矩阵理论作业6：两种算法求三次最佳平方逼近多项式

两种算法求()f x 的三次最佳平方逼近多项式

摘 要

对于一个较复杂的函数，往往需要求一个简单多项式来逼近。本文选取两种基函数，用两种算法计算一个函数()=exp()sin()f x x x ?在[0,]2x π∈上的三次最佳平方逼近多项式及其逼近误差，然后应

用matlab 进行计算作图并对比两种方法的逼近结果。

关键字：三次 最佳平方 逼近 两种算法

引言

多项式的一个重要应用就是可以用来逼近一个区间上的连续函数，往往许多复杂的函数需要用各种方法来进行多项式逼近。本文参考矩阵理论讲义

[1]

对函数()=e x p

()s i n (f x x x ?在[0,]2

x π

∈上进行三次最佳平方逼近，求其逼近

误差，并在matlab 中编程计算和绘图以验证和比较逼近结果的准确性。

求最佳平方逼近的多项式

()=exp()sin()f x x x ?，[0,]2

x π

∈求三次的

最佳平方逼近多项式（内积中的权函数()=1x ρ）。

用两种算法实现，一是设{}

23

=1,,,span x x x Φ，

二是设为{}0123=(),(),(),()L x L x L x L x Φ，其中

(),0,1,2,3i L x i =是勒让德多项式。

第一种算法：

{}23=1,,,span x x x Φ，由矩阵形式

(1)

根据[,]C a b 上内积定义

((),())()()()b

a

f x

g x x f x g x dx

ρ=?

(2)

其中权函数

()=1x ρ，在[0,]2

x π

∈上计算得

23402345

1345624567

3 2.9052/2/8/24/6

4 3.2781/8/24/64/160 4.0294/24/64/160/384 5.2035/64/160/384/896a a a a ππππππππππππππππ??????????????????=??????????????

????(3)解得待定系数00.0201a =，10.7658a =，

2 1.5765a =，20.0708a =-。即

23()0.02010.7658 1.57650.0708x x x x ?=++- (4)

误差2()0.0100x δ (5)

第二种算法：

{}0123=(),(),(),()L x L x L x L x Φ，其中

(),0,1,i L x i

=是勒让德多项式，其表达式为：

21()[(1)],0,1,2,,2!i

i i i i

d L x x i n i dx

=-= (6) 勒让德正交多项式有如下递推关系

0()1L x =，1()L x x =，

()

1121()()(),1,,,111

72i i i i i

L x xL x L x i n i i +-+=-=-++ 可得2231()22L x x =

-，3353

()22

L x x x =- 求得结果，误差为0.3020。

算例分析

在matlab 中编程计算（程序见附录），第一种方法的结果为 >>f=@(x)exp(x).*sin(x); >> [P,error]=polyappro(f,0,pi/2) 得到结果： P =

-0.0708 1.5765 0.7658 0.0201 error = 0.0100

可以看到 A =

[ pi^7/896, pi^6/384, pi^5/160, pi^4/64]

[ pi^6/384, pi^5/160, pi^4/64, pi^3/24] [ pi^5/160, pi^4/64, pi^3/24, pi^2/8 ] [ pi^4/64, pi^3/24, pi^2/8, pi/2 ] B'=

(exp(pi/2)*(pi^3 - 12*pi + 24))/16 (exp(pi/2)*(pi/2 - 1)*(pi/2 + 1))/2 + 1/2 (pi*exp(pi/2))/4 - 1/2

exp(pi/2)/2 + 1/2 第二种方法，勒让德多项式逼近 >> f=inline('exp(x).*sin(x)');

>> [Y,error]=LegendreApproximation(f,4) 得到结果： error = 0.3020

结论

两种方法逼近的效果比较，第一种基函数逼

近的整体效果好，误差小，但是从图上可以看出局部细节不是很准确；而第二种勒让德多项式逼近的结果在前半部分非常好，但后边误差较大，总体误差大。

参考文献

[1]矩阵理论讲义（矩阵论第二章）,19-20.

