《小学数学建模》
案例一：
认识平行四边形
第一环节：呈现原模，建立表象。
课始，呈现生活中的图片——校园风景图，提问：在我们的校园中，哪里有平行四边形？在寻找中，唤醒学生的记忆，建立起对于“平行四边形”的表象。
表象是人脑对客观事物感知后留下的形象。表象接近于感知，具有一定的鲜明性和具体性，同时又接近于概念，具有一定的抽象性，它起着重要的中介作用。建立表象，可以使学生逐步摆脱对直观教具的依赖，克服感知中的局限性。在表象的基础上，进行抽象、概括，揭示概念的本质属性，易于被学生接受。
第二环节：凸显本质，概括定义。
1.初步感知平行四边形特征
课件出示一个平行四边形图，提问：为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢？（板书“平行四边形”）拿出你的平行四边形纸片进行观察、思考，然后和同桌讨论、交流一下。
（1）学生观察、猜测、动手验证（用尺子测量、平移）；
（2）同桌讨论、交流；
（3）反馈，板书“两组对边分别平行的”；
（4）课件演示平行四边形两组对边分别平行。
2.辨析图片，抽象概括，完善定义
（1）出示第一个平行四边形纸片（较大、正放）：这个是不是平行四边形？（旋转，变换位置）现在它还是平行四边形吗？看它是不是平行四边形，要根据什么来判断？（手指板书）我们大家一起用手来比划一下这两组平行线吧。
（2）出示第二个平行四边形纸片（较小、斜放）：这个是不是平行四边形呢？（旋转）这样放呢？（再旋转）这样呢？
（3）出示第三个平行四边形纸片（随意放）：这个是吗？现在老师给它动个小手术，“喀嚓”用剪刀剪一刀（边说边剪下一个角），看，现在它还是平行四边形吗？揭示平行四边形首先必须是四边形。（板书“四边形”）
（4）概括定义：现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗？抽生说，师完善板书，写上“的”。然后，看着板书全班同学大声朗读平行四边形定义，并说给同桌听听。
当学生已经充分感知并建立表象后，教师要不失时机地在此基础上，通过分析、比较、综合、抽象、概括使学生获取对事物的本质属性的认识，从而使学生的感性认识跃进到理性认识。在这个概念形成的过程中，可运用变式与反例，凸显概念的本质属性，帮助学生建立正确的概念（即数学模型）。
第三环节：根据定义，明确外延。
1.出示一个长方形纸片，问：这个是平行四边形吗？认为不是的同学请站起来。
教师先请站着的同学说理由，然后请坐着的代表发言。当坐着的说“因为长方形的两组对边分别平行，所以它也是平行四边形”时，再问站着的同学，是否改变主意？假如也认为“是”了，就请坐下。等全体都认可的情况下，教师板书“长方形”，并顺势补充说明：“我们可以说长方形是特殊的平行四边形。”
2.出示一个正方形纸片，问：这个是什么图形？它是平行四边形吗？根据学生回答师板书“正方形”。
3.小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形、正方形都是特殊的平行四边形。
当用定义把概念的本质属性揭示出来时，教师要采取一切手段帮助学生明确概念的外延，以便让学生在理解的基础上更好地掌握概念。
第四环节：运用分类，形成概念系统。
（之前，已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学）
1.练习：从下面图形中找出平行四边形和梯形，并给平行四边形打上√，给梯形画上☆。
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
2.学生做题，师巡视，然后选一张在实物投影仪下讲评。
3.分类，小结：
（1）分类：假如我们要给这些图形分类，你打算把它们分成几类？哪三类？
（第一类是打√的，第二类是画☆的，第三类是既不打√也不画☆的。）打√的一
类是什么？画☆的一类？既不打√也不画☆的一类？（板书“一般四边形” ）平行
四边形有几组对边平行？梯形？一般四边形？我们是按什么标准把它们分成三
类的？它们可以统称为什么？（板书“大括号符号、四边形” ）
（2）小结：从这里我们可以看出，平行四边形和梯形是特殊的四边形，而
长方形和正方形又是特殊的平行四边形。
4.用集合图表示各四边形之间的关系。
分类是根据事物的本质属性或者显著特征所进行的划分，它是揭示概念外延
的一种逻辑方法。通过分类可以准确地揭示概念的外延，起到明确概念的作用。
同时，还能使知识条理化、系统化，防止概念的混淆。只有当学生了解了一个概
念与其他概念的相互联系以及这个概念在知识体系中所处的地位，才能对这个概
念有比较全面、深刻的理解。因此，当学生学习一定数量的概念后，教师应运用
分类的思想方法帮助学生形成正确的概念系统。
案例二：
乘法分配律
第一环节：创设情境，诱发问题。
