天津师范大学
本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用
学号： 02505075
姓名：刘静
专业：数学与应用数学
年级： 2002级
学院：数学科学学院
完成日期： 2006年5月
指导教师：张智广
几何模型在现实生活中的应用
摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．
关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化
The Application of Geometrical Model in Our Daily Life
Abstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.
Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify
目录
一、前言 (1)
二、几何模型在物体运动问题中的应用 (2)
（一）步长选择 (2)
（二）雨中行走 (3)
三、几何模型在运输问题中的应用 (6)
（一）冰山运输 (6)
四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用 (10)
（一）驾驶盲区 (10)
（二）车灯线光源的优化设计模型 (12)
五、几何模型在其它问题中的应用 (15)
（一）医学中的应用 (15)
1．血管分支 (15)
（二）日常生活中的应用 (16)
1．动物的身长与体重 (16)
2．拐角问题模型 (17)
参考文献 (19)
一、前言
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚．所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．
当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型．但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题．当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁．在实际应用中，数学模型可按不同方式分类．若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等．这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具．
在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可．例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离．再利用三角函数，便可计算出夹角．但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜．
几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物．几
何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用．
二、几何模型在物体运动问题中的应用
数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程．但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程．在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．
物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件．分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用．
（一）步长选择
问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则．问走路步长选择多大为合适？
问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值．对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的．
另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高H （或腿长h ）；（2）体重M ．
为简化问题的研究，做以下假设：
（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h 、质量为m 的均匀杆；
（2）设躯体以匀速v 前进．
模型建立：如图1所示，重心升高
122
22cos 148l l h h h h h h δθ??=-=--≈ ???（当l h 较小时）． 腿的转动惯量2
3mh I =，角速度v w h =，单位时间图1
的步数为v l ．所以单位时间行走所需的动能为3
2126e v mv W Iw l l
==． 单位时间内使身体重心升高所做的功为8v Mglv W mg l h
δδ==，所以单位时间行走所需的总功368e mv Mglv W W W l h δ=+=+．代入v n l =，得216
8m Mg W v n h n ??=+ ???．于是当v 一
定时，n =W 最小．由0v l n =，得0l =．求解完毕． （二）雨中行走
问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校．假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了．一路上，你将被大雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．
问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述．我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低．
分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降雨的大小；（2）风（降雨）的方向；
（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）．
在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离D （米）、时间t （秒）、速度v （米秒）；人的身高h （米）、宽度w （米）和厚度d （米）；身上被淋的雨水总量C （升）．关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）I （厘米时）来描述．
模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水．经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．
若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了．现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度r （米），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）θ．显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度．我们用ρ来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数．于是有I pr =．显然，1p ≤，而当1p =时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般．
如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向． 首先考虑02π
θ<≤的情况．这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位
将仅仅是你的顶部和前方．因此淋在身上的雨水将分
为两部分来计算．
先考虑顶部被淋的雨水．雨滴速度垂直方向的分
量是sin r θ，顶部的面积是wd ．不难得到，在时间
t D v =内淋在顶部的雨水量应该是：
()()1sin C D v wd pr θ=．
再考虑前方表面淋雨的情况．雨速水平方向的分量是cos r v θ+，前方的面积是wh ，故前方表面被淋到的雨水的量应该是
()()2cos C D v wh p r v θ=+????．
因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是
()12sin cos pwD C C C dr h r v v
θθ=+=++????． （1） 如果假设落雨的速度是4r =米，由降雨强度2I =厘米时可以估算出它的强度系数61.3910p -=?．把这些参数值代入（1）式可以得到
()4
6.95100.8sin 6cos 1.5C v v
θθ-?=++． 在这个模型里有关的变量是v 和θ，其中θ是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；而v 是要选择的雨中行走的速度．由于在我们讨论的情形下有图2
v
02π
θ<≤，而且C 是v 的减函数，因此当v 增大时淋雨量C 将逐渐减小． 考虑2πθπ<<的情形．在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下．令90θα=+ ，则02απ<<．这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况．
首先考虑sin v r α≤的情形，也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度．这时雨滴将淋在后背上．淋在背上的雨水的量是()sin pwDh r v α-，于是淋在全身的雨水的总量应该是
()cos sin C pwD rd h r v v αα=+-????．
当你以可能的最大速度sin v r α=在雨中行进时，雨水的总量的表达式可以化简为
()cos C pwD rd α=．
它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了．实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后都没有淋到雨．如果你的速度低于sin r α，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加．因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数．
第二个情形是sin v r α>的情形，这时在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度．这时人将不断地追赶雨滴，雨水将淋在你的胸前．被淋的雨量是()sin pwhD v r v α-．于是全身被淋的雨水的总量是
()cos sin C pwD rd h v r v αα=+-????．
综合上面分析的结果，我们可以得到淋雨量的数学模型为：
()()()sin cos ,02,cos sin ,02,sin ,cos sin ,02,sin .pwD r d h hv v pwD C r d h hv v r v pwD r d h hv v r v θθθπαααπααααπα?++<≤???????=+-<<≤???????-+<<>??????
