《函数的概念》的教学设计
一、教学内容解析
本节课是上海市教育出版社高一《数学》第三章《函数的基本性质》的第一节课，本章内容总共16课时，《函数的概念》安排为1课时。
学生在初中已经初识了函数的概念，但当时的学习是在具体函数的基础上，将重点放在了两个变量的“依赖关系”上；高中阶段再一次介绍函数的概念，则把重点从“依赖关系”向“对应关系、性质、结构”转变，用集合与对应的语言刻画函数。高一数学的起始两个章节“集合和命题”与“不等式”已为函数概念的进一步学习做好了准备。
函数是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于整个高中数学的教与学之中。这节课，我尝试运用丰富的材料使学生能抽象出建立在对应观点上的函数概念、并能用准确的数学语言进行刻画；从多角度来认识函数，并发现其本质都是对应关系；进一步用集合语言表示定义域、值域，进一步理解符号f的意义。这一节概念课将为接下来从具体到抽象研究函数的性质做准备，也为学生函数的思想和方法的建立打下基础。
二、教学目标设置
1.在初中函数概念的基础上，通过观察、辨析几个实际的例子，逐步抽象出“函数的概念”，并用准确的数学语言进行刻画。
2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法与列表法，并揭示出三种方法背后的本质即“对应关系”。
3.通过多个具体函数的例子，理解函数的三要素，掌握确定一个函数的方法。
教学重点：
1.准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。
2.理解并掌握函数的三种表示方法。
教学难点：
准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。
三、学生学情分析
我这节课是借班上课，学生是上海市浦东新区洋泾中学高一（7）班的学生。洋泾中学是一所市实验性示范性学校。在上这节课之前，我与学生们有过一次20分钟的接触，彼此有了初步的认识。
通过上教版八年级数学教材的学习，学生们已经掌握了基于“变量说”的函数概念。与高中用“集合-对应”来定义函数不同，初中的概念侧重于两个变量的依赖关系，还未引进集合的概念，也不提对应关系。“变量-依赖关系”形象生动，以此定义函数符合学生在八年级时的认知能力与需要，但其中描述性的语言损失了数学的严谨性，也限制了函数的应用，所以有了进一步研究函数概念的必要。
学生对函数概念的理解有四个特点：
1．已熟悉具体的一次函数、反比例函数、二次函数、常值函数，生活中大量的函数现象也使学生对函数的概念不缺乏感性认识；但对抽象的函数概念较生疏，难以用自己的语言进行叙述、解释。
2．已熟悉求函数定义域的原则，对于“自变量”“因变量”“定义域”“值域”等数学术语和符号“)(x f ”也不陌生；但没有用“集合-对应”的语言来表达，这些零碎的函数知识也未能抽象成整体的知识框架。
3．虽然八年级数学教材《函数的概念》第一节课就用到“图像法”和“列表法”来表示函数，但由于种种原因，学生对函数的理解不全面，往往错误地将“函数”等价于“函数解析式”，而学生学习的难点也正是要摆脱“解析法”的表象，发现函数关系的本质即“对应关系”。
4．由于“确定的依赖关系”没有明确指出因变量被自变量“唯一确定”，学生易将“函数”与“二元方程”混淆。
四、教学策略分析
依据这节课的教学内容与要求，并针对学生的认知能力和特点，我对本节课的教学做了如下设计：
1．在教学内容的结构上，注重初高中函数概念的“辩证与统一”，概念理解兼顾“具体与抽象”，教学安排选择“主要与次要”。
“辩证与统一”： 本节课伊始即通过回顾初中函数的概念，指出概念有进一步精细化的必要，让学生能带着目标进入这节“似曾相识”的概念课；当函数概念被建立起来后，再次通过对照两个概念来揭示函数的本质即“对应关系”，使初高中知识得以衔接，并形成知识框架，能以更高的观点来引领后续的学习。
“具体与抽象”：函数在生活中应用众多、学生对函数关系的感性体验也很丰富，这些教学资源被充分地应用在本节课的前二十分钟里，透过不同的实例，逐步将学生的注意力引导到函数共同的特征上，用恰当的方式抽象出函数的概念，并对概念的关键字词进行深入辨析。最后再回到具体的例题中，应用概念来做判断与辨析，使理解更深刻、准确。
“主要与次要”： 《上海市中小学数学课程标准》中明确要求“准确理解函数的概念，掌握求函数定义域的方法”，因此将教学的重点放在函数概念的理解上，突出主线，给予学生足够的时间来真正形成“集合-对应”的函数概念；而将定义域的求法融入到整节课的例题里面，包括实际问题中的限制条件（三个实例）和满足表达式有意义的条件（例题部分），并且将“分段函数”的概念也设计在例题中，拓宽学生对函数解析法的应用，使例题有效且高效。这样的设计着重在概念的形成，又涵盖了其它的知识点，达到本节课的教学目标。
2．在引导学生逐步由“具体到抽象”的概念形成过程中，采用了“启发式”的教学方法，让学生“多角度”地体验，将重点与难点“有步骤”地突破，使概念“图式化”地呈现，最后达到让学生抽象概括函数概念的目的。
“启发式”教学是以学生为教学的本体，充分调动学生的知、情、意、行等方面的积极性，让学生有机会经历各个抽象阶段，从表现形式不同的数学材料中分析它们的共同点，形成新的数学概念。为此我舍弃了教材中一些学生较难以入手的函数例子（如喷泉水滴的高度与时刻的函数模型，出租车计价模型），选择了一些与学生学习、生活密切相关的实例来激发他们的学习兴趣，用一个个问题把他们带进数学课堂的探索之中。比如，第一个例子是学生们在初中就已经掌握的物理问题：自由落体运动；第二个例子是手机移动数据流量余额问题；第三个例子是麦当劳点餐问题，后两个例子源于我们的日常生活，同学们都有感性的体验，就不难参与到之后理性的分析之中。以“如何用恰当的方式表示两个变量的关系？”引出“函数”的课题，再用一个个具体的问题将概念抽丝剥茧，引导学生去发现并探究出精细的函数概念。
