2019-2020学年高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数情境导学素材 新人教B版必修1
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2.1 生活中的变量关系问题导学一、依赖关系与函数关系的判断活动与探究1下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却,并将一温度计放入茶杯中,每隔一段时间,观察温度计示数的变化,冷却时间与温度计示数的关系;(2)商品的销售额与广告费之间的关系;(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系;(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.迁移与应用1.下面的变量与变量之间是否具有依赖关系?是否具有函数关系?①一天中温度与时间的关系;②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系;③油菜在生长期内株高与施肥量的关系;④人的身高与体重之间的关系;⑤一枚炮弹发射后,飞行高度与时间的关系.(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系,只需分析当其中一个变量变化时,另一个变量是否也发生变化即可,如果发生变化,则它们具有依赖关系,如果不发生变化,则它们不具有依赖关系.(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时,可分以下两个步骤:①确定因变量和自变量.②判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系,否则不是函数关系.二、结合图像分析两个变量之间的关系活动与探究2如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.(1)上午8时的气温是多少?全天的最高、最低气温分别是多少?(2)大约在什么时刻,气温为0 °C?(3)大约在什么时刻内,气温在0 °C以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?迁移与应用如图所示,小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回到家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况.(1)图像表示了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)在10时和13时,他离家分别有多远?(3)他在什么时间段离家最远?(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗?(1)结合图像分析两个变量之间的关系时,首先要清楚横轴、纵轴的含义,明确单位等;其次要注意观察,分析图像中蕴含的数据信息,特别注意发现图像中的关键点,如图像与横轴、纵轴的交点,图像的最高点、最低点等.(2)由图像判断两个变量是否具有函数关系时,首先要区分好自变量和因变量,其次要看对于自变量的每一个值,因变量是否都有唯一确定的值与之对应.三、结合表格分析两个变量之间的关系活动与探究3口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香糖有很多益处,但其残留物也会带来污染,为了研究口香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过实验,测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一组数据:(1)请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像;(2)根据上述数据以及得到的图像,你能得到怎样的实验结论呢?迁移与应用x 1 921 1 927 1 949 1 949<x<1 997 1 997 1 999 2 010y 12345672.以下是某电视台的广告价格表(2013年1月报价,单位:元)试问:广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系?具有依赖关系的两个变量在实际问题中常常需要用图像或式子表示出来,通过有限的数据关系,我们可以表示出两个变量的依赖关系,从而得到其余各个数据之间的依赖关系,从而指导我们的生活,使我们的利益取得最优化.当堂检测1.下列说法不正确的是( ).A.依赖关系不一定是函数关系B.函数关系是依赖关系C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数2.李明骑车上学,一开始以某一速度前进,途中车子发生故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上学时间,于是就加快了车速,在下面给出的四个函数示意图中(s为距离,t为时间)符合以上情况的是( ).3.给出下列关系:①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系;③橘子的产量与气候之间的关系;④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系.其中不是函数关系的有__________.(只填序号)4.下图是我国2012年某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份(单位:月),纵轴为降雨量(单位:cm).由图中曲线可判断该地2012年的降雨量与时间是否具有函数关系?5.判断下列变量间是否存在函数关系:(1)矩形的面积一定时,其长与宽;(2)等腰三角形的底边边长与周长;(3)关系式y2=x中的y与x.答案:课前预习导学【预习导引】1.依赖关系因变量自变量2.(1)函数(2)每一个值唯一确定预习交流1 提示:根据定义,函数关系是特殊的依赖关系,具有依赖关系的两个变量有的是函数关系,有的不是函数关系.因此说依赖关系不一定是函数关系,但函数关系一定是依赖关系.预习交流2 提示:人的健康状况和饮食之间有一定的依赖关系,但这种关系并不是函数关系,因为健康状况并不单纯由人的饮食而定,还受环境、锻炼等因素的影响.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析:两个变量中的一个变量发生变化时,如果另一个变量也发生变化,则它们具有依赖关系;如果另一个变量发生变化且取值唯一,则它们具有函数关系.解:(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系,根据函数的定义知,二者之间存在函数关系,且冷却时间是自变量,温度计示数是因变量.