小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过
建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。
因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学
生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体
现一个模型化的过程。
希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增
加10米。扩建后的操场面积有多大？
（1）独立思考，尝试解决。
（2）组织交流，分析比较。
生1：我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场
的面积。60×（30＋10）= 60×40 = 2400（平方米）。
生2：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。60×30＋60×10 = 1800＋600 = 2400（平方米）。
30米10米
根据学生回答，教师板书以上两种算法。
在这一环节中，当教师提出问题后，应让学生明确问题解决的目标，激发问
题解决的动机，充分发挥教师的引导作用。同时，问题的提出要针对学生实际，
问题的引入应力求趣味、新奇、有针对性，能够诱导、启发、激活学生头脑中潜
在的知识，使之服务于问题的解决，最大限度地调动学生的求知欲。
第二环节：点拨导学，构建模型。
在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住
主要因素进行抽象化简,然后用不完全归纳法构建数学模型。这一过程恰好又是
学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。
师：刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。现在请让我们回头
来看一看，60×（30＋10）=2400，60×30＋60×10=2400，计算结果相等，我
们是否可用“=”把这两个式子连接起来？
生：可以！
教师随即板书：60×（30＋10）= 60×30＋60×10。
师：你会读这个等式吗？
生：60乘30与10的和，等于60乘30的积加60乘10的积。
师：现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？课件呈现
“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自主学习单1”。
在组织交流时，教师有选择性地板
书，并提问:观察一下，这些等式有什
么特点？和同桌悄悄地说一说。
然后课件展示如下: ×（ + ）= × + ×
师：请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如左下图），并对
自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。
60米 30米米
学生在自主完成“自主学习
单
2”后，交流讨论：
生1：我的猜测是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通过验证，得出70×（3
＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，因为他们的结果相等，所以
我的结论是：一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两
个积加起来。
……
生4：假如用字母表示，我认为可以这样表示：a ×（b ＋c ）=a ×b ＋a ×c 。
师：在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。（板书课题）
教师导学是构建模型的前提。从导思、导议、导练入手，结合学生心理特
征和认知水平提出的启发性问题，不宜过于简单，也不能超过学生的实际水平。
同时，老师要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、现象的、感性
的问题上升到理性并纳入到所要达到的教学目标的轨道上来，从而形成集体求
索的态势。另外，当提出一个或几个问题之后，要给学生思考的时间。要让学
生独自在课堂教学“这棵大树下”思考一会儿，静静想一想，如何“跳”才能
“摘到果子”。这样，他们解决问题的能力才会更强些。只有当学生经过独立
思考之后，在随后的小组交流中才会有话想说、有话可说，这样小组交流的质
