13.1.1 轴对称
教学目标
1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．
3．了解线段垂直平分线的概念．
教学重点
轴对称的概念和性质
教学难点
轴对称的概念和性质
教学过程
一、问题导入：
引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！
二、探索新知：
问题1 如图，把一张纸
对折，剪出一个图案（折痕处
不要完全剪断），再打开这张
对折的纸，就得到了美丽的窗
花．观察得到的窗花，你能发
现它们有什么共同的特点
吗？
引入轴对称图形、对称轴、某图形关于某条直线（成轴）对称．
教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？
问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？
引入两个图形关于某条直线（成轴）对称、对称轴、对应点（对称点）．
教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？
教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？
两者的联系：
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
两者的区别：
轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的
两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之
间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。
问题3如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，
点A′,B′,C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，
CC′与直线MN 有什么关系？
教师：你能说明其中的道理吗？
上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直线MN
对称，那么，直线MN 垂直线段AA′，BB′和CC′，并且直
线MN 还平分线段AA′，BB′和CC′”．
如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…其他条件不变，上述结论还成立吗？
引入线段的垂直平分线．
教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？
成轴对称的两个图形的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对
应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平
分；对称轴垂直平分对称点所连线段．
问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说
明理由吗？
结论：直线l 垂直线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，
BB′（或直线l 是线段AA′，BB′的垂直平分线）．
教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线．
三、课堂练习：教科书P60练习1、2
四、课堂小结：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？
（3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？
五、课后作业：课本习题13.1第1、2、3、4、5题（在书本上直接完成）
第6题作为课堂作业。
六、教学反思：
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
（第1课时）
教学目标
1.探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
2.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．
3.在自己的动手操作中体验线段垂直平分线的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达观点.
教学重点
线段垂直平分线的性质．
教学难点
线段垂直平分线的性质．
教学过程
一、创设情境，引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？
今天继续来研究轴对称的性质．
二、导入新课
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
活动1: 探究
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…
是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什
么发现？
1.用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作
AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、
CP1、CP2…
2.作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证法一：利用判定两个三角形全等．
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段
PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．
用符号语言表示为：
∵CA =CB，l⊥AB，
∴PA =PB．
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
活动2：课堂练习
练习如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂
线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的
周长等于______．
活动3：探究2
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂
直平分线上呢？（点P 在线段AB 的垂直平分线上．）
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上
结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．
活动4：课堂练习
练习如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知
直线的垂线？
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直
线两旁？
（2）为什么要以大于1/2AB的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
三、课堂练习
如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并
和同桌交流你的作图过程．
四、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？
（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
五、课后作业：教科书习题13.1第6、9题．
六、课后反思：
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第2课时）
教学目标：
1．能用尺规作线段的垂直平分线．
2．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．
3．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．
教学重点、难点：作线段的垂直平分线．
教学过程：
一、问题导入：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
二、探究新知：
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；
（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
教师：那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
例1 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
教师：怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
作法：如图．
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于AB的为半径作弧，两
弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．CD 就是所求作的直线．
教师：这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作
用？
确定线段的中点．
教师：如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.