反之不行.(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比如产品的质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间是不确定性关系,即不是函数关系.(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系,更不具有函数关系.(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系,且对于每一个时间的值,路程是唯一确定的,因此它们之间存在函数关系,且时间是自变量,路程是因变量.反之也是.综上可知,(1)(4)中的变量间具有依赖关系,且是函数关系;(2)中变量间存在依赖关系,但不是函数关系;(3)中两个变量不存在依赖关系,也不具有函数关系.迁移与应用1.解:①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系.其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点,即任给一个时间的值,该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定,也就是说,对于一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应,所以它们之间的关系是确定性关系,即是函数关系.其中①中的自变量是时间,因变量是温度,反之不行,②中的自变量是时间,因变量是耗油量,反之也是,⑤中的自变量是时间,因变量是飞行高度,反之不行.而③④中两个变量尽管具有依赖关系,但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外,还与灌水、光照等因素有关,人的身高越高,其体重不一定越重,所以它们之间的关系不具有确定性,不是函数关系.活动与探究2 思路分析:对照图像,分析时间t与气温θ的取值情况以及它们之间的对应关系,结合函数关系的定义判断它们之间的关系.解:(1)上午8时的气温是0 °C,全天最高气温大约是9 °C,在14时达到.全天最低气温大约是-2 °C,在4时达到.(2)大约在8时和22时,气温为0 °C.(3)在8时到22时之间,气温在0 °C以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图像是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以气温与时间具有依赖关系,也具有函数关系.迁移与应用解:(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系,时间是自变量,距离是因变量.(2)在10时和13时,他离家分别为10千米和30千米.(3)他在12时至13时离家最远.(4)不是,因为对于某一个确定的离家距离,与之对应的时间的值不是唯一的.活动与探究3 思路分析:用横轴表示温度t,用纵轴表示口香糖黏附力F,根据表格中的数据在坐标系中描出各点,即可画出图像;结合图像可分析黏附力F与温度t之间的关系.解:(1)图像如下:(2)实验结论:①随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减小;②当温度在37 °C 时,口香糖的黏附力最大.迁移与应用1.解:x,y的取值范围分别是A={1 921,1 927,1 949,1 997,1 999,2 010}∪{x|1 949<x<1 997},B={1,2,3,4,5,6,7},它们都是非空数集,且按照表格中给出的对应关系,对任意的x∈A,在B中都有唯一确定的值与之对应,所以y是x的函数,即y与x是函数关系.2.解:不是函数关系,因为广告价格既与播出时间段有关,也与播出时长有关.【当堂检测】1.C2.C 解析:因为李明骑车上学路上停留了一段时间,故该段图像平行于横轴,所以只有C符合条件.3.①③④4.解:因为对于2012年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,故可得2012年的降雨量与时间具有函数关系,且自变量是时间,因变量是降雨量.5.解:(1)矩形的面积一定时,其长取每一个确定的值,其宽都有唯一确定的值与之对应,所以长与宽存在函数关系,且长是自变量,宽是因变量,反之也是.(2)等腰三角形的周长受底边边长和腰长两个因素的影响,当其底边长取每一个确定的值时,其周长不能唯一确定,故周长与底边边长之间不具有函数关系.(3)在关系式y2=x中,当y取每一个值时,x都有唯一的值与之对应,所以y与x存在函数关系,且y是自变量,x是因变量,反之不行.。
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1 函数的概念及性质【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a ≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1。
2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f 对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么:f A B →叫做集合A 到B 的一个函数,记作.A x x f y ∈=),(②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1。
2.1.2.2 分段函数教学建议1.分段函数是高考重点考查的内容之一,对分段函数的考查,主要考查思维能力和实际应用能力.因此,提高这两方面的能力是处理好这类问题的根本所在.要让学生明确以下几点:(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集;分段函数值域是各段函数值集合的并集;分段函数最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者.(2)分段函数是一个函数,不是两个或多个函数,其本质是在定义域的不同子集上,对应法则不同.可见,分段是为了研究问题的需要进行分类讨论,不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆.(3)分段函数的每一段,可以是等长的,也可以是不等长的.2.研究分段函数常常要画出它的图象、借助于图象来讨论.数形结合法是研究函数的重要方法,要让学生养成自觉运用的习惯.画分段函数的图象时,要特别注意自变量取区间端点处时函数的取值情况,这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在.3.