正如上面分析所得到的，模型中前两个式子都是速度v 的减函数．但是第三个式子的情形就比较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式子cos sin d h αα-是正还是负，它刚好是关于人的体形的一个指标．
从这个模型我们可以得到如下结论：
（1）如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；
（2）如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚
好等于落雨速度的水平分量．这时雨滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上．小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：
（1）在第一个问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题．建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为h、质量为m的均匀杆，是对人体的第二次简化．两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值．而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体．通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设．
（2）通过解决第二个问题我们还可以发现，数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程．虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大．这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论．
（3）除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外，还有很多物体运动值得我们研究．例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车．在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10英里，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度．有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好．这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究．如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了．
三、几何模型在运输问题中的应用
英国媒体于近日报道，英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦，以化解可能面临的百年来最严重的水荒．该公司在伦敦举行的一次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的方案，包括从北极拖运冰山及人工造雨．尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性．”
那么拖运冰山这一想法可行吗？用数学建模的方法便可解决这一问题．
（一）冰山运输
问题描述：在水资源十分贫乏的国家，政府不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0.1英镑．有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性．问题分析：为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要搜集
关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作．
在此我们只研究冰山几何模型的建立方法，故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表（见表1）．所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关．这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．
表1 冰山运输过程中的融化速率
建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．
模型假设：根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．
（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离为9600km ．
（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算．
（3）冰山到达目的地后，13m 冰可以融化成0.853m 水．
模型建立：首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下几步．
（1）冰山融化规律
根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小量，从而得到冰山体积的变化规律． 记冰山球面半径融化速率为r 米，船速为u km h ，拖船与南极距离为d km ．根据表1中融化速率的数据，可设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正比，而当4000d km >时r 与d 无关，即设
()(
)121,04000,1,4000,a d bu d r a bu d +≤≤??=?+>?? （2）
其中1a ，2a ，d 为待定参数．这可以解释为04000d km ≤≤相当于从南极到赤道以南，海水温度随d 增加而上升，使融化速率r 也随d 的增加而变大．而4000d km >后海水温度变化较小，可以忽略．
利用表1所给数据确定出
51 6.510a -=?，20.2a =，0.4d =． （3）
当拖船从南极出发航行第t 天时，与南极的距离为
24d ut =． （4）
记第t 天冰山球面半径融化速率为t r ，将（3）、（4）式代入（2）式得
()()310001.561010.4,0,610000.210.4,.6t u u t t u r u t u -??+≤≤??=??+>??
（5） 记第t 天冰山半径为t R ，体积为t V ，则
01t
t k k R R r ==-∑， （6）
343t t V R π=，30043
V R π=， （7） 其中0R ，0V 为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由（5）～（7）式可知冰山体积
是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作()0,,V u V t ，有
(
)3
014,,3t k k V u V t r π=?=???∑， （8） 其中k r 由（5）式表示．
（2）燃料消耗费用：记为()t V u q ,,0（天英镑）．已知燃料消耗对船速u 和冰山体积V 的对数V lg 均按线性关系变化．利用搜集的数据，计算出
()()???
?????-???? ??-+=∑=378.043lg 362.7,,1300t k k r V u u t V u q π． （3）运送冰山费用：记为()0,V u S ．费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．根据搜集的数据，得
()()()???
?????-???? ??-++=∑∑==T t t k k u r V u u u V f V u S 11300015143lg 362.7400,π． （9） 其中，()0V f 表示日租金，且
()5056006704.0,510,6.2,51010,8.0,1010.V f V V V ?≤??=?<≤??<≤?