你能作出这个五角星的其他对称轴吗？
它共有几条对称轴？
三、课堂练习：
教科书64页练习1、2、3
四、课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）作线段的垂直平分线的依据是什
么？举例说明这种作法有哪些运用？
（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？
五、课后作业：
教科书习题13.1第10、12题．
六、课后反思：
13.2 画轴对称图形（1）教学设计
教学目标：
1．理解图形轴对称变换的性质．
2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．
教学重点：画轴对称图形．
教学难点：画轴对称图形．
教学过程：
一、问题导入：
在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由
此得到相应的右脚印？
二、探究新知：
请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折
叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
教师：如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如图，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC关于直线l 对称的图形．
画法：（1）如图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O，
在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画点B，C 关于直线l 的对称点B′，C′；
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′
即为所求．
教师：如何验证画出的图形与△ABC 关于直线l 对称？
已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关
于这条直线对称的图形的一般方法．几何图形都可以看作由点
组成．
对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
三、课堂练习：
教科书68页练习1、2
四、课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？
（3）画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？
五、课后作业：
教科书习题13.2第1题．
六、课后反思：
13.2 画轴对称图形（2）教学设计
教学目标
1.探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；
2.能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。
3.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。
教学重点
在平面直角坐标系中关于x 轴或y 轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于x轴或y 轴对称的图形．
教学难点
在平面直角坐标系中关于x 轴或y 轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于x轴或y 轴对称的图形．
教学过程
一、创设情境：
如图，如果以天安门为原点，分别
以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平
面直角坐标系，对应于东直门的坐标，
你能找到西直门的位置，说出西直门的
坐标吗？
二.新知探究：
活动1：探究并归纳已知点关于坐标
轴对称的点的坐标变化规律
观察与思考：对于平面直角坐标系
中任意一点，你能找出其关于x轴或y
轴对称的点的坐标吗？它们之间有什么规
律？
在平面直角坐标系中，画出下列已知
点及其关于x 轴对称的点，把它们的坐标
填入表格中。
问题1：观察下图中关于x 轴对称的
每对对称点的坐标有怎样的变化规律？
关于x轴对称的每对对称点的横坐标相
等，纵坐标互为相反数，简称“横同纵反”。
问题2：观察关于y 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？
归纳：关于y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。简称“纵同横反”。
问题3：请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律。
点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（___，____）；
点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（___，____）．
活动2：例题解析
例：如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A
（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别
画出与四边形ABCD 关于x轴和y轴对称的图形．
思考：请归纳出画一个图形关于x轴或y轴对称的图
形的方法和步骤。
先求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对
称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的
轴对称图形．
步骤简述为：（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．
三.课堂练习：教科书70页练习1、2、3
四.课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴的对称点的坐标有什么变化规律，如何判断两个点是否关于x 轴或y 轴对称？
（3）说一说画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤．
五.课后作业：教科书习题13.2第2、4、5题．
六.课后反思：
13.3 等腰三角形（1）
教学目标：
1.说出等腰三角形，探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等；
2.经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性；
3.学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲。
教学重点
1.等腰三角形的概念及性质．
2.等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用
教学过程：
一.问题导入：
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
教师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？
教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？
二.探究新知：
教师：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？
等腰三角形的特征:
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
教师：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？
（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什
么？
（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从
剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B = ∠C．
你还有其他方法证明性质1吗？
可以作底边的高线或顶角的角平分线.
教师：性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
教师：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
三.课堂练习：
教科书77页练习1、2
四.课堂小结：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？
（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
五.课后作业：
教科书习题13.3第1、2、4、6题．
六.课后反思：
13.3 等腰三角形（2）
教学目标：
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图.
教学重、难点：理解和运用等腰三角形的判定定理
教学过程：
一、问题导入：
问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．
结论：这两条边所对的角相等．
二、探究新知：
思考性质定理证明方法是什么？
作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．
问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？
思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？
这两个角所对的边相等．
思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？
题设：一个三角形有两个角相等．
结论：这两个角所对的边相等．
问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来
证明这个命题吗？
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC．
教师：你还有其他证明方法吗？
思考能作底边BC 上的中线吗？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相
等（简写成“等角对等边”）．
符号语言：
∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
思考与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的
一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB =AC.
例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作
这个等腰三角形.
作法：
（1）作线段AB =a；
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC =h；
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
三、课堂练习：
教科书79页练习1、2、3、4
四、课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．五、课后作业：
教科书习题13.3第2、5题．
六、课后反思：
13.3 等腰三角形（3）
教学目标：
1.说出等边三角形的概念及判定，并会进行有关的计算；
2.能运用等边三角形的性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题；
3通过用等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；教学重点、
等腰三角形的性质及其应用.
教学难点
简洁的逻辑推理.
教学过程
一.复习巩固
1.叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
2.若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二.探究新知：
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
请分别画出一个等腰三角形和等
边三角形，结合你画的图形说出它们
有什么区别和联系？
联系：等边三角形是特殊的等腰
三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.
问题等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
思考将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明.
已知：△ABC 是等边三角形求证：∠A =∠B =∠C =60°．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC，BC =AB．
∴∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴∠A =∠B =∠C ．
∵∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠A =60°．
∴∠A =∠B =∠C =60°．
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°
思考利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.
问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
思考1一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．
请你将得到的这两个命题进行证明.
