立体几何中的探索性问题
一、探索平行关系
1．[2016·枣强中学模拟] 如图所示，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其部运动，则M 只需满足条件________，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)
答案：M 位于线段FH 上(答案不唯一) [解析] 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，故只要M ∈FH ，则MN ?平面FHN ，且MN ∥平面B 1BDD 1.
2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．
(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
解：(1)如图所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1
为正方形，所以EM ∥AD .(2分)
又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，
所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．(4分)
设正方体的棱长为2，
则EM ＝AD ＝2，BE ＝22
＋22
＋12
＝3. 于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝
EM BE ＝2
3
，(5分) 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2
3
.(6分)
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝
BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
因此D1C∥A1B.
又E，G分别为D1D，CD的中点，
所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG?平面A1BE.
(8分)
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，
所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，
因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，
(10分)
而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，
故B1F∥平面A1BE.(12分)
3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD ＝2，E为PC的中点．
(1)求三棱锥A-PDE的体积；
(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD . 又∵ABCD 是矩形， ∴AD ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，
∴AD 是三棱锥A -PDE 的高． ∵E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4， ∴S △PDE ＝12S △PDC ＝12×? ????
12×4×4＝4.
又AD ＝2，
∴V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8
3
.
(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，∵E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，∴EM ∥PA . 又∵EM ?平面EDM ，PA ?平面EDM ， ∴PA ∥平面EDM . ∴AM ＝1
2
AC ＝ 5.
即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.
4.如图所示，在三棱锥P - ABC 中，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．在线段AC 上是否存在点F ，使得AD ∥平面PEF ？若存在，求出
AF
FC
的值；若不存在，请说明理由．
解：假设在AC 上存在点F ，使得AD ∥平面PEF ， 连接DC 交PE 于G ，连接FG ，如图所示．
∵AD ∥平面PEF ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴AD ∥FG .
又∵点D ，E 分别为PB ，BC 的中点，∴G 为△PBC 的重心，∴AF FC ＝DG GC ＝1
2
.故在线段AC 上存在点F ，使得AD ∥平面PEF ，且
AF FC ＝12
. 5．[2016·卷] 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面PAC .
(2)求证：平面PAB ⊥平面PAC .
(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由．
解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥DC . 又因为DC ⊥AC ， 所以DC ⊥平面PAC .
(2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ， 所以AB ⊥AC .
因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥AB ，
所以AB ⊥平面PAC ， 所以平面PAB ⊥平面PAC .
(3)棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .证明如下： 取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF .
因为E 为AB 的中点， 所以EF ∥PA .
又因为PA ?平面CEF ，
所以PA ∥平面CEF .
6．[2016·卷] 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC
＝CD ＝1
2
AD .
(1)在平面PAD 找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .
解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：
因为AD ∥BC ，BC ＝1
2
AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，
所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ?平面PAB ，CM ?平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .
(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)
(2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .
因为AD ∥BC ，BC ＝1
2
AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，
从而PA ⊥BD .
因为AD ∥BC ，BC ＝1
2
AD ，
所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，
所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以BM ＝CD ＝1
2
AD ，所以BD ⊥AB .
又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ?平面PBD ，
所以平面PAB ⊥平面PBD . 7. [2016·模拟] 如图7-41-10，在四棱锥P -ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，AC ⊥CD ，且平面PCD ⊥平面ABCD .
(1)求证：AC ⊥PD .
(2)在线段PA 上是否存在点E ，使BE ∥平面PCD ？若存在，求出PE
PA
的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AC ⊥CD ，AC ?平面
ABCD ，∴AC ⊥平面PCD ， ∵PD ?平面PCD ，∴AC ⊥PD .
(2)在线段PA 上存在点E ，使BE ∥平面PCD ，且PE PA ＝1
3
.下面给出证明：
∵AD ＝3，BC ＝1，
∴在△PAD 中，分别取PA ，PD 靠近点P 的三等分点E ，F ，连接EF ，BE ，CF . ∵PE PA ＝PF PD ＝13，∴EF ∥AD ，且EF ＝1
3AD ＝1. 又∵BC ∥AD ，∴BC ∥EF ，且BC ＝EF ， ∴四边形BCFE 是平行四边形，
∴BE ∥CF ，又∵BE ?平面PCD ，CF ?平面PCD ， ∴BE ∥平面PCD .
8．(10分)[2016·中原名校联考] 如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，
AB ∥DC ，△SAD 是等边三角形，且SD ＝2，BD ＝23，AB ＝2CD ＝4.
(1)证明：平面SBD ⊥平面SAD .
(2)若E 是SC 上的一点，当E 点位于线段SC 上什么位置时，SA ∥平面EBD ？请证明你
的结论．
(3)求四棱锥S -ABCD 的体积．
解：(1)证明：∵△SAD 是等边三角形，
∴AD ＝SD ＝2，又BD ＝23，AB ＝4，
∴AD 2＋BD 2＝AB 2
，∴BD ⊥AD ，
又∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD . ∴BD ⊥平面SAD .
又BD ?平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAD .
(2)当E 为SC 的三等分点，即ES ＝2CE 时，结论成立． 证明如下：连接AC 交BD 于点H ，连接EH .
∵CD ∥AB ，CD ＝1
2
AB ，
∴CH HA ＝12＝CE
ES
，∴HE ∥SA .
又SA ?平面EBD ，HE ?平面EBD ， ∴SA ∥平面EBD .
(3)过S 作SO ⊥AD ，交AD 于点O . ∵△SAD 为等边三角形，
∴O 为AD 的中点，∴SO ＝ 3.易证得SO ⊥平面ABCD ，
∴V 四棱锥S -ABCD ＝1
3S 梯形ABCD ·SO .
∵S 梯形ABCD ＝1
2
×(2＋4)×3＝33，
∴V 四棱锥S - ABCD ＝3.
二、探索垂直关系
1．如图所示，在三棱锥P - ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，
PC 上的动点，则下列说法错误的是( )
A ．当AE ⊥P
B 时，△AEF 一定为直角三角形 B ．当AF ⊥P
C 时，△AEF 一定为直角三角形
C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定为直角三角形
D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定为直角三角形
答案：B [解析] 已知PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ， 则BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .
当AE ⊥PB 时，又PB ∩BC ＝B ，则AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥EF ，A 正确． 当EF ∥平面ABC 时，又EF ?平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，则EF ∥BC ，故EF ⊥平面PAB ，则AE ⊥EF ，故C 正确．
当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，PC ∩BC ＝C ，则AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥EF ，故D 正确．用排除法可知选B.
2．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等
腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
答案：a 或2a [解析] 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．当CF ⊥DF 时，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .
由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a
，整理得x 2－3ax ＋2a 2
＝0，解得x ＝
a 或x ＝2a .
3．如图所示，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；
②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．
答案：①②③ [解析] 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．
4.如图所示，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F
为线段BD 1的中点.
(1)求证：EF ∥平面ABCD ；
(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D
AD
的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．
解析：(1)证明：∵E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，∴EF ∥AB .