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2.1 生活中的变量关系问题导学一、依赖关系与函数关系的判断活动与探究1下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．迁移与应用1．下面的变量与变量之间是否具有依赖关系？是否具有函数关系？①一天中温度与时间的关系；②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系；③油菜在生长期内株高与施肥量的关系；④人的身高与体重之间的关系；⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系．(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变化，则它们不具有依赖关系．(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：①确定因变量和自变量．②判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系．二、结合图像分析两个变量之间的关系活动与探究2如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0 °C?(3)大约在什么时刻内，气温在0 °C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？迁移与应用如图所示，小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况．(1)图像表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)在10时和13时，他离家分别有多远？(3)他在什么时间段离家最远？(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗？(1)结合图像分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图像中蕴含的数据信息，特别注意发现图像中的关键点，如图像与横轴、纵轴的交点，图像的最高点、最低点等．(2)由图像判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应．三、结合表格分析两个变量之间的关系活动与探究3口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？迁移与应用x 1 921 1 927 1 949 1 949＜x＜1 997 1 997 1 999 2 010y 12345672．以下是某电视台的广告价格表(2013年1月报价，单位：元)试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？具有依赖关系的两个变量在实际问题中常常需要用图像或式子表示出来，通过有限的数据关系，我们可以表示出两个变量的依赖关系，从而得到其余各个数据之间的依赖关系，从而指导我们的生活，使我们的利益取得最优化．当堂检测1．下列说法不正确的是( )．A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数2．李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是( )．3．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有__________．(只填序号)4．下图是我国2012年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份(单位：月)，纵轴为降雨量(单位：cm)．由图中曲线可判断该地2012年的降雨量与时间是否具有函数关系？5．判断下列变量间是否存在函数关系：(1)矩形的面积一定时，其长与宽；(2)等腰三角形的底边边长与周长；(3)关系式y2＝x中的y与x.答案：课前预习导学【预习导引】1．依赖关系因变量自变量2．(1)函数(2)每一个值唯一确定预习交流1 提示：根据定义，函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．预习交流2 提示：人的健康状况和饮食之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因为健康状况并不单纯由人的饮食而定，还受环境、锻炼等因素的影响．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，则它们具有函数关系．解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间是不确定性关系，即不是函数关系．(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．迁移与应用1．解：①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中的自变量是时间，因变量是飞行高度，反之不行．而③④中两个变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．活动与探究2 思路分析：对照图像，分析时间t与气温θ的取值情况以及它们之间的对应关系，结合函数关系的定义判断它们之间的关系．解：(1)上午8时的气温是0 °C，全天最高气温大约是9 °C，在14时达到．全天最低气温大约是－2 °C，在4时达到．(2)大约在8时和22时，气温为0 °C.(3)在8时到22时之间，气温在0 °C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以气温与时间具有依赖关系，也具有函数关系．迁移与应用解：(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系，时间是自变量，距离是因变量．(2)在10时和13时，他离家分别为10千米和30千米．(3)他在12时至13时离家最远．(4)不是，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的时间的值不是唯一的．活动与探究3 思路分析：用横轴表示温度t，用纵轴表示口香糖黏附力F，根据表格中的数据在坐标系中描出各点，即可画出图像；结合图像可分析黏附力F与温度t之间的关系．解：(1)图像如下：(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 °C 时，口香糖的黏附力最大．迁移与应用1．解：x，y的取值范围分别是A＝{1 921,1 927，1 949，1 997，1 999,2 010}∪{x|1 949＜x＜1 997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．2．解：不是函数关系，因为广告价格既与播出时间段有关，也与播出时长有关．【当堂检测】1．C2．C 解析：因为李明骑车上学路上停留了一段时间，故该段图像平行于横轴，所以只有C符合条件．3．①③④4．解：因为对于2012年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得2012年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．5．解：(1)矩形的面积一定时，其长取每一个确定的值，其宽都有唯一确定的值与之对应，所以长与宽存在函数关系，且长是自变量，宽是因变量，反之也是．(2)等腰三角形的周长受底边边长和腰长两个因素的影响，当其底边长取每一个确定的值时，其周长不能唯一确定，故周长与底边边长之间不具有函数关系．(3)在关系式y2＝x中，当y取每一个值时，x都有唯一的值与之对应，所以y与x存在函数关系，且y是自变量，x是因变量，反之不行．。
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1 函数的概念及性质【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a ≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1。
2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f 对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么:f A B →叫做集合A 到B 的一个函数，记作．A x x f y ∈=),(②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小(大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法:④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1。