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
在△ABC 中，
∵∠A=∠B =∠C ，
∴△ABC 是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
在△ABC 中，
∵BC =AC，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
判定等边三角形的方法：
从边的角度：等边三角形的定义；
从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形．
例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
三.课堂练习：
教科书80页练习1、2
四.课堂小结：
（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；
（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？
（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．
五.课后作业：
教科书习题13.3第12、14题．
六．课后反思：
13.3 等腰三角形（4）
教学目标：
1.探索并灵活运用一个锐角为30°角的直角三角形的边之间的关系。
2.通过用等腰三角形、等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
3.通过合作交流，培养团结协作的精神。
教学重点：探索含30°角的直角三角形的性质.
教学难点：含30°角的直角三角形的性质的应用.
教学过程：
一.问题导入：
问题已知△ABC 中，∠A =60°,（）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形.
二.探究新知：
思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
活动用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
问题你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？
猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
思考这个命题是真命题吗？请进行证明．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求
证：BC = AB．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半.
符号语言：
∵在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴BC = AB．
的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A
=30°，立柱BC、DE 要多长？
三.课堂练习：
教科书81页练习
四.课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
五.课后作业：
教科书习题13.3第15题．
六.课后反思：
13.4 课题学习最短路径问题
教学目标：
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.通过最短路径问题的探究，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
3.通过解决实际生活的问题培养学生知识的应用能力.
教学重点：
利用轴对称解决简单的最短路径问题.
教学难点：
如何正确的通过作图找到需要的关键点以及证明路径为什么是最短的问题.
教学过程：
一.问题引入：
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二.探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC与CB 的和最小（如图）．
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是
直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与
CB
的和最小？
追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一
侧B′
处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l任取一点C′
（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”
的作用是什么？
轴对称图形 宗文·小营实验学校 教学目标： 1.认识轴对称图形，理解“轴对称图形”和“对称轴”概念。 2.能判断一个图形是否为轴对称图形，能找出轴对称图形的对称轴。 3.能根据对称轴一侧的图形画出另一侧的图形。 4.体验对称美，有学习轴对称图形的意愿，乐意用学到的轴对称图形知识创造美的图形。 教学过程： 一、创设情境，设疑导入。 1、（课件）然后教师出示学生喜欢的卡通片里的小动物米老鼠的图片 让学生想办法帮助米老鼠把少的眼睛放到正确的位置上。 然后再让学生在这幅图片中找一找哪些是对称的？ 2、出示生活中的对称图形 师：今天老师也带来了几幅我最喜欢的对称图形的图片，想与大家一起分享以下，下面请大家来看一看。 （出示蝴蝶，树叶，脸谱，天平及故宫建筑的图片，其中包含了生物、艺术、工业、建筑等多个领域，让学生感受生活中方方面面都存在对称图形，同时这些对称的事物不仅美观，而且实用。）请学生说说，这些图形都有哪些共同的特征？ 请学生动手演示自己的观点 3、这样的特征我们称为“完全重合”，有这样特征的图形我们称为“对称图形” （揭题，并且板书“完全重合”和“对称图形”） 二、动手操作，总结特点。 1、从生活到数学 师：你认为我们学过的平面图形中哪些是对称图形？ 请你们拿出学具袋中的平面图形，选择其中的一个或者几个进行证明。 （学生动手对折，并比较左右两边图形是否完全重合，以判断图形是否是对称图形） 2、请学生说说找到了哪些对称图形把对称图形贴到黑板上。 3、讨论：平行四边形是不是对称图形 4、同学们对折了以后，图形中间都出现了一条折痕，这条折痕所在的直线我们称为对称轴，这些图形我们称为轴对称图形。请同学们和老师一起画一画。
轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这
些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. Ⅳ. 最短路径
八年级数学下册知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。 3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a 4.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 5.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 6.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 7.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a ≥0，b ≥0） ；（b ≥0， a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例 1下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5； （2） 2 2)-(x = a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
例3、 在根式 ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知： 的值。求代数式22,2 1 1881-+- +++ -+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b =b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >>a b < 例1、比较 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 11() b a b b a a b ++++
