福州市人教版八年级上册数学第十三章轴对称讲义一
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人教版八年级数学上册13.1.1《轴对称》说课稿一. 教材分析《轴对称》是人教版八年级数学上册第13章第1节的内容。
这部分内容主要介绍了轴对称的概念、性质以及应用。
教材通过丰富的实例,引导学生探索轴对称图形的特征,从而培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
本节课的内容是学生进一步学习几何图形的基础,对学生的数学思维发展具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
他们对生活中的对称现象有一定的了解,但可能没有系统地学习过轴对称的概念。
因此,在教学过程中,我需要关注学生的认知基础,通过引导他们观察、操作、交流,帮助他们建立轴对称的概念,并深入理解其性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生理解轴对称的概念,掌握轴对称图形的性质,能运用轴对称解决一些简单问题。
2.过程与方法目标:通过观察、操作、交流,培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点:轴对称的概念及其性质。
2.教学难点:轴对称性质的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法,引导学生主动探索、积极思考。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物模型、几何画板等,辅助教学,提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课:通过展示一些生活中的对称现象,如剪纸、建筑等,引导学生关注对称现象,激发学生的学习兴趣。
2.探索新知:学生进行观察、操作、交流,引导学生发现轴对称的性质。
3.归纳总结:教师引导学生总结轴对称的概念和性质。
4.巩固练习:设计一些具有针对性的练习题,让学生运用所学知识解决问题。
5.拓展延伸:引导学生思考轴对称在实际生活中的应用,激发学生的创新意识。
七. 说板书设计板书设计如下:•概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
定 义示例剖析轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.如图,等腰三角形ABC △是轴对称图形.注:在理解轴对称图形时.应注意以下几点:(1)一个图形被对称轴分成两部分,对折后能重合(即全等),这样的图形是轴对称图形.常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等.(2)轴对称图形的对称轴是一条直线..,不是射线也不是线段,在叙述时应注意.(3)轴对称图形的对称轴条数至少有一条.否则不是轴对称图形.有的轴对称图形的对称轴条数是有限的.还有的有无限多条对称轴.两个图形轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.如图,ABC △与'''A B C △关于直线l 对称,l 叫做对称轴.A 和'A ,B 和'B ,C 和'C 是对称点. 注:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.轴对称的性质:1.关于一条直线轴对称的图形全等; 2.对称点连成的线段被对称轴垂直平分.模块一 轴对称图形的认识与应用知识导航知识互联网3轴对称初步【例1】 ⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )A B C D⑵ 在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC 和△DEF ,且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF . ⑶ 正六边形是轴对称图形,它有 条对称轴. ⑷ 下列图形中对称轴最多的是( )A .圆B .正方形C .等腰三角形D .线段 ⑸ 判断下列图形是否为轴对称图形?如果是,说出它有几条对称轴.⑹ 已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线l 对称,AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ,下面四个结论:①AB =A ′B ′;②点P 在直线l 上;③若A 、A ′是对应点,则直线l 垂直平分线段AA ′;④若B 、B ′是对应点,则PB =PB ′,其中正确的是( ) A .①③④ B .③④ C .①② D .①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中,E 点在AD 上,且∠ABE =30°.分别以BE 、CE 为折线,将A 、D 向BC 的方向折过去,图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图.若图2中,∠AED =15°,则∠BCE 的度数为( )A .30°B .32.5°C .35°D .37.5°⑵如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是( ) A .① B .② C .③ D .④ ⑶ 已知30AOB ∠=°,点P 在AOB ∠内部,1P 与P 关于OB 对称,2P 与P 关于OA 对称,则1P ,O ,2P 三点确定的三角形是( )A .直角三角形B .钝角三角形C .腰底不等的等腰三角形D .等边三角形定 义示例剖析夯实基础能力提升知识导航模块二 线段的垂直平分线线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也称之为中垂线.EDC BA 如图,若AC BC =,AB CD ⊥,则直线DE 是线段AB 的垂直平分线.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.EDC BA如图,已知直线DE 是线段AB 的垂直平分线,则DA DB =.线段的垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.EDC BA如图,若DA DB =,则点D 在线段AB 的垂直平分线上.【例3】 ⑴ 如何用圆规与直尺作线段AB 的垂直平分线?⑵ 证明:线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(线段垂直平分线的性质).⑶ 证明:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定).【例4】 ⑴ 如下图1,在△ABC 中,DE 是AC 的中垂线,AE =3cm ,△ABD 得周长为13cm ,则△ABC 的周长是 .⑵ 如下图2,BD 垂直平分线段AC ,AE ⊥BC ,垂足为E ,交BD 于P 点,PE =3cm ,则P 点到直线AB 的距离是 .⑶ 如下图3,在ABC △中,90A ∠=︒,:2:3ABD DBE ∠∠=,DE BC ⊥,E 是BC 的中点,求C ∠的度数.