2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 三 直线的参数方程高效演练 新人教A版选修4-4

2019-2020学年高二数学《第二讲 参数方程 三、直线的参数方程（二）》教案 新人教A 版知识与技能：理解直线的参数方程，掌握参数方程的应用.过程与方法：通过学习直线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心.教学过程：复习回顾经过点M 0 (x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 )( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα例1. 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45o 方向移动.已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？思 考海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：当前半径为250km ，并以10km/m 的速度不断增大），那么问题又该如何解决？例2. 如图所示，AB ，CD 是中心为O 的 的椭圆的两条相交弦，交点为P .两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2. 求证：|P A|· |P B|＝|PC|· |PD|.课堂练习1. 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)外的一点A (－2, －4)且倾斜角为45o 的直线l 与抛物线分别交于M 1，M2.如果|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值.O C A D B 21x y P xy O α0M M l e)( )( 60sin 330cos 2.2o o D t t y t x 等于的倾斜角为参数直线α⎪⎩⎪⎨⎧-=+-= o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A -)( 9 )( 221.322B y x t ty t x 截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎩⎨⎧+=+= 1059.D 529.C 5512.B 512.A )(22,3)( )( 2322.4C P t ty t x 的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎩⎨⎧+=--=)1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或-----)( )( sin cos .521B M BC t t C B t t b y t a x 对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2.A 21212121t t t t t t t t +-+- .171720)6,3(421.6到该直线的距离是，则点设直线的参数方程⎩⎨⎧-=+-=t y t x.13||02:)(13431364 )3,4(.721==-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=PQ Q y x l t t y t x l P ，则的交点为，它与直线为参数的参数方程为的直线过点课后作业教材P.39习题2.3第1、2题.。

三直线的参数方程学习目标 1. 理解并掌握直线的参数方程.2. 能够利用直线的参数方程解决相关问题．知识点直线的参数方程思虑 1如图，π直线 l 过定点 M0( x0， y0)且倾斜角为α α ≠ 2，那么直线的点斜式方程是什么？答案y－ y0＝tanα( x－x0)．思虑 2在思虑1中，若令x－x0＝t cosα( t 为参数)，那么直线l 的参数方程是什么？x＝x0＋ tcos α，答案( t为参数 ) ．y＝y0＋ tsin α梳理(1) 直线的参数方程①过点 M( x ，y )，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，( t为参数 ) ；000y＝ y0＋tsin α②由α 为直线的倾斜角知，当0<α <π时， sin α>0.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示t 对应的点 M到 M0的距离．①当――→与 e(直线的单位方向向量) 同向时，t取正数；M0M②当――→与 e 反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t ＝0. M0M(3) 重要公式：设，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA，B，则|| ＝ |tBA t AB －t A|＝错误! .种类一直线的参数方程与一般方程的互化例 1(1) 化直线l 1的一般方程x＋ 3 －1＝ 0 为参数方程，并说明|t| 的几何意义；y(2) 化直线l2x＝－ 3＋ t ，的参数方程( t为参数 ) 为一般方程，并求倾斜角，说明 | t | y＝ 1＋ 3t的几何意义．解 (1) 直线l1与 x 轴交于点 M(1,0)，3又 k＝tanα＝－3，31∴ cos α＝－2， sin α＝2，3x＝ 1－2 t ，∴直线 l 1的参数方程为( t为参数 ) ．1y＝2t| t | 表示t对应的点M( x，y) 到M的距离．(2) 方程组变形为x＋ 3＝ t ，①y－ 1＝ 3t，②①代入②消去参数t ，y－1＝3( x＋3) ，可得k＝tan α＝π得直线的点斜式方程3，倾斜角α＝3，一般方程为 3x－y＋3 3＋ 1＝ 0.又∵①②两式平方相加，得(x ＋3) 2＋ (y－ 1)2＝ 42，t∴ | t | ＝错误 ! ，| t | 是定点M1( －3,1)到 t对应的点 M( x，y)的有向线段错误!的长的一半．反省与感悟(1) 一条直线能够由定点M( x ， y )，倾斜角α(0≤ α<π)独一确定，直线000上动点 M( x， y)的参数方程为x＝x0＋ tcosα ，( t为参数 ) ，这是直线参数方程的标y＝y0＋ tsin απx＝ x0，( t为参数 ) ．准形式，特别地，当α＝2时，直线的参数方程为y＝ y0＋ tb参数t 的几何意义也不相同，过定点 M 0( x 0，y 0) ，斜率为 的 ax ＝ x0＋ at ， 直线的参数方程是( a ， b 为常数， t 为参数 ) ．y ＝ y0＋ btx ＝－3＋3t ，追踪训练 1 已知直线 l ：2( t 为参数 ) ．1y ＝ 2＋ 2t(1) 分别求 t ＝ 0,2 ，－ 2 时对应的点 M ( x ，y ) ；(2) 求直线 l 的倾斜角；(3) 求直线 l 上的点 M ( － 3 3， 0) 对应的参数 t ，并说明 t 的几何意义．3解 (1) 由直线 l ：x ＝－3＋ 2 t ，( t 为参数 ) 知，当 t ＝ 0,2 ，－ 2 时，分别对y ＝ 2＋1t2应直线 l 上的点 ( －3， 2) ，(0,3) ，( －2 3，1) ．