2.1.2.2 分段函数教学建议1.分段函数是高考重点考查的内容之一,对分段函数的考查,主要考查思维能力和实际应用能力.因此,提高这两方面的能力是处理好这类问题的根本所在.要让学生明确以下几点:(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集;分段函数值域是各段函数值集合的并集;分段函数最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者.(2)分段函数是一个函数,不是两个或多个函数,其本质是在定义域的不同子集上,对应法则不同.可见,分段是为了研究问题的需要进行分类讨论,不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆.(3)分段函数的每一段,可以是等长的,也可以是不等长的.2.研究分段函数常常要画出它的图象、借助于图象来讨论.数形结合法是研究函数的重要方法,要让学生养成自觉运用的习惯.画分段函数的图象时,要特别注意自变量取区间端点处时函数的取值情况,这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在.3.高斯函数即取整函数y=［x ］是一个特殊的函数,要让学生结合图象弄清它的特点,并且能灵活应用它解决实际问题.备用习题1.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--,1||,11,1||,2|1|2x xx x 则f ［f(21)］等于( ) A.21 B.134 C.59- D.4125 解析：f ［f(21)］=f(23-)=4911+=134.故选B. 答案：B2.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++0.x 2,0,x c,bx x 2若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由f(-4)=f(0),得b=4.又由f(-2)=-2,得c=2.于是f(x)=⎩⎨⎧>≤++0.x 2,0,x 2,4x x 2f(x)=x,即x 2+4x+2=x(x≤0)或x=2(x>0),所以x=2或x 2+3x+2=0(x≤0),解得x=2或x=-1或x=-2.综上,方程f(x)=x 有三个解.故选C.答案：C3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-.0,1,0,121x xx x 若f(a)>a,则实数a 的取值范围为_______.解析：当a≥0时,由f(a)>a,知21a-1>a,解得a<-2(舍去). 当a<0时,由a1>a,知a 2>1,解得a<-1或a>1(舍去). ∴a∈(-∞,-1). 4.设函数f(x)=||1x x +-(x∈R ),区间M=［a,b ］(a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N 成立的实数对(a,b)有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个解析：f(x)=||1x x +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>+-,0,1,0,0,0,1x x x x x x x 由此可知,x>0时,f(x)<0;x=0时,f(0)=0;x<0时,f(x)>0.∴当x≠0时,区间M 与集合N 不可能相等,而x=0时,M 为{0},不存在a 、b 并且a<b,使得［a,b ］中仅含0元素.故选A.答案：A。
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
问题导学一、幂函数的概念及应用活动与探究1(1)下列函数中是幂函数的是__________．(只填序号)①y＝x－2；②y＝4x2；③y＝x3－x；④y＝(x＋3)4；⑤y＝.(2)若一个幂函数f(x)的图像经过点，那么f的值等于__________．迁移与应用1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2－x，y＝x0中，幂函数的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．32．已知f(x)是幂函数，且f(2)＝8，则f的值等于__________．(1)幂函数是一种“形式化定义”的函数，必须完全符合形式“y＝xα(α∈R)”的函数才是幂函数．其中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数；幂前面的系数必须是1，且为单项式，否则不是幂函数．如果函数是以根式的形式给出的，则应先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义判断．(2)由于幂函数的解析式中只含有一个参数α，因此只须一个条件就可确定幂函数的解析式．若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.二、函数的奇偶性的判定活动与探究2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝2－|x|；(3)f(x)＝(x－2)2；(4)f(x)＝.迁移与应用1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.1．用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．对于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．三、奇偶函数图像的应用活动与探究3奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，其y轴右侧的图像如图所示，则f(x)＜0的x的取值集合为__________．迁移与应用已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示．(1)请画出f(x)的另一部分图像；(2)判断f(x)是否有最大值或最小值．(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(2)函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性，因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，不妨利用图像的对称性来解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可．四、函数奇偶性的综合应用活动与探究4(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．(2)已知函数f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0]上是递减的，试比较f(3)与f(π)的大小．迁移与应用1．已知函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，f(x)在[0,5]上具有单调性，且f(－3)＜f(－1)，则下列不等式一定成立的是( )．A．f(－1)＜f(3) B．f(2)＜f(3)C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1)2．函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x－3，求函数f(x)的解析式．1．利用函数奇偶性求函数解析式的关注点求奇、偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．2．单调性与奇偶性的关系(1)奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同．(2)偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反．当堂检测1．下列函数为幂函数的是( )．。
［教学目的］1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；2.掌握函数的三种主要表示方法（解析法、列表法、图象法）；3.能够正确使用“区间”、“无穷大”等记号；4•会求某些函数的定义域和值域，会画一些简单函数的图象.［重点难点］重点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.［教学设想］1.教法2.学法3.课时［教学过程］§ 2.2.1函数（一）--函数的概念和表示方法［教学目的］1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；2.掌握函数的三种主要表示方法（解析法、列表法、图象法）.［重点难点］重点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.［教学过程］一、复习引入1•复习提问：在从集合A到集合B的映射中，⑴对于集合A中的任意一个元素a,在集合B中是不是一定有象？是不是只有一个象？答：必定有象，且只有一个象.⑵对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一个原象？答：对于集合B中任意一个元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象时，也不一定只有一个.2.复习引入：我们在初中已经学过函数，例如，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.那么函数的概念是什么？在初中我们是怎样定义它呢？那时的定义可叙述为：设在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y 是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.我们回想映射的定义，不难知道，上面所说的函数实际上就是集合A到集合E的一个特殊映射f : A-B,构成这种映射的集合A,B 是非空的数集，而且对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合 B 中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域，显然CB.这种用映射刻划的函数定义是我们高中阶段学习的函数定义.二、学习、讲解新课1•用映射刻划的函数定义如果A, B都是非空的数集，那么A到B的映射f : A- B就叫做A 到B的函数，记作y=f(x)，其中x€ A, y € B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C (CB)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“ y是x的函数”，有时简记作函数f(x).这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.例如，一次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f : A- B,它使集合B中的元素y=ax+b(aO)与集合A中是元素x对应，记为f(x)=ax+b(a0),集合A为定义域，集合C(C=R为值域(这里C=B .反比例函数是集合A={x|x0}到集合B (B=R的映射f: A-B, 它使集合B中的元素y=k/x(k0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)= k/x(k0)，集合A为定义域，集合C={y|yO}为值域(这里CB .二次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f: A-B,它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c (a0) , 集合A 为定义域 , 当a>0 时 , 集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域；当a<0 时，集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域(这里CB .2.