(2) 2cos 2
n
n
1 二 cos —
8 4
2 7T
(3) sin cos
8
2
二
二
cos —
8
4
2_
—)
H Jl
8sin cos cos —
48 48
24
2 .例题分析：
JT
JI
1
cos
茜
4sin
24
cos
24
cos ^=2sin ^cos ^
=sin
6 =
2
例1 :已知sin 〉二一,
13
5 _
解：??? sin
，忙
二
H 、 :（，二），求 sin2： , cos2 , tan2：的值。
2
（—，「：）,
2
12 ??? sin 2： = 2sin ： cos ：
120 169 13
2
119 120 ；cos2： =1-2sin 2
； tan2：
169
119
第三章 第二节二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、
课题：二倍角的正弦、余弦、正切（ 1）
二、 教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2. 会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3. 领会从一般化归为特殊的数学思想， 体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。
三、 教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 四、 教学过程： （一）复习：
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2?提出问题：若 ，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1.二倍角公式的推导：
sin2： - 2sin : cos ：
cos2匚-cos 2 ： -sin 2:■
丄
小
2 tan a
tan 2
2- 1 -tan a
1
【练习 1 】求值：(1) sin22；30 cos22；30:=丄sin4^ =—
2
4
说明：（1） “倍角”的意义是相对的，如： 上是二的二倍角； 4
8
“倍角”与“二次”的关系； ?2
丄
2 /
sin ： cos 1,
2 2
cos2： = 2cos 二 T = 1 -2sin :,
2 2
,cos2： = 2cos
-1 , cos2： ==1-2sin :
（降幕公式）： （2） 观察公式特征： （3） 利用三角函数关系式 可将余弦的倍角公式变形为:
cos2:
2 . 2
=cos -sin : 类似地也有公式 1 cos 2： 统称为升
sin □= ----------------
这两个形式今后常用； 2 2
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
k 二
k ；
（k Z ）.
2
4 2
3 3
【练习2［①已知：tan x = 2，则tan 2(x_—) ; tan2(x ?—)=
4 4 4 4
②已知：sin x = 5 "，贝U sin 2(x ) = 2「￡5 .
2 4 --------
例2：化简(1)、1 -sin 40 ； (2)、1 cos20；； (3). 1 sin 40 ； (4)、1 - cos20 .
解：(1) 1 — sin40「= ：、；1 —2sin 20：cos20'=(sin 20「cos20)2
=| sin20 - cos20 I = cos20 - sin20‘ ;
(2).1 -cos20； = 1 2cos210；-1 =、2cos10；；
(3)、1 sin4“ = u1 2sin 20'：‘cos20： = _ (sin20'： cos20'：)2二sin20
cos20 ；
(4),1 —cos2(? = J1 —(1—2sin210：) = J2sin210—「2 sin10 .
说明：形如、、1二sin 与'.1二cos〉的化简方法及基本形式。
五、小结：1.二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2.二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角〉的三角函数值复角(和、差、倍)的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1.化简2 -sin22 +cos4 ；
2 .已知v为第三象限角，且sin4 v - cos4 - 5，求sin 2的
9
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
课 题：47 二倍角的正弦、余弦、正切（3） 教学目的： 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用 教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二倍角公式: αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22 sin cos 2cos -=；)(2αC α α α2 tan 1tan 22tan -= ；)(2αT 1cos 22cos 2 -=αα αα2 sin 212cos -=)(2 αC ' 2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α -= αα+= α 二、讲解新课： 1．积化和差公式的推导 sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ? sin αcos β = 2 1 [sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ? cos αsin β = 2 1 [sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ? cos αcos β = 2 1 [cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β
? sin αsin β = - 2 1 [cos(α + β) - cos(α - β)] 2．和差化积公式的推导 若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=α，2 φ -θ=β 代入得： )sin (sin 2 1)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ ∴2cos 2sin 2sin sin φ -θφ+θ=φ+θ 2sin 2cos 2sin sin φ -θφ+θ=φ-θ 2cos 2cos 2cos cos φ -θφ+θ=φ+θ 2 sin 2sin 2cos cos φ -θφ+θ-=φ-θ 3．半角公式 α +α -±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin α α -= α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan 证：1?在 α-=α2 sin 212cos 中，以α代2α， 2α 代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-= α 2?在 1cos 22cos 2 -α=α 中，以α代2α，2 α代α 即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3?以上结果相除得：α+α-= αcos 1cos 12tan 2 4? 2tan 2cos 2sin 2 cos 2 sin 2) 2sin 21(1sin cos 12ααα α α α α α == --=- 2 tan 2 cos 2sin 12cos 212cos 2 sin 2cos 1sin 2ααα ααα α α ==-+= +
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈.