量才能提高。
第三环节：深层探究，求解结果。
教师在点拨导学，引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层
探究，求解数学问题。这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决
问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模
型，引领学生走向数学更深的本源。
简便计算：37×7＋37×3 48×19＋52×19 102×17
（1）学生独立计算。
（2）反馈交流。在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。
米 米米
师：联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？
生1：第一个算式可以看作求两个长是37，宽分别是7和3的长方形面积之和。因为它们的长相等，所以，可以把这两个长方形沿着长拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长仍是37，宽是7＋3=10。
师：大家能想象他所说的长方形是怎么样的吗？请你把它画在纸上。
学生开始动笔画，教师提示只需画草图就行。然后选一张展示。
师：第二个算式呢？
生2：第二个算式可以看作长分别是48和52，宽都是19的两个长方形面积之和。因为它们的宽相等，所以，可以把这两个长方形沿着宽拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长是48＋52=100，宽是19。
师：那么第三个算式又怎么解释？
生3：把一个长方形分成了两个长方形，也就是把长分成了100和2，然后剪开。但是把这两个长方形的面积加起来，仍旧等于原先一个长方形的面积。
师：大家能想象吗？
生意会地点点头。
这一环节以学生交流讨论为主，交流讨论的目的在于抓重点、明思路、排难点、解疙瘩、澄疑点、解迷惑，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。学生交流讨论的过程是学生之间、师生之间的多边互动的过程，应最大限度地调动学生的积极性，提高学生的参与程度，尤其是思维参与程度。在这里，教师的作用是指导问题求解的策略，要组织好交流活动，使学生尽情地交流求解问题的经验，相互补充，完善表述，形成策略。同时要把握好“收”与“放”的关系，放开以各抒己见，收拢以达到相对统一的认识，使学生的认识系列化、规范化。
第四环节：结合实际，检验模型。
求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。因此关键在于教师的引导和重视。
师：学习了乘法分配律，你认为有什么作用？
生1：可以使一些计算简便。比如计算38×32＋38×68，就可用38×（32＋6 8）=38×100=3800。
生2：解决应用题时，可以用两种方法解答。
……
师：那你能解决这个问题吗？
课件出示：
希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。增加的部分比原来的面积少多少？
生1：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算增加的面积比原来的面积少多少。60×30－60×10 = 1800－600 = 1200（平方米）。
生2：：要求增加的部分比原来的面积少多少，可以想象成把两个长方形沿着一条长重叠起来。因此，我只要先算出增加部分的宽比原来的宽少几米，再和长相乘，就可以算出增加的部分比原来的面积少多少。60×（30－10）= 60×20 = 1200（平方米）。
根据学生回答，教师板书以上两种算法。
师：结果相等，是否也可以把这两个算式用“﹦”连接起来？
生同意地点了点头，教师随即板书：60×（30－10）﹦60×30－60×10。
师：那么你能用字母公式表示这个新规律吗？
生：（a-b）×c=a×c-b×c 。
在以上的教学过程中，教师不仅引导学生结合实际去检验结果，同时也不断地引导学生发现新的数学知识。用“计算结果相等的两个式子也相等”，发现乘法分配律同样适用于两个数的差等。这是一个不断探索与发现的过程，体现了数学学习是学生用数学知识解决问题和发现新的数学知识的过程，同时还拓展了数学模型，引领学生走向数学更深的本源。
案例三：
节约用水，从我做起
——用数学事实说话