函数的三要素⑴函数符号y=f(x) 的含义：它表示y 是x 的函数，而不是 f 和x 的乘积. 其中 f 表示对应法则，小括号表示把对应法则 f 施加于x 这个变量之上，而等号表示施加之后对应于y.例如，f(x)=2x 2+3,这里是用一个代数式把f 所表示的对应法则具体化了，就是说“把自变量x 先平方再二倍再加3”即得x 对应的函数值，而 f 就表示了这一套运算手续.另外，f还可能是由图表表示的数之间的对应法则(后面再举例).⑵符号f(a)的含义：f(a)表示自变量x取a时所对应的函数值.f 如果由解析式表达，则可算出f(a).例如，f(x)二x 2+2X-1在x=0,x=1,x=2时的函数值分别为f(0)=-1 ，f(1)=2 ，f(2)=7 ；若f 由图表给出，那么就可以通过点的坐标或查表找出f(a).要注意f(a) 与f(x) 的联系与区别：f(a) 表示当自变量x=a 时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a) 是f(x) 的一个特殊值.⑶函数的三要素：由函数的定义可知，函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，这三部分就叫做函数的三要素, 而确定函数的要素是定义域和对应法则. 当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了, 至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，因此y=f(x)=x 2与z=f(t)=t 2表示的是同一函数.另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示它们.除了f(x) 外还常用g(x),F(x),G(x) 等符号.3.函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=60t 2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2) 等等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.4•例题评价例1(P54) 已知函数f(x)=3x 2-5x+2 ，求f(3), f(-), f(a+1).解：f(3)=3 x 32-5 X 3+2=14;f(-)=3 X (-) 2-5 X (-)+2=8+5 ;22f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a.例2( 补) 已知函数f(x)=4x+3 ，g(x)=x 2, 求f[f(x)] ，f[g(x)] ，g[f(x)] ，g[g(x)].解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15 ；2f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2+3；2 2 2g[f(x)]=[f(x)] 2=(4x+3) 2=16x2+24x+9；g[g(x)]=[g(x)] 2=(x2)2=x4.5.目标检测⑴课本P56练习：1, 2.⑵(补充题)已知f(x)=3x+1，求f(x 2+1)与f(x 2)+1相差多少.答案：⑴课本练习：1.⑴定义域是{-3,-2,-1,0,1,2,3} ，值域是{0,1,4,9};⑵和x=-2对应的象是4;⑶y=9和原象-3，3对应.2.f(0)=-3 ，f(2)=1 ，f(5)=7 ;函数的值域是{-3,-1,1,3,7}.⑵(补充题)：解：T f(x 2+1)=3(X2+1)+1=3X2+4, f(x 2)+1=3x2+1 + 1 =3X2+2,而f(x 2+1)-f(x 2)+仁3x2+4-(3x 2+2)=2，二f(x 2+1)与f(x 2)+1 相差2.三、小结1. 函数是一种特殊的映射f: A-B,其中集合A, B必须是非空的数集；y=f(x)表示y是x的函数;2. 定义域、值域和对应法则是函数的三要素，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定.3. f(x)与f(a)既有区别也有联系：f(a)表示f(x)在x=a时的函数值，是常量；而f(x)是x的函数，通常是变量.4. 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.四、布置作业(一) 复习：课本内容，熟悉巩固有关概念(二) 书面：课本P57习题2.2 : 1, 3.数学：4.1.2《同角三角函数的基本关系》教案(旧人教版高一下)【同步教育信息】本周教学内容：同角三角函数的基本关系式二.重点、难点：本节重点是同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：2. 商数关系：, sin a , COSGtan , cot:cos：si n：3. 倒数关系：【典型例题】［例1］已知，求的其它三角函数值。
第二章 函 数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1 函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行的含义．【问题导思】 【问题导思】 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．(1)下列说法不正确的是( )A．依赖关系不一定是函数关系 下列对应关系是否为(1)A＝R，B＝{(2)A＝Z，B＝Z1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A中任何一个元素在B中必有元素与其对应；下列说法正确的是( )1－x x－2A．f(x)＝＋是函数 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2x＋3；1－x2求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域1求定义域时盲目化简函数解析式致误 求函数【错解】 f(x)＝【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】 要使函数f(x)有意义，需满足：Error!解得x≤1且x≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{ y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有( )个 C．3个 D．4个由函数的定义，M中任意一个x，N中都有唯一y对应，故．下列函数完全相同的是( )＝()2x＝x2＝x2 x(x)＝x＋3.、D的定义域均不同．一、选择题图2－2－1水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．1求下列函数的值域：∈[2,5]的值域是( ) B．[－3,1]________．＝2－，＋1)－2＋12x ＋1【问题导思】 定义用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式【问题导思】 作出下列函数的图像．(1)y＝1＋x(x∈Z)(2)y＝x2－2x(x∈(1) (2) (3)(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y＝|x2＋3x－4|的图像．(1) (2)求函数解析式 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数f(x)的解析式．x x(2)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)．【思路探究】 (1)由于f(x)是一次函数，所以可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意知，f[f(x)]－1，所以k(kx＋b)＋b＝4x－1，即k2x＋kb＋b＝4x－1，1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等系数法，其步骤为：代替即可．(1)已知f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)1 已知【思路探究】 1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； (1)(2012·江西高考)设函数f(x12【答案】 (1) (2)－5或3忽略变量的实际意义而致误 如图2－2－2所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD 上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】 由题意得△CQB∽△BAP，＝，所以y ＝.y 34x 12x 故所求的函数表达式为y ＝，其图像如图所示．12x 没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义． 由题意得△CQB ∽△BAP ，＝.所以y ＝.因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD y 34x 12x 故所求的函数表达式为y ＝(3≤x ≤5)．12x1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是( )，x∈{1,2,3,4,5}.一、选择题的图像是( )＝Error!∴B选项正确．由下表给出，则f(2)＝( )11．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．【解】 由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.所以y＝Error!.(教师用书独具)讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．【思路探究】 可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像，图像交点的横坐标x的值就是方程的实数解．【自主解答】 构造两个函数y＝|x2－4x＋3|和y＝a并作图．