附录

方法一：求内积

>> f=inline('sin(x).*exp(x)','x'); >> fy0=quad(f,0,pi/2) fy0 = 2.9052

>> f=inline('sin(x).*exp(x).*x','x'); >> fy1=quad(f,0,pi/2) fy1 =

3.2781

>> f=inline('x.^2.*sin(x).*exp(x)','x'); >> fy2=quad(f,0,pi/2) fy2 =

4.0294

>> f=inline('x.^3.*sin(x).*exp(x)','x'); >> fy3=quad(f,0,pi/2) fy3 =

5.2035 最佳平方逼近函数：

function [poly,error]=polyappro(f,a,b) syms x

P=[1,x,x.^2,x.^3];

%P=[1,x,1.5*x.^2-0.5,2.5*x.^3-1.5]; m=length(P); for i=1:m

for j=1:m

A(i,j)=int(P(m-i+1).*P(m-j+1),a,b); end

B(i)=int(f*P(m-i+1),a,b); end

poly=A\B';

poly=sym2poly(poly'); xx=a:0.01:b; yy=feval(f,xx);

ypoly=polyval(poly,xx); polysym=poly2sym(poly); delta=f-polysym;

error=sqrt(int(delta.*delta,a,b)); error=sym2poly(error); plot(xx,yy,xx,ypoly,'r-') end

方法二：勒让德多项式 Function

[Y,error]=LegendreApproximation(f,n) xx=0:0.01:0.5*pi;

fval=feval(f,xx); for i=1:n+1

w(i)=(2*(i-1)+1)/2*quad(@(x)f(x).*

mfun('p',i-1,x),-1,1);

YY(i,:)=w(i).*mfun('p',i-1,xx); Y=sum(YY);

error=norm(fval-Y,'inf'); plot(xx,fval,xx,Y,'r'); end end

方阵最小多项式的求法与应用分析解析

方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多

矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．

方阵最小多项式的求法与应用

方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小

高代求最小多项式

矩阵最小多项式的求法 杨骁 数学与科学学院 指导老师 李永斌老师 [摘要]：本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的两种求法。 [关键词]：方阵；最小多项式。 一、引言 最小多项式在研究线性变换及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，如何求最小多项式非常重要。本文提供了常用的两种方法，利用特征多项式或Jordan 标准型求矩阵的最小多项式。 二、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一个n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式， 则,0)1()()(1 2211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一 个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式， 记为)(λA ψ. 最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C ?∈，则 （1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同. (一)由特征多项式求最小多项式

定理 1 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点. 推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ， 其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1 n m s i i =∑=则A 的最小多项式具 有如下形式： s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ， 其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数. 推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法. 例1 求矩阵 ?? ?? ? ?????=211121112A 的最小多项式. 解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2 --=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能： （1-λ）（4-λ），)4()1(2 --λλ 由于 000000000021112111 2111111111)4)((=???? ??????=??????????---??????????=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ. 有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多 项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出 .)) (),((() (λλλf f f ' 例2 求矩阵

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

一种多项式矩阵列既约分析方法

一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp 的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 ∑== p i ci s M s M 1 )()(det deg δ 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑=p i ci s M 1 )(δ 。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 )(det s M ，npn p p p p i a a a a a s M ...)1()(det 4433221 1∑-= ，其中p1p2p3p4…pn 为从1到n 所有整数的某 种排列结果，i 为p1p2p3p4…pn 的逆序数。找出该多项式的最高指数 )(det deg s M ，然 后与前面所得到的 ∑=p i ci s M 1 )(δ 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。

三、程序流程图 四、使用说明 1.运行程序project1.exe； 2.按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3.点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列；4.进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；

最小多项式1

定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。 注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。 我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。 引理1 A 的最小多项式是唯一的。 证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得 12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l . 我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是 A 的最小多项式矛盾。因此21()()g g l l . 同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎ 用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得 引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。▎ 引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。 证明 由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根： 设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得 0O g A X g X l . 因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。▌ 求最小多项式的方法1： （1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。 例1 零方阵的最小多项式是()g l l ；数量矩阵kE 的最小多项式是()g k l l ，从而单位矩阵的最小多项式是()1g l l . 例2 求1111A 的最小多项式。 解 A 的特征多项式3()(1)f l l ，特征值只有1λ=，()f λ的含有1λ-的因式有： 231,(1),(1)l l l . 经检验，A E O ，2()A E O ，所以A 的最小多项式是2()(1)g l l . 引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。 证明 设1B T AT ，则对于任何多项式()g l 有 1()()g B T g A T ，由此得 ： ()()g A O g B O . 由引理2知,A B 的最小多项式互相整除，它们是相等的。▎ 但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）.

