溅射物理
我们知道具有一定能量的离子入射到固体表面上时，它将同表面层内的原子不断地进行碰撞，并产生能量转移。固体表面层内的原子获得能量后将做反冲运动，并形成一系列的级联运动。如果某一做级联运动的原子向固体表面方向运动，则当其动能大于表面的结合能时，它将从固体表面发射出去，这种现象称为溅射。早在1853年Grove就观察到了溅射现象，他发现在气体放电室的器壁上有一层金属沉积物，沉积物的成份与阴极材料的成份完全相同。但当时他并不知道产生这种现象的物理原因。直到1902年，Goldstein 才指出产生这种溅射现象的原因是由于阴极受到电离气体中的离子的轰击而引起的，并且他完成了第一个离子束溅射实验。到了1960年以后，人们开始重视对溅射现象的研究，其原因是它不仅与带电粒子同固体表面相互作用的各种物理过程直接相关，而且它具有重要的应用，如核聚变反应堆的器壁保护、表面分析技术及薄膜制备等都涉及到溅射现象。1969年，Sigmund 在总结了大量的实验工作的基础上，对Thompson的理论工作进行了推广，建立了原子线性级联碰撞的理论模型，并由此得到了原子溅射产额的公式。对于低能重离子辐照固体表面，可以产生原子的非线性级联碰撞现象，通常称为“热钉扎”(thermalized spike) 效应。在1974年，这一现象被H.H. Andersen 和H. L. Bay的实验所验证。
本章主要介绍溅射物理过程的一些基本概念和特征、计算溅射产额的Sigmund的线性级联碰撞模型、Matusnami 等人的溅射产额经验公式、热钉扎溅射以及溅射过程的计算机模拟等。最后，我们还对表面腐蚀现象与溅射过程之间的关系进行简要的讨论。
§6.1 溅射过程的一般描述
溅射过程可以用溅射产额Y这个物理量来定量地描述，其定义为平均每入射一个粒子从靶表面溅射出来的原子数，即
每入射一个粒子
溅射出来的原子数
Y (6.1-1)
溅射产额依赖于靶材料的结构、成份及表面形貌，同时还与入射离子的能量、电荷态和种类有关。人们对溅射产额的实验测量已有近百年的历史，然而比较感兴趣的是keV 能量范围的重离子碰撞固体材料产生的原子溅射。在这种情况下，溅射产额的取值范围约为1~10。1984年Matsunami 等人列表给出了关于溅射产额的大量实验数据。 图6.1给出了溅射产额Y 随入射离子能量E 变化的简单示意图，简称溅射曲线。从该图可以看出溅射产额随入射离子能量的变化有如下特征：存在一个溅射阈值，阈值能量一般为20~100 eV 。当入射离子的能量小于这个阈值时，没有原子被溅射出来。通常当入射离子的能量为1~10 keV 时，溅射产额可以达到一个最大值。当入射离子的能量超过10 keV 时，溅射产额开始随入射离子的能量增加而下降。
Y
3 2
1
10 102 103 104 105 106 入射离子的能量 E （eV ） 图 6.1 溅射产额随入射离子能量变化的示意图。
对于大多数离子束溅射实验，离子的入射能量比较低。我们知道低能离子同靶原子之间的相互作用主要是原子核之间的弹性碰撞，尤其是对金属靶材料。金属中电子的驰豫时
间约为1910-秒，而对于一个能量为keV 10的Ar 离子，在金属中穿行?