由图可知：①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解；③当a＝1时，原方程有三个实数解；④当0<a<1时，原方程有四个实数解．1．求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．2．函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．若x∈R，f(x)是y＝2－x2与y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为( )A．2 B．1 C．－1 D．无最大值【解析】 两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f(x)是两个函数的较小者，可先画出两个函数的图像，然后找出 已知函数(1)画出函数f(x)(2)观察图像写出函数的定义域和值域．观察函数的图像，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)．画不熟悉的函数的图像，可以变形成基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形，y的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解映射的概念及表示方法．(2)结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合．(2)通过实例进一步理解映射的概念．(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射、一一映射．3．情感、态度与价值观映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．●重点难点重点：映射的概念．难点：映射的概念．映射的概念是比较抽象的，它是在初中所学对应的基础上发展而来，教学中应特别强调对应集合中的“唯一”这点要求的理解；映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一、多对一、一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让“A中之任意”与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任意对唯一”.(教师用书独具)●教学建议1．在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射．在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、一对一三种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识上升到理性认识．2．对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最【问题导思】 映射的判断 在下列各题中，判断下列对应是否为集合哪些是一一映射？哪些是函数，为什么？(1)A＝N，B＝N1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x1 已知(1)(－2,3)在f作用下的像是(2)若在f作用下的像是【自主解答】 (1)(－2,3)在映射f作用下的像是(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．(2)设原像(x，y)在映射f作用下的像是(2，－3)，由题意得Error!，解得Error!或Error!，所以原像是(3，－1)或(－1,3)．【答案】 (1，－6) (3，－1)或(－1,3)1．解答此类问题的关键是：(1)分清原像和像；(2)弄清由原像到像的对应关系．2．当给出原像求像时，只需要将原像代入对应关系中即可得出像；当给出像要求原像时，可先假设原像，再代入对应关系中求解，也可根据对应关系，由像逆推出原像．已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．(1)求A中元素(5,5)的像；(2)求B中元素(5,5)的原像．【解】 (1)当x＝5，y＝5时，x＋2y＋2＝17,4x＋y＝25.故A中元素(5,5)的像是(17,25)；(2)令Error!得Error!故B中元素(5,5)的原像是(1,1).因函数与映射的概念理解不清致误下列对应f是从集合A到集合B的函数的是___．(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.【错解】 (1)(2)(3)均为集合A到B的函数．【错因分析】 未弄清函数与映射两概念的区别与联系．【防范措施】 1.对映射与函数的概念理解不透，误认为只要给出解析式，对应便是函数．2．函数是定义在非空数集上的映射，它也要满足映射的定义．【正解】 对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数．对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5∉B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．∴对应f不是集合A到集合B的函数．【答案】 (1)(2)1．判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看A的每一个元素是否都在B中有且有唯一的像，对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．2．函数、映射与对应的关系可用下面的图形表示．1．给出下列四个对应，其中构成映射的是( )A．(1)(2) B．(1)(4)C．(1)(3)(4) D．(3)(4)【解析】 判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应．故选B.【答案】 B2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )A．A中每一个元素在B中必有唯一像B．B中每一个元素在A中必有原像C．B中每一个元素在A中必有唯一原像D．A中不同元素的像必不同一、选择题 C．2 D．1所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文明文(解密)，已知加密规则为：明文(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像.(教师用书独具)已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}．(1)试建立一个从A到B的映射；(2)从A到B的映射共有多少个？【思路探究】 根据映射的定义，建立从A到B的映射，只要使A中的每一个元素在B中有唯一确定的元素与之对应即可．用列举的方法，不难得出答案．【自主解答】 (1)如上图所示．(答案不唯一)(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如下图所示．对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若个元素，B中有n个元素，则从A→B共有n m个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．(1)已知：A＝{a，b，c，}，B则满足条件的映射共有________个．§3函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)建立增(减)函数的概念，通过观察一些函数图像的特征，形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数单调性的定义. 掌握用定义证明函数单调性的步骤．(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程．2．过程与方法(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．(2)学会运用函数图像理解和研究函数的性质．(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3．情感、态度与价值观使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的积极性．●重点难点重点：函数的单调性的证明．难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明．本节课的难点主要是发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中“任意”的理解，建议教学时多给学生操作与思考的空间；另一个难点是定义法判断或证明函数的单调性，其主要原因是学生比较大小的能力不够，因此，对于函数的复杂程度要加以限制，同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤．(教师用书独具)●教学建议在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想，将图像法和定义法统一起来．由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．●教学流程创设情景，揭示课题，观察函数的图像，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律⇒研探新知，通过观察、思考、讨论，归纳得出增函数、减函数的定义⇒利用定义，借助例1及变式训练，加深对单调性定义的理解⇒完成例2及变式训练，通过图像得出函数的单调区间⇒发展思维，强化函数单调性的应用，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正。
