一、角平分线的三种“模型”
模型一：角平分线+平行线→等腰三角形
如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.
A A A
E P C E C
D F
E P
O B B C O F B
图1 图2 图3
例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.
模型二：角平分线+垂线→等腰三角形
如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点
E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.
例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，
求证：∠BAD=∠DAC+∠C.
模型三：角平分线+翻折→全等三角形
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.
D
A E
A P
/ B C
D B/ B C
图5 图6
例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：
PB+PC>AB+AC.
二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1
()2
BE AC AB =-
2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的
平分线，求证：∠1=∠2
2、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．
2
1F E
D
C
B
A
N
P
E
D
C
B
A
G
2
1P
F
E
C
B A A
G
C
H
D
E
F
图2
B
A
B
D
C
E F
图
求证：AE=ED 3、（四（2））
四、以角的平分线为对称轴构造对称图形 例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．
求证：AB=AC+CD ．
2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800
， 求证：AD=DC ．
五、利用角的平分线构造等腰三角形
1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：CD=2
1
BE ．
B
A
C
D E
图1
A
B
D
E C
B
A
C
D
E 图2