特征多项式

特征多项式 特征多项式是多项式的左手边特征方程 (1) 在哪里是一个方阵和是单位矩阵相同的维度。萨缪尔森的公式允许特征多项式计算递归没有分歧。一个矩阵的特征多项式可以计算的吗Wolfram语言作为CharacteristicPolynomial[m x]。 a的特征多项式矩阵 (2)在特别好的形式可以改写 (3)在哪里是矩阵的迹的和是它的行列式. 同样,a的特征多项式矩阵是 (4)在哪里爱因斯坦总结已经使用,也可以书面明确的痕迹 (5)一般来说,特征多项式的形式 (6)在哪里是矩阵的迹矩阵的和和的总和吗划船对角矩阵的未成年人雅各布森(1974,p . 109)。 勒威耶计算图的特征多项式的算法(Balasubramanian Trinajsti?1984;1988;Ivanciuc Balaban 2000,p . 89)可以作为线性系统的解决方案制定 (7)在哪里 (8) , . 由于Balasubramanian计算算法使用方程 (9)在哪里 (10) Balasubramanian(1985、1985、1991;Ivanciuc Balaban 2000 p。90;错误纠正)和 . a的特征多项式图的特征多项式的定义是邻接矩阵并且可以计算的Wolfram语言使用CharacteristicPolynomial[AdjacencyMatrix[g],x]。一个命名图的预先计算的特征多项式的一个变量还可以获得使用吗GraphData[图,“CharacteristicPolynomial”][x]。

特征多项式不诊断图的同构,即,两个nonisomorphic图表可能共享相同的特征多项式。这样的例子发生上述两图5节点上,这两个特征多项式。不同的简单无向图的特征多项式的数量,2,…节点1、2、4,11日,33岁,151年,988年,11453年……(OEIS A082104),给复制的数量特征多项式为0,0,0,0,1,5,56岁,893年,27311年,.... 下表总结了特征多项式的一些简单的图形。 完全图 完全图 完全图 循环图 循环图 循环图 轮图 轮图 参见:

矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日

学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日

目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18)

方阵最小多项式的求法与应用说课讲解

方阵最小多项式的求 法与应用

方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式 的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果

判断矩阵的最大特征值

项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵??? ? ? ??=654543432A 的特征值与特征向量.

输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包<

矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=

根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵

根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵 矩阵的特征矢量比特征值更难计算，如果能够根据特征值来计算特征矢量， 无疑是非常理想的。这在矩阵特征值不简并时时可以做到的。因为这时矩阵可以作特征分解即i i i i M v v ∑=λ，这里每个特征值只对应一个特征矢量，投影算符的 秩是1，投影出来的子空间是1维的。在矩阵特征值出现简并时不能这样分解，但是可以将对应本征值的空间通过投影算符投影出来，投影算符的秩不再是1，投影出来的子空间不再是1维的。我们通过矩阵的最小多项式将这个投影算符用矩阵多项式表达出来。 特征值代数重数等于几何重数的矩阵构造投影矩阵 如果知道矩阵的所有特征值，比如 对称M 矩阵的特征值有3个，分别是a,b,c 我们可以这样构造对应的特征空间的投影算符 ))(() )((c a b a c M b M P a ----= ))(() )((c b a b c M a M P b ----= ) )(() )((b c a c b M a M P c ----= 为什么？ 直观理解，a P 作用在b,c 特征子空间时，为0，因此可以。 由于M 矩阵是对称矩阵，可以通过相似变换对角化，比如说如下形式

1 111----????? ? ? ??==S c b a a S DS S M 于是 ))()(())()((1=---=----S c D b D a D S c M b M a M 这个最小多项式可以给出M 矩阵构造的投影算符的系数 因为 ()) )()()(())()()(()))()()(())()((() )()()(() )()()(())((22 c a b a c M b M c a a M b a c M b M c a a M b a c M b M a M c M b M c a a M b a a M c M b M c M b M c M b M c M b M P P a a ----=-+----=-+----+---=-+--+---=----=--= 因此 ) )(() )((c a b a c M b M P a ----= 其他类推。 特征值代数重数不等于几何重数的矩阵构造投影矩阵 那么如果矩阵不是对称的或厄密共轭的呢？

最小多项式

第 62、63 讲 §8 最小多项式 教学目的和要求 1 理解矩阵或有限维空间上线性变换的最小多项式的定义及其唯一性，熟 练掌握求最小多项式的两种基本方法； 2 了解最小多项式在矩阵理论上的初步应用，会仿照定理2的证明方法证 明每个有限维线性空间均可按线性变换的零化多项式的标准分解式作直和分解。 重 点 最小多项式及其求法。 难 点 最小多项式的应用。 教 学 过 程 定义 1 设方阵n n A P ′?，我们称[]P l 中能使()g A O =的次数最低的首一多项式() g l 为A 的最小多项式。 注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。 我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。 引理1 A 的最小多项式是唯一的。 证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得 12()()()()g q g r l l l l =+，其中()0r l =或 ()()()2()r g l l ??. 我们说()0r l =，即()()21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A =+得()r A O =，这与 2()g l 是A 的最小多项式矛盾。因此21()()g g l l . 同理可证 12()() g g l l . 所以11()()g g l l =. ▎ 用同样的方法可证，当()f A O =时，A 的最小多项式()() g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O =()()g f l l ?. ▎ 由Hamilton Cayley -定理又得 引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l =-的一个因式。▎ 引理 4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不 同）。 证明 由引理3知，()g l 在P 中的根一定是()f l 的根。下面证明()f l 在P 中的任一个 根0l 也一定是()g l 在P 中的根： 设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是()g A 的属于特征值()0g l 的特征向量，由()g A O =得 ()()0O g A X g X l ==. 因为X O 1,所以()00g l =，即0l 也一定是()g l 在P 中的根。▌ 求最小多项式的方法1： （1）先将A 的特征多项式()f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ； （2）对 ()f l 的标准分解式中含有()()()12s l l l l l l ---的因式按次数从低到高的