2.1.1 指数与指数幂的运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华指数与指数幂的运算 1．整数指数幂 （1）正整数指数幂正整数指数幂a m（a ＞0，m ∈N *）事实上是一种缩写，即 个m ma a a a .=⋅⋅⋅•.根据缩写的这种意义可以得到如下的性质:（1）a m×a n=a m+n;（2）a m÷a n=a m-n；（3）(a m )n=a mn；(4）a n b n=(ab)n;(5)(ba )n =n nb a （b ≠0）.（2）负整数指数幂 ∵a n·a -n=a n-n=a 0=1，∴a -n=na 1. 这一规定把除法与乘法统一起来了，a n÷b m=m n ba =a n ·b -m.由于a 0与a -n（n ∈N *）都是由数学式子中除数a n产生的，根据0作除数无意义，所以规定a 0与a -n 的同时，必须有a n≠0即a ≠0，这样的规定才与已往有的除法运算相一致.就这样，正整数指数幂推广到了整数指数幂.要点提示 整数指数幂的底数应使等号两边都有意义.正整数指数幂的底数是a ∈R ；零指数和负整数指数幂的底数a ∈R 且a ≠0.指数可以是任意整数. 2．根式（1）平方根：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根（或二次方根），其中a 叫做被开方数，次数2叫做根指数，x 叫做a 的平方根.当a ＞0时，它有两个互为相反数的平方根，记作：a ，-a ；当a=0时，0=0；当a ＜0时，在实数范围内没有平方根.例如：x 2=9，则x=±9=±3是9的平方根，若x 2=-4＜0，则在实数范围内-4没有平方根. 或者平方根可由二次函数y=x 2的图象与性质去理解.要点提示 平方根存在与否以及平方根的个数仅仅与被开方数有关.（2）立方根：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）.它的被开方数、根指数、根分别是a 、3、x.在实数范围内，对任意a ∈R ，它都有唯一的立方根3a ，其中3a 叫做根式.（3）n 次方根：如果存在实数x ，使得x n=a （a ∈R ，n ＞1，n ∈N ），则x 叫做a 的n 次方根. 如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，即±n a ；当a=0时，n 0=0；当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根.如果n 是奇数，它同立方根一样，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a .要点提示 (1)只有当n a 有意义时，才能称为根式.n 次方根是平方根和立方根的推广.根指数是大于1的整数.(2）无论根指数是大于1的偶数还是奇数，当被开方数是0时，它的n 次方根是0. 3．方根性质（1）n 次方根的性质x=⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,(k ∈N *,n>1,n ∈N )式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质． （2）根式的运算性质①nn a )(=a （n ＞1，n ∈N ）理解这一性质的关键是紧扣n 次方根的定义，如果x n=a(n>1,且n ∈N )有意义，则无论n是奇数或偶数，x=n a 一定是它的一个n 次方根，所以n n a )(=a 恒成立.例如：44)3(=3，33)5(-=-5.记忆要诀 先开方，再乘方（同次），结果为被开方数. 当n 为奇数时，a ∈R ，由n 次方根的定义可得n n a =a 恒成立，当n 为偶数时，a ∈R ，a n≥0，nn a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a.例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a|=-a ，如2)3(-=23=3.从而归纳得到以下根式的性质：②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==.,0,,0,||,,为偶数为奇数n a a a a a n a a nn利用根式的运算性质对根式的化简的过程中，根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算.记忆要诀 先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数；先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值. 4.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的转化为了使同底数幂的运算变成指数的简单运算，有必要对分数指数幂规定为：n mnma a =（a ≥0，n 、m ∈N *，n ≥2），nm nm aa1=（a ＞0，n 、m ∈N *，n ≥2）．分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算.同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂中，nm a ≠0，即a ≠0.指数的概念在引入了0指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便.要点提示 （1）{有理数}={分数}=Q .（2）零的正分数次幂为零，零的负分数次幂无意义.（3）对分数指数幂和根式的互化，要紧扣方根的定义. （2）分数指数幂的运算法则设a ＞0，b ＞0，α、β∈Q ，则 ①a α·a β=a α+β；②（a α）β=a αβ；③（ab ）α=a α·b α.分数指数幂的运算法则同整数指数幂一样，a α是一个确定的实数. 根式n m a 化成分数指数幂nm a 的形式，若对nm约分，有时会改变a 的范围.例如：214242)2()2()2(-≠-=-.所以考虑清楚a 的范围后再化简nm . 要点提示 化简代数式的关键是把问题化归成我们熟悉的、已知其运算法则的分数指数幂的形式，利用其法则去计算；对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的一种形式，但不能同时出现根式和分数指数幂的形式，也不能既有分母，又有负指数. 5.无理指数幂无理指数幂教材中没有给出严格的定义，可阅读教材61页，通过计算器计算，体会“有理数逼近无理数”的思想，感受一下它的逼近程度.一般地，当a ＞0，α为无理数时，a α也是一个确定的实数.整数指数幂的运算法则就推广到了实数范围内，也就是说，设a ＞0，b ＞0，α、β∈R ，则（1）a α·a β=a α+β；（2）（a α）β=a αβ；（3）（ab ）α=a α·b α.恒成立. 问题·思路·探究问题 为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？ 思路：根据方根的定义，考虑偶次方与偶次方根的联系．探究:根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根．假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n =a ．因为x n≥0，a<0，所以x n=a 不成立，与方根定义矛盾． 典题·热题·新题例1 下列命题中,错误的是（ ）A.当n 为奇数时,n n x =xB.当n 为偶数时,n n x =xC.当n 为奇数时,n n x )(=xD.当n 为偶数时,n n x )(=x思路解析：由对根式性质中奇偶条件限制的理解,很容易知道选B. 答案：B深化升华 当n 是奇数时，n n n n a a =)(=a.例2 已知函数y=n m x 的定义域为R ,则下列给出的n, m 中,不能取的一对值是（ ） A.n=3,m=7 B.n=2,m=4 C.n=4,m=3 D.n=3,m=4 思路解析：如果n 是奇数，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a ；故A 、D 项符合要求．如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，当a=0时，n 0=0,当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根，B 项中x 4符合要求，而C 项中x 3未必为非负数，如x=-1就不行． 答案：C误区警示 当a ＜0时，在实数范围内a 无偶次方根，容易忽视． 例3 利用函数计算器计算（精确到0.001）. （1）0.32.1；（2）3.14-3；（3）431.3；（4）33.思路解析：对于（1），可先按底数0.3，再按 2.1，最后按□=，即可求得它的值；对于（2），先按底数3.14，再按□-键，再按3，最后按□=即可；对于（3），先按底数3.1，再按3□÷4，最后按□=即可.对于（4），这种无理指数幂，可先按底数3，其次按3，最后按□=键.有时也可按.答案：（1）0.32.1≈0.080；（2）3.14-3≈0.032；（3）431.3≈2.336；（4）33≈6.705.深化升华 熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受一下现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会.用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n 位，只需看第（n+1）位能否进位即可.例4 比较55，33，2的大小.思路解析：底数不同根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的数再作比较.解：61613218)2(22===，616123139)3(33===，而8＜9， ∴36161398<<，10110152132)2(22===，1012515)5(55==，而25＜32.∴55＜2.总之，55＜2＜33.拓展延伸 比较幂值的大小，如果底数与指数都不相同时，能化为同底，则先化为同底，不能化为同底，就化为同指数，这些都是通过代数变形转化的方法来实现的.转化是解题的万能钥匙.例5 已知x+x -1=3,求下列各式的值. (1)2121-+xx ;(2)2323-+xx思路解析：（1）题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论;(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者可仿照(1)题作平方处理,进而利用立方和公式展开. ∵221212122122121)(2)()(---+•+=+x xx x x x =x+x -1+2=3+2=5,∴2121-+xx =±5.又由x+x -1=3得x>0，所以52121=+-x x .（2）解法一：3213212323)()(--+=+x x x x=])())[((22121212212121---+•-+x x x x x x=)(2121-+xx （x-1+x -1）=)13(5-=52 解法二：22323][-+x x=2232323223)(2)(--+•+x xx x=x 3+x -3+2而x 3+x -3=(x+x -1)(x 2-1+x -2)=(x+x -1)［(x+x -1)2-3］=3×(32-3)=18 ∴22323][-+xx =20.又由x+x -1=3,得x>0, ∴52202323==+-xx .误区警示 (1)题注重了已知条件与所求问题之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生忽视,应强调以引起学生注意.拓展延伸 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,而且具有一定的层次,需看透问题实质方可解决得彻底,否则可能半途而废.另外,(2)题也体现了一题多解. 深化升华 条件代数式的化简遵循以下三个原则.（1）若条件复杂，结论简单，可把条件化简成结论的形式.（2）若结论复杂，条件简单，可把结论化简成条件的形式.（3）若条件结论均复杂，可同时化简它们，直到找到它们之间的联系为止.。