A 100所需的时间约为1310-秒，这样电子在这么短的时间内获得的能量不足以造成靶原子的移位。同样在低能情况下，靶原子之间的相互作用也主要是弹性碰撞。也就是说，对于低能离子产生的溅射现象，主要是由原子之间的弹性碰撞过程造成的。因此，这种溅射也被称为撞击溅射（knock-on sputtering ）。
对于撞击溅射，可以分为三种类型。（a ）单一撞击溅射，见图6.2(a)。在离子同靶原子的碰撞过程中，反冲原子得到的能量比较低，以至于它不能进一步地产生新的反冲原子而直接被溅射出去。单一撞击溅射是在入射离子的能量为几十电子伏特范围内，且
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
ο ο ο 图6.2 (a) 单一撞击溅射示意图。
离子的能量是在一次或几次碰撞中被损失掉；（b ）线性碰撞级联溅射，见图6.2(b)。初始反冲原子得到的能量比较高，它可以进一步地与其它静止原子相碰撞，产生一系列新的级联运动。但级联运动的密度比较低，以至于运动原子同静止原子之间的碰撞是主要的，而运动原子之间的碰撞是次要的。对于线性碰撞级联，入射离子的能量范围一般在keV ~MeV ，且级联运动主要是在离子的路径周围产生的；(c) 热钉扎溅射，见图6.2(c)。 反冲原子的密度非常高，以至于在一定的区域内大部分原子都在运动。热钉扎溅射通常是由中等能量的重离子轰击固体表面而造成的。
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
图6.2 (b) 线性碰撞级联溅射示意图。
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
图6.2 (c) 热钉扎溅射示意图。
一般地说，溅射产额Y 正比于做反冲运动的原子的个数。对于单一撞击溅射，反冲原子的个数正比于碰撞截面；在线性碰撞级联中，反冲原子的个数正比于离子在单位路径上沉积的能量，即核阻止本领；而对于热钉扎溅射，反冲原子的个数则正比于离子在单位体积中沉积的能量。
§6.2 Sigmund 的线性级联碰撞理论
为了讨论方便，假设固体靶为一无限大平板，并在0=x 处存在一虚拟的表面。离子以
能量0E ，入射角0θ射进靶的表面层，并与靶原子发生一系列的弹性碰撞（忽略靶电子的激发）。同时靶原子在碰撞过程中得到能量后做反冲运动，并能引起其它原子做反冲运动。因此，在入射离子的路径周围形成一系列的做碰撞级联运动的原子。如果某一做级联运动的原子向着固体表面方向运动，且其动能大于表面的束缚能时，则可能克服表面的约束而形成溅射原子。很显然，溅射产额的大小与参加级联运动的原子个数成正比。而原子做级联运动所需的能量来自于入射离子的能量损失。因此，可以说溅射产额的大小与入射离子的沉积过程有关。我们可以用函数),,(θE x F D 来描述离子的能量沉积过程，),,(θE x F D 被称为能量沉积函数。
给出能量沉积函数),,(θE x F D 的详细计算过程是十分复杂的。由于我们考虑的是由原子的线性级联碰撞运动引起的溅射，因此可以用线性玻尔兹曼方程描述原子的级联运动即函数),,(θE x F D 的演化遵从线性玻尔兹曼方程。计算函数),,(θE x F D 的过程与§5.3中利用线性玻尔兹曼方程计算离子在固体中的射程分布的过程是十分相似的：即首先建立与
),,(θE x F D 相对应的矩方程，并计算出低阶矩的值，然后在由这些低阶矩构造出),,(θE x F D 的形式。不过对于溅射过程，),,(θE x F D 所遵从的线性玻尔兹曼方程与§5.3
中计算离子在固体中的射程所采用的线性玻尔兹曼方程有如下几点不同：（1）在线性玻尔兹曼方程中，不仅要考虑入射粒子和散射粒子的分布函数，即),,(θE x F D 和
)',',(θE x F D ，还要考虑反冲粒子的分布函数)",",(θE x F D ，其中'E 和"E 分别是散射
粒子和反冲粒子的能量。（2）对于一般的溅射过程，入射离子的能量较低，因此在现在的玻尔兹曼方程中忽略了电子阻止力对函数),,(θE x F D 的影响。对于原子核之间的弹性碰撞过程，Sigmund 采用了负幂级指数势m
r
r V -∝)(来计算核散射微分截面)(T d n σ，见
第三章。（3）对于溅射过程，要考虑靶表面的影响，即反冲原子要克服靶表面的束缚后才
能溅射出去。这样考虑了以上因素后，可以得到溅射产额的表示式为
),,0(),(0000θθE F E Y D Λ= (6.2-1) 其中Λ称为材料因子，仅与靶的性质有关，如与靶表面的结合能0U 有关。
对于平面势垒模型2
0cos /)(θθU U =，因子Λ的形式为
0243
U NC π=
Λ (6.2-2)
其中N 为靶原子的密度；0C 是由低能原子间的Born-Mayer 势来决定的，其形式为
2012BM
a C π≈，?