“多角度”地观察、比较概念帮助学生拓宽对“函数”的理解，修正狭隘的“函数即函数解析式”的偏见；也帮助了学生挖掘出函数概念的本质。函数的表示方法是这节课的教学目标之一，我从他们最熟悉的“解析法”引入，并用了另外两个难以写出解析式的实例来说明函数还有其它表示方法：如“图像法”和“列表法”。通过比较，使学生体会各个方法的特点：“解析法”运算方便，“图像法”趋势明显，“列表法”对应清晰，从而丰富了他们对函数表示方法的认识；通过归纳，使学生概括三种表示方法的共同点：“解析法”通过运算得到函数值，“图像法”通过横坐标找到对应点的纵坐标，“列表法”的每一列就是一个对应关系，从而提炼出函数的本质就是“唯一确定的对应关系”，即使用其它的表示方法（如：文字叙述）只要能得到“唯一确定的对应关系”就是函数了。
“有步骤”地实现教学目标与重点，突破教学难点也是本节概念课所采取的教学策略。高中函数的概念与初中概念是统一的，但用了更数学化、更抽象的“集合-对应”语言来定义，所以我分以下三个步骤：（1）规定用集合来表示定义域、值域；（2）抽象出对应关系的意义；（3）强调“唯一确定”的对应关系，运用几个实例来逐步实现它们。特别是“唯一确定”这一概念中的关键词，我通过三个正例来强化，一个反例来辨析，让学生能正确理解、判断。在课堂中“集合-对应”的函数概念被逐步完整、逐步抽象，最终水到渠成。
“图式化”是本节课板书设计的特点。虽然几个实例的背景不同，但通过图式的方法进行整理，将定义域，对应法则及值域抽象出来，简洁有效地展现出几个函数的共性，使学生能透过函数的不同表示方法（解析法、图像法或列表法）、不同的变量名称（x和y，或t和s）、不同的对应符号（f、g或h）看到函数的本质就是对应关系，达到最终能用较准确的数学语言叙述、解释的目的。
五、教学过程
（一）概念的温故
在我们身边充满了变化的量，我们该怎样来描述它们呢？数学中我们用“变量”来描述可以取不同数值的量。那么又该如何来描述两个变量之间的关系呢？让我们来看一个具体的例子：
实例1：自由落体实验
从10米的高处让一个小球自由落下，已知重力加速度为9.82s m ，若空气阻力忽略不计，试用恰当的方式表示小球在下落过程中经过的距离y （米）与时间x （秒）的关系。
29.4x y =
初中学习的函数概念：
在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量，y 叫做因变量。
初中的函数概念虽然形象生动，却有一些模糊的表述，如：“y 随着x 的变化而变化”，“确定的依赖关系”等。今天，我们将再一次研究“函数”这一核心数学概念，用更高的观点来理解它，用更数学化的语言来刻画它。
（二）概念的深化
实例1：自由落体实验
解析式29.4x y =很好地表达了y 与x 的依赖关系：将自变量先平方，再乘以4.9
得到函数值。如此，是否由“2”对应得到“19.6”呢？此题中，x 允许取值的范围是什么呢？
x 允许取值的范围就是函数的定义域，我们用集合来表示，并简记为D 。当取遍定义域内的每一个值，通过“先平方，再乘以4.9”的法则得到的函数值所组成的集合就是函数的值域。定义域和值域是同学们曾接触过的概念，但今后我们必须用集合（区间）来表示它们；“先平方，后乘以4.9”的法则称为函数的对应法则，记为f 。
学生在理解函数概念时，往往只注意函数的表达式而忽略函数的定义域，割裂了函数的三要素。在这个同学们熟悉的“自由落体实验”中，通过一个反例：“2对应得到19.6”首先让学生注意到定义域是函数不可缺少的要素。接下来规定用集合表示函数的定义域和值域，重温了符号“f ”，并第一次提出“对应法则”的概念。最后利用图式，淡化了函数解析式，抽象概括出函数的三要素。但未纠正“对应法则”即“解析式”的误区。正真理解“对应法则”还需再看实例2。
实例2：10月手机流量走势图
小明每个月手机移动数据总流量为50MB ，10
月份他的剩余流量y (MB)
与时间x (天)之间的关系
可以用以下图像来描述.
这个图中的两个变量：时
间x 与手机流量余额y 是
“函数关系”吗？为什
么？
当x 取一个确定的值时，通过横坐标可以找到图像上相应点的纵坐标。如此，函数的对应关系就被确定了。这里我们虽然难以写出函数解析式，但图像上已经凸显了流量余额与时间的对应关系，不妨用字母“g ”来代表此图中的对应法则，那么当我们取定义域内的一个确定的值a 时，就得到唯一确定的函数值)(a g 。
在设计实例2时，有两方面的考虑：一是要贴近学生的生活，使同学们发现数学的概念就在身边；二是想找到一个难以用解析式来拟合的函数图像，排除“函数解析式”这个看似不可或缺，实则与“函数概念”无关的表示方法，强化“函数概念”中“对应关系”的实质。“手机流量走势图”
正满足了上述的设计意图。再者，这里将对
应法则记为“g ”，温习了)(a g 的意义，也
提示同学们记为“f ”或“g ”是无关的，
重要的是符号背后的“对应法则”。最后，
对比了“解析法”与“图像法”各自的特
点，并提出是否还有其它表示方法的问题。
实例3：麦当劳点餐
一位外国人走进麦当劳餐厅，他想买一
个汉堡包，可他看不懂中文菜单，想一想他该怎样来点餐呢？如果他指出所选择汉堡包的编号，那么营业员就能奉上他想要的汉堡包，他所需支付的价格也被唯一确定了。这里有两个变量：编号和价格，它们也是函数关系吗？思考一个合理的表示方法使编号与价格的关系一目了然。
列表法：
如果反过来，编号是价格的函数吗？
单会乱套的。同样，由于存在一个价格对应两个不同编号的情况，编号并不是价格的函数。函数关系不仅强调了存在对应的函数值，更要求通过对应法则存在“唯一确定”的函数值。
“列表法”表示函数对应清晰，通过实例1和实例2，学生已能顺利地判断两变量之间是否为函数关系，正确确定自变量与因变量，用集合表示出定义域，并通过表
格找到对应法则。此例的设计意图不仅在于抛开解析式，突出函数的对应法则，还在于通过反例使学生明确对应法则必须“唯一确定”： 可以是“多对一”或者“一对一”，但不能是“一对多”。为接下来抽象出精确的函数概念做准备。
（三）概念的抽象
函数)(x f y =既表示定义域中元素x 按照对应法则f 与值域中元素y 对应的“过程”，又表示由定义域D ，对应法则f 和值域A 所构成的“对象”。通过之前的几个实际例子，相信学生已经充分体会到函数概念的本质，教师抓住时机引导学生从“过程”的角度、用自己的语言归纳出函数即变量间唯一确定的对应关系；而教师则从“对象”的角度抽象出函数即函数三要素所组成的整体；“过程”与“对象”的统一从而得到函数概念的新认识：
