θθθ
（2-2） 式中 a ——矢量1a
的模；
1θ——矢量1a
的方向角；
x a 1——矢量1a
在实轴上的投影；
y a 1——矢量1a
在虚轴上的投影。
i у
图2-1 复数矢量
矢量
)
(111111)]sin()[cos(j i j j jy jx j ae i a ia a a θθθθθθ+=+++=+=
（2-3） 设j 1θ=90 ，则有
)]90sin()90[cos(11)90(1
+++==+θθθi a ae a i j
=]cos sin [11θθi a +-
=a i ]sin [cos 11θθi +
=a i 1θi e
（2-4）
设 1801=k θ，则有
)]180sin()180[cos(11)180(1 +++==+θθθi a ae a i k
=]cos sin [11θθi a --
=-a i 1θi e （2-5）
这说明某复数矢量逆时针方向回转 90所得新矢量等于原矢量乘虚数i ，回转 180所得新矢量等于原矢量的反方向。这也说明了12-=i 的意义。
如图2-2复数矢量对时间求导
θθθθi i i e r ie r re dt
d +=)()( （2-6） 上式中右侧第一项表示P 点的切向速度，而第二项表示P 点的径向速度。
i у
O 图2-2 复数矢量对时间求导
将式（2-6）对时间再求导
])[()(22θθθθi i i e r ie r dt d re dt
d += θθθθθθi i i i
e r e r
ie r r )()()(2 +++-= （2-7） 此式中右侧第一、三项是沿径向的加速度，第二、四项是沿切向的加速度。如果P 点为滑块上的点，该滑块沿导杆OP 移动，则前两项为点P 的牵连项新加速度和切向加速度。第三项为点P 对导杆的相对加速度，最后一项为哥氏加速度。
第3章 平面四杆机构运动分析
3.1 铰链四杆机构曲柄存在条件
在铰链四杆机构中，允许两连接构件作相对整周旋转的转动副称为整转副。曲柄是以整转副与机架相连的连架杆，而摇杆则不是整转副与机架相连的连架杆。铰链四杆机构3种基本形式的根本区别在于两连架杆是否为曲柄。而两连架杆是否为曲柄又与各杆长度有关。归纳起来铰链四杆机构有一个曲柄的条件是：
（1） 最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆长度之和。
（2） 最短杆为连架杆。
由于平面四杆机构的自由度为1，故无论哪杆为机架，只要已知其中一个可动构件的位置必相应确定。因此，可以选任一杆为机架实现完全相同的相对运动关系，这称为运动的可逆性。利用它可在1个四杆机构中选取不同的构件作机架，以获得输出构件与输入构件间不同的运动特性。这一方法称为连杆机构的倒置。
可用以下方法判别铰链四杆机构的基本类型：
（1） 若机构满足杆长之和条件，则：
① 以最短杆的邻边为机架时为曲柄摇杆机构；
② 以最短杆为机架时为双曲柄机构；
③ 以最短杆的对边为机架时为双摇杆机构。
（2） 若机构不满足杆长之和的条件则只能成为双摇杆机构。
3.2 平面四杆机构的位移分析
以图3-1为例构建平面四杆机构的数学模型，对曲柄摇杆机构已知曲柄1长度1l 、连杆2长度2l 、摇杆3长度3l 和机架4长度4l ，及其原动件1的方向角1φ，由原动件1以角速度1w 做匀速转动，则其角加速度01=a ，现需求该曲柄摇杆机构在图示位置时对应的连杆2的角位移2φ、角速度2
w
和角加速度2a ，及其对应的摇杆3的角位移3φ、角速度3w 和角加速度3a 。
A
i у
图3-1 平面四杆机构运动简图
为便于解析，建立如图2-1所示的直角坐标系，其中曲柄AB 长度为1l 、连杆BC 长度为2l 、摇杆CD 长度为3l 和机架DA 长度为4l ，及其原动件AB 的方向角为1φ，且原动件AB 以角速度1w 做匀速转动，则其角加速度01=a 。
根据机构各杆所构成的封闭矢量形，可写出矢量方程式：
0=+++→
→→→DA CD BC AB 用复数矢量可表示为：
04321321=+++πφφφi i i i e l e l e l e l （3-1）
写成两个分量形式的代数式为：
?
