导数大题专题
题型一．求含参数的单调性问题
一． 讨论是否存在极值点问题
1.求f(x)= -ax+1的单调区间
2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间.
2()1
x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12
y x b =+,a b ()f x
3. 设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
二．讨论极值点的大小关系问题
1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率；
（2）求函数)(x f 的极值点。，
3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x
2. 已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
3.（本小题13分）
设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ； （Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
4. 已知函数2()()x k
f x x k e =-。求()f x 的单调区间；
22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23
a ≠
()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x
三． 讨论极值点和定义域问题
1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a x
x a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间
2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22
x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。
3. （本小题满分13分） 已知函数1()ln(1)1a f x x ax x -=+-++ (12
a ≥). （Ⅰ）当曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线:21l y x =-+平行时，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
四． 讨论极值点和区间的关系问题
1. （本小题满分13分） 已知函数32
2()1,a f x x x =++其中0a >. （I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.
2. 已知函数()ln a f x x x
=+。 （Ⅰ）当0a <时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在[1,e]上的最小值是
32
，求a 的值.
3.（本小题满分13分） 已知函数3211()+2132f x x x x =-+.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当502a <≤时, 求函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值
题型二分离参数法题型训练
1.（本小题共13分）
已知函数32
()2.
f x x x x
=++
（I）求函数()
f x的单调区间与极值；
（II）若对于任意2
(0,),()
x f x ax
∈+∞≥恒成立，求实数a的取值范围。
2.（本小题共13分）
已知函数()ln
f x x x
=．
（Ⅰ）求函数()
f x在[1,3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在
1
[,e]
e
x∈（e为自然对数的底数，且e=2.71828）使不等式2
2()3
f x x ax
≥-+-成立，求实数a的取值范围．
3. （本小题满分14分）
已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；
(Ⅱ)求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
4.已知函数ln 1()ax f x x
+= (0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围
5.已知函数e ()x
f x x
=. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >； （Ⅲ）问集合{()0}x f x bx ∈-=R （b ∈R 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）
6.（本小题共14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．
()2x f x e x =-()f x 0x >2x e x >0x >2()2f x kx x =-k
题型三 求最值问题
一． 分类讨论法求最值
1．（本小题共14分）
已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；
2．（本小题共13分）
已知函数()()cos sin f x x a x x =--，(0,π)x ∈，()a ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有2
122()21f x x x >--，求a 的取值范围．
3.（本小题共13分）
设函数()x f x e ax =-，x R ∈．
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >；
（Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．
二．恒成立问题或存在某个值成立的最值问题
1.（本小题13分） 已知函数x x x x x f ln 2
161)(3-+=. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程；
（Ⅱ）若()f x a <对),1(e e
x ∈恒成立，求a 的最小值.
设函数1)(--=x ae x f x ，R ∈a ．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围；
3.（本小题共13分） 已知函数1()ln ()e
x f x a x a =+∈R ． （Ⅰ）当1e
a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．
已知函数f (x) ＝1x x e
- （Ⅰ）求曲线y =f (x)在点（0，f （0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221()()e f x f x -≥-
成立，求实数a 的最小值。
5.（本小题共13分） 已知函数1()ln()(0)f x kx k k x
=+->.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）对任意12[]x k k ∈，，都有ln()1x kx kx mx -+≤，求m 的取值范围.
6.FT （本小题共14分）
已知函数()ln f x x x =.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22()(0)f x ax a a
≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.
7．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)a f x x a x g x a x
+=-=-
>． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．
8.（本小题共13分）
已知函数22()=ln ()f x x ax a x a --∈R ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
9.（本小题13分）
已知函数21()(21)ln 22
f x x x x x =+--，l 为曲线C :()y f x =在点(1,(1))f 处的切线．
（Ⅰ）求l 的方程；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设()'()g x f x x a =+-，若关于x 的不等式()0g x <有解，求实数a 的取值范围．
题型四 零点问题
()f x
1．（本小题共14分）
设函数，． （Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数； （Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
2.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.
3.（本小题共13分）
()ln m f x x x
=+m ∈R m e =)(x f ()()3
x g x f x '=-0b a >>()()1f b f a b a
-<-m 2()ln =-f x x x ()=y f x (1,(1))f 2()=-+g x x x t ()()()=-h x f x g x 1[,]e e
2.718≈e t
已知函数1()ln ()f x a x a R x
=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．
4.HD （本小题14分）
已知函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：函数有且只有一个零点；
（Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）
5.（本小题14分）
2()222x f x ax x =---e ()y f x =(0,(0))f 0a ≤()f x 0a >()f x
已知函数21()sin cos 2
f x x x x ax =++，[,]x ∈-ππ. （I ）当0a =时，求()f x 的单调区间；
（II ）当0a >时，讨论()f x 的零点个数.
6.（本小题13分）
已知函数()1ln ()f x a x a x
∈R ＝－． （Ⅰ）当1a ＝-时，
（i ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（ii ）设()()1g x xf x =-，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数f (x )在区间有两个的零点，求实数a 的取值范围．
()g x 21,e ??+∞????
题型五 二阶导数问题
1.（本小题13分）
已知函数f (x )=e x cos x ?x .
（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,
]上的最大值和最小值.
2.（本小题共13分）
设函数f （x ）=xe a ﹣x +bx ，曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y=（e ﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求f （x ）的单调区间．
2
3.（本小题13分） 已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R . （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值； （Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解，求a 的取值范围.
4. （本小题13分） 已知函数()()e x a f x x x =+，a ∈R . （Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）当5a ≥-时，求证：()f x 在(1,)+∞上为增函数.