八年级数学（下册）知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △ 比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果2 2 a b >，则a b >；②如果2 2 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
人教版八年级上册数学轴对称知识点 第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) 点(x，y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x，-y) 9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为三线合一。
10.等腰三角形的判定：等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等，等于60， 12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
课后训练 基础巩固 1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是()． 2．下列说法中错误的是()． A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B．关于某条直线对称的两个图形全等 C．全等的三角形一定关于某条直线对称 D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为()． A．48°B．54°C．74°D．78° 4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________． 5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________． 能力提升 6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案()． 7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是()． 8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换． ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大 量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对 ．．． 称变换 ．．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()．
A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF 交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长． 10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线． (1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？ (2)这个图形有几条对称轴？ (3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？ 11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．
13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 教学目标 （一）教学知识点 1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． （二）能力训练要求 1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力． （三）情感与价值观要求 通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高． 教学重点 轴对称图形的概念． 教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学方法 启发诱导法． 教具准备 师：1．天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片． 2．多媒体课件． 3．投影仪． 生：剪刀、小刀、硬纸板． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 [师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！ 从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课 [师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征． [生甲]这些图形都是对称的． [生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合． [师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子． [生丙]我们的黑板、课桌、椅子等． [生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的． [师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形． （演示多媒体课件） 观察 如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花． 观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？ （学生讨论、探究） [生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合． [生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合． [生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． [师]太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形． 即（点击课件、屏幕显示）： 如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称． [师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做． （屏幕显示）
四年级下册第六单元《轴对称图形》教学设计 教学内容：青岛版五年制四年级下册第87～89页。 教学目标： 1、进一步认识轴对称图形，能用对折等方法确定轴对称图形的对称轴。 2、会在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半。 3、通过观察、讨论、操作等活动，使学生充分感知轴对称图形的美，对学生进行美育教育，同时体会数学与生活的密切联系。 教学重点：进一步认识轴对称图形。 教学难点：确定轴对称图形的对称轴。 教具学具：课件、平面图形的纸片、剪刀。 教学过程： 一、创设情景，导入新课。 看到同学们可爱的笑脸，老师非常高兴，我相信美的东西大家一定都喜欢，今天老师给大家带来了几张美丽的图片，想不想欣赏？在欣赏之前，老师有个要求：边欣赏边思考这些图形有什么共同的特点？（课件出示美丽的轴对称图片。）欣赏完图片，你发现了什么？（预设：它们都是轴对称图形。）你都知道关于轴对称图形的哪些知识？今天我们就在这些知识的基础上来进一步研究轴对称图形。 二、自主尝试，合作交流。 （一）进一步认识轴对称图形。
1、既然大家对轴对称图形都有所了解，那我们就先来做一个轴对称图形，先看老师的做法：把一张纸对折，在折痕的地方画出你喜欢的图形，然后用剪刀剪下来，就做成了一个轴对称图形，你会做吗？请同学们动手做一个轴对称图形，注意用剪刀的时候要小心。 2、展示3个学生的作品。让他们解释怎样让大家知道你剪的这个图形就是轴对称图形，对折后有什么发现？（重点引导学生理解对折后，完全重合。）其他同学的作品有没有对折后完全重合这样的特点？折一折，同桌看一看。 3、大家通过画一画、剪一剪的方法做出了形状各异的轴对称图形，那你能不能用自己的话说一说什么是轴对称图形？可以自己想一想，也可以同桌说一说。 4、结合大家的意见咱们一块来总结什么是轴对称图形。（课件出示轴对称图形的定义，学生跟着读一遍。）教师指着先前做的轴对称图形的对称轴告诉学生，折痕所在的这条直线叫做对称轴。然后示范对称轴的画法，强调画对称轴是用点画线。请你在你的作品上也画上对称轴。 （二）判断一个图形是否是轴对称图形。 1、都说实践出真知，刚才大家一起认识了轴对称图形，下面请你来判断哪几个图形是轴对称图形。（课件出示：正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、圆。）老师提醒大家：不要过分相信自己的眼睛，有的图形看起来像轴对称图形，而它恰恰不是轴对称