高斯函数即取整函数y=[x ]是一个特殊的函数,要让学生结合图象弄清它的特点,并且能灵活应用它解决实际问题.备用习题1.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--,1||,11,1||,2|1|2x xx x 则f [f(21)]等于( ) A.21 B.134 C.59- D.4125 解析:f [f(21)]=f(23-)=4911+=134.故选B. 答案:B2.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++0.x 2,0,x c,bx x 2若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:由f(-4)=f(0),得b=4.又由f(-2)=-2,得c=2.于是f(x)=⎩⎨⎧>≤++0.x 2,0,x 2,4x x 2f(x)=x,即x 2+4x+2=x(x≤0)或x=2(x>0),所以x=2或x 2+3x+2=0(x≤0),解得x=2或x=-1或x=-2.综上,方程f(x)=x 有三个解.故选C.答案:C3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-.0,1,0,121x xx x 若f(a)>a,则实数a 的取值范围为_______.解析:当a≥0时,由f(a)>a,知21a-1>a,解得a<-2(舍去). 当a<0时,由a1>a,知a 2>1,解得a<-1或a>1(舍去). ∴a∈(-∞,-1). 4.设函数f(x)=||1x x +-(x∈R ),区间M=[a,b ](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N 成立的实数对(a,b)有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:f(x)=||1x x +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>+-,0,1,0,0,0,1x x x x x x x 由此可知,x>0时,f(x)<0;x=0时,f(0)=0;x<0时,f(x)>0.∴当x≠0时,区间M 与集合N 不可能相等,而x=0时,M 为{0},不存在a 、b 并且a<b,使得[a,b ]中仅含0元素.故选A.答案:A。
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地,函数y=a x(a >0且a ≠1,x ∈R )叫做指数函数,其中x 是自变量.由于当a=0时,若x >0,a x 恒等于0;若x ≤0,a x无意义. 当a <0时,如y=(-2)x,对x=…,-21,41,21,…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时,y=1x=1,是一常量,没有研究的必要.综上可知,当a ≤0或a=1时,不是没有意义,就是没有研究的必要,故规定a >0且a ≠1.只有形如y=a x (a >0且a ≠1)且定义域为R 的函数,才是指数函数,又如y=3·2x ,y=2x-1,y=2x+1等,是由指数函数经过某种变换而得到的,它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数,在底数a >0且a ≠1的情况下,对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应,所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质(1)下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表,用描点法化出图象: x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa >10<a <1图象性质①定义域:R ②值域:(0,+∞)③过点(0,1),即x=0时,y=1 ④在R 上是增函数, 当x <0时,0<y <1; 当x >0时,y >1④在R 上是减函数, 当x <0时,y >1; 当x >0时,0<y <1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的,运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等.指数函数的图象变换有两种:一种是平移变换分上下、左右平移,遵循“左加右减,上加下减”.平移前后的形状没有发生变化,只是位置改变了;另一种是对称变换,它会导致前后的形状发生明显改变.指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数. 研究函数的性质,可明确图象的形状;通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解.二者相辅相成、缺一不可,可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题,这时作函数的图象应明确其图象的形状,而确定形状的手段主要有:函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等.要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方;②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x (a >1)在 x >0的方向上增幅越来越快;④指数函数由唯一的常量a 确定.⑤y=a x (0<a<1)在x <0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ,再求值.深化升华 ①底数相同,指数不同的,可构造指数函数,利用函数的单调性比较大小; ②底数、指数都不相同的,可选一中间值比较大小; ③指数相同,底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具?思路:对于指数函数问题,我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题,而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题,从而领会图象在指数函数应用方面的作用. 探究:因为通过图象我们可以直观地看到,任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点(0,1),图象始终在x 轴的上方;当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方,当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方,当a>1时,图象是上升的,当0<a<1时,图象是下降的.