（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积：将T t =代入（7）式，得冰山运抵目的地后的体积．再由假设（3），得水的体积为
()3
13004334.3,???? ??-=∑=T t t r V V u W ππ． （10） （5）每立方米水所需费用：记为()0,V u y ．由（9）、（10）式显然有
()()()
000,,,V u W V u S V u y =． 模型分析：此题假设冰山呈球形，简化了计算．但球形与现实中冰山的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近．此举势必将加大解题难度，甚至导致结果的变更．下面我们简单分析一下，将冰山的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响．
若假设为圆台，则圆台的上下底面半径r 、R 及高度h 的变化都要考虑．在拖运之初测量冰山圆台的上下底面半径0r 、0R 及初始高度0h ，有以下关系：
010r R ρ=，020
h R ρ=． （11） 且此比例在冰山融化过程中不变．
记冰山圆台下底面半径融化速率为r 米天．与例题一样，设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正比，而当4000d km >时r 与d 无关，即设
()()121,04000,1,4000,
a d bu d r a bu d +≤≤??=?+>?? （12） 其中1a ，2a ，d 为待定参数．要确定1a 、2a 、d 的值，需要给出另外一组测量数据．将24d ut =代入（12）式，即得第t 天冰山圆台下底面半径的融化速率t r ．记圆台所在圆锥的高为H ，则
Rh H R r
=-． （13） 记第t 天冰山上下底面半径为t r 、t R ，高为t h ，圆台所在圆锥的高为t H ，体积为t V ，则
01t
t k k R R r ==-∑， （14）
1t t r R ρ=，2t t h R ρ=，t t t t t
R h H R r =-， （15） ()2213t t t t t t V R H r H h π??=--??，()2200000013V R H r H h π??=--?
?． （16） 由（11）～（16）式可知冰山体积是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作
()0,,V u V t ．
至此，只要给出所需数据，我们便可计算出()0,,V u V t ．由于0V 的改变，之后的燃
料消耗费用、运送冰山费用、冰山运抵目的地后可获得水的体积、每立方米水所需费用都会发生变化，从而可能导致此方案的可行性发生变更．
四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用
汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷高速的特性吸引着人们的注意力，所以有越来越多的人选择汽车作为了代步工具．但是汽车的设计还有许多有待改进的地方，例如车身的形状、各部件的设计、安全装置等都有继续完善的必要．所以此领域的研究有着重要的应用价值和商业价值，已为更多人所重视．
（一）驾驶盲区
问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后方突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸．试分析车祸原因，并给出解决方案．
问题分析：汽车上共有内外三面后视镜，驾驶员通过这三面镜子来观察后面的车流情况，以决定何时可以转弯，而不会有危险发生．但是由于后视镜的尺寸都不是很大，这样使驾驶员能看到的范围就很小．需要看到的地方没办法看到，那块地方就是所谓的盲区．存在着盲区就存在着一定的安全问题，车祸出现的原因就在于此．若想避免此类车祸的发生，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩小或者消失．
后视镜的角度虽然可调节，但一般都由司机固定在其最习惯的地方，即可观察到的区域范围已确定，如图3所示．
模型假设：
（1）设汽车为长方体，俯视为长方形，且关于直
线l 对称，司机位于其对称轴上一点（在车内）；
（2）假设两外后视镜与车身的夹角为θ，此值固
定不变；
（3）假设汽车所行驶的车道两旁分别只有一个车
图3
道．由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆．
通常汽车所安装的后视镜均为平面镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合人的视觉习惯，但缺点是视野较小．扩大视野是解决此问题的关键．众所周知，凸面镜的成像区域要比平面镜大很多，所以考虑将平面镜换为凸面镜是否可以．
若直接将平面镜换为凸面镜，势必将影响司机的正常驾驶，从而造成新的隐患．所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上方添加凸面镜（本文只研究在外后视镜的外端添加凸面镜这种情况），这样便可使问题得到解决．
接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适．球冠的选择不是半径越小、弧度越大就越好，而是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了．
根据上面的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参
数和变量：汽车的长a 、宽b ；驾驶时前后两车的车距d ；