第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么a+c=b+c.(2妆口果a=b,那么ac = be或学=#(CH0).(3妆口果a=b, b=c,那么a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据：因d_/2>OOa>b：^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a<b.⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.知识点三两个实数大小的比较(1)“> 如凹"-b>0:(2)"=bO"-b 図=0：(3)固αvZ?Ua —b<0.知识点四不等式的性质⑴如果a>b,那么b<a；如果b<cb那么回“>/?,即国台Z?V".(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即a>b, b>c=叵I ">c.(3)如果a>b,那么d+o画R+c.(4)如果a>b, c>0,那么ac >bc；如果a>b, c<O,那么UC <bc.(5)如果a>b, OcL那么α+c 画 >/?+〃.(6)如果a>b>O, c>d>O,那么ac回如果α>b>O, c<(l<0,那么ac 回G"∙⑺如果a>b>O,那么0 凹R"(n∈N, π≥2).(8)如果回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).【新知拓展】1.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?—d.2.常用的结论(1 )a>b,(2)bvO<"W>*;(3)a>b>O,o√>0=>^>p... r,I a a+m a a~m b b+m b b~m(4)右Qb>0,加>0,则沪书p丹百卩一心0)； £片；茗二需(方_心0).3.比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二者并用.4.利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小:(1)已知S 〃为正数，且a≠b,比较/+，与局+“2；⑵已知XV1,比较X3-I与2X2-2X:(3)已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与〃的大小.［解］(1 )(Λ3 ÷b3)—(a2b ÷ ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2{a-b)-b2(a—b)= (a-b)(a2-b2)= {a~b)2(a+b).Vt∕>O, b>0 且a≠b, Λ(a-b)2>Q9 a+b>O9/. (a y÷ /?3) — (a2b ÷ ab2)>O,即cr+b^>a2b+ab2.(2)X3- 1 — (2x2-2x)=x3-2X2÷2X- 1=(√-X2)-(X2-2X÷1)=X2(Λ:- I)-(X-1)2= (X-I)(X2-χ+1) = (X- 1 {(^-∣)2+∣•Txvl, Λχ- l<0.X^x-^2÷j>0,•••(XT)-(x^⅛+fl <0, ΛX3~1<2Λ2~2X.4 x+y 4 (x+y)2_4Xy (χ∙~y)'χ+y Xy x+y Q(X+y) xy(x÷y)* 乂“ y均为正数，Λ.r>0, y>0, xy>0, x÷y>0, (X-y)2≥0.Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时，等号成立)・金版点睛作差比较法的四个步骤［结论〕—(根据差的符号，判断两数(式)的大小「题型二 不等式的性质及应用例2下列命题正确的是 ___________②α>b 且 c>d=>ac>bch解析］①戸’ n 知 当XO, b>0时，满足已知条件，但推不出a>b, IoO (・•・①错误.②当a = 3, b=∖, C= —2, Cl=—3时，命题显然不成立∙ ∙°∙②错误•④显然c 2>0t Λ两边同乘以$得a>b.④正确.［答案］③④金版点睛 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所 需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结 论，也可举出一个反例予以否定・题型三 利用不等式的性质证明不等式例 3 (1)已知e>f 9 c>0,求证：f-ac<e~bc;(2)已知CVdV0,求证：土缶；-∖a>h>09‰>o一成立・・：③正确・ ③a>b>O 且 c>√>0=>=>^>p*0=>(3)已知bc-ad20, bd>O.求证：一T —W 〃・［证明］(I)Tα>∕?, c>O, .*.ac>hc./. -ac<-hc.'∙f<e,:・f— ac<e—be.(2) T CVdVO, /. —c>—d>0.乂a>b>O, C. ci—c>b—d>0.(3) •： be—adMO, :∙QdWbc,乂T bcl>O,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件.(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围；(2)已知一∣≤cc<^≤^,求笞迫，生亍©的取值范圉.［解］(I)V3≤∕^<10,・•・一10v-bW-3.乂2<t∕≤5τ •：—8<f∕-Z>≤2.⑵T —彳WaV厂W号,・•・-共鈴γ<⅛两式相加得一两式相加得一又*0,・・・三篡0, Λ［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+b,“b的取值范围.解由2<t∕≤5,3≤^<10 得2 +3 V/+b<5 ÷ 10,2 ×3<ab<5 ×10,即5<a÷b< 15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的"范围”间的联系.如已知20<x+yV30,15Vχ-y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出X, y的范围，再求"+3y的范围，应把已知的"x+y” “x—y” 视为整体，即2x+3y=I(X+>-)—∣(Λ—y),所以需分别求出∣(x+y), —∣(χ-y)的范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 •熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.【知识导学】知识点一基本不等式如果。
第2章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．教学难点：用作差法比较代数式的大小．【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.(2)如果a＝b，那么ac＝bc或ac＝bc(c≠0)．(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.知识点二作差比较法(1)□01a－b>0⇔a>b；□02a－b＝0⇔a＝b；□03a－b<0⇔a<b.(2)方法步骤：□04作差；②□05整理；③□06判断符号；④□07下结论．知识点三两个实数大小的比较(1)a>b□01a－b>0；(2)a＝b⇔a－□02＝0；(3)□03a<b⇔a－b<0.知识点四不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么□01a>b，即□02a>b⇔b<a.(2)如果a>b，且b>c，那么□03a>c，即a>b，b>c⇒□04a>c.(3)如果a>b，那么a＋c□05>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac□06>bc；如果a>b，c<0，那么ac□07<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c□08>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac□09>bd；如果a>b>0，c<d<0，那么ac□10<bd.(7)如果a>b>0，那么a n□11>b n(n∈N，n≥2)．(8)□12a>b>0，那么n a>n b(n∈N，n≥2)．【新知拓展】1．关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d.2．常用的结论(1)a>b，ab>0⇒1a<1 b；(2)b<0<a⇒1a>1 b；(3)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc；(4)若a>b>0，m>0，则ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)；ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．3．比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．4．