如今世界，随着经济的发展和人口的增长，世界用水量也在不断增加，用水就显的日趋紧张，水资源就日愈珍贵，而水资源是各种资源中不可替代的一种重要资源。曾经有专家说，地下水资源的枯竭比石油还严重，因石油可以被替代，但水却没有任何替代物，我国是一个大国，人口居世界第一，居民的缺水问题越来越严重，据国家防水总办公室统计，今年夏天已有100多个县级以上城市被迫限时限量供水，面对缺水的现状，节约用水已成为我国的基本国策，同时我国制定出《水法》：国家例行节约用水，大力推行节约用水措施，推行节约用用水新技术、新工艺、发展节水型工业、农业和服务业，建立节水型社会。那么我们从何入手节约用水呢？我认为可以从家庭用水习惯上寻找节约用水的奥秘。
我们家是三口之家：爸爸、妈妈和我。我们洗东西有时用脸盆洗、有时用自来水冲洗。
用脸盆洗和自来水冲洗，到底哪个浪费水呢？为此，我和妈妈在家里做实验。
实验器材：烧杯一个，脸盆一个，不同大小的毛巾两块，碗四个，大盘子两个，小盘子两个，肥皂一块，洗洁精一瓶，洗碗布一块。
实验过程：
实验一：洗脸
用脸盆洗：我按平时洗脸用水的习惯，我用烧杯量得每人用水大概500毫升。
用自来水冲洗：我们把脸盆放在自来水龙头下，由我一个人洗。我按照平时用水的习惯，旋转水龙头60度。用水按两次水擦脸，接着把水龙头关紧，用干毛巾擦脸。然后用烧杯量出脸盆里的水，结果用水1300毫升。
爸妈也用我的这个方法去实验，爸爸用手接四次水擦脸。妈妈用手接三次水擦脸。结果，爸爸用了2000毫升，妈妈用了1800毫升。
实验二：用肥皂洗毛巾，肥皂水漂清为止，试验方法同实验一。
用脸盆洗：小的毛巾用水1500毫升，大的毛巾用水3000毫升。
用来水冲洗：小的毛巾用水2800毫升，大的毛巾用水5000毫升。
实验三：洗四个碗、两个大盆、两个小盆，每次滴两滴洗洁精，洗洁精漂清为止，实验方法同实验一。
用脸盆洗：用水5000毫升。
用来水冲洗：用水8100毫升。
实验结果：如果从节约水资源的角度出发，洗任何东西都可以用脸盆洗或用自来水冲洗，在同样的条件下，用脸盆洗节约用水，用自来水冲洗浪费水。两者之间相差40%左右。以洗脸为例：如果某一个人每次洗脸都习惯于开着水龙头，而且旋转水龙头大约60度，用手接水四次擦脸，然后在自来水下冲洗毛巾，这样洗一次两非水大
约3500（2000-500+5000-3000）毫升，一天早晚洗两次，大约浪费水7000毫升，也就7升。一年浪费水2555升，假如中国13亿人口都用这个方法洗脸，一天大约浪费水91亿升，一年大约浪费水33215亿升。按1立方水1.80元计价，则全中国13亿人口一年浪费的水费折算成人民币大约是 1.80×33215÷1000=59.787亿元.这真是一个惊人的天文数字。
我在参考消息报上看到一个乌干达或津巴布韦人得用水量每人每天只有10升。而在埃塞俄比亚，人们每人每天只有3升。想想自己，比比人家，用水问题值得我们深思。
为了保护地球的水资源，我向大家呼吁：节约用水从小事做起，养成良好的用水习惯。开水龙头不能开得过大，流量适中。用水后及时关紧水龙头。洗东西时尽量用脸盆洗，不用自来水冲洗。充分利用水资源，如：我们那洗澡水冲厕所，拿洗脸水拖地等。同时，建议有关部门给每家每户定量供应水，超出这个限度加倍收水费，加大宣传节约用水的力度。以实际行动督促人们节约用水，让我们为节约水资源而努力吧！
案例四
一、论“牛吃草”问题
引言
"牛吃草"问题是小学数学中的一种题形，在小升初里也常常出现。不过，"牛吃草"问题既是一种题形，也是一种解题方法。本人就用"牛吃草"问题的解法应用到行程问题里。
正文
先来看两道普通的"牛吃草"问题：
例1：一片草地，如果有27头牛，6天可以把牧草全部吃完，有23头牛，9天可以把牧草全部吃完。问：假设牧草每天均速生长，每头牛每天吃的一样多，可供21头牛吃几天？
解：设1头牛1天吃一牧草。则27头牛6天共吃了27×6=162份牧草，23头牛9天吃了23×9=207份牧草，它们的差207-162=45份牧草是9-6=3天长出来的牧草，那么每天长45÷3=15份牧草。原来有牧草162-15×6=72份牧草。如果21头牛吃牧草，72÷（21-15）=12天吃完。
例2：一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草吃完。如果起初这15头牛吃了两天后，又来了2头牛，则共7天把草吃完。如果起初这15头牛吃了两天后，又来了5头牛，则总共多少天把草吃完？假设草每天均速生长，每头牛每天吃的一样多。
解：设1头牛1天吃一牧草。去掉这15头牛吃了两天的，则15头牛吃了6天可以把草吃完，17头牛5天可以把草吃完，那么15头牛吃了15×6=90份草，17头牛吃了17×5=95份草，它们的差95-90=5份草，是1天长出来的草，则每天就长1份草，原来有90-5×6=60份草，那么15+5=2 0头牛吃60÷（20-5）=4天可以把草吃完，加上去掉的两天，共4+2=6天吃完。
"牛吃草"问题还转换为了行程问题：