视野需扩大到?角；所需凸面镜的长度m ．
模型建立：球面上各点入射光线的反射光线可根据该点
的切平面确定．由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于
同一水平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究
球冠与此水平面相交的弧上的A 点的反射光线即可．如图4
所示，标出各变量．
如图5所示，由汽车的长a 、宽b 及车距d ，可知 arctan b a d
?=+． （17） 若?角确定，则反射光线也可确定，即两线的夹角可测．设测量结果为α，因入射角等于反射角，故入射角的角度为2
α．图4中的φ表示的是法线与凸面镜的边的夹角，显然有
()22ααφ?θθ?=
--=+-． （18）
故球的半径为 2cos m r φ
=． （19） 综合（17）～（19）式，便可确定球的大小及所需球冠的大小．问题得解．
模型分析：在本题中，我们选取的是整个球冠．其实，在平时使用时，球冠的上图4
图
5
半部分基本没有太大用途．因为由上半球冠观察到的物体多为高空景物，这对驾驶员来说不仅没有太大用处，而且还会分散其注意力，带来不必要的麻烦．所以，我们还可对模型做进一步的修改，将球冠改为半球冠，只要其下半部分就足够了．
本例题的研究结果可应用到其他方面．例如在某些小区的十字路口会放有一个凸面镜．行人可以用它观察到其它路口的路况，从而减少交通事故的发生．这个凸面镜的放置原理和汽车的后视镜是一样的，所以它的位置亦可用此模型来确定．
（二）车灯线光源的优化设计模型
问题描述：假设汽车头部的车灯的反光面为一旋转抛物面，灯丝是一线光源．要求设计线光源的长度，使车灯既满足技术要求，又使线光源的功率最小．
问题分析：线光源任意一点发出的光，可直接照射在光屏上，也可以经过灯罩(旋转抛物面)一次反射(不考虑二次反射)后，间接照射在光屏上．线光源上不同位置的点发射的光线投射到抛物面上，反射后能够到达指定点的投射点的集合(称为有效投射点的集合)是不同的．因为线光源过焦点对称水平放置，线光源上点的位置分布仅与长度有关，因此在满足设计规范要求的条件下，寻求线光源功率最小，线光源长度是决定因素，而弄清线光源上各点有效投射点的情况，则是解决问题的一个关键所在．
模型假设：（1）不考虑光的二次反射；（2）不考虑光的折射；（3）不考虑光的干涉和衍射；（4）光在传播过程中不吸收新的能量，仅考虑光的扩散；（5）光在同一连续均匀介质中(例如空气)传播；（6）灯丝为理想线光源，没有横向尺寸，不考虑灯管遮光；（7）旋转抛物面可认为由无数微小平面镜组成，入射光发生完全镜面反射，旋转抛物面不吸收能量．
模型建立：如图6所示，按照右手
螺旋准则建立空间直角坐标系（单位：
mm ）
，根据已知数据可以求出旋转抛物面的方程为2260x z y +=，焦点
()0,15,0F ，()0,25015,0A ，
()1300,25015,0B ，()2600,25015,0C ，
()11,15,0P x ，(),,m m m m P x y z ．
切平面的方程 ()()()0000026020x x x y y z z z ---+-=．
(),,m m m m P x y z 满足切平面方程，即
121220000026020222x x y y z x x y z z ++??????---+-= ? ? ???????
． （20） 图6
入射光线
{}
100100,15,PP x x y z =--． 法线
{}1002,60,2L x z =-．
反射光线
{}0
0002600,25015,PC x y z =--． 由反射定律，入射光线10PP 、法线1L 、反射光线0PC
在同一个平面α内，则由向量的知识，三向量的混合积为0，可得到
()0100249852600390000y x y z -++=????． （21）
()0000,,z y x p 在抛物面上，满足
()2200000060,3636,3636,021.6x z y x z y +=-≤≤-≤≤≤≤．
分析（21）式：
①当00z ≠，而()010249852600390000y x y -++=????时，得到
10124985390002600
x y x +=-． 得到6.2100≤≤y ，求得56.181.31-≤≤-x ，即仅在线光源上满足56.181.31-≤≤-x 的点发出的光经过抛物面上00z ≠的点反射后可经过C 点．
②当00z =时，反射点位于用00z =平面截旋转抛物面所得的抛物线上．
以上分析仅是反射光线过C 点的必要条件，但给出了线光源上点的初步划分，大大缩小了讨论的范围．为保证区域划分的准确性，需要再通过计算机变步长搜索的方法来加强该结论．
下面，利用虚像2P 、反射点0P 、光屏上点
C 三点共线的条件，以1x 为变量分别表示出0x 、0y 、0z ，再利用Matlab 对1x 进行变步长搜索，找出有效投射点集合的变化规律，进一步完善上述结论．具体步骤如下：
由平面解析几何知识，平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，显然
121//PP L ，即1210PP L ?=，得到
()()()()202120201220153030150y z z i x x z z x j x x y x k ----++----=????????????．
（22） 联立（20）、（22）式，得到
()()2223210110000000222002201000222002200010222009002900260,90015439001203,900245030.900x x x x z x x x z x y x x z x x x y z y x z z x z x x y z x z ?-+++++-=?++?