x ＝－ 3＋3t ，32(2) 方法一化直线 l ：1( t 为参数 ) 为一般方程为y － 2＝ 3 ( xy ＝ 2＋2t＋ 3) ，3设直线 l 的倾斜角为α，则 k ＝tan α ＝ 3 (0 ≤α <π ) ，π解得 α ＝.π故直线 l 的倾斜角为6 .x ＝－ 3＋ tcosπ6 ，方法二 易知直线 l ：( t 为参数 ) ，y ＝ 2＋ tsinπ 6π则直线 l 过定点 M 0( － 3， 2) ，且倾斜角为6 ，π故直线 l 的倾斜角为. (3)由 (2) 可知直线l的单位向量e ＝ cosπ， sinπ＝31，且0(－3，2) ，662，2M又已知 M(－33， 0) ，――→31∴ M0M＝(－2 3，－2)＝－4 2，2＝－ 4e，∴点 M(－33， 0) 对应的参数t＝－ 4，几何意义为 |――→――→M0M | ＝4，且M0M 与e方向相反．种类二直线参数方程的应用命题角度1求弦长 | AB| 问题例 2 已知抛物线y2＝ 8x的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线交抛物线于A， B 两点．(1)求| AB| ；(2)求 AB的中点 M的坐标及| FM|.解抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，x＝ 2＋1t ，依题意，设直线AB的参数方程为5( t为参数 ) ，其中 cosα＝1，25 y＝ t5sin α＝2，α为直线 AB的倾斜角．51x＝ 2＋t ，5将代入 y2＝8x，整理得 t 2－25t－ 20＝0.y＝2t5设 A， B 对应的参数值为t 1， t 2，则 t＋t＝ 25，t t＝－ 20.1212(1)|AB|＝| t－t |＝错误!＝错误!＝10.21→ →(2) 设AB的中点为M( x，y) ，则 AM＝ MB，→→→→∴ FM－ FA＝ FB－FM，→ 1→→ t1 ＋ t25e ，∴ FM ＝ (FA ＋FB) ＝ 2 e ＝2故点 M 对应的参数为 5，x ＝ 2＋ 5cos α，得 M (3,2) ，| FM | ＝t1 ＋ t2由2＝ 5.y ＝ 5sin αx ＝ x0＋ tcos α，( t 为参数 ) ，反省与感悟设二次曲线 C ： F ( x ， y ) ＝ 0，直线 l ：αy ＝ y0＋ tsin若是 l 与 C 订交于 A ，B 两点，那么将 l 的方程代入 F ( x ，y ) ＝0 后，可得 at 2＋ bt ＋ c ＝ 0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时 ――→ ――→α ，sin α ) ， M0A ＝t 1e ， M0B ＝ t 2e ，e ＝ (cos 于是易得以下两个常有的公式： (1)| | ＝ | t1－ 2| ； (2) 线段 AB 的中点 M 对应的参数tABt＝ t1 ＋ t2 ，且 | 0 | ＝|t1＋ t2| .2MM2π22追踪训练 2直线 l 过点 P 0( － 4,0) ，倾斜角 α ＝ 6 ，l 与圆 x ＋ y ＝7 订交于 A ，B 两点．(1) 求弦长 | AB | ；(2) 求 A ， B 两点坐标．，倾斜角 α＝ π， 解 (1) ∵直线 l 过点 P ( － 4,0)6x ＝－ 4＋3t ，∴可设直线 l 的参数方程为2( t 为参数 ) ，ty ＝ 2，3212t代入圆方程，得－ 4＋ 2 t ＋ 2＝ 7.整理得 t 2－ 4 3t ＋ 9＝ 0. ①设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，由根与系数的关系，得t 1＋ t 2＝ 4 3， t 1t 2＝ 9，∴ | AB | ＝ | t 2－t 1| ＝错误 ! ＝ 2错误 ! .(2) 解①得 t 1 ＝3 3， t 2＝ 3，代入直线参数方程x ＝－ 4＋3t ，21y ＝2t ，3 3 5 3 5 33 3得A 1，2 ，B － ，或A － ，， B1，.2222 222命题角度 2求积 ||·|0 | 问题MAMB1022例 3 过点 P 2 ， 0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋12y ＝ 1 交于点 M ，N ，求 | PM | ·|PN |的最小值及相应的 α 值．x ＝10π＋ tcos α ，解设直线为2(0 ≤ α < 2 ， t 为参数 ) ，y ＝ tsin α代入曲线 x 2＋ 12y 2＝ 1，并整理得 (1 ＋11sin 2α ) t 2＋ ( 10cos α ) t ＋3＝ 0.221由≥ 0 得， sin α ≤19，设 M ，N 对应的参数为 t 1，t 2，32∴ t 1t 2＝ 1＋ 11sin2 α ，323∴ | PM |·|PN | ＝ | t 1t 2| ＝1＋ 11sin2 α ＝ 2＋ 22sin2 α.21 19∴当 sin α ＝19时， | PM |·|PN | 获取最小值，且最小值为 20.反省与感悟 利用直线的参数方程，能够求一些距离问题，当求直线上某必然点到直线与曲线交点的距离时，依照直线参数方程中参数的几何意义解题更加方便．π追踪训练 3 已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ 6 ，(1) 写出直线 l 的参数方程；(2) 设 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 订交于两点 A ， B ，求点 P 到 A ， B 两点的距离之积．π解(1) 因为直线 l 过点 P (1,1) ，倾斜角为6 ，πx＝ 1＋ tcos 6 ，因此直线的参数方程为( t为参数 ) ，πy＝ 1＋ tsin，3x＝ 1＋2 t ，即( t为参数 ) 为所求．1y＝1＋2t(2) 因为点，都在直线l 上，因此可设它们对应的参数为t1 和t2，则点，B的坐标分A B A 别为3131A 1＋2t1，1＋2t1，B 1＋2t2，1＋2t2，把直线 l的参数方程代入圆的方程x2＋ y2＝4，整理获取 t 2＋(3＋ 1)t －2＝0，①因为 t 1和 t 2是方程①的解，进而 t1t 2＝－2.因此 | PA| ·|PB| ＝ |t t |＝|－ 2| ＝2.12种类三直线参数方程的综合应用2x＝－ 4＋2 t ，例 4已知曲线C1：( t为参数 ) ，2y＝2 tx＝－ 2＋ cos θ，C2：( θ为参数 ) ．y＝ 1＋sin θ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线 C1和 C2订交于 A， B 两点，求| AB|.2(1) 由曲线x＝－ 4＋2t ，t y＋ 4，解1：消去参数，得＝C2xy＝，t2因此曲线 C1表示一条直线．x＝－ 2＋ cos θ，由曲线 C2：消去参数θ，y＝ 1＋ sin θ，得 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，因此曲线 C 表示以 ( － 2,1)为圆心， 1 为半径的圆．