【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ,⑴若BC =8,求△ADE 的周长;夯实基础能力提升A⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒,求BAC ∠.定 义示例剖析角平分线的性质定理:在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等.DFEO CBA如图,若射线OC 是∠AOB 的角平分线,则DE=DF .角平分线的判定定理:在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.DFEO CBA如图,若DE=DF ,则OC 是∠AOB 的角平分线. 角平分线的两种基本模型1. 点垂线,垂两边,对称全等要记全A BCDO12E已知:12∠=∠,CD OA ⊥,作CE OB ⊥于E ,则OCD OCE △≌△.2.角平分线+平行线,等腰三角形必呈现321OD CBA已知:12∠=∠,CD OB ∥交OA 于D ,则ODC △为等腰三角形(即OD CD =).【教师铺垫】证明:⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(角平分线的性质定理). ⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上(角平分线的判定定理).⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点.(此点称之为三角形的内心).⑷ 三角形的内心到三边的距离相等.(三角形内心性质). 模块三 角平分线性质及常见辅助线模型(一)知识导航夯实基础CPBANM O ANM【例6】 ⑴ 如图,已知ABC △的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且3OD =,求ABC △的面积. ⑵ 如图所示,2AB AC =,1∠2=∠,DA DB =. 求证:DC AC ⊥.【例7】 如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ,求证: ⑴∠EAD =∠EDA ;⑵DF ∥AC ; ⑶∠EAC =∠B .能力提升21ADC BABCD EFOG O DCBA训练1. D 为BC 中点,DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ,EF AB ⊥于F ,EG AC ⊥于G .求证:BF CG =.训练2. 已知:如图,ABC ∠及两点M 、N .求作:在平面内找一点P ,使得PM PN =,且P点到ABC ∠两边所在的直线的距离相等.训练3. 如图,在ABC △中,BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠.DE AB FD AC ∥,∥.如果6BC =,求DEF △的周长.训练4. 已知:如图,在POQ ∠内部有两点M 、N ,MOP NOQ ∠=∠.⑴ 画图并简要说明画法:在射线OP 上取一点A ,使点A 到点M 和点N 的距离和最小;在射线OQ 上取一点B ,使点B 到点M 和点N 的距离和最小;⑵ 直接写出AM AN +与BM BN +的大小关系.知识模块一 轴对称图形的认识与应用 课后演练【演练1】 ⑴ 下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其他三个不同?请指出这个图形,并简述你的理由.答:图形__________;理由是__________. ⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴:⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标,它有( )条对称轴.A .1B .2C .3D .4⑷ 下列图形中,不是轴对称图形的是( ).A .角B .等边三角形C .线段D .不等边三角形⑸ 如图,它们都是对称的图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称.【演练2】 如图,把ABC △纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCED 的外部时,则A ∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( ).A .12A ∠=∠-∠B .212A ∠=∠-∠C .3212A ∠=∠-∠D .()3212A ∠=∠-∠知识模块二 线段的垂直平分线 课后演练【演练3】 如图,已知40AOB ∠=︒,CD 为OA 的垂直平分线,求ACB ∠的度数. 知识模块三 角平分线性质及常见辅助线模型(一) 课后演练【演练4】 如图,BD CD =,90ABD ACD ∠=∠=°,点E 、F 分别在AB 、AC 上,若ED 平分实战演练思维拓展训练(选讲)21EAD CBMN Q O∠.BEF①求证:FD平分EFC∠;②求证:EF BE CF=+.。
第十三章 轴对称(讲义一)
2017-7-3
一、知识点总结
知识点一:轴对称和轴对称图形
1. 下列由数字组成的图形中,是轴对称图形的是( ).
2. 下列语句中正确的个数是( ).
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合;②两个能重合的图形一定关于某条直线对称; ③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴; ④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧. A .1
B .2
C .3
D .4
3. 下列说法正确的是( )
A .轴对称涉及两个图形,轴对称图形涉及一个图形
B .如果两条线段互相垂直平分,那么这两条线段互为对称轴
C .所有直角三角形都不是轴对称图形
D .有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
知识点二:轴对称的应用(图形的折叠)
4. 桌面上有A 、B 两球,若要将B 球射向桌面任意一边,使一次反弹后击中A 球,则如图所示8个点中,可以瞄准的点有( )个. A .1 B .2 C .4 D .6
5. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上A ′处,折痕为CD ,则A DB '∠=( ) A .40° B .30° C .20° D .10°
6. 如图所示,是四边形ABCD 的对称轴,AD ∥BC ,现给出下列结论: ①AB ∥CD ;②AB =BC ;③AB ⊥BC ;④AO =OC 其中正确的结论有( ) A .1个 B 2个 C :3个 D :4个
A '
B D
A
C
l O
C
B
D
A
7. 如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形大致是(
)
8. 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是( ).