?--+-?=?++?
?++--?=?++?
（23） 反射光线能经过C 点的充分必要条件是0P 、2P 、
C 三点共线，因为 {}20020202,,P P x x y y z z =---，{}00002600,25015,CP x y z =---，
所以 2000P P CP ?=，得
()()()()()()()()()()00202002002002
0020250150,26000,2501526000.z y y z z y x x z z z x x x y y y x -----=??-+--=??-+----=? （24） 联立（23）、（24）式，可以得到以1x 为变量表达的()0000,,P x y z 的值，对于任一给定的1x ，根据0P 值的有效个数便可确定有效投射点的个数，从而校验线光源区段划分
的正确性．即线光源有如下划分：
①当1 1.56x >-时，没有反射线经过C 点；
②当1 1.56x =-时，有2条反射线经过C 点；
③当13.81 1.56x -≤<-，有4条反射线经过C 点；
④当1 3.81x <-时，有2条反射线经过C 点．
同理当反射光线经过B 点时亦可进行相同分析，划分如下：
①当10.78x >-时，没有反射光经过B 点；
②当11.90.78x -<<-时，有4条反射光经过B 点；
③当1 1.9x <-时，有2条反射光经过B 点．
很显然，以上对线光源的分段对应着不同的积分域，欲求B 、C 点的光强度，只需对点光源的功率分段积分求和即可．
记线光源的功率P ，线光源长度2a ，设从线光源上任意一点经过反射或直射到达指定点的总光线条数为k ，对应的每条路径的长度为i i i γγγ'''=+，则可以建立如下模型
()min P P a =，
1201202,
42. 1.42k B a x a i i k C a x a i i P I dx a s t P I dx a πγπγ--≤≤=--≤≤=?=≥????=≥??
∑?∑?
小结：此题是2002年全国数学建模大赛c 试题，难度较前面几道例题有所增加，其中运用到了立体几何、解析几何、物理中的大量知识，尤其以几何模型为主．可见，几何模型在本题中的作用还是十分重要的，它与其它模型相辅相成，共同构成数学建模的核心．
五、几何模型在其它问题中的应用
（一）医学中的应用
医学研究中会遇到很多棘手问题，这些问题有时无法通过实验得到解决，于是我们可以从理论上建立其几何模型，分析合理性．
1．血管分支
问题描述：动物为了维持血液在血管中流动，要向血管提供能量，其中一部分用于供给血管壁营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的能量与血管的几何形状有关．有人研究发现，某种动物的血管分支角度几乎是固定的．因此，就提出一种假说，认为生物在长期进化过程中，血管的几何形状向消耗能量最小的方面转变．下面的模型主要研究血管分支处粗细血管半径的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原则下该取什么值．
问题分析：为了简化问题，我们对模型作一些假设：
（1）一条血管在分支处分为两条细血管，分叉点附近三条血管共面，且有一条对称轴，这是几何上的假设；
（2）把血液在血管中的流动视为粘性流体在刚性管道中的运动，这是物理上的假设；
（3）血液对血管壁提供营养的能量随血管壁表面积及血管壁的体积的增加而增加；血管壁的厚度与血管半径成正比，这是生物上的假设．
模型的建立：
（1）由假设（1），如图7所示标出各种符号．并
设血液在粗细血管单位时间的流量分别为q 与1q ，则
q =21q ． （2）由假设（2），利用流体力学的结果：在单
位长的管道中，阻力与流量的平方成正比，与半径的
4次方成反比．从而为克服阻力而消耗的能量1E 为：221
11
4412q q E k l k l r r =+（k 为比例系数）． （3）一般地，对半径为r 长为l 的血管，内表面积2s rl π=，即s 与r 成正比，若图7
记d 为壁厚，则管壁的体积
()()2
222V l d r r l d dr ππ??=+-=+??． 又由假设（3），d 与r 成正比，因此，V 与2r 成正比．从而供给血管壁营养所消耗的能量2E 中，含一项与r 成正比，另一项与2r 成正比．为简化计算，可设供给单位长血管壁营养所消耗的能量为br α（12α≤≤），b 为比例系数．因此
2112E br l br l αα=+．
血液从点A 流到点B 与B '的过程共消耗的能量
22112114412q q E E E k br l k br l r r αα????=+=+++ ? ?????，
（25） cot cot L l l L H H θθ-=?=-，
（26） 11sin csc sin H H l H l θθθ=?==，
（27） 12q q =． （28）
将（26）、（27）、（28）式，代入（25）式得到E 为r 、1r 、θ的三元函数
()()12211,,441cot 2csc r r q q E k br L H H k br r r ααθθθ????=+-++ ? ?????