??=++=-++0sin sin sin 0cos cos cos 3322114332211φφφφφφl l l l l l l （3-2） 对方程组(3-2)整理得：
?
??+-=+-=)sin sin (sin )cos cos (cos 3311223311422φφφφφφl l l l l l l （3-3） 则由方程组（3-3）中两等式平方相加得：
233112331142
2)]sin sin ([)]cos cos ([φφφφl l l l l l +-++-=
+++--=3131122134314124cos cos 2cos cos 2cos 2φφφφφl l l l l l l l
32331311213223sin sin sin 2sin cos φφφφφl l l l l +++
3131341131412
42321sin sin 2cos )cos (2cos 2φφφφφl l l l l l l l l l +-+-++=
（3-4）
对式（3-4）整理得： 341133121cos )cos (2sin sin 2φφφφl l l l l -+
1412
4232122cos 2φl l l l l l +---= （3-5） 令
121sin 2φl l E =
)cos (24113l l l F -=φ
1412
4232122cos 2l l l l φl l G +---=
则式（3-5）可化为：
G F E =+33cos sin φφ
（
3-6） 又 ??
?
??+?
?
? ??=2tan 12tan 2sin 3233φφφ ??
?
??+??
?
??-=2tan 12tan 1cos 32323φφφ
则代入式（3-6）中得：
E ??? ??+??? ??2tan 12tan 2323φφ
F +??
?
??+?
??
??-2tan 12tan 13232φφG = ???
??+=???
??-+??? ??2tan 2tan 2tan 232323φφφG G F F E G F E G F -=???
??-??? ??+2tan 22tan )(3
32φφ G F G
F G F E +-=??? ??+-???
??2tan 22tan 3
32φφ
G F G F G F E G
F E +-+??? ??+=+-??? ??2
23)2(tan φ ()222223)2(tan G F G F E G F E +-+=+-??? ??φ G F G F E E +-++=??
? ??2
2232tan φ ???
? ??+-++=G F G F E E 2223arctan 2φ 又因如图3-1，摇杆3的方位角3φ为钝角，而反正切函数的值域是从2π
-到2
π，则摇杆3的方位角3φ为： ???
? ??+-++-=G F G F E E 2223arctan 2πφ （3-7） 求连杆2的方位角2φ，对方程组（3-2）整理得：
?
??+-=+-=)sin sin (sin )cos cos (cos 2211332211433φφφφφφl l l l l l l （3-8） 则由方程组（3-8）中两等式平方相加得：
222112221142
3)]sin sin ([)]cos cos ([φφφφl l l l l l +-++-=
+++--=2121122124214124cos cos 2cos cos 2cos 2φφφφφl l l l l l l l
22221211212222sin sin sin 2sin cos φφφφφl l l l l +++
212124112141242221sin sin 2cos )cos (2cos 2φφφφφl l l l l l l l l l +-+-++=
（3-9）
对式（3-9）整理得： 0cos 2cos )cos (2sin sin 21412
3242221241122121=--+++-+φφφφφl l l l l l l l l l l
（3-10）
令 121sin 2φl l A =
)cos (24112l l l B -=φ
1412
3242221cos 2l l l l φl l C --++=
则式（3-10）可化为：
0cos sin 22=++C B A φφ （3-11）
又 ??
? ??+??? ??=2tan 12tan 2sin 2222φφφ ??
? ??+??? ??-=2tan 12tan 1cos 22222φφφ 则代入式（3-11）中得：
A ??? ??+??? ??2tan 12tan 2222φφ
B +??
? ??+??? ??-2tan 12tan 12222φφ0=+C 02tan 2tan 2tan 222222=??
? ??++??? ??-+??? ??φφφC C B B A C B A C B +=??
? ??-??? ??-2tan 22tan )(222φφ C B C B C B A -+=??
? ??--??? ??2tan 22tan 222φφ C B C B C B A C
B A -++??? ??-=--??? ??2
22)2(tan φ ()222222)2(tan C B C B A C B A --+=--??? ??φ C B C B A A --++=??
? ??2
2222tan φ ???
? ??--++=C B C B A A 2222arctan 2φ
又如图3-1，连杆2的方位角2φ为锐角，而反正切函数的值域是从2
π
-到2
π，则连杆2的方位角2φ为： ???