二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan αβαβ++=． 的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， sin 2sin cos αα=； 22cos sin ααα=-； 思 否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？2cos 2αα=； 2cos 21αα=-． tan 2α= 注意：2例1、已知5sin 2,,1342ππαα= <<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42π π α<<得22π απ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169 ααα??==??-=- ???； 225119cos 412sin 21213169αα??=-=-?= ??? ；120sin 4120169tan 4119cos 4119169 ααα- ===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．
解：22tan 1tan 21tan 3 ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-= 解得tan 2α=-+tan 2α=-- （四）小结：
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计 高一A 组 韩慧芳 年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课 一、教学目标 1、知识目标： （1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。 （2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。 2、能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构， 培养逻辑推理能力。 3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。 二、教学重难点、关键 1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式 2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。 3、关键：二倍角的理解 三、学法指导 学法：研讨式教学 四、教学设想： 1、问题情境 复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++=-。
思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？ 2、建构数学 公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． 以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。既公式中等号左边的角是右边角的2倍。所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。二倍角的正弦、余弦、正切公式有时简称二倍角公式。 3、知识运用 例1、（公式的正用） （1）已知3sin ,,52 πααπ=<<求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值． （2）已知3sin 2,,542ππαα= <<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 学习目标 1、以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 2、二倍角的理解及其灵活运用. 重点：二倍角正弦、余弦和正切公式； 难点：二倍角正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 预习案 （预习教材P132—P134） 复习引入：请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式： =+)sin(βα =+)cos(βα =+)tan(βα 探索新知 问题：由两角和的正弦、余弦和正切公式能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？ 探究1：推导sin2α,cos2α sin2α= cos2α= 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？； cos2α= cos2α= 探究2：推导tan2α；（注意：2,22k k π π απαπ≠+≠+ ()k z ∈） tan2α=
课中案 例1、已知5 sin 2,,1342π π αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 变式：已知1 tan 2,3α=求tan α的值． 例２、求下列各式的值 （1）??15cos 15sin （2）8sin 8cos 22π π-
例3、在△ABC 中，54 cos =A ，。B A B 的值求)22tan(,2tan += 当堂检测 。，，的值求、已知4tan ,4cos ,4sin )128(54 8cos 1α α α παπα ??-= 。、的值求已知ααπ2cos ,53 )sin(2=-
.tan 2sin 2sin 3的值求、αππ ααα），，（，∈-= 4、已知),2(,135 sin ππ ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 5、已知的值求)2tan(,31 tan ,71 tan βαβα+== 6、求值020 5.22tan 15.22tan 2)1(- （2）12cos 24cos 48cos 48sin 8π π ππ 课堂总结： 熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
二倍角的正弦余弦正切公式 教学目标 1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．掌握二倍角公式及其变形公式的应用．(难点) 3．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点) [基础·初探] 教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.余弦的二倍角公式的变形 3．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝1 2sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α． (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( ) 解:(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π 4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误． (2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－3 2时，cos 2α＝2cos α. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 2．已知cos α＝1 3，则cos 2α等于________． 解:由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×? ?? ??132－1＝－79. 【答案】 －7 9 化简求值. (1)cos 4 α2－sin 4 α2； (2)sin π24·cos π24·cos π 12； (3)1－2sin 2 750°； (4)tan 150°＋1－3tan 2 150° 2tan 150° .