=A 219.0BM a 。对于金属靶，表面结合能0U 接近于实验测得的升华能。
而对于共价键靶，使键破裂所需的能量可以看作为表面的束缚能。
由前面的讨论，可以知道能量沉积函数),,(θE x F D 应与入射离子的能量损失成正比。忽略了电子阻止力后，),,(θE x F D 应与核阻止本领成正比。因此，Sigmund 通过数值计算后，将),,0(00θE F D 表示成为
)(),,0(000E NS E F n D αθ= (6.2-3) 其中因子α是修正因子，是质量比率12/M M 和离子的初始入射角0θ的函数，)(E S n 是核阻止截面。根据(6.2-2)式和(6.2-3)式，可以将溅射产额写成 0
00)
(42.04)(3),(U E S U C E S E Y n n απαη≈=
(6.2-4)
其中表面束缚能0U 以eV 单位，核阻止截面)(E S n 以215
10
cm eV ?-为单位。
图6.3显示了在垂直入射情况下，因子α随质量比率12/M M 的变化趋势。α随质量比率
12/M M 的增加而增加，其原因是随着离子质量的减小，增加了大角散射事件的可能性。
因此，在阻止能力相同的情况下，轻离子产生的溅射更为明显。在大质量比率情况
图6.3因子α对质量比率12/M M 的依赖性，实线为Sigmund 的理论结果，
虚线为实验结果。
图6.4 因子α随入射角0θ的变化关系。
下，由Sigmund 的理论给出的α值与实验测试结果存在明显的差别，其主要原因是忽略了电子阻止效应以及假设无限大靶表面有一个虚的表面。对于斜入射情况下，α的值随
入射角0θ的变化关系基本上呈01
cos θ-的趋势，如图6.4所示。
(6.2-4)式表明溅射产额正比于核阻止本领，因此它随入射离子的能量变化趋势为： 在能量较低时，溅射产额随离子能量的变化几乎是线性增加的，后来则逐渐增加减慢，并在到达最大值后，便随入射离子的能量增加而减小。图6.5显示了Si 的溅射产额随Ar 离子的入射能量E 的变化关系，其中实线是由Sigmund 的理论给出的结果，圆点为实验结果。由该图可以看出，当Ar 离子的能量大于20 keV 时，溅射产额便开始下降。因为入射离子的能量过高时，它可以穿行到距靶表面的较深处，而深处的移位原子并不易逸出表面，所以溅射产额下降。
图6.5溅射产额随入射离子能量的变化关系，实线为理论结果，圆点为实验结果。
图6.6分别显示了Si 靶的溅射产额对能量为45 keV 的入射离子的原子序数的依赖
性。可以看出，Sigmund 理论给出的溅射产额是随入射离子的原子序数1Z 的增加而单调上升的，而实验测量的结果则表明溅射产额Y 随靶原子序数的增加呈周期性的变化关系。这种周期性的变化关系是与入射离子的原子壳层结构直接相关，惰性气体离子的溅射产额最大。在第四章中我们已经知道，低速离子的电子阻止本领)(E S e 随1Z 的
变化呈周期性的变化关系。因此，我们可以认为对于低速重离子轰击固体，电子阻止过程将对溅射过程有一定的影响。
图6.6 溅射产额随离子的原子序数变化关系，实线为理论结果，圆点为实验结果。
由于在Sigmund 的原始工作中，核阻止截面)(E S n 是由负幂级指数势确定的，为了使由(6.2-4)式给出的溅射产额与实验测量结果相符合，必须选择合适的幂指数m 。为了更精
确地计算溅射产额，我们可以采用Ziegler 等人给出的核阻止截面的拟合公式，见（3.4-7）式。)(E S n 可以表示成 ]
cm eV 10[)()
)(/1(462.8)(21523
.0223.01122
1?++=
-εn n S Z Z M M Z Z E S (6.2-5)
其中ε是约化能量 )
)((53.3223
.0223.0121212Z Z M M Z Z E
M ++=
ε (6.2-6) 入射离子的能量E 是以keV 为单位。在(6.2-4)式中，)(εn S 为约化核阻止截面，对于低能能离子)30(≤ε，有 5
.021226.019593.00132.0)
1383.11ln(5.0)(ε
εεεε+++=n S （6.2-6）
§6.3 溅射产额的半经验公式
在Sigmund 的线性碰撞级联理论中，仅考虑了原子核之间的弹性碰撞对溅射产额的贡献，这仅适用于低能重离子产生的溅射。Matusnami 等人（1984）以及Yamamura 和Itoh （1989）根据大量的实验测量数据，并结合Sigmund 的线性碰撞级联理论，提出了一种溅射产额的半经验公式，它包含了电子激发的效应，可以同时适用于重离子和轻离子引起的溅射过程。这种半经验的溅射产额的形式为 []
8.25.000])/(1[)(35.01)
(42
.0)(E E S U U E S Q E Y th e n s s -+=εα （6.3-1）
其中s α和s Q 是经验参数，可以由实验数据来确定。)(E S n 是核阻止截面，以
21510cm eV ?-为单位；)(εe S 是无量纲的电子阻止截面；0U 是表面束缚能，以eV 为单
位，th E 是溅射的阈值能。
根据Yamamura 和Itoh （1989）的研究，阈值能量可以写成为
??????