第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法 难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析 本章从实际问题引出分式方程 10020v 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为3. 以上的式子五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？（1m（2）1m1m 3 m 10020v 小时，逆流航行60千米所用时间 6020v 小时，所以 10020v = 6020v . 10020v ， 6020v ，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ a s m2m 1 2 = 6020v ，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公[分析] 分式的值为
13.1 轴对称（1） 教学目标： 1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系． 2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用． 3．了解线段垂直平分线的概念． 教学重、难点： 轴对称的概念和性质 教学过程： 一、问题导入： 引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！ 二、课本精讲： 问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 如果一个平面图形沿一 条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形，这条直线就是 它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 共同特征：每一对图形沿着虚线折 叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？ 两者的联系： 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称． 两者的区别： 轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部 分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关 系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合． 问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，
13．1轴对称 第1课时轴对称 教学目标 1．理解轴对称图形轴对称及线段垂直平分线的概念，并能作出它们的对称轴． 2．了解轴对称图形和轴对称的区别和联系． 3．掌握轴对称的性质． 教学重点 轴对称图形和轴对称的概念及轴对称的性质． 教学难点 轴对称图形和轴对称的区别和联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 我们生活在丰富多彩的图形世界里，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，如：中外各种风格的著名建筑、动植物、艺术作品、图标、日常生活用品等等，都和对称密不可分，我们可以根据自己的设想创造出对称的作品，装点和美化生活．就让我们一起走进轴对称的世界去感受它的奇妙和美丽吧！ 观察上图和教科书中的图片，你有什么感受？ 二、自主学习，指向目标 1．自学教材第58至60页． 2．请完成“《学生用书》”相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一轴对称图形和轴对称的概念 活动一：阅读教材P58～59 展示点评：1.图13.1－1，有什么共同特点？什么叫轴对称图形？对称轴是什么？请举
出轴对称图形的实例． 2．图13.1－3有什么共同特点？什么叫两个图形关于一条直线对称？请举出成轴对称图形的实例． 小组讨论：轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 反思小结：1.判断一个图形是不是轴对称图形，关键是抓住轴对称的本质，即图形是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征． 2．判断两个图形是否成轴对称，关键是是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征． 跟踪训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 轴对称的性质 活动二：观察教材图13.3－4. 展示点评：1.完成“思考”中的问题； 2．一对对称点所连线段与对称轴在位置上有什么关系？ 3．什么叫线段的垂直平分线？请用符号语言表示． 小组讨论：图形轴对称有什么性质？它有什么作用？ 反思小结：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．它可以用来证明线段相等． 跟踪训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习了哪些主要内容？ 2．轴对称图形和轴对称的区别与联系是什么？ 3．成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？ 实际问题―→? ??? ?轴对称图形―→轴对称图形的性质轴对称 ―→ 轴对称的性质 五、达标检测，反思目标 1．下列图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( A ) 2．下列说法错误的是( D ) A ．关于某直线对称的两个三角形一定全等 B ．轴对称图形至少有一条对称轴 C ．正方形的一条对角线把它所分成的两个三角形成轴对称 D ．角的对称轴是角的平分线 3．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，若AB ＝2 cm ，∠C ＝55°，则DE ＝__2_cm __，∠F ＝__55°__．
第十六章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫
互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式， ②被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第十七章勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：∠C=90°?BC= 2
《第2章轴对称图形》 一、选择题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（） A．B．C．D． 3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（） A．30° B．36° C．40°D．45° 5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（） A．10 B．7 C．5 D．4 6．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）
A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE 7．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（） A．（）n?75° B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75°D．（）n?85° 8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形 9．如图是P1、P2、…、P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（） A．P2P3 B．P4P5C．P7P8 D．P8P9