2(2) 方法一 2到直线 x － y ＋4＝ 0 的距离为 d ＝| －2－1＋4| 2圆心 C ( －2,1) 2＝ 2 ，因此 || ＝ 2 r2 －d2＝ 21－ 1＝ 2.AB22x ＝－ 4＋ 2 t ，方法二将直线的参数方程 C 1：( t 为参数 )y ＝2t2222代入曲线 C ： ( x ＋ 2) ＋ ( y － 1) ＝1，整理得 t 2－ 3 2 ＋4＝ 0.t设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1t 2＝ 4，因此 | | ＝ | t 1－ t 2|＝错误!＝错误!.AB引申研究1．若点 P ( －4,0) 是曲线 C 上的定点，本例其余条件不变，求| PA | ＋ | PB | 的值．1解 由曲线 C 2： x ＝－ 2＋ cos θ，知，y ＝ 1＋sin θ2 2曲线 C 是圆 ( x ＋2) ＋ ( y －1)＝ 1.2因为点 P ( －4,0) 在圆 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1 外，2x ＝－ 4＋ 2 t ，将直线的参数方程2y ＝ 2 t代入曲线 C 2： ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，得 t 2－ 32t ＋ 4＝ 0，设 A ， B 对应的参数为 t 1， t 2，则 t 1 ，t 2 同号，且 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t 1| ＋| t 2| ＝ | t 1＋t 2| ＝ 3 2.2．在研究 1 条件不变的情况下，求11|PA| ＋ |PB| 的值．解 由研究 1 知， t 1＋ t 2＝ 3 2 ，t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t ＋ t | ＝ 3 2，1 2| |·| |＝|1t 2|＝4.PAPBt11|PA| ＋ |PB|3 2因此|PA| ＋|PB| ＝|PA| ·|PB| ＝ 4 .反省与感悟(1) 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，能够经过方程组求出参数值，再依照参数值得出交点坐标．(2) 解题时若是波及求直线被曲线截得的线段的长度或许直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都能够利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．3x ＝ 5＋ 2 t ，追踪训练 4 已知直线 l ：( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴的1y ＝3＋ 2t正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ ＝ 2cos θ .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5 ，3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为A ，B ，求 | MA |·|MB | 的值；11(3) 求 |MA| －|MB| 的值．解 (1) 曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2cos θ 化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0.3(2) 将x ＝ 5＋ 2t ， 2＋2－2 ＝0，代入1xyxy ＝ 3＋ 2t得 t 2 ＋5 3t ＋ 18＝ 0.设这个方程的两个实根分别为t ，t ，12则由参数 t 的几何意义可知，| MA |·|MB |＝ | t t | ＝ 18.12(3) 由 (2) 知 t 1，t2为同号，| |MB| － |MA| | ＝ | |t2| － |t1| | ＝| t 2－ t 1| ＝错误 ! ＝错误 ! ，1 1 | |MB| － |MA| | 3∴ |MA|－ |MB|＝|MA| ·|MB|＝ 18.x＝ 2＋ 3t ，( t为参数 ) 上对应t＝ 0，t＝ 1 两点间的距离是 () 1．直线y＝－ 1＋ tA．1B.10C． 10D． 22答案B剖析因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不能够直接由 1－ 0＝1 来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程获取两点坐标(2 ，－ 1) 和 (5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即错误!＝错误!.x＝－ 3＋ tcos α，π2．直线y＝ 2＋ tsin α( t为参数，α＝6 ) 不经过 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Dx＝ 1－2t ，( t为参数 ) 与直线l2：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，则k3．若直线l1：y＝ 2＋kt y＝ 1－ 2s＝________.答案－ 1k剖析由－2· ( － 2) ＝－ 1，得k＝－ 1.5π4．设直线l过点A(2 ，－ 4) ，倾斜角为6，则直线 l 的参数方程为________．x＝ 2－3 t ，答案2( t为参数 )1y＝－ 4＋2t剖析∵α ＝5π，∴ cos α＝－3， sin α＝1，622 x＝ 2－3t ，∴ l 的参数方程为2( t为参数 ) ．1y＝－ 4＋2t5．素来线过点0(3,4) ，倾斜角α＝π，求此直线与直线 3＋2 ＝6 的交点M与0 之间P4x y P的距离．2x＝ 3＋2 t ，解设直线的参数方程为( t为参数 ) ，2y＝ 4＋t ，2将它代入已知直线3x＋2y－ 6＝0，22得 3 3＋2 t ＋ 2 4＋2 t ＝6，解得 t ＝－1125，∴| 0| ＝|t | ＝11 2.MP51．经过点M( x，y ) ，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋ tcos α，( t为参000y＝ y0＋ tsin α数 ) ．其中t表示直线l上以定点M为起点，随意一点M( x，y) 为终点的有向线段――→M0M 的数量，能够为正、为负，也能够为零．2．直线l：x＝ x0＋ tcos α，( t为参数 ) 与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参y＝ y0＋ tsin α数为 t，t .则| AB|＝ | t－t|.但 | MA| ＋ | MB| 与 | AB| 不完好相同，当t与 t异号时， | MA| 121200120＋| M0B| ＝ | AB| ＝ | t1－t2| ；当t1与t2同号时， | M0A| ＋ | M0B| ＝ | t1＋t2| ≠ | AB|.3．要注意差异直线参数方程可否为标准形式，若不是标准形式，则参数t 就不拥有相应的几何意义．一、选择题x＝ 1＋ 2t ，1．若直线的参数方程为( t为参数 ) ，则直线的斜率为 ()y＝ 2－3t23A. 3B．－232C. 2D．－3答案 B剖析x ＝ 1＋ 2t ， 3 7 3 直线的一般方程为 y ＝－ x ＋ ，因此直线的斜率为－ .y ＝ 2－ 3t222x ＝ 1＋ tcos α ， ( α 为参数， 0≤a <π ) 必过点 ()2．直线y ＝－ 2＋ tsin αA ．