《直线的方向向量与点向式方程》教学设计
《直线的方向向量与点向式方程》教学设计 授课教师专业、班级 授课类型新授课时第1课时 所在册第二册所在章节第九章第1.1节 课题内容直线的方向向量与点向式方程 一、教材及单元内容分析 1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。 2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.) 3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基 础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质. 二、学情分析 学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技 之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学 了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试 不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做 作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到 玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。 三、教学目标 知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程. (2)理解直线的点向式方程的推导过程. 能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程. 情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。 培养学生观察和归纳的能力。 四、教学重点与难点 【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程.. 【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程.. - 1 -
空间直线与平面的方程及其位置关系
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空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
直线的方向向量（空间）测试题 1. 已知直线l 的一个方向向量m ??? =(2,?1,3)，且直线l 过A(0,y ， 3)和B(?1,2，z)两点，则y ?z =( ) A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 3 2. 设A(2,2，3)，B(4,0，1)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A. (1,2，5) B. (3,?2,?2) C. (1,?1,?1) D. (?1,1，?1) 3. 设l 1的方向向量为a ? =(1,2，?2)，l 2的方向向量为b ? =(?2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 3 4. 若点A (?1 2,0,1 2)，B (1 2,2,7 2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A. (13,2 3,1) B. (13,1,2 3) C. (23,1 3,1) D. (1,23,1 3) 5. 若两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1??? =(1,0,?1)， ν2??? =(?2,0,2)，则l 1和l 2的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 6. 已知向量a ? =(2,4，5)，b ? =(3,x ，y)，分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1//l 2， 则( ) A. x =6，y =15 B. x =3，y =15 C. x =83，y =10 3 D. x =6，y =15 2 7. 直线2x ?3y +1=0的一个方向向量是( ) A. (2,?3) B. (2,3) C. (?3,2) D. (3,2) 8. 已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，则不正确的有( ) A. AB ????? 与AC ????? 是共线向量 B. AB ????? 的单位向量是(1,1,0) C. AB ????? 与BC ????? 夹角的余弦值是√5511 D. 直线AC 的一个方向向量是(2,?4,?2) 9. 已知直线l 的一个方向向量为u → =(? √36,1 2 )，且l 经过点(1,?2)，则下列结论中正 确的是( ) A. l 的倾斜角等于150° B. l 在x 轴上的截距等于2√33 C. l 与直线√3x ?3y +2=0垂直 D. l 与直线√3x +y +2=0平行 10. 已知向量A (?1,0，1)，B (1,2，0)，请写出直线AB 的一个单位方向向量________．
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量 一、教学内容分析 这一节课重点介绍了空间直线的方向向量的概念和求法.例1是长方体在已经建立了空间直角坐标系得基础上求相关直线的方向向量，例2要求读者根据自己的理解，建立坐标系后求三棱锥中相关直线的方向向量；这两个例题都是简单几何体中空间直线的方向向量的基本运算，必须掌握好空间直线的方向向量求法，为后面用空间直线的方向向量求解有关度量问题打下好的基础. 二、教学目标设计 1、理解空间直线的方向向量概念； 2、掌握空间直线的方向向量的求法. 三、教学重点及难点 1、理解空间直线的方向向量概念; 2、掌握空间直线的方向向量的求法. 四、教学用具准备 运用多媒体展示相关例题及图形 五、教学流程设计 六、教学过程设计
（一）问题引入 1、 复习：平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 2、 思考：如何表示空间直线的方向？ （二）学习新课 1、空间直线的方向向量的概念 （1）怎么确定空间直线的方向向量？ 对于空间任意一条直线l ,我们把与直线l 平行的非零向量d 叫做直线l 的一个方向向量. （2）空间直线的方向向量是唯一的吗？ （3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？ 2、尝试解决 例1 如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点， （1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？ （2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向. 解：（略） （三）巩固新知
例2（教材P48 例题1）已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点'D 为坐标原点，过'D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：')4(;')3(;')2(;')1(DB C A C B AA . 解：（略） [说明]对于学生求出的同一直线的不同方向向量进行点评. . 例3（教材P49 例题2）已知所有棱长为a 的正三棱锥BCD A -，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量. 解：（略）
2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时) 教学目标： 知识与技能： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 通过建立直线参数方 程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学过程： 一、复习回顾： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 二、师生互动，新课讲解 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA = ；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =；