轴对称专题练习 一、填空：(20%)1、到三角形的三个顶点距离相等的点是这个三角形的交点 2、等腰三角形是图形，对称轴是 3、角是图形，对称轴是 4、等边三角形有条对称轴。 5、圆有条对称轴，对称轴是 6、有一个角为60度的等腰三角形是三角形。 7、有两个角为60度的三角形是三角形。 8、若等腰三角形的一个内角为40Ο，则其余两角分别为 9、写出一个有三条对称轴的轴对称图形 10、到三角形三边距离相等的点是这个三角形的交点。 二、选择：(12%)1、下列图形中，是轴对称图形的有（） （1）长方形（2）正方形（3）直角三角形（4）扇形（5）等腰三角形（6）等边三角形（7）角（8）圆（9）线段（10）正五角星。（A）6个（B）7个（C）8个（D）9个2、从镜子中看到这样一串数，那么这串数字应为（） （A）8271 （B）1728（C）1875（D）1758 3、从平面镜里看到镜子对面电子钟示数为，这时的实际时刻应该是（）（A）53：10（B）10：23（C）10：53（D）32：01 4、若等腰三角形一边为5，另一边为3，那么它的周长为（） （A）11（B）13（C）8或者13（D）11或者13 三、1、已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm， ∠A=49о14′54〞，求ΔBCD的周长和∠DBC的度数。 A E D B C 2、在ΔABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足是D，ΔABE的周长是15cm，BD=6cm，求ΔABC的周长 A E A B D C 3、在ΔABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数 E D B C 4、∠BAC=130о，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，求∠PAQ的度数 A M N B P Q C
轴对称章节知识点总结复习 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y） 关于原点对称
八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无目标。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2013年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差
《第2 章轴对称图形》 一、选择题 1 ．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D．
2 ．一张菱形纸片按如图1、图2 依次对折后，再按如图 3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案 ）是（ A．B．C．D． ．已知等腰三角形的两边长分别为5 和6，则这个等腰三角形的周长为（）3 17或16 C ．17 D．16 ．A．11 B ．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且 D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（）4 A．30 °B．36 °C ．40 °D．45 ° 5 ．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E，BC=5 ，DE=2 ， 则△BCE 的面积等于（） A．10 B．7C ．5D．4 ）6 ．如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，BE⊥AC ，AF ⊥BC ，则下面结论错误的是（
.... A ．BF=EFB．DE=EFC ．∠EFC= 45 °D．∠BEF=∠CBE 7 ．如图，在第1 个△A BC 中，∠B=30 °，AB=CB ；在边 A B 上任取一点D ，延长CA 到A ，21111
使 A A =A D ，得到第 2 个△A A D；在边 A D 上任取一点E，延长 A A 到A ，使A A =A E，211122221323 得到第 3 个△ A A E，?按此做法继续下去，则第n 个三角形中以 A 为顶点的内角度数是（）n23 n1n1nn﹣﹣．（ D ）°B．（）?75 °?65 °°?85 ）A ．（?75）．（C AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120 8 ．如图，在线段°），点P 与点M 分 ）别是线段BE 是（和AD 的中点，则△CPM A ．钝角三角形B．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形 9 ．如图是P 、P 、?、P 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接PP、211012 所形成的图形P P、PP、P 、P P，判断小玉再连接下列哪一条线段后，P7691016105）（不是轴对称图形？
八年级数学下册测试题 一、准确填一填（每题2分共计20分） 1.写出一个含有字母x 的分式(要求:无论x 取任何实数,该分式都有意义,且分式的值为正数)_________________; 2当x=____________时,分式1x x -无意义;当x=________时,分式293x x -+的值为零. 3、当n = 时，函数12n y x -=是反比例函数。 4、请写出一个满足条件“在每个象限内y 随x 的增大而减小”的反比例函数的解析式： 5、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新科学，这就是“纳米技术”。已知2006个纳米的长度为0.000000002006米，用科学记数法表示，此数为 米。 6、在Rt △ABC 中，0 90C ∠=，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若5a =，13c =，则d= 。 7、已知y 与(2x+1)成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________。 8.化简2()a b ab b ab --÷的结果为__________________; 9. 如图2,点p 是反比例函数2y x =-上的一点,PD ⊥x 轴于点D,则⊿POD 的面积为______; 10. 如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x 、y 表示小矩形的两边长(x ＞y )，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 ( ) A ．7=+y x B ．2=-y x C ．4944=+xy D ．2522=+y x 9题 10题 二、认真选一选 (每题3分,共24分) 11.当路程s 一定时,速度V 与时间T 之间的函数关系是( ) A.正比例函数. B.反比例函数; C.一次函数. D. 以上都不是. 12. 若点(-2,y 1)、(-1,y 2)、(1,y 3)在反比例函数1y x = 的图象上,则下列结论中正确的是( ) A.123y y y >>; B.213y y y >> C.312y y y >> D.321y y y >>
13.1轴对称 一、本节学习指导 本节较简单，同学们理解两条，第一：轴对称图形和图形轴对称的区别；第二：正确画出一个图形的轴对称的结果。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴) 2、轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 3、图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4、轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系。 轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。 注意：轴对称强调的是对称后的位置，任何图形都有可以有轴对称对应的位置关系；轴
对称图形本身强调的是图形本身对不对称，只有部分图形是轴对称图形。 注：上图中第一个圆是轴对称图形，我们都无异议。看第二个圆，它通过中间的对称轴然后得到后面的第二个一模一样的圆，也就是它周对抽后的结果是一个“影子”。这个影子形状大小相同，但是可能位置方向会有点变化，如上图的三角形周对抽的结果。 5、线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 三、经验之谈： 本节中我们要注意运用图形抽对称、垂直平分的性质，这类知识要活学活用。