(1 ，－ 2)B ． ( －1,2)C ．( － 2,1)D ． (2 ，－ 1)答案Ax ＝ 1，剖析当 t ＝0 时，y ＝－ 2，因此直线必过点 (1 ，－ 2) ．3．已知直线 l 过点 A (2,1) ，且与向量 a ＝ ( －1,1) 平行，则点 P ( － 1，－ 2)到直线 l 的距离是 ( )A. 2B ．2 2C ．3 2D ． 2答案Cx ＝ 2－ t ， ( t 为参数 ) ．因为直线上的随意一点 M剖析 由已知得直线 l 的参数方程为y ＝ 1＋ t的坐标可表示为 (2 － t, 1＋ t ) ，因此 | PM |＝错误 ! ＝错误 ! ，当 t ＝ 0 时， | PM | 有最小值，最小值是 3 2，此时 | PM |为点 P 到直线 l 的距离．π4．直线 l 经过点 M 0(1,5) ，倾斜角为 3 ，且交直线 x － y － 2＝ 0 于点 M ，则 | MM 0| 等于 ()A. 3＋ 1B ． 6(3＋ 1)C ．6＋3D ． 6 3＋1答案B1x ＝ 1＋ 2t ，剖析由题意可得直线l的参数方程为( t 为参数 ) ，代入直线方程xy ＝ 5＋3t213 － y － 2＝ 0，得1＋2t－5＋ 2 t－ 2＝ 0，解得 t ＝－ 6(3＋ 1) ．依照 t的几何意义可知| MM |＝6(3＋1) ．5．若x ＝ x0－ 3λ ， x ＝ x0＋ tcos α ， y ＝ y0＋ 4λ( λ 为参数 ) 与( t 为参数 ) 表示同一条直线，y ＝ y0＋ tsin α则 λ 与 t 的关系是 ()A ．λ ＝ 5tB ． λ＝－ 5tC ．t ＝ 5λD ． t ＝－ 5λ答案 C剖析由 x －x 0，得－ 3λ ＝ t cos α ，由 y － y 0，得 4λ＝ t sin α，消去 α 的三角函数，得25λ 2＝ t 2，得 t ＝±5λ ，借助于直线的斜率，可除去t ＝－ 5λ ，因此 t ＝5λ .1x ＝ 1＋2t ，6．直线( t 为参数 ) 和圆2＋ y 2＝ 16 交于 ， B 两点，则的中3xAABy ＝－ 33＋ 2 t点坐标为 ()A ．(3 ，－ 3)B ． ( － 3，3)C ．( 3，－ 3)D ． (3 ，－ 3)答案Dt3t2剖析将 x ＝1＋ 2， y ＝－ 3 3＋ 2 t 代入圆方程，得1＋2 ＋ － 3 3＋2 －8t ＋ 12＝0，则 t ＝2， t＝ 6，∴ t12因此 AB 的中点 M 对应参数 t ＝ t1 ＋ t2＝ 4，2 1 3∴ x ＝ 1＋ × 4＝ 3， y ＝－ 3 3＋ × 4＝－ 3，22故中点 的坐标为 (3 ，－ 3) ．AB M二、填空题7．已知直线 lx ＝ 1＋3t ，( t 为参数 ) 与直线 l 2：2 x － 4 ＝5 订交于点 1：yy ＝ 2－4t则 | AB | ＝ ________.3t 2＝ 16，2B ，且点 A (1,2) ，答案52剖析x＝ 1＋ 3t ，代入 2－4 ＝5，得15，0 .又(1,2) ，因此 |5将x t＝，则B 2| ＝ .y＝ 2－ 4t y2A AB 2 2x＝ 2＋2 t ，2 且在点M下方的8．直线( t为参数 ) 上到点M(2 ，－ 3) 的距离为2y＝－ 3－t2点的坐标是 ________．答案(3 ，－ 4)x＝2－2t ，剖析直线参数方程的标准式为2( t为参数 ) ，2y＝－ 3＋2 t则 M对应的参数为 t ＝－2，∴错误 !∴点 M的坐标为(3，－4)．9．已知直线l的参数方程为x＝－ 1＋ t ，为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正( ty＝1＋ t半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为23π5πρ cos2θ＝ 4ρ>0，<θ <，则44直线 l 与曲线 C的交点的极坐标为________．答案(2 ，π)x＝－ 1＋ t ，剖析因为直线 l 的参数方程为y＝ 1＋t ，因此直线 l 的一般方程为y＝ x＋2.因为曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ 4 ρ >0，3π<θ <5π，44可得曲线 C的直角坐标方程为 x2－y2＝4( x<0)．联立错误 ! 解得交点坐标为 ( －2,0) ，因此交点的极坐标为(2 ，π ) ．10．在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x＝ t －3，( t为参数 ) ，以原点O y＝ t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 ρ2 －4ρ cos θ ＋ 3＝ 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 __________ ．答案522剖析易得直线 l 的一般方程为 x － y ＋ 3＝ 0，圆 C 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，即 ( x － 2) 2＋y 2＝1，因此圆心到直线的距离 ＝错误!＝错误!.dl 过点 A ( －2,3) ，倾斜角为135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点 A 距离为 32的点的坐标．解 直线 l 的参数方程为x ＝－ 2＋tcos135 °， ( t 为参数 ) ，y ＝ 3＋tsin135 °2x ＝－ 2－ 2 t ，( t 为参数 ) ．①即2y ＝ 3＋ 2 t设直线上与点 A 距离为 3 2的点为 B ，且点 B 对应的参数为 t ，则 | AB | ＝ | t | ＝3 2.因此 t ＝±3 2.把 t ＝±32代入①，合适 t ＝ 3 2时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为 ( －5， 6) ；当 t ＝－ 3 2时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为 (1,0) ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝ 1＋ 4cos y ＝ 2＋ 4sinθ ，θ( θ 为参数 ) ，π直线 l 经过定点 P (3,5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，求 | PA | ·|PB | 的值．解 (1) 曲线 C ： ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16，1x ＝ 3＋2t ，直线 l ：( t 为参数 ) ．3y ＝ 5＋ 2 t三、解答题11．已知直线(2)将直线 l 的参数方程代入圆C的方程，可得t 2＋(2＋3 3) t －3＝0，设 t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，因此 | PA|| PB| ＝ | t1|| t2| ＝ | t1t2| ＝ 3.13．在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径r ＝1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3(2)x＝－ 1＋2 t ，( t为参数 ) 与圆交于A，B两点，求弦AB的长．