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第二章 稳态热传导

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3第2章 稳态热传导

3第2章 稳态热传导

2t 0
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.3.1 一维平壁稳态导热
首先是对一维平壁概念的认识。无限大 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平 壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以 归纳为一维稳态导热问题。 先考虑导热系数为常数的情况。 已知大平板的两个表面分别维 持均匀而恒定的温度t1和t2，壁厚为 δ。取坐标如图1所示。边界条件 为:
R RA
1
RDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图6 结构尺寸示意图
解：该砌块沿高度方向可划分为并联的七 层，其串并联热阻可简化为如图所示。
1 0.115 4.85K / W 1 A1 0.79 0.03 1 0.0325 R2 2 0.457 K / W 2 A2 0.79 0.09 1
比较t2与t2’
若t2≈t2’,计算终止 若t2与t2’偏离
下面举一个例题来说明。 例：有一连续式加热炉的炉墙由内层粘土砖和外层 硅 藻 土 砖 砌 成 ， 它 们 的 厚 度 分 别 为 S1=230mm ， S2=115mm,炉墙内表面温度为t1=1100℃，外表面温 度t3=100 ℃，试求炉墙导出的热流密度？ 解：分析：若能求出t2问题就好解决了，如何求解？ 从附录4中查得：
R1
R3
3 0.05 1.916K / W 3 A3 0.29 0.09 1
R
1 4 3 R1 2 R2 R3
0.531K / W
当然还有另一种划分形式，同学们下去自己 思考一下。 小结：1.单层平壁的热传导公式、热阻公式。 2.多层平壁的热传导公式、热阻公式。
用图示表示就是
图2 通过单层平壁内的温度分布
同学们考虑一下，横坐标、纵坐标分别表示什么？ 下面来探讨另一个问题：热阻。类比：欧姆定律。 由 ，可得 ， 。
工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念

工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念

0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
传热学(第四版)第二章：稳态热传导

传热学(第四版)第二章：稳态热传导

t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1 单层平壁、第一类边界条件的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] dxdydz
3、微元体热力学能的增量 内微元体中内能的增量：
t [3] c dxdydz
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§2-2 导热问题的数学描述
根据傅里叶定律： - grad t q [ W m2 ]
要想确定热流密度，应知道物体内的温度场； 因此，确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务
根据热力学第一定律，对于任一微元体：
建立关于t的方程，求解温度分布
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源；内热源均匀分布。
1、导入与导出微元体的净热量 沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
x qx dydz
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
() x dx qx dx dydz
qx dx qx qx dx x
qx dxdydz x
沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
20
20
Temperature (C)
15
15
10
10
5
5
0
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导

传热学课件第 二 章 稳 态 热传导


d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：

t w1 t w 2
ql
Q l

t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1

i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学 第2章 稳态导热

传热学 第2章 稳态导热


t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第二章稳态热传导

传热学第二章稳态热传导

n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t

金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
2稳态热传导资料

2稳态热传导资料

国家标准规定，温度低于350℃时导热系数小于0.12W/(m⋅K)的材料 称为保温材料。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
（1）导热系数为常数
t a( 2t 2t 2t )
x2 y2 z2 c
（式2）
a
c
称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能
力（ c ）之间的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
13
2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成； 2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
t 0

t f (x, y, z, )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t f (x)
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
最新高等传热学 第二章 稳态导热.PPT课件

最新高等传热学 第二章 稳态导热.PPT课件

考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。 建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热 微分方程可简化为
d 2t dx2
qV
（2-1-18）
2-1 一维稳态导热
图2-3 有均匀内热源的 平壁中的温度分布
2-1 一维稳态导热
对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解
由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即 把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。
实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度 分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程
1 d (r dt) qv
r dr dr
积分两次可得以上微分方程的通解
d2 hU 0 dx2 A
（2-2-2）
这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：
C1emxC2emx
（2-2-3）
2-2 扩展表面——准一维问题
其中 m h U A
常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基 温度，即
x0, 0
（2-2-4）
如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件 可写作
t
qV x2
2
C1xC2
（2-1-19）
如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为 零，即
x 0, t 0
x , t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
t qV x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
ch[m(Hx)] 0 ch(mH)
（2-2-7）
稳态热传导导热理论基础

