2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案
第四届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2007年7月27日, 8:00-12:00, 浙江镇海)
一、 试求实数a 的个数,使得对于每个a ,关于x 的三次方程31x ax a =++都
有满足1000x <的偶数根。 二、 如图,设C 、D 是以O 为圆心、AB 为
直径的半圆上的任意两点,过点B 作O 的切线交直线CD 交于P ,直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明:OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ??
=+∈????
,试求
[][]2212n n S a a a ??=+++??的值,其中[]2,n x ≥表示不超过x 的最大整数。
四、 求最小的正整数n ,使得对于满足条件1
2007n
i i a ==∑的任一具有n 项的正整
数数列12,,,n a a a ,其中必有连续的若干项之和等于30。
第 二 天
(2007年7月28日, 8:00-12:00, 浙江镇海)
五、 设函数()f x 满足:()()121f x f x x +-=+(x R ∈),且当[]0,1x ∈时有
()1f x ≤,证明:当x R ∈时,有()22f x x ≤+。 六、 如图,直角三角形ABC 中,D 是斜边AB
的中点,MB AB ⊥,MD 交AC 于N ;MC 的延长线交AB 于E 。证明:DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c ):
(i) a
于整数2k ≥,有
N
C A
F
D
B
A
O
P
C
(1)CN AN NK
OE AO OF
== 因M 为CD 的中点,MN //DK ,则N 为CK 的中点;故由(1)得,OE OF =。
【另证】 如图,过O 作OM CD ⊥于M ,连结BC 、BM 、BD 、BE ,因为OM CD ⊥,PB AB ⊥,所以O 、
B 、P 、M 四点共圆,于是
BMP BOP AOE ∠=∠=∠,EAO BDM ∠=∠,所以OAE MDB ??,AE AO AB
BD DM CD
==
,从而BAE CDB ??,EBA BCD BAD ∠=∠=∠,所
以AD //BE ,1OE OB
OF OA
==,即OE =OF 。 一、 设*11111min i i i a k k N k k k +++??=+∈=+????
(*1k N ∈),则11111
1
i i i i a k k a k k ++≤+<+=,即数列{}n a 严格单增。
由于2
2m k m k
+≥,(当k =m 时取得等号),故()2*2m a m m N =∈; 又当k =m 、m +1时,()
121m m k m k
++
=+,而在k m ≤或1k m ≥+时,()()10k m k m ---≥,即()()22110k m k m m -+++≥,亦即
()121m m k m k
++≥+,所以221m m a m +=+;再由数列{}n a 的单调性,当
()22
1m m i m +≤<+时,()2121i m a m +≤<+,所以
[]()
22
22
2, 21, 1i m m i m m a m m m i m ?≤<+?
=?++≤<+?? 因此,
[]()()22
22
2211431m m
i
i m a m m m m m
m +==?++?+=++∑,于是
()()()()
()21
21
3243121211431262
831366
n n m S m m n
n n n n n n n n n n -==+++---=?+?+-+-+-=
∑
M F D B O
A P
C
二、 首先,我们可以构造一个具有1017项的整数数列121017,,,a a a ,使其中不
存在和为30的连续项;为此,取1229301, 31a a a a =====,以及{}30 , 1,2,,30, m i i a a i m N +=∈∈,即 {}k a 为:
1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1
(共有34段,前33段中每段各有30个项,最后一段有27个项,共计1017个项),其次,当项数少于1017时,只须将某些段中连续的若干个数合并成较大的数即可。
对于满足条件1018
12007i i a ==∑的任一个具有1018项的正整数数列
121018,,,a a a ,我们来证明,其中必有连续的若干项之和等于30。为此,
记1
, 1,2,
,1018k
k i i S a k ===∑,则 12101812007S S S ≤<<<=。今考虑集
{}1,2,
,2007中元素的分组: (1,31),(2,32),,(30,60),(61,91),(62,92),,(90,120),(121,151),(122,152),
,
(150,180),
(601,6031),(602,6032),
,(6030,60(1)),(60321,6032
31),
(60322,603232),
,(603230,6033),
198k k k k k k ++++++?+?+?+?+?+?11982,2007