若直线1y＝2t(1) 由已知得圆心C333 3 2 3 2解23，2，半径为 1，圆的方程为x－2＋y－2＝ 1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.3(2) 由x＝－ 1＋2t ，( t为参数 ) ，得直线的直角坐标方程为x－3y＋1＝0，1y＝2t3333－＋ 1圆心到直线的距离221＝＝，d22因此|AB|2＋d2＝1，解得 | AB| ＝ 3. 2四、研究与拓展2x＝－ 4＋2 t ，14．设直线的参数方程为( t为参数 ) ，点P在直线上，且与点M0( －2y＝t24,0)2，若将该直线的参数方程改写成x＝－ 4＋ t ，的距离为( t为参数 ) ，则在这个y＝ t方程中点 P 对应的 t 值为________．答案±12x＝－ 4＋2 t ，剖析由 | PM| ＝ 2知，t＝± 2，将其代入得点 P的坐标为(－02y＝2t ，3,1)x＝－ 4＋ t ，得 t ＝1或 t ＝－1.或 ( － 5，－ 1) ，将点P的坐标代入y＝ t ，15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为4cos θ. 以极点为原点，极轴为x 轴正半ρ ＝θsin2轴成立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1， l 2均过点 F(1,0)，且 l 1⊥l 2，直线 l 1的倾斜角为α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l 1， l 2的参数方程；(2)设直线 l 1和 l 2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB，CD的中点分别为 M， N，求 | MN|的最小值．解 (1)：y 2＝4x，1：x＝ 1＋tcos α，t为参数)，(F l y＝ tsin αx＝ 1－tsinα ，( t为参数 ) ．l ：2y＝ tcos α(2) 将lx＝ 1＋ tcos α，1：代入 y2＝4x，y＝tsin α得 t 2sin2α －4t cosα －4＝0，①tA ＋ tB2cos αM2＝sin2 α.则 t ＝将l 2 ：x＝ 1－tsin α，y2＝4 ，代入x y＝ tcos α得 t 2cos2α＋4t sinα －4＝0，②则 t N＝tC ＋ tD＝－2sin α，2cos2α于是 || ＝ |FM|2 ＋|FN|2 ＝t2M＋ t2NMNcos2αsin2 α 2 242＝ 2sin4 α＋cos4 α≥|sinαcos α |＝|sin2α|≥ 4 2，因为α ∈ [0 ，π ) ，因此当且仅当α＝π时，等号成立．4且此时知足方程①②的鉴别式均大于零，故 | MN|的最小值为 4 2.。

三 直线的参数方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与二次曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1|＋|t 2|C ．|t 1－t 2|D.|t 1＋t 2|2解析：由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C. 答案：C3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－π2t ，y ＝2＋π2t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.π2D ．－π2解析：直线参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，表示直线过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba， 故k ＝π2－π2＝－1.故选B.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t(t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．答案：B5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.因此中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.答案：D 6．已知直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 45°，y ＝1＋t sin 45°，点M (32，a )在直线上，则点M 到点(－2，1)的距离为________．解析：令32＝－2＋t cos 45°， 解得t ＝8.由t 的几何意义得点M (32，a )到点(－2，1)的距离为8. 答案：87．直线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于4的点Q 的坐标为________．解析：∵直线的参数方程为标准形式，∴由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4，∴t ＝±4，当t ＝4时，⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝4＋23；当t ＝－4时，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4－2 3.答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)8．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ， y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)，根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)9．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解析：∵直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，∴直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t (t 为参数)，代入3x ＋2y ＝6得9＋322t ＋8＋2t ＝6，t ＝－1152，∴M 与P 0之间的距离为1152.10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋25t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0.设方程的两根分别为t 1′、t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′·t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 22－4t 1′t 2′＝645＋16＝1255， 即直线被圆截得的弦长为1255.