稳态热传导导热理论基础

2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
3>.适用范围：傅里叶定律是一个实验定律，是导热现象经验的规律 性总结，普遍适用各种导热现象。即不论是否变物性（λ=a+bt）, 有无内热源，是否非稳态，不论物体几何形状如何，也不论物质 的形态（固﹑液、气），其都适用。
4>.现实意义：只要已知温度场，则可由傅里叶定律求出
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
整理课件
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
1.找出物体内温度与时间、空间的关系式，即求解温度场； 2.找出物体内温度分布与换热量的普遍联系式，即傅里叶定律。 二、傅里叶（J.Fourier）定律： 1.基本概念： 1>.温度场：物体某一时刻其内各点的温度分布：
t=f（x、y、z、） 上式为三维非稳态温度场；当t/=0时，称为三维稳态温度场，即： t=f（x、y、z）；若温度场仅和二个或一个坐标有关时则为二维或一 维稳态温度场：即t=f（x、y） 或：t=f（x）。 具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
7. 20 ℃时典型材料的λ（W/m·℃） 铜 399 碳钢 40 水 0.599 干空气 0.0259
一般，金属材料的λ最大，非金属固体材料次之，液体更 次之，而气体最小。
整理课件
6
导热理论基础
四、导热微分方程
1.目的：建立物体内温度
传热学-第2章稳态热传导-习题课

传热学-第2章稳态热传导-习题课


保温材料的应用范围广泛，不 仅可以用于民用建筑，还可用 于工业和商业建筑等领域。
电子元件散热方案
随着电子技术的不断发展，电子元件的功率密度越来越高，散热问题越 来越突出。
电子元件的散热方案包括自然散热、强制风冷、液冷等，需要根据电子 元件的发热量、使用环境和可靠性要求等因素选择合适的散热方案。
良好的散热方案能够有效地降低电子元件的工作温度，提高其稳定性和 寿命。
稳态热传导通常发生在物体内部，当 热量传递速率与热量生成速率相平衡 时，物体内部温度分布达到稳定状态 。
稳态热传导的物理模型
01
稳态热传导的物理模型通常采用 一维导热模型，即温度随空间坐 标的变化而变化，忽略时间因素 对温度分布的影响。
02
在一维导热模型中，温度分布可 以用一维偏微分方程来描述，该 方程基于傅里叶导热定律和能量 守恒原理。
02
解析
首先，我们需要计算平壁的传热量，然后根据传热量和平壁的热导率计
算平壁的温度变化。由于平壁是稳态热传导，所以温度分布是线性的。
03
答案
平壁的另一面的温度升高了20℃。
习题二解析
题目
一圆筒壁，内径为1m，长度为2m，加热功率为50W，材料的热导率为0.02W/m·℃，求圆 筒壁的另一面的温度升高了多少？
常见问题解答
问题2
如何求解一维稳态热传导问题？
解答
一维稳态热传导问题可以通过分离变量法求解。首先将温度表示为x的函数，然后根据傅里叶定律和 边界条件建立方程，最后求解方程得到温度分布。在求解过程中，需要注意初始条件和边界条件的处 理。
下节课预告
重点内容
非稳态热传导的基本概念、扩散 方程的建立和求解、初始条件和 边界条件的处理。
第二章 稳态热传导2

第二章 稳态热传导2

环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻 之和。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁

由热阻分析法：q

t1 tn1
n
ri
i 1

t1 tn1
n i
i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？

第一层：
q

1 1
r2 d 0 50mm
40mm
r3
45mm
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
21 tw1 tw 2 2 tw tw2
t 先假定界面温度为
而 2 0.099
w ，则由题意