所以应用图象进行数形结合,清晰地刻画了指数函数的性质,它们便于我们记忆起函数性质和变化规律.问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征?你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗?思路:函数y=a |x|:其图象是关于y 轴对称的,所以只要先把y=a x的y轴右边的图象保留,再将y 轴右边部分关于y轴作出对称部分;就得到了y=a |x|的图象.探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称,这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x(x<0)的图象合并而成,而y=2x(x>0)与y=(21)x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称,由图象可知值域是[1,+∞),递增区间为[0,+∞),递减区间为(-∞,0]问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点(-h,1+k ),为什么?思路:一般地,把函数y=f (x )的图象向右平移m 个单位得函数y=f (x-m )的图象(m ∈R ,m <0就是向右平移|m|个单位);把函数y=f (x )的图象向上平移n 个单位,得到函数y=f (x )+n 的图象(n ∈R ,若n <0,就是向下平移|n|个单位=探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左(当h>0时)或向右(当h<0时)平移|h|个单位,再向上(当k>0时)或向右(当k<0时)平移|k|个单位而得到,因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点(0,1),所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点(-h,1+k ). 典题·热题·新题例1 下列函数中,哪些是指数函数?①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析:①④⑧⑩为指数函数,其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数,将它变形为y=(4-1)x,即y=(41)x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数,而4不是变数;③是-1与指数函数4x的乘积;⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数,不是自变量x ;⑦由y=4x向上平移得到的;⑨x 的范围不是R . 答案:②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数.误区警示 像y=4x+1,y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数,将它变形为y=(a -1)x,即y=(a1)x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=(2a-1)x是减函数.则a 的范围是多少? 思路解析:由题意可知1>2a-1>0,得21<a <1. 答案:21<a <1 深化升华 解与指数有关的问题时,注意对底数分类讨论,这是考试的一个重点.例3 如右图,在同一坐标系下给出四个指数函数的图象,试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析:作直线x=1与四个图象交于四个点,得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ,底数都“跑”到纵轴上去了,可在数轴的位置上直观比较底数的大小,则a >b >1>c >d >0 . 答案:a >b >c >d拓展延伸 在同一坐标系中,画出函数y=3x,y=(31)x ,y=2x,y=(21)x 的图象,比一比,看它们之间有何联系.从图中可以看到,图象向下无限地与x 轴靠拢,即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的,交叉点是(0,1).在y 轴的右侧,对同一变量x 而言,底数越大,函数值越大;在y 轴的左侧,情况正好相反,即对同一自变量x 而言,底数越大,函数值越小.以此为依据,可定性地分析在同一坐标系中,底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢?我们知道,对指数函数y=a x(a >0且a ≠1),当x=1时,y=a ,而a 恰好是指数函数的底数,这就启发我们,不妨作直线x=1,它同各个图象相交,交点的纵坐标就是各指数函数的底数,以此可比较底数的大小.深化升华 (1)渐近线是指逐渐靠拢,但永远不能到达的线.(2)从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系,对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象:(1)y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析:利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案:(1)利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位,纵坐标不变,再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位,横坐标不变,得到y=2x-1+2的图象,如图(1)(注:画出虚直线的目的是体现平移变换).(2)由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分,再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分,就得到函数y=0.5|x|的图象,如图(2)所示的实线(注:画出虚线的目的是衬托实线的特征).