2 矩阵乘法的性质
1．二阶矩阵乘列向量——几何意义
（1）??????1 0 0 2 ??????x y = ????
??x 2y
矩阵??????1 0 0 2 平面上每个向量（点）??????x y 变成了向量（点）????
??x 2y ，因此它是平面到平面
的一个变换．这个变换实际上是把平面上的图形在y 轴方向拉伸了两倍．
2.乘法的运算律： （1）交换律
（2）结合律（AB ）C ＝A （BC ） （3）消去律
矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A 为
m ×n 矩阵，B 为n ×p 矩阵，则他们的乘积AB (有时记做A · B )会是一个m ×p 矩阵。其乘
积矩阵的元素如下面式子得出：
以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。
（1）两个矩阵之间可通过进行线性运算得到一个新的矩阵，这个线性运算是通过前一个矩阵的某一个行向量与后一个矩阵某一个列向量对应进行数量积运算所得； （2）在这个运算中，前一个矩阵的列数应与后一个矩阵的行数相等。 （3）这个运算，在实际问题中，有着现实的意义。
3．概念：对于一个m n ?阶的矩阵m n A ?和一个n k ?阶的矩阵n k B ?（*
,,m n k N ∈），若矩
阵m n A ?的第i 行的行向量与矩阵n k B ?的第j 列的列向量（*
,,,i m j k i j N ≤≤∈）进行数量
积得到的数为矩阵m k C ?的第i 行第j 个数ij c ，那么矩阵C 叫做矩阵A 和B 的乘积，记作
C AB =。
4．由此定义可知：
（1）只有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时，矩阵之积才有意义； （2）一般的地，AB BA ≠，即矩阵乘法不满足交换律。
说明：①只有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时，矩阵之积才有意义，因此当A
与B 交换后，矩阵B 的列数不一定等于矩阵A 的行数，因此交换后不一定有意义；
②即使交换后仍有意义，但若一个m n ?（*,,m n m n N ≠∈）阶的矩阵A 与
n m ?的矩阵B 的乘积是一个m 阶方阵C ，而一个n m ?的矩阵B 与一个m n ?阶的矩阵A 的乘积是一个n 阶方阵D ，显然不会是同一个矩阵；
③即使交换后所得矩阵为同阶矩阵，但运算结果仍可能不一样。
如设1112111221222122,a a b b A B a a b b ????
== ? ?????
，
则11111221111221222111222121122222a b a b a b a b AB a b a b a b a b ++??
=
?++??
，
而11111221111212222111222121122222b a b a b a b a BA b a b a b a b a ++??
= ?++??
，
显然，两个新矩阵任意相同位置的对应项均不一定相等。
④特别地，当矩阵A 为单位向量时，若AB 和BA 均有意义，则此时AB BA =。
例1、下表是在某次选秀比赛中四位竞争者在各类评分中的得分情况，若评委、现场观众、
及场外观众的权重分别为：40%,30%,30%，试用矩阵表示并计算这4位竞争者的综合得分，选出优胜者。
【解析】
设四位选手通过评委、现场观众及场外观众的得分情况分别为矩阵A 、B 、C ，
则858890889080
,,858595908580A B C ?????? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????，设四位选手综合得分为矩阵D ，则由题意知：
85889087.488908086.20.40.30.30.40.30.38585958890858085.5D A B C ????????
? ? ? ? ? ? ? ?=++=?+?+?= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
∴四位竞争者的得分分别为：87.4、86.2、88、85.5，优胜者为竞争者3。
例2、下表是2008
【解析】
为了反映一个国家的整体实力，这里有两种不同的加权计算方式：（1）金牌乘以0.5，银牌乘以0.3，铜牌乘以0.2；（2）金牌乘以0.4，银牌乘以0.3，铜牌乘以0.3。那么这两种计算方式所得最终成绩可通过如下矩阵运算表示：
对于矩阵512128363836232128A ?? ?
= ? ???
，可设其三个列向量为：
12351212836,38,36232128A A A ??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????，则第一种计算方式可得矩阵：
11235121280.50.30.20.5360.3380.236232128C A A A ??????
? ? ?
=++=?+?+? ? ? ?
? ? ???????
510.5210.3280.237.4360.5380.3360.236.6230.5210.3280.223.4?+?+????? ? ?=?+?+?= ? ? ? ??+?+?????
由第二种计算方式可得矩阵：
21235121280.40.30.30.4360.3380.336232128C A A A ?????? ? ? ?
=++=?+?+? ? ? ?
? ? ???????
510.4210.3280.335.1360.4380.3360.336.6230.4210.3280.323.9?+?+????? ? ?=?+?+?= ? ? ? ??+?+?????
1C 、2C 即为矩阵37.435.136.636.623.423.9C ?? ?
= ? ???
的两个列向量，而矩阵C 即表示了两种计算方法
所得的成绩。
这里矩阵512128363836232128A ?? ?= ? ???通过矩阵0.50.40.30.30.20.3?? ? ? ???两个列向量0.50.30.2?? ? ? ???和0.40.30.3??
?
? ???
进行线
性运算变换得到矩阵：
510.5210.3280.2510.4210.3280.337.435.1360.5380.3360.2360.4380.3360.336.636.6230.5210.3280.2230.4210.3280.323.423.9C ?+?+??+?+?????
? ?=?+?+??+?+?= ? ? ? ??+?+??+?+?????
这个矩阵反映了这三个国家在两种不同计算方式下的最终成绩。 例3、已知矩阵1110,2121A B -????
==
? ?????
，求AB 和BA
【解析】
()()1111121011412112
2011AB --??+-??+-????
== ? ??+??+?????
()()11021101112112211141BA ?+??-+???-??
== ? ??+??-+?-?
???
例4、若3
1110101x ????
= ? ?????
，试求x 的值。
【解析】
2
1111201010101x x x x ????????
== ? ??? ?????????
， 3
112113110101010101x x x x ??????????∴=== ? ??? ? ?
??????????
，31x ∴=即1
3x =。
例5、3名同学共同去购买文具，甲买了2支钢笔，3支圆珠笔，4支铅笔，1块橡皮；乙买了2支钢笔，2支圆珠笔，2支铅笔，4块橡皮；丙买了1支钢笔，3支圆珠笔，2支铅笔，2块橡皮。已知钢笔每支10元，圆珠笔每支4元，铅笔每支1元，橡皮每块2元，试计算每个同学的消费情况。
【解析】
可将每人购买钢笔、圆珠笔、铅笔、橡皮的数目用矩阵234122241322A ?? ?
= ? ???
来表示，而钢笔、
圆珠笔、铅笔、橡皮的单价可用矩阵104
12B ??
? ?= ? ???
则每人费用10234138422243811322282C AB ??
???? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?????
??
即甲花了38元，乙花了38元，丙花了28元。
例6、分别计算21101?? ???、31101?? ???、41101?? ???的值，由此猜想1101n
?? ???
（*
n N ∈）的值，
并证明你的结论。
【解析】
2
1111111201010101????????
== ? ??? ?????????
， 3
2
111111121113010101010101????????????=== ? ? ? ??? ????????????? 4
3
111111131114010101010101????????????=== ? ? ? ??? ????????????? 猜想：1110101n
n ????= ? ?????
证明：（用数学归纳法）1）1n =时结论显然成立；
2）假设n k =（*
k N ∈）时结论成立，即1110101k
k ????= ? ?????
则1n k =+时，1
11111111111010101010101k k
k k ++??
??????????=== ?
? ? ??? ???
??????????
1n k ∴=+时结论成立
∴根据1）、2）对*n N ?∈，均有1110101n
n ????
= ? ?????
成立。