．
（二）日常生活中的应用
1．动物的身长与体重
问题描述：四足动物的躯干与其体重之间有什么关系？此问题有一定的实际意义．比如在生猪收购站，工作人员希望能从生猪的身长估计出它的体重．
问题分析与模型建立：同第一个问题，对此问题如果陷入生物学复杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去使用
价值．在这里我们用类比方法借助于弹性力学
的结果，建立一个粗略的几何模型．把四足动
物的躯干视为圆柱体，长度为l ，直径为d ，
底面积为s ．如图8所示，将此圆柱体的躯干
类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用
弹性力学的研究结果．
设动物在自身体重f 作用下，躯干的最大下垂度为b ，也即是梁的最大弯曲度．由
图8
三角形之鸟头模型 共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边：大 大小 小??) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积． 3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2， 平方厘米12=?ADE S ，求△ABC 的面积．
4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘 米，求ABC △的面积． E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A
平面几何五种模型 欧阳家百（2021.03.07） 等积，鸟头，蝶形，相似，共边 1、等积模型 等底等高的2个三角形面积相等 2个三角形高相等，面积比=底之比 2个三角形底相等，面积比=高之比 夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型） 等积模型是基本应用应是烂熟于心的 都是利用面积公式得到的推定比例 如下： 1等底等高的2个平行四边形面积相等 2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半 3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比 2、鸟头模型（共角定理） 鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边） 鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
A B C D E 如图，浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边最好记，这里等于 鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。 经由媒介的?ABE ，联系了?ADE 和大三角形?ABC BE 辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC 内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新?跟?ADE 是全等?，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理 互补角的鸟头定理证明
小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A
三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上：鸟头定理： （现出“鸟头模型” 。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） S AD×AE △ADE = S AB×AC △ABC A E D B C 二一点在边上，一点在边的延长线上： S CD×CE △CDE = S BC×AC △ABC A E D B C
例 1 如图， AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ABC 的面积是平方厘米． 例 2 例 2 （ 1）如图在△ ABC中， D、E 分别是 AB，AC上的点，且 AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ ABC 的面积是 16 平方厘米，求△ ABC的面积。 （2）如图在△ ABC中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC上，且 AB:AD=5:2， AE:EC=3:2,△ ADE 的面积是12 平方厘米，求△ABC的面积。
例3 已知△ DEF的面积为12 平方厘米， BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ ABC的面积。 例4 三角形 ABC面积为 1， AB 边延长一倍到 D， BC 延长 2 倍到 E， CA延长 3 倍到 F，问三角形DEF的面积为多少？ F A E C B D
例5 长方形 ABCD面积为 120， EF 为 AD上的三等分点， G、 H、 I 为 DC上的四等分点，阴影面积是多大？ 例 6 如图，过平行四边形 ABCD内的一点 P 作边AD、BC的平行线 EF 、GH，若 PBD 的面积为 8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ AG D P E F B H C
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = 【 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 》 E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A
直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。
三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。
几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
小学平面几何五大模型 一、共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别就是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 证明:由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 与△ADE 中, ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°, 则 ADE ABC S S ??=AE AD AC AB ?? 二、等 积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两 个三 角形底相等,面积比 等于它们的高之比; 如下图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD . ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ① 1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 速记:上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): b a S 2 S 1 D C B A
小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1)：D 为BC 中点，则 如图(4)： 平行于 ，则 ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比 如图(2)： ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图(3)：BC=EF ，则 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4)： 平行于 ，则 反之如果 ，则可知直线 平行于 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底 相等，面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D C B A A B D C B C F E D B C D
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)， 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 三、相似模型 数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E 金字塔模型 A D E C B F C B D E C O B D A 沙漏模型
盘点小升初平面几何常考五大模型 （一）等积变换模型性质与应用简介 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。 等积变换模型例题讲解与课后练习题 （一）例题讲解与分析 ?【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少 【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4， S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少