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小：(1)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2； (2)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x ；(3)已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 与n 的大小．[解] (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2) ＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )．∵a >0，b >0且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0， ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . (3)∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．金版点睛作差比较法的四个步骤题型二 不等式的性质及应用 例2 下列命题正确的是________． ①c a <cb 且c >0⇒a >b ； ②a >b 且c >d ⇒ac >bd ； ③a >b >0且c >d >0⇒ ad >b c ；④a c 2>bc 2⇒a >b .[解析] ①⎩⎪⎨⎪⎧c a <c b ，c >0⇒1a <1b ；当a <0，b >0时，满足已知条件，但推不出a >b ，∴①错误．②当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立．∴②错误． ③⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0⇒a d >bc >0⇒ ad > bc 成立．∴③正确．④显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴④正确．[答案] ③④ 金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.题型三 利用不等式的性质证明不等式 例3 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ；(2)已知a >b >0，c <d <0，求证：b a －c <ab －d ；(3)已知bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd . [证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc . ∴－ac <－bc .∵f <e ，∴f －ac <e －bc . (2)∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴0<1a －c <1b －d .再由0<b <a ，∴b a －c <a b －d .(3)∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，又∵bd >0， ∴a b ≤c d .∴a b ＋1≤cd ＋1.∴a ＋b b ≤c ＋d d . 金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．题型四 利用不等式的性质求取值范围 例4 (1)已知2<a ≤5,3≤b <10，求a －b ，ab 的取值范围； (2)已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β3的取值范围． [解] (1)∵3≤b <10，∴－10<－b ≤－3. 又2<a ≤5，∴－8<a －b ≤2. 又110＜1b ≤13，∴15<a b ≤53. (2)∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加得－π2<α＋β2<π2.∵－π6≤α3<π6，－π6<β3≤π6，－π6≤－β3<π6，两式相加得－π3≤α－β3<π3.又α<β，∴α－β3<0，∴－π3≤α－β3<0.[变式探究]将本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．解由2<a≤5,3≤b＜10得2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝52(x＋y)－12(x－y)，所以需分别求出52(x＋y)，－12(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．2.2 基本不等式课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：基本不等式条件的创设．【知识导学】知识点一基本不等式如果a>0，b>0，则□01ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式．知识点二 算术平均数与几何平均数及相关结论 在基本不等式中，□01a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，□02ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：□03两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点三 基本不等式与最大(小)值 当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝S (S 为定值)，则当且仅当□01x ＝y 时，xy 取得最□02大值□03S 24；(简记：和定积有最大值)(2)若xy ＝P (P 为定值)，则当且仅当□04x ＝y 时，x ＋y □05小值□062P .(简记：积定和有最小值)知识点四 基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把□01要求最大值或最小值的变量定为因变量．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为□02函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出□03函数的最大值或最小值． (4)根据实际意义写出正确的答案．【新知拓展】1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．3．利用基本不等式的解题技巧与易错点(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后再用基本不等式．(2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．题型一对基本不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a>0，b>0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以xy＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－xy＋⎝⎛⎭⎪⎫－yx≤－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－xy⎝⎛⎭⎪⎫－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[解析]从基本不等式成立的条件考虑．①因为a>0，b>0，所以ba>0，ab>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋yx 看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案] D 金版点睛基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是正实数． (2)“当且仅当”的含义：①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .题型二 利用基本不等式比较大小 例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( )A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1B.a ＜a ＋12＜2aa ＋1C.2aa ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2aa ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 均为正数时，有2aba ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12. 又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，应选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m ＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围．解 当m >0时，由基本不等式，得 4m ＋2m ≥24m ·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三利用基本不等式求函数的最值例3(1)求函数y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又x>3，∴x－3>0，1x－3>0，∴y≥21x－3·(x－3)＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.(2)∵0<x<13，∴1－3x>0，y＝x(1－3x)＝13·3x·(1－3x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋(1－3x)22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，取等号，∴当x＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝x2＋3x＋4x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋2x＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1 ≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1时， 即x ＝2－1时，函数y 的最小值为22＋1.