?
?
??++≥??? ??=2
106
2
1212
1062/34M M U M M M M M M U E th γγ （6.3-2）
其中2
2121)/(4M M M M +=γ为弹性碰撞过程中的能量转输输因子。为了固定出经验参数s α和s Q ，他们使用了如下Lindhard 约化形式的核阻止本领截面 ]
cm eV 10[)()
)(/1(462.8)(2152
/13/223/21122
1?++=
-εn n S Z Z M M Z Z E S （6.3-3）
其中约化核阻止截面为（Matusnami 等人，1984）
)
708.1882.6(355.61)
718.2ln(441.3)(2/12/12/1-+++=εεεεεεn S （6.3-4）
无量纲约化能量ε的形式为 2
/13/223/2121212)
)((53.32Z Z M M Z Z E
M ++=
ε （6.3-5） 能量E 以keV 为单位。在（6.3-1）式中，约化的无量纲电子阻止截面)(εe S 可以由§4.4中的LS 公式给出
2/12
/12
2/314
/33/223/212
/3212
/123/21)(6.12)()(εεM M Z Z M M Z Z S e ++=
（6.3-6）
其中21,M M 以原子量为单位。
表6.1 表面结合能0U 和参数s Q 的值
Ir Pt Au Th U
77 78 79 90 92
6.94 5.84 3.81 6.20 5.55
1.39 0.93 1.02 0.73 0.66
借助于以上核阻止截面和电子阻止截面的表示式，这样根据（6.3-1）式和溅射产额的实验数据，可以拟合出参数s α和s Q 的值。发现s α的值仅与入射离子和靶原子的质量比率12/M M 有关，其表示式如下
5.11273
.012)/(001.0)
/(155.010.0M M M M s ++=α （6.3-7） 参数s Q 的值仅依赖于靶材料的性质。表6.1给出了一些常见靶材料的参数s Q 和0U 的值。 由上述公式，可以计算出Ni 靶在H ，O ，He 及Ar 离子轰击下的溅射产额，如图6.7所示，并与实验数据进行了比较。
图6.7溅射产额的经验公式（6.3-1）与实验数据的比较。
Bohdansky 等人（1980）也给出一种溅射产额的经验公式，不过该公式仅适用于低能情况，即给出的溅射产额在溅射曲线最大值以下。在他们的公式中，溅射产额写成如下泛涵形式
),()(1E k Y Q E Y N N = （6.3-4） 其中N Q 和k 是常数，与离子和靶的参数有关。对于不同的离子与靶结合，参数N Q 的值如表6.2所示。除了表6.2所显示的之外，对于其它离子-靶结合，N Q 可以表示成
)(75.0213
/52M M M Q N <=γ
（6.3-5）
其中γ为离子同靶原子核弹性碰撞时的能量传输因子，2M 以原子单位计算。
表6.2 参数N Q 的值。
在（6.3-4）中，常数k 由下式给出
0/U k γ= （6.3-6） 其中0U 是表面束缚能。引入一个无量纲的能量参数 0max 0
2
21210)(4U T U M M E
M M kE E =+=
= （6.3-7） 则函数),(E k Y N 可以表示成
[]5
.3025
.003/11105.8),(E E E k Y N -?=- )401(0≤≤E （6.3-8）
由方程（6.3-8）可以看出，溅射的阈值th E 为k E th /1=。图 6.8显示了由经验公式（6.3- 8）给出的归一化溅射产额),(E k Y N 与实验值的比较。
图6.8无量纲溅射产额的经验公式（6.3-8）与实验数据的比较。
§6.4 热钉扎溅射
在§6.2节介绍的Sigmund 溅射理论中，我们假定入射离子在固体表面产生的原子级联
运动是线性的，并采用二体碰撞理论来描述。但对于中等能量的重离子轰击固体表面，固体中移位原子之间的平均自由程接近于晶格中原子的空间尺度，这时二体碰撞近似理论不再成立。在这种情况下，在表面级联区沉积的能量密度相当高，以至产生一个可以超过表面溶化和蒸发点的有效温度。这时溅射过程进入一个热钉扎区，导致溅射产额反常地高。作为这种反常现象的一个例子，图6.9 显示了Au 的自溅射产额的实验值。可以看出，当Au 离子的能量到达几千个keV 时，实验测量值远远高于由Sigmund 线性级联理论给出的结果。