三角函数和差角公式与倍角公式 姓名 得分 一．填空题 1. 若sin α+cos α 则sin2α= ； 2. 若3sin 5a =，(,)2 p a p ?，则sin2α= . 3.若sin 2a a =，则2(sin cos )a a += 4.若4 p a b += ，则(1tan )(1tan )a b ++= . 6. 2 ' 2cos 6730°= . 7. 4 ' 4' sin 11230cos 11230??= . 8. 1tan 751tan 75+? -? = . 9.已知cos 78m ? ，则sin 66°= . 10.若15a =?，则cos sin cos sin a a a a -+= . 11. sin12cos33cos12sin 33 cos 72cos 27sin 72sin 27 鞍+鞍鞍+鞍= . 二．解答题 12.已知3 sin 5 a =，且α为第二象限角，求α2cos 的值. 13. 已知1 cos 23 a =-，且(,2)a p p ?，求αcos 、α2cos 的值. 14.已知2sin 2sin 2cos cos 21a a a a +-=，求锐角α的值. 15. 16.已知3sin 4cos 0a a +=，求α2cos 的值. 17 已知1tan 3a =，求α2tan ，2 1cos sin 22a a +，22sin 1sin 2a a +的值. 18.已知tan()2p a -=，求α2tan 的值. 19.2 2tan 67.51tan 67.5° -? 20.已知tan 2a =，求 tan 2tan 1tan 2tan a a a a -+?的值.
. §3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++= -． （二）公式推导： ()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
. α α2 cos 2 2 cos 1= + α α2 sin 2 2 cos 1= - 22 cos 1 cos2α α + = 2 2 cos 1 sin2 α α - = } } 升幂降角公式 降幂升角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(提高) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα=-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 c o s 2 s i n 2s i n α αα =；1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
二倍角公式：cos2x=1-2sin2x,即有sin2x=（1-cos2x）/2→ sin22.5°=sin(45°/2)= √((1-cos45°)/2)=√(2-√2)/2 (分母2不在根号内) 根据sin2x+cos2x=1算cosx或者2cos2x-1=cos2x→··· tan22.5°=sin22.5°/cos22.5°,接着cot22.5°=1/tan22.5°=··· 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2)
cos＝sinα； (1)＝__________，＝__________； 2232 2．函数y＝2cos2(x－)－1是() B．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为() A．－B．－ C. D. 2＋tanθ1＋sin2θ A．3B．－3C．－2D．－ 5．如果|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是() A．－ B.C．－ D. 人教版高中数学同步练习 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用． 1．倍角公式 (1)S 2α ：sin2α＝2sinαcosα，sinαα1 222 (2)C 2α ：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α； 2tanα (3)T 2α ：tan2α＝1－tan2α. 2．倍角公式常用变形 sin2αsin2α 2sinα2cosα (2)(sinα±cosα)2＝__________； (3)sin2α＝______________，cos2α＝______________. 一、选择题 1．计算1－2sin222.5°的结果等于() 1233 A. B. C. D. π 4 A．最小正周期为π的奇函数 π 2 C．最小正周期为π的偶函数 π 2 π12π 633 1717 3939 1－tanθcos2θ 4．若＝1，则的值为() 1 2 15πθ 522 10101515 5555
1＋ 2cos (2α－ ) 6．已知角 α 在第一象限且 cos α＝ ，则 等于( ) sin (α＋ ) A. B. C. D ．－ 7. 的值是________． 8．函数 f(x)＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋ 的最大值是______． 2 1＋cos θ＋sin θ 10．已知 sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0， )，则 α＝________. 11．求证： ＝tan 4 A. ?π －x ?＝－4，5π 三角函数的二倍角公式及应用 一． 考点要求 1、 熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、 领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、 公式应用的方法与技巧。 二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一 公式逆用 逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 sin 8cos 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感 知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、 四．能力提升； 1， 已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、 已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。 五；高考链接 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 练习：（1）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin <，则△ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 （2） 的值为12sin 12cos 3π π -（ ） A ． 0 B ．2 C ．2 D ．2- 思考：已知432πβπ <<，1312)cos(=-βα，5 3)sin(-=+βα，求α2sin 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用． 1．倍角公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝1 2 sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________； (3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________. 一、选择题 1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 2．函数y ＝2cos 2 (x －π4 )－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π 2 的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π 3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.79 4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－12 5．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ 2 的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.15 5 6．已知角α在第一象限且cos α＝3 5，则1＋2cos (2α－π 4) sin (α＋π 2 ) 等 于( ) A.2 B.7 C.14 D ．－2 二、填空题 7.3－sin 70°2－cos 2 10° 的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2 x －cos 2x ＋74 的最大值是______． 9．已知tan θ 2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ ＝______. 10．已知sin 2 2α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2 )，则α ＝________.高中数学三角函数的二倍角公式及应用
高一数学《二倍角的正弦余弦正切公式》
二倍角的正弦公式
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