A .1号袋
B .2号袋
C .3号袋
D .4号袋
9. 在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是________; 10. 观察规律并填空:
知识点三:线段垂直平分线的应用
11. 如图:DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC =8厘米,AB =10厘米, 则△EBC 的周长为( )厘米.
A .16
B .18
C .26
D .28
12. 如图所示,Rt △ABC 中,∠C =90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于点E .当∠B =30°时,图中一定不相等的线段有( ).
A .AC =AE =BE
B .AD =BD
C .C
D =D
E D .AC =BD
E D
C
A
13. 已知△ABC ,求作一点P ,使P 到∠A 两边的距离相等, 且P A =PB .下列确定P 点的方法正确的是( ).
A .P 为∠A 、∠
B 两角平分线的交点
B .P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点
C .P 为AC 、AB 两边上的高的交点
D .P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点
14. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 ( ) A .等腰三角形 B . 锐角三角形 C . 直角三角形 D . 钝角三角形 15. 已知△ABC 中AB =AC =10,DE 垂直平分AB ,交AC 于E .已知△BEC 的周长是16,则△ABC 的周长是__________ .
16. 如图:DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC =8厘米,AB =10厘米,则△EBC 的周长为 厘米
17. 在△ABC 中,AB =AC ,∠A =40°,AB 的垂直平分线交AC 于点D ,则∠DBC = 18. 如图:点P 为∠AOB 内一点,分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1,P 2, 连接P 1P 2交OA 于M ,交OB 于N ,P 1P 2=15,则△PMN 的周长为 . 19. 如图,∠BAC =110°,若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ,则∠P AQ 的度数是_____.
20. 如图, 如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =120°,AB 的垂直平分线BC 于M ,交AB 于E ,AC 的垂直平分线交BC 于N ,交AC 于F . 求证:BM =MN =NC
P 2
P 1N M
O P
B A
N
M F
E
C
B
A
20题
知识点四:做轴对称图形(路径问题)
21. 如图,有分别过A 、B 两个加油站的公路、相交于点O ,现准备在∠AOB 内建一个油库,要求油库的位置点P 满足到A 、B 两个加油站的距离相等,而且P 到两条公路、的距离也相等。
请用尺规作图作出点P (不写作法,保留作图痕迹).
知识点五:用坐标表示轴对称
22. 已知A 、B 两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论中正确的有 ( ). ①A 、B 关于x 轴对称; ②A 、B 关于y 轴对称; ③A 、B 不轴对称; ④A 、B 之间的距离为4. A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
23. 已知A (-1,-2)和B (1,3),将点A 向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称.
24. 点(-5,3)关于x 轴对称的点坐标为__________,关于y 轴对称的点坐标为______,关于原点对称的点坐标为_____________
25. 如图所示,平面直角坐标系中,A (-1,5),B (-1,0),C (-4,3). (1)在图形中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1 (2)写出点A 1,B 1,C 1的坐标 (3)求出△ABC 的面积
x
y
–1
–2–3–4–5–6123456
–1
–2–3
12345
6
O 24题
C
A B
二、课后练习
1.下列说法中正确的是()
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等;②角是轴对称图形;
③线段不是轴对称图形;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
A. ①②③④
B. ①②③
C. ②④
D. ②③④
2.如图,△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的,若∠BCA:∠ABC:∠BAC=28:5:3,BE与DC交于点F,则∠EFC的度数为().
A.20°B.30°C.40°D.45°
3.小宏从镜子里看到墙上钟表的时刻如下图所示,而实际时间为()
A.2:05B.9:55C.10:55D.3:55
4.如图,△ABC中,∠BAC=110°,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,则∠E AF的度数为______.
5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A 的度数是______.
6.小强站在镜前,从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是.
a 的值7.在平面直角坐标系中,点P(-20,a)与点Q(b,13)关于x轴对称,则b
为.
8.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为()
9. 如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的外部时,则与和
之间有一种数量关系始终保持不变,你发现的规律是()
A .B.C.D.
10. 如图所示,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,求证:AD垂直平分EF.
11.如图,已知锐角△ABC中,AB、AC边的中垂线交于点O,
(1)若∠A=α(0°<α<90°),求∠BOC;
(2)试判断∠ABO+∠ACB是否为定值;若是,求出定值,若不是,请说明理由.
12.如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC.。