图6.9 Au 的自溅射产额随能量的变化，实线是 Si gmund 线性级联
理论给出的结果，而其它符号为实验数据。
对于热钉扎溅射，溅射产额可以按如下方式给出。在热钉扎区，可以假定做级联运动的原子的行为类似与理想气体，且服从Maxwellian 速度分布
()
T k M
T k M f B x B x 2/v exp 2)v (222
/12-?
??
? ??=π （6.4-1）
其中T 热钉扎区气体原子的温度。这样表面原子的平均热速度为
?∞=
=
2
2
v
)
v(
v
v
M
T
k
d
f B
x
x
x
xπ（6.4-2）
假定表面原子的蒸发能等于表面结合能
U，这样，在单位时间、单位面积内原子的蒸发率为
)
/
exp(
2
)
/
exp(
v
2
surf
B
surf
B
surf
B
x
e
T
k
U
M
T
k
N
T
k
U
N
J
-
?
-
?
π
（6.4-3）
其中
surf
T为靶的表面热钉扎温度，N是靶原子密度。表面的热钉扎温度
surf
T是与在表面
的平均沉积能量
surf
E相联系的，由下式给出
surf
B
surf
T
k
E
2
3
=（6.4-3）
而在表面的平均沉积能量
surf
E可以按下式估算出
surf
cas
n
surf A
E
S
E
)
(
)
68
.0(2
=（6.4-4）
其中)
(E
S
n
是核阻止截面，surf
cas
A是能蒸发出原子的热级联区的表面积。在给出（6.4-4）式时，我们以假定在表面的沉积能量等于核阻止。如果近似地认为热钉扎区是一个圆柱，
在级联面积surf
cas
A为
2
corr
T
surf
cas
A
Aδ
=（6.4-5）
其中
T
A是输运级联面积，可以由输运理论或Monte-Carlo模拟方法给出。在（6.4-5）式
中，变量
corr
δ是级联体积的修正因子，它与单个级联的面积有关。这样借助于以上个式，则对于热钉扎溅射，溅射产额为
e
surf
cas
spike
J
A
Yτ
=（6.4-6）
其中τ是热钉扎的寿命。
作为热钉扎溅射的一个例子，我们考虑Au 离子轰击Au 靶，Au 离子的能量分别为 1，5，10，20，100，和200 keV 。对于Au 靶，原子密度为322
/10
9.5cm N 原子?=，表
面结合能为81.30=U eV 。在上述入射离子的能量范围内，约化能量ε小于0.2，这样可以采用幂级指数（m=1/3）势计算核阻止截面。表6.3 给出了对应上述入射能量的热钉扎溅射产额及相应的一些参数。可以看出，当入射能量小于100 keV 时，如果假设热钉扎溅射的寿命为s 12
10
1-?=τ，则计算结果基本上与图6.9显示的实验数据相吻合。但当
能量高于100 keV 时，这时热钉扎溅射理论模型不再适用，它给出的结果远远小于实验值。
表6.3 Au 的热钉扎溅射
§6.5 溅射过程的计算机模拟
前面我们分别介绍的Sigmund 的线性级联理论和热钉扎理论模型。除此之外，我们还可以蒙特卡罗（MC）方法和分子动力学（MD）来研究溅射过程。Eckstein （1991）曾对溅射过程的计算机模拟方法进行了较为详细的评述。
在§5.6节我们在讨论离子在固体中的射程分布时，曾对MC方法进行了简单的介绍。实际上，MC方法不仅可以模拟入射离子在固体中的穿行过程，同时还可以模拟靶原子的级联运动过程。模拟两种过程所采用的方法完全相同。在这种方法中，可以同时跟踪入射离子和反冲原子的慢变过程，直至当它们的能量低于某一特定的值。通常对于入射离子，当其能量低于5 eV时，即可以认为它将停止不动；而对于反冲运动的原子，可以把表面结合能认为是其运动终止时的能量。最常用于模拟溅射过程的MC程序是TRIM程序。图6.10显示了对于不同的离子垂直入射到Ni 靶上时的溅射产额随入射能量的变化，其中实线为TRIM程序的模拟结果，其它符号为实验结果。可见，模拟结果与实验值符合得相当好。
图 6.10 溅射产额的TRIM程序的模拟结果同实验测量的比较。