金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3.[证明] b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数，∴b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6. ∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ＞3.金版点睛利用基本不等式证明不等式(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握基本不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．题型五 利用基本不等式求代数式的最值例5 (1)已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值；(3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值．[解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(2)∵2x ＋y ＋6＝xy ，∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x (2x ＋6)x －1＝2(x 2＋3x )x －1＝2[x 2－1＋3(x －1)＋4]x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18. 当且仅当x ＝3时，等号成立．(3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43， 即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时，等号成立，x ＋y 的最大值为233.[结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值． 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy ＝6xy ，又因为1x ＋9y ＝1，所以6xy≤1，xy ≥6，xy ≥36， 当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立．所以(xy )min ＝36.金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型六 利用基本不等式解决实际问题 例6 某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－180x ＋10，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x 5(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？[解] (1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的(100－x )万元资金投入B 产品，利润总和y ＝18－180x ＋10＋100－x 5＝38－x 5－180x ＋10(x ∈[0,100])． (2)∵y ＝40－x ＋105－180x ＋10，x ∈[0,100]， ∴由基本不等式，得y ≤40－236＝28，当且仅当x ＋105＝180x ＋10，即x ＝20时，等号成立．答：分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有□01一个未知数，并且未知数的□02最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c□01零点．知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的□01集合叫做这个一元二次不等式的□02解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)□01字母表示题中的□02未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出□03关于未知数的不等式(组)；(3)□04求解所列出的不等式(组)；(4)□05实际意义确定答案．【新知拓展】1．解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．题型一不含参数的一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0；(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－814≥0；(5)－12x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )：(1)2x 2＋ax ＋2>0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[解] (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．(2)若a ＝0，原不等式为－x ＋1<0，解得x >1；若a <0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1； 若a >0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*) 其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故①当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅；②当a >1时，由(*)式可得1a <x <1；③当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．题型三 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．[解] 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋4＝－b a ，－3×4＝c a ，即⎩⎨⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0， 即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0，故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：题型四利用一元二次不等式判断车速例4某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝120x＋1180x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h，28521≈168.88)[解]设这辆汽车刹车前的车速为x km/h，根据题意，得120x＋1180x2＞39.5.移项整理，得x2＋9x－7110＞0.显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.金版点睛一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.题型五利用一元二次不等式解决利润问题例5某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解] (1)依题意，得y ＝[1.2(1＋0.75x )－(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)．∴所求关系式为y ＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)(0＜x ＜1)．(2)依题意，得1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)＞(1.2－1)×1000.化简，得3x 2－x ＜0.解得0＜x ＜13.∴投入成本增加的比例x 的范围是0<x <13.金版点睛解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题.【扩展】(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，x)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n )()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. ⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f c b ax <+)0(>>+c c b ax。
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1 2.1.1 函 数
【情境导学】
QQ 是即时聊天工具,通过QQ,我们可以结交很多全国各地的新朋友,可以与远方的亲朋好友面对面地交流,省钱、快捷、方便,可以传送文件,还可以通过聊天练习打字,学习上网等.通过QQ,我们开心的时候可以找人分享,我们不开心的时候可以找人倾诉,所以说现在QQ 成了我们生活不可缺少的一部分. 大部分的同学都有QQ 号,这样QQ 号与同学之间就有对应关系,即QQ 号(可能不止一个)⇒某同学.在数学领域也有类似的对应关系吗
?
答案:数学中也有很多类似的对应关系,即数x(可能不止一个)对应y(唯一一个),数学上的这种数之间的对应关系即为函数关系.。
1 2.1.1 函 数
【情境导学】
QQ 是即时聊天工具,通过QQ,我们可以结交很多全国各地的新朋友,可以与远方的亲朋好友面对面地交流,省钱、快捷、方便,可以传送文件,还可以通过聊天练习打字,学习上网等.通过QQ,我们开心的时候可以找人分享,我们不开心的时候可以找人倾诉,所以说现在QQ 成了我们生活不可缺少的一部分. 大部分的同学都有QQ 号,这样QQ 号与同学之间就有对应关系,即QQ 号(可能不止一个)⇒某同学.在数学领域也有类似的对应关系吗
?
答案:数学中也有很多类似的对应关系,即数x(可能不止一个)对应y(唯一一个),数学上的这种数之间的对应关系即为函数关系.。