函数的概念
在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作)(x f y =，D x ∈.x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域,和x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
得到概念后，教师归纳出什么是函数概念的关键（定义域，对应法则和值域），而什么与函数的本质无关（如表示方法），并指出概念中的限制条件，如：“每一个……都有……”、“唯一确定”等，使学生能准确地理解概念。当然，函数概念中还有其它的限制条件，如变量的个数是两个，定义域与值域是实数集合等，但由于在高等数学中，学生将学到“多元函数”、“复函数”以及“定义在任意非空集合上的函数”，所以此处并不强调这些“人为”的限制条件，只讲概念的实质属性。
当学生能准确把握“集合-对应”语言所定义的函数概念后，再对比初高中函数的概念，发现新的概念在表达上更准确、便于应用，但它们实际上是统一的，从而将初高中函数的知识整合起来。
（四）概念的应用
例题1、请指出下列图中哪一个不是函数的图像.
(A) (B) (C)
例题2、若x y =2，请判断y 是否是x 的函数？如果不是，请说明理由；如果是，请指出这个函数的定义域和值域.
例题3、下列各组所表示的函数是否相同？请同学们判断并说明理由.
（1）x x f =)(，()2)(x x g =
; （2）x x f =)(，2)(x x g =
; （3）{}3,2,1,0,2)(∈=x x f x ，{}3,2,1,0,16
56)(3∈++=t t t t g . 通过这三个层层深入的例子来应用函数概念，使同学们的理解更精致化。例题1与例题2从图像和算式两个角度来辨析函数的概念，由于学生较好地掌握了“唯一确定”这一限制条件，能快速得出正确的判断与理由。例题3讨论了如何来确定一个函数。两个反例的判断并不困难，但第三小问需要学生理解函数的本质不是变量的名称，也不是函数解析式，而是定义域、对应法则和由此被确定的值域，难度较大。回答的同学能做成正确判断，并在教师的引导下给出正确的解释。
三个例子也都有变式教学，让学生不断回到概念中去，并且都涉及到求函数定义域的问题；例题1还结合了分段函数的概念教学，总体来说，例题的设计还是高效的。
（五）小结与作业：
本节课我们一起建立了对函数概念的新认识：对应法则f 作用在非空实数集D 上，从而确定了非空实数集A 。D （定义域）、f （对应法则）和A （值域）是组成函数的三个要素。对应法则f 可以用解析法、图像法或列表法来表示，因为这三种方法都能使定义域中的每一个确定的值通过对应法则f 得到唯一确定的函数值。这种对应关系可以是“多对一”或者“一对一”，但不能是“一对多”。最后，在函数关系中一旦定义域和对应法则确定了，值域就被确定了，函数也就被唯一确定了。
函数在生活当中的应用是广泛的，函数也是高中数学的核心概念；今天我们从“集合-对应”的角度来定义函数的概念，本质上与初中的函数概念是一致的，但它更具有一般性、也将在后续的学习中有更多的应用。
课后作业：数学练习部分 习题3.1函数的概念
1.2.1 函数的概念 教学设计 一、教材分析： 本节内容为《1.2.1函数的概念》 ，是人教A 版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如： 对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法． 二、学情分析： 在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解. 三、教学目标: (一)知识与技能 理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法 通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华. （三）情感、态度与价值观 通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美. 四、教学重点与难点： （一）教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点 函数概念的理解及符号“)(x f y =”的含义. ?? ?=.01)(是无理数时，当是有理数时， ，当x x x f
教学内容 第一部分 知识梳理 知识点一，函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 课题名称 函数及其表示 学科 数学 年级 高一 学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 函数的概念 教学目标 会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。 教学重点 函数概念的理解 教学难点 对于求值域问题能灵活运用各种方法解题
区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和
函数概念教案 各位领导老师大家好，今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。一、教材分析 1、教材的地位和作用： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。 2、教学目标及确立的依据： 教学目标： （1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。 （2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。 （3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 教学目标确立的依据： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。 3、教学重点难点及确立的依据： 教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。 教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。 重点难点确立的依据： 映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。 二、教材的处理： 将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。 三、教学方法和学法 教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。 依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。 学法：四、教学程序 一、课程导入