我们知道，MC模拟方法是建立在二体碰撞近似基础之上的。当入射离子的能量较低时，其平均自由程均可以与固体中原子之间的空间尺度相当，则这种二体碰撞近似不再成立。这时离子同固体中的原子之间的相互作用变成了多体相互作用。在这种情况下，可以采用MD方法来模拟入射离子和反冲原子的慢变过程。实际上，MD方法就是通过数值求解N 体牛顿运动方程来跟踪粒子的运动历史。Ghaly 和Averback（1994）曾采用MD方法模拟了能量为10 keV Au离子入射到温度为0K的Au靶中产生的级联原子运动的历史，如图6.11(a)-(d) 所示。在图6.11(a) 中，原子做级联运动的时间较短，为0.3ps，对应的图形为原子的表面级联运动。随着级联运动时间的增加，有大量做级联运动的原
大学物理第六章练 习答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第六章 热力学基础 练 习 一 一. 选择题 1. 一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体，若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后（ A ） (A) 温度不变，熵增加； (B) 温度升高，熵增加； (C) 温度降低，熵增加； (D) 温度不变，熵不变。 2. 对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作做的功三者均为负值。（ C ） (A) 等容降压过程； (B) 等温膨胀过程； (C) 等压压缩过程； (D) 绝热膨胀过程。 3. 一定量的理想气体，分别经历如图 1(1)所示的abc 过程(图中虚线ac 为等温线)和图1(2)所示的def 过程(图中虚线df 为绝热线) 。 判断这两过程是吸热还是放热：（ A ） (A) abc 过程吸热，def 过程放热； (B) abc 过程放热，def 过程吸热； (C) abc 过程def 过程都吸热； (D) abc 过程def 过程都放热。 4. 如图2，一定量的理想气体，由平衡状态A 变到平衡状态B(A p =B p )，则无论经过的是什么过程，系统必然（ B ） (A) 对外做正功； (B) 内能增加； (C) 从外界吸热； (D) 向外界放热。 二.填空题 图.2 图1
1. 一定量的理想气体处于热动平衡状态时，此热力学系统不随时间变化的三个宏观量是P V T ，而随时间变化的微观量是每个分子的状态量。 2. 一定量的单原子分子理想气体在等温过程中，外界对它做功为200J ，则该过程中需吸热__-200__ ___J 。 3. 一定量的某种理想气体在某个热力学过程中，外界对系统做功240J ，气体向外界放热620J ，则气体的内能 减少，(填增加或减少)，21E E -= -380 J 。 4. 处于平衡态A 的热力学系统，若经准静态等容过程变到平衡态B ，将从外界吸热416 J ，若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C ，将从外界吸热582 J ，所以，从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中系统对外界所做的功为 582-416=166J 。 三.计算题 1. 一定量氢气在保持压强为4.00×510Pa 不变的情况下，温度由0 ℃ 升高到50．0℃时，吸收了6.0×104 J 的热量。 (1) 求氢气的摩尔数 (2) 氢气内能变化多少 (3) 氢气对外做了多少功 (4) 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量 解： （1）由,2 2 p m i Q vC T v R T +=?=? 得 4 22 6.01041.3(2)(52)8.3150 Q v mol i R T ??= ==+?+?? （2）4,5 41.38.3150 4.291022 V m i E vC T v R T J ?=?=??=???=? （3）44(6.0 4.29)10 1.7110A Q E J =-?=-?=? （4）44.2910Q E J =?=?