[B 组 能力提升]1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长为( ) A.225B.425 C ．2 2 D.325解析：直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入圆的方程，得t 2＋2＝4，解得t 1＝－2，t 2＝ 2.所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C 2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D3．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 4．直线l ： ⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t(t 为参数)上的点P (－4，1－3)到l 与x 轴交点间的距离是________．解析：在直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t中，令y ＝0，得t ＝－1.故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． 所以|PQ |＝ －1－3＋2＋－32＝3－2＝23－2.答案：23－25．(1)求过点P (－1,3)且平行于直线l ：⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)的直线的参数方程；(2)求过点P (－1,3)且垂直于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程．解析：(1)由题意，直线l 的斜率k ＝－3，则倾斜角θ＝120°， 所以过点P (－1,3)且平行于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 120°t ，y ＝3＋sin 120°t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的斜率k ＝－3，则所求直线的斜率为33，故所求直线的倾斜角为30°， 所以过点P (－1,3)且垂直于直线l的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 30°t ，y ＝3＋sin 30°t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．求a 的值及直线l 的直角坐标方程． 解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.。

2.1 直线的参数方程1.若直线的参数方程为(t 为参数),则此直线的斜率为( )A.B.-C.D.-解析:∵直线的参数方程为为参数),可化为标准形式 (-t∴直线的斜率为-.答案:B2.过点(1,1),倾斜角为 135°的直线截圆 x 2+y 2=4 所得的弦长为()A.B.C.2D.解析:直线的参数方程为 代入圆方程得 t 2+2=4,解得t 1=-,t 2= ,∴所求弦长为|t 1-t 2|=|-|=2 .答案:C3.直线(t 为参数)与椭圆 x 2+2y 2=8 交于 A ,B 两点,则|AB|等于 ( )A.2B.C.2D.解析:把直线的参数方程代入 x 2+2y 2=8,得 3t 2-6t+1=0,解得 t 1=1+∴A,B .,t 2=1- ,∴|AB|=答案:B.4.已知 P 1,P 2 是直线(t 为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为 t 1,t 2,则线段 P 1P 2 的中点到点 P (1,-2)的距离是()A.B.C.D.解析:由 t 的几何意义可知,P 1P 2 的中点对应的参数为,P 对应的参数为 t=0,∴它到点 P 的距离为答案:B.5.直线()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析:设 Q (x 0,y 0),则(t 为参数)上与点 P (-2,3)的距离等于 的点的坐标是由|PQ|=得(-2- t 0+2)2+(3+ t 0-3)2=2,即 ,∴t 0=±.当 t 0=时,Q (-3,4);当 t 0=- 时,Q (-1,2).答案:C6.过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线 l 的参数方程为 .解析:∵cos α =,∴sin α =.∴(t 为参数).答案:(t 为参数)7.过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为的弦 AB ,则弦 AB 的长是 .解析:抛物线 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0),又倾斜角为,所以弦 AB 所在直线的参数方程为(t 为参数).代入抛物线方程 y 2=4x 得到设方程的两个实根分别为 t 1,t 2,=4 ,整理得 3t 2-8t-16=0.则有所以|t 1-t 2|== .故弦 AB 的长为.答案:8.已知直线 l 的参数方程是(t 为参数),其中角 α 的范围是 ,则直线 l 的倾斜角是.解析:将原参数方程改写成消去参数 t ,得 y+2=(x-1),由 α ∈和倾斜角的范围可知,=tan ,故 y+2=(x-1)tan ,直线 l 的倾斜角为-α .答案:-α9.已知直线 l 经过点 P (1,-3 ),倾斜角为 ,求直线 l 与直线 l':y=x-2 的交点 Q 与点 P 的距离|PQ|.分析:根据题意写出 l 的参数方程,代入 l'的方程求出 t 的值,再利用其几何意义求出距离.解:∵l 过点 P (1,-3),倾斜角为 ,∴l 的参数方程为(t 为参数),即 (t 为参数).1代入 y=x-2即 t=2,得-3 t=1+ t-2 ,解得 t=4+2 ,+4 为直线 l 与 l'的交点 Q 所对应的参数值,根据参数 t 的几何意义,可知|t|=|PQ|,∴|PQ|=4+2.10.已知直线 l 经过点 P (1,1),倾斜角 α =.(1)写出直线 l 的参数方程;(2)设 l 与圆 x 2+y 2=4 相交于点 A 和点 B ,求点 P 到 A ,B 两点的距离之积.分析:利用定义求出参数方程,再利用 t 的几何意义求出距离之积.解:(1)因为直线 l 过 P (1,1),且倾斜角 α =,所以直线 l 的参数方程为(t 为参数).(2)因为点 A ,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数分别为 t 1,t 2.将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x 2+y 2=4,得因为 t 1,t 2 是方程 t 2+(=4,整理,得 t 2+( +1)t-2=0.+1)t-2=0 的根,所以 t 1t 2=-2.故|PA|·|PB|=|tt 2|=2.所以点 P 到 A ,B 两点的距离之积为 2.。