0.0002

tw

tw2 2
ln


r2 r1


ln

dx dx
3
tw1
所以对情形3 有 dt dt >


dx dx
x
为什么东北的窗玻璃都采用双层玻璃？
讨论
导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就 越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
第一次积分
第二次积分
r
dt dr

c1

t c1 ln r c2
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
应用边界条件
t1 c1 ln r1 c2 ; t2 c1 ln r2 c2
获得两个系数
c1

工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念


实用文档
分析： 假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长 度分析；
2 ）材料导热系数 λ 及表面传热系数 h 均 为常数，沿肋高方向肋片横截面积 Ac 不变；
3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的 导热热阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的温度均 匀不变；
一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的 方向是如何变化的？
二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？
实用文档
1. 通过等截面直肋的导
热
已知：
(1)矩形直肋
(2)肋 根 温 度 为 t0 ， 且t0 > t
(3)肋 片 与 环 境 的 表
面传热系数为 h.
(4) ， h 和 Ac均 保 持
不变
(5)求：
温度场 t 和热流量
由前面我们已知一维稳态导热的方程式为如下
d 2t dx 2
0
边界条件为：
x 0:t t1 x :t t2
求解步骤： （1）积分求解
dt c1 dx t c1x c2
t t2t1xt1
（2）根据傅里叶定律，得到：
c2 t1 c1 t2 t1
qddxtt2t1t1t2
实用文档
分析：（和电路分析类比）
则有： Φx=-λAc t
x
Φx+dx=-λAc (t t dx)
x x
Φc= hPdxΔt= hPdx(t-t∞)
所以： Φx=-λAc t =Φx+dx+Φc=-λAc (t t dx) +hPdxΔt
x
x x
整理得： d2t hP(t t) dx2 Ac
实用文档

《传热学》第2章_稳态热传导


三三
三三三三三三三三三 三三
三三 三三
三三三三三三三
三三
三三三三三三三三
三三
三三三三三三三三三三三
18
第2章 稳态热传导
2.1 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热：
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板的导热情况。
c t


x
t x
t x
n
中，gradt表示空间某点的温度梯度，
n表示通过该点的等温线上的法向单位矢量，温度升高的方向。
利用等温线和热流线来定量且形 象地表述一个导热过程： 等温线表示热流梯度，而热流线 是与等温线处处垂直的一组曲线， 通过平面上任一点的热流线与该 点的热流密度相切。 相邻两条热流线之间所传递的热 流量处处相等，相当于构成了一 个热流通道。 该方法用于现代工程软件应用。
2.类似于非导电固体;(倾向于此观点)
2
第2章 稳态热传导
等温场(temperature field)：
温度场：物体中存在温度的场。 温度分布：各时刻物体中各点温度所组成的集合
分类：
稳态温度场：物体中各点温度不随时间而变。 t f x, y, z 瞬态温度场：物体中各点温度随时间变化。 t f x, y, z,
几何条件： 说明导热体的几何形状(平壁或圆筒壁)和大小(厚度、直径等)
物理条件:
说明导热体的物理特征如：物性参数λ、c 和 r 的数值，是否 随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性 初始(时间)条件: 说明在时间上导热过程进行的特点 稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
疏密可直观反映出不同区域温度热流密度的相对大小。

第二章-稳态热传导


传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-2 导热问题的数学描述 温度场
导热微分方程
t f ( x, y, z, )
傅立叶定律
热流量
热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量 导入热流量 导出热流量 内热源生成热
第一类 第二类 第三类 导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
SJTU-OYH
传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-2 导热问题的数学描述 第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值。 稳态导热： 非稳态导热： 第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。 稳态导热： 非稳态导热： 特例：绝热边界
SJTU-OYH
传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-3 典型一维稳态导热分析解 通过多层平壁的导热
热阻分析法
热流密度
q
t1 t n 1
t1
ri
i 1
n

t1 t n 1
i i 1 i
n
n为层数
t2
t3 t4
温度分布 第一层：
x
y
z
xdx
dxdydz
y dy
z dz
内能增量
t c dxdydz
SJTU-OYH