【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会 一下。 （二）课后练习题讲解与分析 （二）鸟头定理（共角定理）模型 导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。
几何五大模型 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模 等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。
一半模型 平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。 一、 模型归纳总结 1、等面积变换模型 (1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ??=； 反之，如果BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A (2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ::ABD ACD S S BD CD =△△如图 B D C B A D C B A 图A 图B (3)一半面积关系 S 4 S 3 S 2S 1 A B C D D C A 1 2 S S =阴影 长方形 1324 S S S S +=+
【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一内接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几? 第8题 【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ B C G H
平面几何五种模型 令狐采学 等积，鸟头，蝶形，相似，共边 1、等积模型 等底等高的2个三角形面积相等 2个三角形高相等，面积比=底之比 2个三角形底相等，面积比=高之比 夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型） 等积模型是基本应用应是烂熟于心的 都是利用面积公式得到的推定比例 如下： 1等底等高的2个平行四边形面积相等 2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半 3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比 2、鸟头模型（共角定理） 鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边） 鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
A B C D E 如图，浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边最好记，这里等于 鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。 经由媒介的?ABE ，联系了?ADE 和大三角形?ABC BE 辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而 得） 第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC 内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新?跟?ADE 是全等?，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理 互补角的鸟头定理证明
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， 任意四边形、梯形与相似模型
平面几何五种模型 等积,鸟头,蝶形,相似,共边 1、等积模型 等底等高的2个三角形面积相等 2个三角形高相等,面积比=底之比 2个三角形底相等,面积比=高之比 夹在一组平行线之间的等积变形(方方模型) 等积模型就是基本应用应就是烂熟于心的 都就是利用面积公式得到的推定比例 如下: 1等底等高的2个平行四边形面积相等 2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半 3 2个平行四边形高相等,面积比=底之比;2个平行四边形底相等,面积比=高之比 2、鸟头模型(共角定理) 鸟头定理:2个三角形中,有一个角相等或互补,这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的 乘积之比(夹角2边) 鸟头定理的使用要火眼金睛,经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
A B C D E 如图,浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 就是公用A 角的,等于浅紫色三角形就是“嵌入”在大三角形ABC 里面,注意,鸟头定理用的就是乘积比！不就是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边 最好记,这里等于 对顶角A C E D A E D 互补角A B C D E A B E D 鸟头定理的证明,写出来就是因为很多题目的解题过程,都需要补这么一条辅助线来过度连接2个瞧起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合,所以写出来,仔细瞧。
A 等高，面积比=底之比 S△ABE：S△ABC=AE:AC 等高，面积比=底之比 S△ADE:S△ABE=AD:AB A B C A B E B C D E D E 经由媒介的?ABE,联系了?ADE与大三角形?ABC BE辅助线很重要！鸟头定理就是用等高(等于就是用等积推算而得) 第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC内,对顶角性质就是相等的,所以压回来的新?跟?ADE就是全等?,再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理 互补角的鸟头定理证明 S△ADE=S△AD'E,因为同底等高 AD=AD',高相等，所以面积相等 D' A B D E 写了这几个证明,其实说的目的只有一个:连接小三角形与大三角形过度的那条辅助线,特别重
一、等积模型 D C B A ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、共角定理（鸟头定理） 知识框架 五大几何模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ (1) (2) (3) (4) 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① 1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ② 22 1324::::::S S S S a b ab ab =； ③ S 的对应份数为()2 a b +． ④ A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ① 等底等高的两个三角形面积相等； ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 S 1：S a:b ③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 E A CD 足BCD ； 反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD . ④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）； ⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）, 贝S S A ABC : S A ADE （AB AC ）： （AD AE ） 图⑵ 任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2 S 4 ：S 3 或者 S i S 3 S 2 S 4 ② AO:OC S i & : S 4 S 3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造 Si S 2 a A B C D C D
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2 ② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型 （一）金字塔模型 ① AD AE DE AB AC BC ^② ADE :& ABC 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 /、? 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 ABO :S ACO BD:DC . 二）沙漏模型 AF AG ； AF 2 :AG 2 .