01||||2PMQN PF FQ MF FN PQ MN PF MF S PQ MN ?? ?⊥???=??=?u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r 与共线与共线直线的参数方程 一、源于教材 课本第二册（上）P 55. 设直线l 经过点000(,)P x y ，(,)v a b =v 是直线l 的一个方向向量（如图）。(,)P x y 是l 上的任一点，Q 向量0P P u u u r 与v r 共线，0 P P tv ∴=u u u r r 即00(,)(,)x x y y t a b --= 00()x x ta t y y tb =+?∴?=+?为参数 这就是直线的参数方程。 二、高于教材 参数方程00()x x at t y y bt =+?? =+?为参数中的t 的几何意义不代表有向距离，用处不大。如果直线的方向向量(cos ,sin )v θθ=r 来确定，则参数方程为00cos ()sin x x t t y y t θ θ=+?? =+?为参数，这时00（x ,y ）表示定点，t 表示定点到动点的有向距离，（即有方向又有大小）。t 的意义用处就大了。 三、直线参数方程在高考中的应用 1、（05全国Ⅱ21）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 2212 y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u u r 共线，且0PF MF ?=u u u r u u u r ，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。（命题组给出的参考答案） 解：如图，由条件知MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交 于焦点F(0,1)，且PQ MN ⊥， 直线PQ ，MN 中至少有一 条存在斜率，不妨设PQ 的 斜率为k ，又PQ 过点 F(0,1)，故PQ 方程为1y kx =+。 将此式代入椭圆方程得 22(2)210k x kx ++-=。 设P 、Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则 22122222 k k k k x x --+-++= 从而： 亦即2 22(1)||k PQ += （1） 当0k ≠时，MN 的斜率为1 k -，同上可推 得， 故四边形面积 22221 4(1)(1) 1||||12(2)(2)k k S PQ MN k k ++== ++g 2222 14(2)2 52k k k k ++= ++ 令22 1 u k k =+ 得4(2)12(1)5252u S u u +==-++。 因为2 21u k k =+，当1k =±时，162,9 u S ==。 且S 是以u 为自变量的增函数。所以16 29 S ≤<。 （2） 当0k =时，MN 为椭圆长轴， ||22,||2MN PQ == 1|||| 2.2S PQ MN =?= 综合（1）、（2）知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为169 。 解2： 今设PQ 方程：0cos 1sin x t y t θθ =+?? =+?（t 为参数），代入椭圆，整理得： 2212122 2(1cos )2sin 10 2sin 1 ,1cos 1cos t t t t t t θθθθθ++-=--?+=?=++ 212222sin 422||||()1cos 1cos PQ t t θθθθ-∴=-+++ 同理：22||MN 2122222412sin 24PMQN S θθθ ∴=??= + 答：…… 22 2 2 2 12228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+22122(1())||12()k MN k +-=+-2160sin 21,29 S θ≤≤∴≤≤Q
1．已知集合 2{2,0},{lg(2)}x M y y x N x y x x ==>==-，则M N 为 （ ） A.[2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(1,2) D. [1,) +∞ 2．若命题“0,x ?∈R 使得2 0230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[-6，-2] C ．（2，6） D ．（-6，-2）
3．下列选项叙述错误的是 （ ） A.命题“若1x ≠，则 2320x x -+≠”的逆否命题是 “若2320x x -+=，则1x =” B.若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题 C.若命题:p x R ?∈，210x x ++≠，则:p x R ??∈，210x x ++= D ．“2x >”是“2320x x -+>” 的充分不必要条件
4．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ?<=?>?则1[()]e f f =( ) A ．-1 e B ．e - C ．e D ．1 e 5．函数() f x =的定义域为（ ） A.1,2??-∞ ??? B. 1,2??+∞???? C.11,42?? ??? D.1,4??+∞ ???
6．已知向量()2,8a b +=-， ()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.63 65 B.63 65- C.63 65± D. 513 7．已知2a =， 3b =， 19a b +=， 则a b -=( )
8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ?=+??=+??（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06π ρθ+=. ⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； ⑵求圆C 截直线l 所得的弦长.
正确理解直线的方向向量 笔者在实际教学的过程中发现，学生在方向向量概念的理解上存在疑问，方向向量是在直线方程这一章提出的，其主要作用是刻画已知直线的斜率，通过翻阅近三年的高考试卷，发现高考题对方向向量也有充分的考查，那么如何充分理解方向向量来解决相关的问题，我在这谈一些粗浅的认识. 书本上是这样引入方向向量的. 直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.理解这句话的意思需要弄清这样几个概念：①什么是直线上的向量？ ②P1，P2在直线上有没有顺序？ ③什么是平行向量？ 首先，直线上的向量指的是向量的起点与终点都在直线上. 其次，直线上的向量的起点与终点是没有顺序之分的，如图所示，有两种情况： 再次，平行向量指的是与已知向量方向相同或相反的向量，可以在直线上，也可以在直线外.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),根据向量的坐标运算，
对图一：=（x2- x1，y2- y1）=(x2-x1)(1,)= (x2-x1)(1,k) 1 对图二：=（x1- x2，y1- y2）=(x1-x2)(1,)= (x1-x2)(1,k) 2 从上面两个式子发现，如果给出了直线上的两个点，我们很快便可以表示出这条直线的方向向量，同时，也能得出直线的斜率，如果给出了直线的方向向量，我们可以根据向量的坐标运算,表示成1 2的形式，直接找到直线的斜率. 下面我们看这样一个例子： 例1 求过点（1，2），方向向量是（3，5）的直线方程 分析：由题可得，于是得到直线的斜率k=,根据直线方程的点斜式，问题得解. 解：设所求的直线方程是：y=kx+b， 由题可知，可知该直线的斜率是k=， 又因为该直线方程过点（1，2）， 故所求直线的方程是：，即5x-3y+1=0. 通过以上题目的分析，我们发现，直线的方向向量在教学大纲中也是着重要求的内容，同学们在学习的时候必须加以透彻理解，在平常做练习的时候加以体会和运用.
案例（二）——精析精练 课堂合作探究 重点难点突破 知识点一 空间直线的向量参数方程 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。 如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为() ()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。 知识点二 用向量方法证明平行关系。 （1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ?。 （2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或??αl 存在两个实数 y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。 （4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ?且β//2v 。 知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角 （1）两直线垂直的条件 如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥?⊥。 由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=?v v 。 （2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时?=0θ，当两直线垂直时?=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()??∈90,0θ，所以空间两直线所成 的角[]??∈90,0θ。 如上右图所示，设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则有 21cos cos v v ?=θ。