第二章稳态热传导

向上热流分量Φx在x+dx点的值，其余类推。得到导入微元体 的热流量为：
xx d x xx x xd x xx x x t xd y d z d x yy d y yy y yd y yy y y t yd x d z d y
使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，
称为定解条件。
初始条件
非稳态导热
边界条件
稳态导热
边界条件
导热问题的数学描写
二、边界条件分类
1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。
如右图中：
x 0, t tw1 x ,t tw2
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时 ,twf1
zz d z zz zzd z zz z z t zd x d y d z
导热问题的数学描写
微元体热力学能（即内能）的增量= c t dxdydz
微元体内热源的生成热= d x d y d z
式中：ρ——微元体的密度； c ——微元体的比热容； Φ——单位时间内单位体积中内热源的生成热； τ ——时间;
导热问题的数学描写
2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。 如右图中：
x
,t
x
qw
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时,-nt wf2
导热问题的数学描写
3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传 热系数h及周围流体的温度tf。 如右图中：
x, xtxqwhtwtf
各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温 度分布。
t f x,y,z,
稳态温度场（定常温度场）
t f x,y,z
瞬态温度场（非定常温度场）

传热学-第二章-稳态热传导讲义


3、固体的导热系数
(1) 金属的导热系数：
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动且 主要依靠前者
一般规律： 金属导热与导电机理一致 , 良导 电体为良导热体：
T
金属掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m K
☺ 温度是标量，但温度梯度是矢量，指向温度增加最快的方向； 热流密度是矢量，方向正好与温度梯度相反。
二、导热基本定律
1822 年，法国数学家傅里叶（ FOURIER ）在实验研究的基础 上，发现导热基本规律 —— 傅利叶定律 导热基本定律一般性表述：单位时间内通过给定截面的导热热
流量，正比于该截面的法向温度变化率（温度梯度），方向与 温升方向相反。
基本规律：
液体 0.07~0.7 W (mK )
T
p
McLaughlin, E., “Theory of the Thermal Conductivity of Fluids,” in R. P. Tye, Ed., Thermal Conductivity, Vol. 2, Academic Press, London, 1969.

稳态温度场：温度的空间分布不随时间而改变(Steady temperature field)

非 稳 态 温 度 场 ： 温 度 的 空 间 分 布 随 时 间 而 改 变 (Transient/unsteady temperature field)
等温面与等温线

等温面（isothermal surface） ：某一时刻、温度场中所有温度相同的 点连接起来所构成的面
等温线（isotherm）：用任意一个二维截面与等温面相交得到等温线

第2章 稳态热传导


P50例题 例题2-2 一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。最里面是耐火 一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。 粘土砖， 级硅藻土砖， 粘土砖， 厚115mm；中间是 级硅藻土砖，厚 125mm；最外层为 ；中间是B级硅藻土砖 ； 石棉板， 石棉板，厚70mm。已知炉墙内、外表面温度分别为 。已知炉墙内、外表面温度分别为495oC和60oC， 和 ， 试求每平方米炉墙每小时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界 面上的温度。 面上的温度。 解：关键问题 t = ? ， λ = ? 采用迭代法： 采用迭代法： ① 假设 t1、 t 2、t 3 ，查表λ1、λ 2 、 3 λ ② 计算
∂x ∂t ∂ d yd z d x =Φx + −λ ∂x ∂x
∂ ∂t Φ x + d x = Φ x + − λ d x d yd z ∂x ∂x ∂ ∂t Φ y + d y = Φ y + − λ d x d yd z ∂y ∂y ∂ ∂t Φ z + dz = Φ z + − λ dxdydz ∂z ∂z
& Φ d x d yd z
能量守恒： 能量守恒： 热力学能增量 导出热量） =（导入热量 −导出热量）+ 内热源热量
∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ∂t ρc = λ + λ + λ +Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
λ 2 = 0.116 W (m ⋅ K )
(
)
λ 3 = 0.116 W (m ⋅ K )
∆t t1 − t 4 q= = = 224 W m 2 RA δ 1 δ 2 δ 3 + +
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上式称为拉普拉斯方程。
导热问题的数学描写
三、圆柱坐标导热微分方程
x r cos
y r sin
zz
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z
导热问题的数学描写
导入微元体的总热流量 - 导出微元体的总热流量 =
x x x x dx
x t dx dydz dx x x x x