图(1) 图(2) 深化升华 由指数函数的图象,我们还可以总结出图象的变化规律: ①平移规律若已知y=a x 的图象,则把y=a x 的图象向左平移b (b >0)个单位,则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b (b >0)个单位,则得到y=a x-b 的图象,把y=a x的图象向上平移b(b >0)个单位,则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b (b >0)个单位,则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称,y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|:其图象是关于y 轴对称的,所以只要先把y=a x的y轴右边的图象保留;再将y轴右边部分关于y轴对称;就得到了y=a |x|的图象.拓展延伸 一般地,把函数y=f (x )的图象向右平移m 个单位得函数y=f (x-m )的图象(m ∈R ,m <0就是向右平移|m|个单位);把函数y=f (x )的图象向上平移n 个单位,得到函数y=f (x )+n 的图象(n ∈R ,若n <0,就是向下平移|n|个单位=.函数y=f (x )的图象与y=f (-x )的图象关于y 轴对称,函数y=f (x )的图象与函数y=-f (x )的图象关于x 轴对称,函数y=f (x )的图象与函数y=-f (1-x )的图象关于原点对称.函数y=f(|x|):其图象是关于y 轴对称的,所以只要先把y轴右边的图象保留;再将y轴右边部分关于y轴对称;就得到了y=f(|x|)的图象.例5 用函数单调性定义证明函数f (x )=2x在(-∞,+∞)上单调递增. 思路解析:函数单调递增:x 1<x 2⇒f (x 1)<f (x 2);或先论证)()(21x f x f <1,又f (x 2)>0⇒f (x 1)<f (x 2).证明:在(-∞,+∞)上任取x 1<x 2,则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2<0,∴212xx -<1.又f (x 2)=2x2>0,∴f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )=2x在(-∞,+∞)上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中,除了作差法也可用作商法比较f (x 1)、f (x 2)的大小.例6 求下列函数的单调区间:(1)y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析:将原函数“拆”成两个简单的函数,再依据复合函数的单调性求解. 解:(1)令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数,所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反.又由u=x 2-4x-2=(x-2)2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2]为减函数,在[2,+∞)为增函数.所以y=2425.0--x x 在(-∞,2)为增函数,在[2,+∞]为减函数;(2)令u=1+x 1,则y=2u ,因为y=2u为增函数,所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同.因为u=1+x1(x ≠0)所以在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性,利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式,利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断,最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形,由里及外层层求出值域最终而得:y=1212+-x x =1-122+x .x ∈(-∞,+∞)⇒2x >0⇒2x+1>1⇒121+x <1,∴-2<-122+x<0.∴-1<y <1.∴值域为(-1,1).例7 已知函数f (x )=a x(a >0,且a ≠1),根据图象判断21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小,并加以证明.思路解析:对a >1及0<a <1两种情形的指数函数图象,分别取两点A (x 1,f (x 1))、B (x 2,f (x 2))连线段,其中21[f (x 1)+f (x 2)]就是这线段中点M 的函数值,f (221x x +)就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值,如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f (221x x +)<21[f (x 1)+f (x 2)]. 证明:f (x 1)+f (x 2)-2f (221x x +)=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2,∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0,∴222)(21xxa a ->0.∴f (x 1)+f (x 2)-2f (221x x +)>0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f (x )是凸函数,则f (221x x +)≥21[f (x 1)+f (x 2)]; 若f (x )是凹函数,则f (221x x +)≤21[f (x 1)+f (x 2)]. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为( )A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析:这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案:2x-1=2x 可化为2x=2x+1,令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象.如右图所示,可以看出它们图象有两个交点.故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时,这时应联想到用数形结合来解决.。