例3：甲、乙、丙三辆车从同一点出发，沿同一公路追赶一个人，这三辆车分别用6小时、10小时、12小时追上这个行人。已知甲车每小时行24千米、乙车每小时行20千米，则丙每小时行多少千米？
原解法：设行人速度为V人，那么6×（24-V人）=路程差，10×（20-V人）=路程差，则6×（24-V人）=10×（20-V人）
144-6 V人=200-10 V人
200-144=10 V人-6 V人
56=4 V人
V人=14，
行人每小时走14千米，则路程差=6×（24-14）=60，丙速为60÷12+14=19千米/小时。
"牛吃草"解法：当甲追上行人时，甲走了24×6=144千米，当乙追上行人时，乙走了20×10=200千米，它们的差2 00-144=54千米是行人10-6=4小时走的，那么行人每小时走54÷4=14千米，一开始行人距甲、乙、丙三辆车有144-6×14=60千米，则丙速为60÷12+14=19千米/小时。
结论
通过三个例题，我们得知了"牛吃草"就是抓住了因天数不一样和每天增长所导致的差，我们就利用这个差，依次得出答案，而且还发现"牛吃草"解法还可以应用到行程问题上等等。
案例五
有余数除法
《数学课程标准（实验稿）》“前言”阐述：“……让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数
学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。
现代教育理论认为，最有效的学习，是学生对学习过程的体验，它能给予学生自主建构知识和情感的体验时空。体验，包括行为体验和内心体验。行为体验是一种实践行为，是一个亲身经历的动态过程；内心体验是将行为体验进行升华和内化的过程。在小学数学教材里有许多需要学生体验的内容，如基本概念、计量单位等。
教学设计：按要求摆小棒活动（14根长度相等的小棒）。
1.用相同根数的小棒摆一种你喜欢的图形或数字，直到摆完14根小棒或余下的小棒不够摆一个相同图形或数字为止
2.把摆小棒的过程与结果用除法计算表示（学生在反馈交流中，体验“余数一定比除数小”）
师：大家观察有余数的算式中的余数和除数，你能发现什么？
生：这些算式中除数都比余数大。
生：这些算式中的余数都比除数小。
师：谁能结合摆小棒的过程说一说为什么余数比除数小。
生：我用4根小棒摆一个正方形，一共摆了3个正方形，余下2根不够再摆一个正方形。除数是4，余数是2，2比4小，所以余数比除数小。
生：我是摆数字“”，一个数字用5根，摆了2个数字，余下4根小棒不够再摆一个数字“”，余数4比除数5小。
师：谁能用一句话概括为什么余数比除数小？
生：余数表示余下的小棒不够再摆一个原图形或数字，所以余数都比除数小。师：把“都”换成“一定”该怎么说？
生：余数一定比除数小。
解读：
在这个活动中，学生的学习经历了操作、体验、感受和归纳概括的过程，自主有效地建立了“余数一定比除数小”的数学模型。这一教学模式符合儿童的认知规律，使新学的知识得到内化和升华。
在教学中，教师应尽可能地创造条件让学生亲身体验。如，四年级教学“生活中的负数”，教材以气温的高低认识负数，有些地区冬天几乎不出现零度以下气温，教学时可以让学生摸一摸冰块，体验感受零度以下的温度。又如“吨”概念的教学，可组织学生进行抬沙包的活动，每包装50千克，4人抬一包，1吨要抬20包，亲身体验，建立1吨的观念。
案例六
测量问题
例一某人身高为a，在黄浦江边的的东方明珠塔尖的仰角为α，
而在黄浦江的倒影中测得塔尖俯角为β。求东方明珠电视塔高h。（写
出计算公式）
见图，如果具体测得 =75.5度， =75.6度，a=1.77米，那么塔高是
多少米（保留一位小数）？（上海市1996年初赛）
解（h－a）/tanα=(h+a)/tanβ ,
所以h*tan β–a*tanβ=h*tanα+a*tanα, h*(tanβ–tanα)=a(tanα+tanβ).
因此h=a(tanα+tanβ)/(tanβ–tanα)=asin(α+
β)/sin(β–α ) (β > α).
若α =75.5度，β =75.6度，a=1.77mi ,则h=490.1米
例二如图所示，图画挂在墙上，它的下边缘呆在观察眼睛的上方a
米处，而上边缘在b米处。温：观察着在离墙多远的地方，才能使视
角最大（从而看得最清楚）？（上海市1996年决赛）
解由题意，观察者的视角θ =∠BPA=∠BPH－∠APH.显然0<θ <90.所以 tan θ=tan(∠BPH－∠APH)=(tan β–tanα )/(1+tanα*tanβ )
又tanβ =b/x,tanα=a/x,
所以 tanθ =(b-a)./(x+ab/c) 应为b-a是常数，tanθ是θ的增函数，所以当x+ab/x取最小值时，tanθ取最大值，从而θ最大。
又