y y y
y dy
t dy dxdz dy y y y y y
导热问题的数学描写
2.2.2 定解条件
一、定义
导热微分方程是通用表达式，描写物体的温度随时 间和空间变化关系；

使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件， 称为定解条件。

初始条件
非稳态导热
边界条件
稳态导热
边界条件
导热问题的数学描写
二、边界条件分类
1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。 如右图中：
三个坐标方向净导入的热量
扩散项
非稳态项
内热源项
导热问题的数学描写
经整理可得：
t t t t c x x y y z z
(2-7)
式（2-7）是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般 形式，其中λ、ρ、c、Φ均可以是变量。
z z z z dz
z t dz dxdy dz z z z z
导入与导出的净热量：
t t t dxdydz dxdydz dxdydz x x y y z z
导热基本定律

2.1.3导热基本定律
回顾第一章，两个表面均维持均匀温度的平板导热：
（1-1）

傅里叶定律的文字表达：在导热过程中，单位时间内通过给定
截面的导热量Φ，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和
截面面积A，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。
导热基本定律
t q - gradt - n x
各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温 度分布。 t f x, y , z , 稳态温度场（定常温度场） 瞬态温度场（非定常温度场） 一维温度场 二维温度场
t f x t f x, y t f x, y , z t f x, y , z
由本节讨论可得：一旦物体中的温度分布已知，就可以 按傅里叶定律计算出各点的热流密度矢量。因此，求解导热问
题的关键是要获得物体中的温度分布。
目录

2.1 导热基本定律 2.2 导热问题的数学描写 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.4 通过肋片的导热 2.5 具有内热源的一维导热 2.6 多维稳态导热的求解
3、温度对导热系数的影响：
从图上可以看出： 纯金属的导热系数随温度升高而 减小；（如：铅、钾）

大多数液体（除水和甘油）的导 热系数随温度升高而减小。（如： 氨水、氟利昂）

气体的导热系数随温度升高而升 高。（如：甲烷、空气）

导热基本定律
在比较广阔的温度区间内的实用 计算中，大多数材料的λ都容许 采用线性近似关系，即：

导热系数是物性参数，与物质结构和状态密切相关； 它反映了物质微观粒子传递热量的特性；
工程计算所采用的各种物质的导热系数都是用专门的实验测 定得到。
导热基本定律
2、不同物质导热系数排序：
金属 非金属 固相 液相 气相
几种典型材料的导热系数：（常温20℃条件下）
导热基本定律
x 0, t tw1 x , t tw2
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时,tw f1
导热问题的数学描写
2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。 如右图中：
t x , qw x
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
导热问题的数学描写
二、简化形式：
1、导热系数为常数
t t t t a 2 2 2 x y z c
2 2 2
式中：a=λ/ρc称为热扩散率或热扩散系数；
2、导热系数为常数、无内热源
2t 2t 2t t a 2 2 2 z x y
导热问题的数学描写
微元体热力学能的增量 - 微元体内热源的生成热 = t c dxdydz dxdydz
将得到各项代入热平衡关系式，可得：
t t t t c x x y y z z
z z dz z z
z t dz z z dxdy dz z z z z
导热问题的数学描写
微元体热力学能（即内能）的增量=

