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空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]

空间向量在立体几何中的应用:

(1)直线的方向向量与平面的法向量:

①如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得a t OA OP +=,其中向量a 叫做直线的方向向量.

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由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.

②如果直线l ⊥平面α ,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α 的法向量.

由此可知,给定一点A 及一个向量a ,那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定. (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:

设直线l ,m 的方向向量分别是a ,b ,平面α ,β 的法向量分别是u ,v ,则 ①l ∥m ?a ∥b ?a =k b ,k ∈R ; ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b =0; ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u =0;

④l ⊥α ?a ∥u ?a =k u ,k ∈R ; ⑤α ∥?u ∥v ?u =k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v =0.

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题:

①异面直线所成的角:设a ,b 是两条异面直线,过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角.

设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1,v 2,a 与b 的夹角为θ ,显然],2

π,0(∈θ则

?=

>

||||

||,cos |212121v v v v v v

②直线和平面所成的角:直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

设直线a 的方向向量是u ,平面α 的法向量是v ,直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然

]2

π,0[∈θ,则?=

>

||||

||,cos |v u v u v u

③二面角及其度量:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作α -l -β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角α -l -β 的平面角.

利用向量求二面角的平面角有两种方法: 方法一:

如图,若AB ,CD 分别是二面角α -l -β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角α -l -β

的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小.

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方法二:

如图,m 1,m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量,则〈m 1,m 2〉与该二面角的大小相等或互补.

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(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题. 【例题分析】

例1 如图,在长方体OAEB -O 1A 1E 1B 1中,OA =3,OB =4,OO 1=2,点P 在棱AA 1上,且AP =2P A 1,点S 在棱BB 1上,且B 1S =2SB ,点Q ,R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证:PQ ∥RS .

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【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数k ,使得.RS k PQ =

解:如图建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (3,0,0),B (0,4,0),O 1(0,0,2),A 1(3,0,2),B 1(0,4,2),E (3,4,0).

∵AP =2P A 1, ∴),3

4,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴?)3

4

,0,3(P

同理可得:Q (0,2,2),R (3,2,0),?)3

2,4,0(S

,)3

2

,2,3(RS PQ =-=

∴RS PQ //,又R ?PQ ,

∴PQ ∥RS .

【评述】1、证明线线平行的步骤:

(1)证明两向量共线;

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.

2、本体还可采用综合法证明,连接PR ,QS ,证明PQRS 是平行四边形即可,请完成这个证明. 例2 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N ,E ,F 分别是棱A 1D 1,A 1B 1,D 1C 1,B 1C 1的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD .

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【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量平行. 解法一:设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4).

取MN 的中点K ,EF 的中点G ,BD 的中点O ,则O (2,2,0),K (3,1,4),G (1,3,4).

MN =(2,2,0),EF =(2,2,0),AK =(-1,1,4),OG =(-1,1,4),

∴MN ∥EF ,OG AK =,∴MN//EF ,AK//OG ,

∴MN ∥平面EFBD ,AK ∥平面EFBD , ∴平面AMN ∥平面EFBD .

解法二:设平面AMN 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3),平面EFBD 的法向量是 b =(b 1,b 2,b 3). 由,0,0==??AN AM a a 得??

?=+=+-,

042,

0423231a a a a 取a 3=1,得a =(2,-2,1).

由,0,0==??BF DE b b

得?

??=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3=1,得b =(2,-2,1).

∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD .

注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试.

例3 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 是棱A 1B 1,B 1B 的中点,求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值.

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解法一:设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),M(2,1,2),C(0,2,0),N(2,2,1).

∴),1,0,2(

),

2,1,0(=

=CN

AM

设AM和CN所成的角为θ ,则,

5

2

|

||

|

cos=

=

?

CN

AM

CN

AM

θ

∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是?

5

2

解法二:取AB的中点P,CC1的中点Q,连接B1P,B1Q,PQ,PC.

易证明:B1P∥MA,B1Q∥NC,

∴∠PB1Q是异面直线AM和CN所成的角.

设正方体的棱长为2,易知,6

,52

2

1

1

=

+

=

=

=QC

PC

PQ

Q

B

P

B

∴,

5

2

2

cos

1

1

2

2

1

2

1

1

=

-

+

=?

Q

B

P

B

PQ

Q

B

P

B

Q

PB

∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是?

5

2

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【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角,因此按向量的夹角公式计算时,分子的数量积如果是负数,则应取其绝对值,使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角(锐角).例4 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a

2,求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小.

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【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一是由定义找出线面角,再用向量方法计算;二是利用平面ABB1A1的法向量求解.

解法一:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),),

2

,0,0(

1

a

A

?

-)

2

,

2

,

2

3

(

1

a

a

a

C取A1B1的中点D,则)

2

,

2

,0(a

a

D,连接AD,C1D.

则),

2

,0,0(

),

0,

,0(

),

0,0,

2

3

(

1

a

AA

a

AB

a

DC=

=

-

=

,0

,0

1

1

1

=

=?

?AA

DC

AB

DC

∴DC1⊥平面ABB1A1,

∴∠C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角.

),

2

,

2

,0(

),

2

,

2

,

2

3

(

1

a

a

AD

a

a

a

AC=

-

=

2

3

|

||

|

cos

1

1

1

=

=

?

AD

AC

AD

AC

AD

C,

∴直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30°.

解法二:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a2),)

2

,

2

,

2

3

(

1

a

a

a

C-,从而?

-

=

=

=)

2

,

2

,

2

3

(

),

2

,0,0(

),

0,

,0(

1

1

a

a

a

AC

a

AA

a

AB

设平面ABB1A1的法向量是a=(p,q,r),

由,0

,0

1

=

=?

?AA

AB a

a

?