《函数的概念》教学设计 一、教材内容分析 “函数”是中学数学的核心概念。函数贯穿于整个高中数学的教学中，是整个高中数学的主题内容。 学生在初中已经学习过函数的概念。初中函数的概念是： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。如果当a x =时b y =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。 这个定义把函数看成是两个变量之间的依赖关系。根据这个观点，有些函数很难进行深入研究。例如1=y ，对于这个函数，如果用变量观点来解释，会显得特别勉强。但用高中集合、对应的观点来解释就十分自然。 在高一，学生需要建立的函数概念是： 设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈= 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 实际上，初中的函数概念和高中的函数概念本质上是一样的。只是高中的函数概念更具有一般性，高中用集合、对应的语言描述函数概念，在初中虽然没有提及，但事实上是客观存在的，学生在解决具体问题的过程中也渗透了集合与对应的观点。 不同之处在于初中没有明确强调“确定的对应关系”，或者所接触的函数多数是有解析式的，而高中引入了用“f ”表示对应关系，用)(x f 表示集合B 中与x 对应的那个数。 在函数的概念教学中，我认为需要注意以下几点： 1、集合A 和集合B 都必须是非空的数集，这与映射是不同的。
函数的概念教学设计 教学内容分析 函数的概念是数学中最重要的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。本节课在高中数学中有着承上启下的作用，从初中运动观下的函数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义，本节课渗透的函数思想将被应用到数学的各个分支领域。本课的教学重点是：理解函数的概念，教学难点是：函数概念及对符号的理解。 教学目标设置 知识与能力：理解函数的集合观定义，并会使用符号表示；理解函数符号；会求一些简单函数的定义域，理解对应法则；使学生提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力。 过程与方法：创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上，理解函数的集合观定义，进而理解法则，培养学生类比与联想的学习能力。 情感、态度和价值观：学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程，培养了学生质疑、探究的科学精神，也培养学生唯物主义观点。 学生学情分析 教学对象：市重点高中学生。学生对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识变量间的依存关系，并且掌握了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质，已经基本具备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但高一学生的抽象概括能力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教师的引领。 教学策略分析 在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究历程，学生不可能独立完成，这需要教师用材料铺好一条路，要了解学情并对学生的疑问做好预设，难度大的地方搭好梯子，本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。 1、怎么从初中概念出发得到高中函数概念？ 学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语言刻画函数概念很有难度，如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从生活中的三个实例入手，用问题串引领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则，初中定义的”某一区间”用集合语言描述就是定义域A，自然过渡到集合语言描述函数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立函数模型的过程和方法。 2、对应法则是指什么？
函数的概念教学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《函数的概念》教学设计 人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章 概述： 《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力. 运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析 【教材内容分析】 1.教材的地位及作用 函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。 2.学情分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面