其中有33×30=990个括号以及27个未加括号的数,从中任取1018个数作为k S 的取值,必有两数取自同一括号,设为(),k k m S S +,则30k m k S S +-=,即该数列中1230k k k m a a a ++++++=。因此n 的最小值为1018。
三、 令()()2g x f x x =-,则()()()()()2
21110g x g x f x f x x x +-=+--++=,
所以()g x 是R 上以1为周期的周期函数;又由条件当[]0,1x ∈时有
()1f x ≤,可得,当[]0,1x ∈时,()()()222g x f x x f x x =-≤+≤,所以周期函数()g x 在R 上有()2g x ≤,据此知,在R 上,
()()()2222f x g x x g x x x =+≤+≤+。 四、 如图,延长ME 交ABC ?的外接圆于F ,延
长MD 交AF 于K ,作CG //MK ,交AF 于G ,交AB 于P ,作DH CF ⊥于H ,则H 为CF 的中点。连HB 、HP ,则D 、H 、B 、M 共圆,故HBD HMD HCP ∠=∠=∠,于是H 、
G
K
H
P F N C A
E B
D
B 、
C 、P 共圆,所以PHC ABC AFC ∠=∠=∠,故PH //AF 。即PH 为CFG ?的中位线,P 是CG 的中点。则AP 为ACG ?的边CG 上的中线,又因NK //CG ,故
D 是NK 的中点,即线段AB 与NK 互相平分,所以DBN DAK ∠=∠,而DAK BAF BCF BC
E ∠=∠=∠=∠,即有DBN BCE ∠=∠。 五、 据条件,
()()()2
111(1)a c b ++=+
设221, 1a n x c m y +=+=,其中x 、y 不含大于1的平方因子,则必有x=y ,这是由于,据(1),
()
()
2
2
1(2)mn xy b =+
则()1mn b +,设1b mn w +=?,于是(2)化为,
2
(3)xy w =
若1w >,则有质数1p w ,即221p w ,因x 、y 皆不含大于1的平方因子,因此1p x ,1p y 。设111111, , x p x y p y w p w ===,则(3)化为
2
111(4)x y w =
若仍有11w >,则又有质数21p w ,即2
22
1p w ,因11,x y 皆不含大于1的平方因子,则21p x ,21p y ,设122122122, , x p x y p y w p w ===,则(4)化为,
2222
x y w = ,……,如此下去,因(3)式中w 的质因子个数有限,故有r ,使1r w =,而从2r r r x y w =得,1r r x y ==,从而12r x p p p y ==,改记x=y=k ,则有,
2211(5)1a kn b kmn c km ?=-?
=-??=-?
其中
1, 100(6)n m a b c ≤<<<<
k 无大于1的平方因子,并且1k ≠,否则若k =1,则21c m =-,因c 大于第三个质数5,即215c m =->,3m ≥,得()()2111c m m m =-=-+为合数,矛盾。因此k 或为质数,或为若干个互异质数之乘积,(即k 大于1,且无大于1的平方因子)。我们将其简称为“k 具有性质p ”。 (i) 据(6),2m ≥。
当m =2,则n =1,有12141a k b k c k =-??
=-??=-?
,因c <100,得k <25;
若()1mod3k ≡,则3c 且c >3,得c 为合数;
若()2mod3k ≡:
在k 为偶数时,具有性质p 的k 有2、14,分别给出211, 214127a b =-==?-=不为质数;
k 为奇数时,具有性质p 的k 值有5、11、17、23,分别给出的1a k =-皆不为质数;
若()0mod3k ≡,具有性质p 的k 值有3、6、15、21: 当k =3时,给出解()()1,,2,5,11f a b c ==; 当k =6时,给出解()()2,,5,11,23f a b c ==;
当k =15、21时,分别给出的1a k =-皆不为质数;
若m =3,则n =2或1。
在m =3、n =2时,416191a k b k c k =-??
=-??=-?
,因质数97c ≤,得10k ≤,具有性
质p 的k 值有2、3、5、6、7、10:
在k 为奇数3、5、7时,给出91c k =-皆为合数; 在k =6时,给出6135b k =-=为合数; 在k =10时,给出4139a k =-=为合数; 在k =2时,给出解()()3,,7,11,17f a b c ==;
在m =3、n =1时,416191a k b k c k =-??
=-??=-?,10k ≤,具有性质p 的k 值有2、
3、5、6、7、10:
在k 为奇数3、5、7时,给出的31b k =-皆为合数; 在k =2和10时,给出的1a k =-不为质数; 在k =6时,给出解()()4,,5,17,53f a b c ==;
(ii)
m =4时,由16197c k =-≤得6k ≤,具有性质p 的k 值有2、3、5、6。
在k =6时,166195c =?-=为合数;
在k =5时,251
201
a n
b n ?=-?=-?,因4n m <=,则n 可取1、2、3,分别得
到a 、b 至少一个不为质数;
在k =3时,48147c =-=,231
121
a n
b n ?=-?=-?,因4n m <=:
在n =3时给出的a 、b 为合数;
在n =2时给出解()()5,,11,23,47f a b c ==;
在n =1时给出解()()6,,2,11,47f a b c ==;