问题导学一、幂函数的概念及应用活动与探究1(1)下列函数中是幂函数的是__________.(只填序号)①y=x-2;②y=4x2;③y=x3-x;④y=(x+3)4;⑤y=.(2)若一个幂函数f(x)的图像经过点,那么f的值等于__________.迁移与应用1.在函数y=,y=3x2,y=x2-x,y=x0中,幂函数的个数为( ).A.0 B.1 C.2 D.32.已知f(x)是幂函数,且f(2)=8,则f的值等于__________.(1)幂函数是一种“形式化定义”的函数,必须完全符合形式“y=xα(α∈R)”的函数才是幂函数.其中,幂的底数是自变量,幂的指数是一个常数;幂前面的系数必须是1,且为单项式,否则不是幂函数.如果函数是以根式的形式给出的,则应先对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义判断.(2)由于幂函数的解析式中只含有一个参数α,因此只须一个条件就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α.二、函数的奇偶性的判定活动与探究2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x+;(2)f(x)=2-|x|;(3)f(x)=(x-2)2;(4)f(x)=.迁移与应用1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=;(4)f(x)=|x+1|-|x-1|.1.用定义判断函数奇偶性的步骤是:2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数奇偶性:(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;(2)奇函数的和、差仍为奇函数;(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.三、奇偶函数图像的应用活动与探究3奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧的图像如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为__________.迁移与应用已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示.(1)请画出f(x)的另一部分图像;(2)判断f(x)是否有最大值或最小值.(1)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.(2)函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图像的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.四、函数奇偶性的综合应用活动与探究4(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.(2)已知函数f(x)在R上是偶函数,且在(-∞,0]上是递减的,试比较f(3)与f(π)的大小.迁移与应用1.已知函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上具有单调性,且f(-3)<f(-1),则下列不等式一定成立的是( ).A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3)C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1)2.函数y=f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x-3,求函数f(x)的解析式.1.利用函数奇偶性求函数解析式的关注点求奇、偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,通过适当推导,求得所求区间上的解析式.2.单调性与奇偶性的关系(1)奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同.(2)偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反.当堂检测1.下列函数为幂函数的是( ).。
[教学目的]1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解,明确决定函数的三个要素(定义域、值域和对应法则);2.掌握函数的三种主要表示方法(解析法、列表法、图象法);3.能够正确使用“区间”、“无穷大”等记号;4•会求某些函数的定义域和值域,会画一些简单函数的图象.[重点难点]重点:在映射的基础上理解函数的概念;难点:函数的概念.[教学设想]1.教法2.学法3.课时[教学过程]§ 2.2.1函数(一)--函数的概念和表示方法[教学目的]1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解,明确决定函数的三个要素(定义域、值域和对应法则);2.掌握函数的三种主要表示方法(解析法、列表法、图象法).[重点难点]重点:在映射的基础上理解函数的概念;难点:函数的概念.[教学过程]一、复习引入1•复习提问:在从集合A到集合B的映射中,⑴对于集合A中的任意一个元素a,在集合B中是不是一定有象?是不是只有一个象?答:必定有象,且只有一个象.⑵对于集合B中的任意一个元素b,在集合A中是不是一定有原象?是不是只有一个原象?答:对于集合B中任意一个元素b,在集合A中不一定有原象,在有原象时,也不一定只有一个.2.复习引入:我们在初中已经学过函数,例如,正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.那么函数的概念是什么?在初中我们是怎样定义它呢?那时的定义可叙述为:设在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y 是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.我们回想映射的定义,不难知道,上面所说的函数实际上就是集合A到集合E的一个特殊映射f : A-B,构成这种映射的集合A,B 是非空的数集,而且对于自变量在定义域A内的任何一个值x,在集合 B 中都有唯一的函数值和它对应;自变量的值是原象,和它对应的函数值是象;原象的集合A就是函数的定义域,象的集合C就是函数的值域,显然CB.这种用映射刻划的函数定义是我们高中阶段学习的函数定义.二、学习、讲解新课1•用映射刻划的函数定义如果A, B都是非空的数集,那么A到B的映射f : A- B就叫做A 到B的函数,记作y=f(x),其中x€ A, y € B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C (CB)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“ y是x的函数”,有时简记作函数f(x).这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.例如,一次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f : A- B,它使集合B中的元素y=ax+b(aO)与集合A中是元素x对应,记为f(x)=ax+b(a0),集合A为定义域,集合C(C=R为值域(这里C=B .