的认识。由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。 【教学目标分析】 根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明： 知识与技能： 1、从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解 2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3、理解函数符号的含义。 过程与方法： 在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 情感、态度与价值观： 采用从实例中抽象概括出函数概念的方法，不仅为学生理解函数打下感性基础，而且注重学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识。 【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。 【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。 【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。
课题：2.1.1 函数－函数的概念 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性 教学重点：理解函数的概念； 教学难点：函数的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 函数是数学的重要的基础概念之一 分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为
其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材 数学的全过程和其他学科中 它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图 后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容 )都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数映的点对(n，a n 列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数 学的其他数学内容也都与函数内容有关
本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 教学过程： 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
教学目标：通过本节课的学习让学生知道什么是常量和变量， 明确函数的概 念，掌握求 借函数定义 域和函数值 域 重 难 考点分析：函数的概念这一小节内容是第十八章的基础内容， 函数、反比例函数做铺垫。在以后不管是期中、期末考试还是中考经常 以选择题、 填空题的形式出现，让学生求函数的定义域或值域。 所以，学生要认真对待本节 课。 教学内容 函数的概念 知识回顾 平面直角坐标系： 1、 在图中描出下列各点： E (3,2 )， F (- 1, - 3)， G (0,1 )， H (- 2,0 ) 2、 平面直角坐标系中①不同位置点的特征： x 轴上的点 __________ 标为零； y 轴上的点 __________ 标为零； 第二象限的点，横坐标为 _______ ，纵坐标为 _______ ; ②对称点的坐标的特征：关于x 轴对称的两个点的__相同， 相反；关于原点对称的两 个点的横坐标 __________________________________________ ，纵坐标 1、授课内容 探究过程： 问题1:某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请思考：在整个的售米过程中 出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？ 知识点1：常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；在某一变化过 程中，始终 保持不变的量叫做常量。 点拨：变量和常量最大的区别在于表示量的数值变还是不变，此外， 还要注意， 区分变量和常量，要结合具体问题进行具体分析，如在火车行驶的问 题上，火车在启动阶段，点：函数概念，函数的定义域和值域 点：函数概念，函数的定义域和值域 为以后学习正比例
《函数的概念》的教学设计 省义乌市第三中学 向阳 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》的第一章1.2.1函 数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。 函数是中学数学的主体容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的容较多，分二课时。本课时的容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等） 【学情分析】 学生在学习本节容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数 ?? ?=是无理数时 当是有理数时 当x x x f ,0,1)( 如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。 【学法指导】 本节容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。 【教学目标】 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数 学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳 概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。 情感目标—— 渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化