? ??--++=C B C B A A 2222arctan 2φ （3-12）
3.3 平面四杆机构的速度分析
由第二节知，原动件AB 以角速度1w 做匀速转动，设连杆BC 的角速度为2w 、摇杆CD 的角速度为3w ，则由式（3-1）对时间求导得：
0321332211=++φφφi i i ie w l ie w l ie w l （3-13）
对式（3-13）中，每项乘以2φi e -得：
()()023*********=++--φφφφi i i ie w l ie w l ie w l
+++-+-)0sin 0(cos )]sin()[cos(22212111i i w l i i w l φφφφ
0)]sin()[cos(232333=-+-φφφφi i w l
)sin()cos()cos()sin(233323332221112111=---++-+--φφφφφφφφw l i w l i w l i w l w l （3-14）
在式（3-14）中取实部得：
0)sin()sin(23332111=----φφφφw l w l
12113323)sin()sin(w l w l φφφφ-=-
)
sin()sin(3232111
3φφφφ--=l l w w 即摇杆CD 的角速度为3w 为： )
sin()sin(32321113φφφφ--=l l w w （3-15） 求连杆BC 的角速度2w ，对式（3-15）中，每项乘以3φi e -得：
()0033)(22113231=++--i i i ie w l ie w l ie w l φφφφ
+-+-+-+-)]sin()[(cos()]sin()[cos(323222313111φφφφφφφφi i w l i i w l
0)0sin 0(cos 33=+i i w l
)sin()cos()cos()sin(333222322231113111=+---+-+--i w l w l i w l i w l w l φφφφφφφφ （3-16）
在式（3-16）中取实部得：
0)sin()sin(32223111=----φφφφw l w l
13112232)sin()sin(w l w l φφφφ-=-
)
sin()sin(2323111
2φφφφ--=l l w w 即连杆BC 的角速度为2w 为： )
sin()sin(2323111
2φφφφ--=l l w w （3-17） 3.4 平面四杆机构的加速度分析
综上所述，原动件AB 以角速度1w 做匀速转动，则其角加速度01=a ，设连杆BC 的角加速度为2a 、摇杆CD 的角加速度为3a ，则由式（3-13）对时间求导得：
03322112
33332222221111=-+-+-φφφφφφi i i i i i e w l ie a l e w l ie a l e w l ie a l （3-18） 对式（3-18）中，每项乘以3φi e -得： 0
02
33033)(222)(22)(211)(1132323131=-+-+-----i i i i i i e w l ie a l e w l ie a l e w l ie a l φφφφφφφφ+-+---+-)]sin()[cos()]sin()[cos(3131211313111φφφφφφφφi w l i i a l
+-+---+-)]sin()[cos()]sin()[cos(3232222323222φφφφφφφφi w l i i a l
0)0sin 0(cos )0sin 0(cos 23333=+-+i w l i i a l （3-19）
在式（3-19）中取实部得： 0)cos()sin()cos()sin(233322223222312113111=---------w l w l a l w l a l φφφφφφφφ 2
3332222312112322)cos()cos()sin(w l w l w l a l -----=-φφφφφφ )
sin()cos()cos(232233322223121
12φφφφφφ-+-+-=l w l w l w l a 即连杆BC 的角加速度为2a 为：
)sin()cos()cos(2322
33322223121
12φφφφφφ-+-+-=l w l w l w l a
（3-20）
求摇杆CD 的角加速度3a ，对式（3-18）中，每项乘以2φi e -得：
)(2
33)(330222022)(211)(1123232121=-+-+-----φφφφφφφφi i i i i i e w l ie a l e w l ie a l e w l ie a l +-+---+-)]sin()[cos()]sin()[cos(2121211212111φφφφφφφφi w l i i a l
++-+)0sin 0(cos )0sin 0(cos 22222i w l i i a l
0)]sin()[cos()]sin()[cos(2323233232333=-+---+-φφφφφφφφi w l i i a l
（3-21）
在式（3-21）中取实部得： 0
)cos()sin()cos()sin(232
332333222212112111=---------φφφφφφφφw l a l w l w l a l )cos()cos()sin(232
33222212113233φφφφφφ-++-=--w l w l w l a l
)
sin()cos()cos(322232332222121
13φφφφφφ--++-=l w l w l w l a 即摇杆CD 的角加速度3a 为： )
sin()cos()cos(322232
332222121
13φφφφφφ--++-=l w l w l w l a （3-22）