反比例函数是集合A={x|x0}到集合B (B=R的映射f: A-B, 它使集合B中的元素y=k/x(k0)与集合A中是元素x对应,记为f(x)= k/x(k0),集合A为定义域,集合C={y|yO}为值域(这里CB .二次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f: A-B,它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A中是元素x对应,记为f(x)=ax2+bx+c (a0) , 集合A 为定义域 , 当a>0 时 , 集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域;当a<0 时,集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域(这里CB .2.函数的三要素⑴函数符号y=f(x) 的含义:它表示y 是x 的函数,而不是 f 和x 的乘积. 其中 f 表示对应法则,小括号表示把对应法则 f 施加于x 这个变量之上,而等号表示施加之后对应于y.例如,f(x)=2x 2+3,这里是用一个代数式把f 所表示的对应法则具体化了,就是说“把自变量x 先平方再二倍再加3”即得x 对应的函数值,而 f 就表示了这一套运算手续.另外,f还可能是由图表表示的数之间的对应法则(后面再举例).⑵符号f(a)的含义:f(a)表示自变量x取a时所对应的函数值.f 如果由解析式表达,则可算出f(a).例如,f(x)二x 2+2X-1在x=0,x=1,x=2时的函数值分别为f(0)=-1 ,f(1)=2 ,f(2)=7 ;若f 由图表给出,那么就可以通过点的坐标或查表找出f(a).要注意f(a) 与f(x) 的联系与区别:f(a) 表示当自变量x=a 时函数f(x)的值,它是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f(a) 是f(x) 的一个特殊值.⑶函数的三要素:由函数的定义可知,函数由定义域、值域和对应法则三部分组成,这三部分就叫做函数的三要素, 而确定函数的要素是定义域和对应法则. 当定义域和对应法则确定之后,函数的值域也就随着确定了, 至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的,因此y=f(x)=x 2与z=f(t)=t 2表示的是同一函数.另外,在同时研究两个或多个函数时,要用不同的符号来表示它们.除了f(x) 外还常用g(x),F(x),G(x) 等符号.3.函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.例如,s=60t 2,A=r2,S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2) 等等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系例如,数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本中我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.用图象法表示函数关系的优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.4•例题评价例1(P54) 已知函数f(x)=3x 2-5x+2 ,求f(3), f(-), f(a+1).解:f(3)=3 x 32-5 X 3+2=14;f(-)=3 X (-) 2-5 X (-)+2=8+5 ;22f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a.例2( 补) 已知函数f(x)=4x+3 ,g(x)=x 2, 求f[f(x)] ,f[g(x)] ,g[f(x)] ,g[g(x)].解:f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15 ;2f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2+3;2 2 2g[f(x)]=[f(x)] 2=(4x+3) 2=16x2+24x+9;g[g(x)]=[g(x)] 2=(x2)2=x4.5.目标检测⑴课本P56练习:1, 2.⑵(补充题)已知f(x)=3x+1,求f(x 2+1)与f(x 2)+1相差多少.答案:⑴课本练习:1.⑴定义域是{-3,-2,-1,0,1,2,3} ,值域是{0,1,4,9};⑵和x=-2对应的象是4;⑶y=9和原象-3,3对应.2.f(0)=-3 ,f(2)=1 ,f(5)=7 ;函数的值域是{-3,-1,1,3,7}.⑵(补充题):解:T f(x 2+1)=3(X2+1)+1=3X2+4, f(x 2)+1=3x2+1 + 1 =3X2+2,而f(x 2+1)-f(x 2)+仁3x2+4-(3x 2+2)=2,二f(x 2+1)与f(x 2)+1 相差2.三、小结1. 函数是一种特殊的映射f: A-B,其中集合A, B必须是非空的数集;y=f(x)表示y是x的函数;2. 定义域、值域和对应法则是函数的三要素,定义域和对应法则一经确定,值域随之确定.3. f(x)与f(a)既有区别也有联系:f(a)表示f(x)在x=a时的函数值,是常量;而f(x)是x的函数,通常是变量.4. 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.四、布置作业(一) 复习:课本内容,熟悉巩固有关概念(二) 书面:课本P57习题2.2 : 1, 3.数学:4.1.2《同角三角函数的基本关系》教案(旧人教版高一下)【同步教育信息】本周教学内容:同角三角函数的基本关系式二.重点、难点:本节重点是同角三角函数的基本关系式1. 平方关系:2. 商数关系:, sin a , COSGtan , cot:cos:si n:3. 倒数关系:【典型例题】[例1]已知,求的其它三角函数值。
1 2.1.1 函 数
【情境导学】
QQ 是即时聊天工具,通过QQ,我们可以结交很多全国各地的新朋友,可以与远方的亲朋好友面对面地交流,省钱、快捷、方便,可以传送文件,还可以通过聊天练习打字,学习上网等.通过QQ,我们开心的时候可以找人分享,我们不开心的时候可以找人倾诉,所以说现在QQ 成了我们生活不可缺少的一部分. 大部分的同学都有QQ 号,这样QQ 号与同学之间就有对应关系,即QQ 号(可能不止一个)⇒某同学.在数学领域也有类似的对应关系吗
?
答案:数学中也有很多类似的对应关系,即数x(可能不止一个)对应y(唯一一个),数学上的这种数之间的对应关系即为函数关系.。