集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的
基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的
1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。
高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
6 函数的概念 教材分析 与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念． 函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念． 对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解． 教学目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3. 了解映射的概念． 任务分析 学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系． 教学设计 一、问题情景 1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t 的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）． 2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．
函数的概念（教案） 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间相互依赖的重要数学模型 2、用集合与对应的思想理解函数的概念，理解函数的三要素及函数符号的深刻含义 3、会求一些简单函数的定义域及值域 （二）过程与方法目标 1、从具体到抽象，从特殊到一般，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 2、培养学生联系、对应、转化的辩证思想 2、强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 （三）情感态度与价值观目标 1、渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情 2、强化学生参与意思，培养学生严谨的学习态度 3、树立“数学源于实际，有服务于实际”的数学应用意识 二、教学重、难点 重点：理解函数的概念，主要包括函数的定义和函数三要素的理解与认识；理解函数记号y=f(x) 难点：函数的定义和函数符号的理解与应用 三、教学方法 “问题式”+“探究式”+“启发式” 四、教学过程 1、创设情境，温故知新 问题一：在初中，我们学习过函数的概念，它是如何定义的？初中学习过哪些函数？ 问题二：“y=100”能否表示函数？ 师：问题二，学生用已有知识是不能回答的，这就是为什么我们要在高一重新学习函数的概念，请同学们快速看一下课本上的三个实例 2、讨论归纳，形成概念 分析实例一：用集合与对应的语言来讲述 h=130t-5t*t A={t|0≤t ≤26} B={h| 0≤h≤845}
A B 师：A中的每一个时间t，通过解析式，在B中都能找到一个唯一的h与之对应 教师引导学生快速分析实例二、三 问题三：请同学们每四人一组，一组为单位讨论三个实例有哪些共同点？ 同学回答，老师完善，共同点： （1）都有两个非空数集A、B （2）两个数集间都有某种确定的对应关系 （3）A中每一个数，通过对应B中都有唯一的一个数与之对应 问题四：函数能否看成两个集合的一种对应呢，若能，怎样定义？ 师生一起得出函数的概念： 设A、B两个非空数集，如果按照某种对应关系f，是对于集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A 其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域，与x相对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫函数的值域，值域是集合B的子集。 教师引导学生加深对概念的认识，注意： 1)A、B是非空数集 2）f是对应法则，可是解析式、图像、表格 3）任意的x对唯一的y，即允许多对一 3）y的值是x在f这种对应法则下所得到的值 4）f(a)与f(x)的区别 函数三要素：定义域、对应关系、值域 师：从三个实例中我们可以看出值域是由定义域和对应关系确定的
函数的概念教学设计 张世君 一、教学目标 1、知识与技能 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2．过程与方法 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3、情感、态度与价值观 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 二、教学重点、难点 重点：函数的概念以及构成函数的三要素； 难点：函数概念的形成及理解。 三、学法与教学方法 1、学法：采用学生动手实践、独立思考、自主探究与合作交流相结合的学习方式。 2、教学方法：有效教学的课堂模式 四、教学过程 （一）创设情景、提出问题 提问1：初中时函数的概念是如何定义的？ [设计意图：通过提问，学生复习了初中函数的概念，为提问2打下铺垫，为引入本节课题，并为学习高中阶段函数的概念作好准备。] 生：一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