三 直线的参数方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin 70°，y ＝2＋tcos 70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos 20°，y ＝2＋tsin 20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)与二次曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1|＋|t 2|C ．|t 1－t 2|D.|t1＋t2|2解析：由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C. 答案：C3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－π2t ，y ＝2＋π2t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.π2D ．－π2解析：直线参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at ，y ＝y0＋bt (t 为参数)，表示直线过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba，故k ＝π2－π2＝－1.故选B.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t(t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．答案：B5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t1＋t22＝4. 因此中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.答案：D6．已知直线⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos 45°，y ＝1＋t sin 45°，点M (32，a )在直线上，则点M 到点(－2，1)的距离为________．解析：令32＝－2＋t cos 45°， 解得t ＝8.由t 的几何意义得点M (32，a )到点(－2，1)的距离为8. 答案：87．直线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于4的点Q 的坐标为________．解析：∵直线的参数方程为标准形式，∴由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4，∴t ＝±4，当t ＝4时，⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝4＋23；当t ＝－4时，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4－2 3.答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)8．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)，根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)9．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解析：∵直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，∴直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t (t 为参数)，代入3x ＋2y ＝6得9＋322t ＋8＋2t ＝6，t ＝－1152，∴M 与P 0之间的距离为1152.10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t′，y ＝2＋15t′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋25t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′、t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′·t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝t1′＋－4t1′t2′＝645＋16＝1255， 即直线被圆截得的弦长为1255.[B 组 能力提升]1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长为( ) A.225B.425 C ．2 2 D.325解析：直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入圆的方程，得t 2＋2＝4，解得t 1＝－2，t 2＝ 2.所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D3．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －14．直线l ： ⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t(t 为参数)上的点P (－4，1－3)到l 与x 轴交点间的距离是________．解析：在直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t中，令y ＝0，得t ＝－1.故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． 所以|PQ |＝ －1－3＋＋－3＝3－＝23－2.答案：23－25．(1)求过点P (－1,3)且平行于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程；(2)求过点P (－1,3)且垂直于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程．解析：(1)由题意，直线l 的斜率k ＝－3，则倾斜角θ＝120°， 所以过点P (－1,3)且平行于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 120°t，y ＝3＋sin 120°t，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的斜率k ＝－3，则所求直线的斜率为33，故所求直线的倾斜角为30°，所以过点P (－1,3)且垂直于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 30°t，y ＝3＋sin 30°t，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．求a 的值及直线l 的直角坐标方程．解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.。