?

?

=

=

,0

2

,0

ar

aq

取p=1,得a=(1,0,0).

设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为],

2

π

,0[

,∈

θ

θ

.30,2

1

|

||||||,cos |sin 111 ==

=

??=?θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;解法二给出了一般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换.

例5 如图,三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,AC ⊥BC ,P A =AC =1,2=BC ,求二面角A

-PB -C 的平面角的余弦值.

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解法二图

解法一:取PB 的中点D ,连接CD ,作AE ⊥PB 于E . ∵P A =AC =1,P A ⊥AC , ∴PC =BC =2,∴CD ⊥PB . ∵EA ⊥PB ,

∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小.

如图建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (1,0,0),B (0,2,0),P (1,0,1),由D 是PB

的中点,得D ?)2

1

,22,

21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点,从而?)4

3,42,43(E ∴)2

1

,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴?=

>=

3

|

|||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是

?3

3 解法二:如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),)0,1,2(B ,C (0,1,0),P (0,0,1),

).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP

设平面P AB 的法向量是a =(a 1,a 2,a 3),

平面PBC 的法向量是b =(b 1,b 2,b 3). 由,0,0==??AB AP a a

得?????=+=,

02,0213a a a 取a 1=1,得).0,2,1(-=a 由0,0==??CP CB b b 得?????=+-=,

0,02321b b b 取b 3=1,得b =(0,1,1).

∴?-=>=

|||,cos b a b a b a

∵二面角A -PB -C 为锐二面角, ∴二面角A -PB -C 的平面角的余弦值是?=-

3

3

|33| 【评述】1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量

的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.

2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角,但我们可以借助观察图形而得到结论,这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.

练习

一、选择题:

1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BB 1的中点,则二面角E -A 1D 1-D 的平面角的正切值是( ) (A)2

(B)2

(C)5

(D)22

2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)

3

1 (B)

3

2 (C)

3

3 (D)

3

2 4.如图,α ⊥β ,α ∩β =l ,A ∈α ,B ∈β ,A ,B 到l 的距离分别是a 和b ,AB 与α ,β 所成的角分别是θ 和?,AB 在α ,β 内的射影分别是m 和n ,若a >b ,则下列结论正确的是( )

(A)θ >?,m >n (B)θ >?,m <n (C)θ <?,m <n

(D)θ <?,m >n

二、填空题:

5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为AA 1,AB ,BB 1,B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______. 6.已知正四棱柱的对角线的长为6,且对角线与底面所成角的余弦值为

3

3

,则该正四棱柱的体积等于______. 7.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______.

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4题图 7题图 9题图

8.四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,

==BC AB AD 2

1

,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°.设AE 与CD 所成的角为θ ,则cos θ =______. 三、解答题:

9.如图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =4,点E 在CC 1上,且C 1E =3EC .

(Ⅰ)证明:A 1C ⊥平面BED ;

(Ⅱ)求二面角A 1-DE -B 平面角的余弦值. 10.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4

π

=

∠ABC ,OA ⊥底面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.

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(Ⅰ)证明:直线MN ∥平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.

11.如图,已知直二面角α -PQ -β ,A ∈PQ ,B ∈α ,C ∈β ,CA =CB ,∠BAP =45°,直线CA 和

平面α 所成的角为30°.

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(Ⅰ)证明:BC ⊥PQ ;

(Ⅱ)求二面角B -AC -P 平面角的余弦值.

练习答案

一、选择题:

1.B 2.A 3.B 4.D 二、填空题:

5.60° 6.2 7.5

4

8.42

三、解答题:

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9题图 10题图 11题图

9.以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D -xyz .

依题设,B (2,2,0),C (0,2,0),E (0,2,1),A 1(2,0,4).

),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A

(Ⅰ)∵,0,011==??DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥DE . 又DB ∩DE =D ,∴A 1C ⊥平面DBE .

(Ⅱ)设向量n =(x ,y ,z )是平面DA 1E 的法向量,则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴??

?=+=+.

042,

02z x z y 令y =1,得n =(4,1,-2).

?=

=

?42

14

|

|||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1-DE -B 平面角的余弦值为?4214 10.作AP ⊥CD 于点P .如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为x ,y ,z 轴建立坐标系.

则A (0,0,0),B (1,0,0),)0,2

2

,22(),0,22,

0(-D P ,O (0,0,2),M (0,0,1),?-

)0,42,421(N (Ⅰ)?--=-=--

=)2,2

2,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则,0,0==??OD OP n n

即???????=-+-=-.02222

2,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=?n MN ∴MN ∥平面OCD . (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ,

,3π

,2

1||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--

==?θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为

?3

π

11.(Ⅰ)证明:在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ,连结OB .

∵α ⊥β ,α ∩β =PQ ,∴CO ⊥α . 又∵CA =CB ,∴OA =OB .

∵∠BAO =45°,∴∠ABO =45°,∠AOB =90°,∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ , ∴PQ ⊥平面OBC ,∴PQ ⊥BC .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,OA ⊥OB ,故以O 为原点,分别以直线OB ,OA ,OC 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图).

∵CO ⊥α ,∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO =30°.

不妨设AC =2,则3=AO ,CO =1.

在Rt △OAB 中,∠ABO =∠BAO =45°,∴.3==AO BO

∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O

).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB

设n 1=(x ,y ,z )是平面ABC 的一个法向量,

由?????==??,0,0AC AB n n 得?

????=+-=-,03,033z y y x 取x =1,得)3,1,1(1=n . 易知n 2=(1,0,0)是平面β 的一个法向量. 设二面角B -AC -P 的平面角为θ ,∴,5

5

||||cos 2121==

??n n n n θ

即二面角B -AC -P 平面角的余弦值是

?5

5

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