提问2： y=1是函数吗？ y=x 与 x x y 2 是相同的函数吗？ 【学情预设：学生可能回答的不尽相同】 [设计意图：通过提问，学生发现利用初中的概念很难回答这两个问题，从而理解了从更深的高度学习函数概念的必要，从而引出了本节课题。] （二）师生互动、探究新知 1、函数的有关概念 师：下面我们共同看生活中的三个例子 例1：一枚炮弹发射后,经过26 s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是h=130t-5t2. 例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况． 例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化． 时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
. 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1
教案：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段 更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关 系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
高一数学集合的概念教案设计 数学《集合》概念教案一 教学目的： (1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些 问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集 至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和 运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义， 也是本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学
习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍 了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示 集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集 合的基本概念 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一 般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程： 一、复习引入： 1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数; 2.教材中的章头引言; 3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录); 4.“物以类聚”，“人以群分”; 5.教材中例子(P4) 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： (1)有那些概念?是如何定义的? (2)有那些符号?是如何表示的? (3)集合中元素的特性是什么?
上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十八章 18.1函数的概念（1）设计说明 一.教学内容及其解析 本节课是上海市初中数学课本（上海教育出版社）八年级第一学期第十八章《正比例函数和反比例函数》第一节正比例函数的第一课时，主要内容是函数及其相关概念. 函数是数学中重要的基本概念之一，也是一种重要的思想方法. 它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型. 在上海的初中数学课程中，对函数概念的描述，是用变量之间的依存关系定义的，即函数的“变量说”. 到了高中阶段，函数再以集合观点来描述，函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A 中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”，从而完善“变量说”的表达，进入“对应说”阶段. 之所以初中以运动观点来描述函数概念，主要是它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受，而且“变量说”也是函数思想的根本. 高中函数概念的表述，这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的. 高中阶段学习的函数概念是初中阶段所学函数概念的深化与提高，这也是《课程标准》中要求知识与技能呈螺旋式上升规律的体现. 正如弗赖登塔尔指出的：“函数概念的出现，要比正式的定义早得多，也自然得多. 我们‘能够’甚至‘必须’运用实际中出现的函数概念，而不必先去生造或定义函数. 在学生接触了许多函数，已经能作出函数以后，再让他们去归结出什么是函数，这才是数学活动的范例. 这种新的基本概念的创造，才能明显地表现出活动水平的提高.” 本单元内容的安排，先举例讲述数量以及变化过程中的常量和变量，接着描述函数的概念；然后，研究正比例函数和反比例函数，以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本路径和方法；在学生具体研究正比例函数和反比例函数的基础上，进一步整理函数的表示法，讨论生活实际中的函数问题，深化对函数的理解. 本单元知识结构图如下： 本节课先引发学生思考反映不同事物变化过程的一些实际问题，给出变量、常量的概念；然后体会变量之间的联系，围绕函数概念的形成，采用“背景—分析—归纳”的方式引入概