t c dxdydz
微元体内热源的生成热=
导入微元体的总热流量 + 微元体内热源的生成热 = 导出微元体的总热流量 + 微元体热力学能（即内能）的增量
导热问题的数学描写
在直角坐标系中进行分析，令（Φx）x 为热流量在x方向 上热流分量Φx在x点的值，其余类推。由傅里叶定律，得到 导入微元体的热流量为：
x x
t dydz x x
导热问题的数学描写
3、常物性、稳态
t t t 2 2 2 0 x y z
2 2 2
数学上，上式称为泊松方程，是常物性、稳态、三维 且具有内热源稳态的温度场控制方程式。
4、常物性、无内热源、稳态
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
式中：ρ——微元体的密度；
dxdydz
c ——微元体的比热容； Φ——单位时间内单位体积中内热源的生成热；
τ
——时间;
导热问题的数学描写
导入微元体的总热流量 + 微元体内热源的生成热 = 导出微元体的总热流量 + 微元体热力学能（即内能）的增量
导入微元体的总热流量 - 导出微元体的总热流量 = 微元体热力学能（即内能）的增量 - 微元体内热源的生成热
第二章
稳态热传导
主讲人：郭智群
第二章 稳态热传导

工程应用的两个基本目的：
1、计算所研究过程中传递的热流量； 2、准确预测物体中的温度分布。

拟解决的问题：
温度分布如何描述和表示？
温度分布和导热的热流存在什么关系？ 如何得到导热体内部的温度分布？
目录

2.1 导热基本定律 2.2 导热问题的数学描写 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.4 通过肋片的导热 2.5 具有内热源的一维导热 2.6 多维稳态导热的求解
导热问题的数学描写
能量守恒定律 傅里叶定律
导热微分方程 导热问题的 数学描写 定解条件
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能 量守恒关系，建立该处温度与其他变量之间的关系式。
导热问题的数学描写
2.2.1 导热微分方程
一、推导过程 物理问题描述： 三维的非稳态导热体，且物体内有内热 源（导热以外其他形式的热量，如化学反应 条件假设：
x t dx x x dydz dx x x x x
x xdx x x

y y dy
t y dy y dxdz dy y y y y y y y
能、电能等）。
（1）物体是各向同性的连续介质; （2） 导热系数、比热和密度已知； （3）内热源均匀分布，为 W/m3;（4）导热体与外界没有功的交换。

导热问题的数学描写
在直角坐标系中，从导热物体中任意取 出一个微元平行六面体来做该微元体的能量 收支平衡分析。 按照能量守恒定律，在任一时间间隔内 有以下热平衡:
式中：gard t——空间某点的温度梯度；
指向温度升高的方向；
n ——通过该点的等温线上的法向单位矢量，
t t t q - gradt ( i j k) x y z
导热基本定律

2.1.4导热系数
1、定义： 导热系数的定义式由傅里叶的数学表达式给出。数值上，导 热系数等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度是矢量的 模。 q q t gradt n x
0 a bt
式中： a、b——常量；
t——温度； λ0——该直线段的延长线 在纵坐标上的截距；
导热基本定律
4、保温材料
1992年国家标准规定：凡平均温度不高于350℃时导热系
数不大于0.12W/(m· k)的材料称为保温材料。
常用的保温材料主要有：复合硅酸盐、玻璃棉、岩棉、泡 沫石棉等。它们都具有重量轻、隔热好以及施工方便等特点。
t y y dxdz y y
z z
t dxdy z z
导热问题的数学描写
在直角坐标系中进行分析，令（Φx）x+dx 为热流量在x方 向上热流分量Φx在x+dx点的值，其余类推。得到导入微元体 的热流量为：
t 0时,- f 2 n w
导热问题的数学描写
3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传 热系数h及周围流体的温度tf。 如右图中：