矩阵多项式的逆矩阵求法

矩阵多项式的逆矩阵求法 李春来 （玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ） 指导教师：张丰硕 摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。 关键词 矩阵；多项式；逆矩阵 一、引言 矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的 n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称 E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式 n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。 例如523)(23++-=x x x x f ，??? ? ??=1011A , 则???? ??-=++-=5015523)(2 3E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。 当然矩阵多项式也是矩阵。 矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩 阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A = E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。 当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记 为1)]([-A f 。

方阵最小多项式的性质探究

方阵最小多项式的性质探究 摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用 关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式 定义1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。 命题1：方阵的零化多项式是存在的。 证明：设A 为n n ?方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ?方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由2 2,,,,n E A A A 这21n +个向量必定线性相关。则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a ,使得22010n n a E a A a A +++= ， 作多项式2201()n n f x a a x a x =+++ ,且()0f x ≠，有()0f A =, 即()n M F 中的任意向量A 来说，零化多项式是存在的。 定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。 由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。但是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。 命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ?矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则 11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。 也就是说可以把方n n ?方阵的最小多项式的次数缩小到不超过

n 。 下面介绍几个最小多项式的性质： 命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。 命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x). 命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。 证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。 则 11()()()0m B m P AP P m A P --=== 由命题4得()n x 整除()m x ，同理可证()m x 整除()n x ，且()m x ，()n x 都是首一的。所以()()m x n x =。得证 命题6：设A 是一个分块矩阵，12s A A A A ??? ???=?????? ，A 的最小多项多等于i A 的最小多项式的最小公倍式，1,2,,i s = 。 证明：设i A 的最小多项式为()i f x ，A 的最小多项式为()f x ,()i f x 的最小公倍式是()g x ,由()i f x 整除()g x 知()0i g A =， 1,2,,i s = 。 故 12()()()0()s g A g A g A g A ??????==????? ?

数学论文 多项式的矩阵表示

多项式的矩阵表示 前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。

预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m +∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >>

矩阵论 最小多项式 JORDAN式子

λ-矩阵 一、λ-矩阵的基本概念 数域P 上m n ?的λ-矩阵的一般形式 ()()() ()()()()111 1 n ij m n m m n a a A a a a λλλλλλ?? ?== ? ??? ，其中各()[]ij a P λλ∈. 1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2 () A λ的：该子式是一个非零多项式； 3 ()A λ的秩为r ：()A λ 有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零； 4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ 使 ()()()()A B B A E λλλλ==，这时记 () B λ为 () 1A λ-称为 () A λ的逆矩阵。 () A λ可逆 ()A λ?= 非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价： () A λ与() B λ可以经过初等变换互相转化。 () A λ与 () B λ等价?存在可逆矩阵 ()() ,P Q λλ使 ()()()() P A Q B λλλλ=. 二、λ-矩阵的标准准形及三种因子 1 每个λ-矩阵()A λ 都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准 形 ()()() () 120 0r d d B d λλλλ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。它们满足依次整 除关系： ()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- . 因为初等变换不改变 () A λ的秩，所以上述()()r r A λ=. 2 () A λ的所有k 级子式的首一最大公因式 () k D λ称为 () A λ的k 级行列式因子。 （1）若 ()()r A r λ=，则 () A λ的行列式因子恰有r 个： ()()() 12,,,r D D D λλλ .

一种多项式矩阵列既约分析方法汇总

一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 p degdetM(s)=∑δi=1ciM(s) 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组 w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 p 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑δi=1ciM(s)。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 detM(s)，detM(s)=∑(-1)ai 1p1a2p2a3p3a4p4...anpn，其中p1p2p3p4…pn为从1到n所有整数的某 detM(s)，然种排列结果，i为p1p2p3p4…pn的逆序数。找出该多项式的最高指数deg p 后与前面所得到的∑δi=1ciM(s) 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。 三、程序流程图 四、使用说明 1. 运行程序project1.exe； 2. 按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3. 点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列； 4. 进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；