<2> 几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型 鸟头定理（共角 定理）模型’ 两个三舀葩中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面和出等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘积之比。 如下图在A A BC 中* D, E 分别是基禺AC 上的点（或D 在的延长线 上，E 在盘C 上人 则 S^BC ：S^ADE =（AB X AQ:（AD X AEJ 证明: 最后我们会发现两种情况的证明方迭完全一样° 卑头定理（共角定理）辺難 逹接BE*在ZiAEB 申「 吕_ AD SiABE AB 在A ABC 中I _ 竺 S A AEC AC 将（1> x （?）有* s 込呼_理EXAD 5 A ABC ACi 例题1: 如上图，在△ABC 中，D,卫分别是AE AC 卜的点，賞中：ECEAE, AD=2DB, S MEC =1，求△ ADE 的面积? 题_ 解法 利用鸟头定理有：严匹 S^ABC 所 fA SiADE~ 7 AE AD 12 1 __ x ___ = _ V _ ——_ AC X AB 4 X 3 6 本題也可以不用鸟头定理，而用等积变换。 连接BE 在AAEF 中， S AAED ' S AAEB =AD : AB=2:3 S AAED ^CJ^S ZIAEF 在△ABC 中, S AAEB ： S AABC =AE: AC=1:4 E △血 EB =（1/4）￡_ABU 由（“（2）式可得 S ^D= ；x|xS_kB c=; 题_ 解法二 ; AEXAD ACxAB 诵过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方 例题2: 如上图「在A ABC 中，E 是AC 上的点，D 县BA 証萇线卜的一占? EC=2AE, AB=2AD, S_AEC =1 ,求 A ADE 的面憩 连接BE 在中， SUDE _ 空 S 4iABE AS 1SAA&C 中， SgEE ； _ AE S ￡I AB 匚 AC 将(1) X (2)有' S 企ADE ； ” AEX 血D S ^AEC ACXAB 证毕。 Cl) (2> 平面几何五种模型 等积，鸟头，蝶形，相似，共边 1、等积模型 等底等高的2个三角形面积相等 2个三角形高相等，面积比=底之比 2个三角形底相等，面积比=高之比 夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型） 等积模型是基本应用应是烂熟于心的 都是利用面积公式得到的推定比例 如下： 1等底等高的2个平行四边形面积相等 2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半 3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比 2、鸟头模型（共角定理） 鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边 ） 鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。 A B C D E 如图，浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公 用A 角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边 最好记，这里等于 对顶角 A C E D A E D B 鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。 经由媒介的?ABE，联系了?ADE和大三角形?ABC BE辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得）第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新?跟?ADE是全等?，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理 一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于C D 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,A B A C 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在A C 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 五大模型 1S 2 S 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。 几何的五大模型 1、 等积变换模型 1） 夹在一组平行线之间的等积变换，如图 反之， 如果BCD ACD S S ??=，则两条直线AB //直线CD 练习1、 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． 练习2、如图所示，在ABC △ 中，12CP CB = ，1 3CQ CA = ，BQ 与AP 相交于点X ， 若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于_______________． E B A X Q P A B C 2、 共角模型（乌头定理） 3、 蝴蝶定理模型 任意四边形中比例关系 ()() 432142313421::2::1S S S S OC AO S S S S S S S S ++=?=?=）或者） 梯形中的比例关系 ()2 222242312 2313::::::2::1b a d c b a S S S S b a S S +==）梯形对应的份数为 ）） 练习3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12 ， 那么平行四边形BODC 的面积为________． O F E D C B A 4、 相似模型 ;2;12 2AG AF S S AG AF BC DE AC AE AE AD ABC ADE ====??）） 相似三角形：形状相同，大小不同的三角形 1）相似三角形一切对应线段的长度的比相比，并且这个比等于他们的相似比；2）相似三角形的面积比等于他们相似比的平方 5、燕尾定理模型 练习4 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于 点，CEF △ 、OEF △ 、ODF △ 、BOE △ 的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △ 的面积． （金字塔模型） O G F E D C B A 模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 任意四边形、梯形与相似模 型 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知 条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，所以 OCF △的面积为844-=； ⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==， 那么112 21233 GCE CEF S S ??==?=+．平面几何五种模型
几何五大模型
专题8 几何五大模型
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
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