【关键字】倾斜三直线的参数方程1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0.2．直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．(1)当M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．(2)当M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.[例1] l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，sin α＝，cos α＝.又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．答案：(t为参数)2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3(3＋t)＋2(4＋t)＝6.解得t＝－，∴|MP0|＝|t|＝.直线参数方程的应用[例2](1)写出直线l的参数方程．(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，∴直线的参数方程为即为所求．(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A(1＋t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)，以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0，①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．(1)求弦长|AB|；(2)求A、B两点坐标．解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，∴可设直线l的参数方程为代入圆方程，得(－4＋t)2＋(t)2＝7.整理得t2－4t＋9＝0.设A、B对应的参数分别t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1t2＝9∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2.解得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程得A点坐标(，)，B点坐标(－，)．4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t .答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即2－52＋－1－02＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4x －53，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0.(2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

三、直线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°. 同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，y ＝2＋（－t ）sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )A.83 B ．－6 C ．6D ．－83解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝ ( ) A.π3B.2π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π6. 答案：C5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝ 85<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，所以tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为________． 解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)．故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12＝355.8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，所以t 1t 3＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．①椭圆的普通方程为x 2＋4y 2＝4，②因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝65.B 级 能力提升1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案：(2，1)2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，将C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2－6t －2＝0，则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋4×25＝2955. 答案：29553．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.。

2019-2020学年高中数学第2章参数方程2.2椭圆的参数方程学案新人教A 版选修一、三维目标1.知识与技能:(1).椭圆的参数方程.(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。

二、学习重难点学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:将下列参数方程化成普通方程1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x 五、学习过程(一)椭圆的参数方程1.焦点在x 轴: _______2.焦点在y 轴: _______(二)典型例题例1参数方程与普通方程互化1把下列普通方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)11622=+y x2把下列参数方程化为普通方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y xA 练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是________。

B 例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩的最大值和最小值吗？求出的前提下，满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：y x z y x y x 211625,22-==+C 例3、已知椭圆 16410022=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。