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
练习六习题1-2解 6-1 某一X 射线管发出的连续X 光谱的最短波长为0.0124nm ，试 问它的工作电压是多少?解：依据公式 答：它的工作电压是100kV . 6-2莫塞莱的实验是历史上首次精确测量原子序数的方法．如测得某元素的K α )(10Z ；将值代入上式， 10 246.0101010 )??= = =1780 Z =43 即该元素为43号元素锝(Te). 第六章习题3,4 6-3 钕原子(Z=60)的L 吸收限为0.19nm ，试问从钕原子中电离一个K 电子需作多少功? 6-4 证明：对大多数元素K α1射线的强度为K α2射线的两倍． 第六章习题5,6参考答案 6-5 已知铅的K 吸收限为0.014 1nm,K 线系各谱线的波长分别为：0.016 7nm(K α)；0.0146nm(K β)；0.0142nm(K γ),现请： (1) 根据这些数据绘出有关铅的X 射线能级简图； (2) 计算激发L 线系所需的最小能量与L α线的波长． 分析要点:弄清K 吸收限的含义. K 吸收限指在K 层产生一个空穴需要能量. 即K 层电子的结合能或电离能.
解: (1)由已知的条件可画出X 射线能级简图. K K α L α K β K γ (2) 激发L 线系所需的能量: K 在L 壳层产生一个空穴所需的能量 E LK = φK -φL φL =φK - E LK =87.94 keV -84.93keV=3.01 keV φ为结合能. 或
即有 m 即L α线的波长为0.116nm. 6-6 一束波长为0.54 nm 的单色光入射到一组晶面上，在与入射束偏离为120?的方向上产生一级衍射极大，试问该晶面的间距为多大? ?的方向上产生一级衍射极大sin θ n =1 解得 d =0.312 nm 第六章习题8参考答案 6-7 在康普顿散射中，若入射光子的能量等于电子的静止能，试求散射光子的最小能量及电子的最大动量． 6-8 在康普顿散射中，若一个光子能传递给一个静止电子的最大能量为10 keV ，试求入射光子的能量． （1）其中c m 光子去的能量为电子获得的能量 k E h h ='-νν 依题意，如果电子获得最大能量，则出射光子的能量为最小，（1）式E 由此可算出： ν γγh E E 22=+
第六章X 射线 6.1.The minimum wavelength of the continuous x-ray spectra from an x-ray tube is 0.124A .What is its working potential? 某一X 射线发出的连续X 光谱的最短波长为0.0124nm ，它的工作电压是多少？解：依据公式()min 1.24nm V kV λ= ，得到工作电压为：() min 1.24 1.24 1000.0124 V nm kV λ===6.3.The L absorption edge of a neodymium atom(Z=60)is 1.9A .How much work is required to ionize a K electron from a neodymium atom? 钕原子(Z=60)的L 吸收限为0.19nm ，从钕原子中电离一个K 电子需作多少功？解：L 吸收限指的是在L 层产生一个空穴需要能量，即电离一个L 电子的能量： ,(1) L L L L hc E E E hv λ∞?=-== K 吸收限是指在K 层产生一个空穴需要能量,即电离一个K 电子的能量： ,(2) K k K K hc E E E hv λ∞?=-== 式（1）代入式（2）有：,(3) K L K L hc E E E λ?=-+ 由莫塞莱公式有：()2111,(4) K L K E E E hRc Z α? ??=-=-- ??? 式（4）代入式（3）得电离一个K 电子的能量为： ()()32 2213 1.24101113.660142.024 0.19K L hc E hRc Z keV λ?? ??=--+≈?-+= ???6.5.Prove that for most of the elements,the intensities of the 1K αx-rays are double the intensities of the 2K αx-rays. 证明：对大多数元素，1K α射线的强度为2K α射线的两倍。 K 系激发机理：K 层电子被击出时，K 壳层形成空位，原子系统能量由基态升到K 激发态， 原子系统能量升高，使体系处于不稳定的激发态，按能量最低原理，L 、M 、N 层中的电子会跃迁到K 层的空位，为保持体系能量平衡，在跃迁的同时，这些电子会将多余的能量以X 射线光量子的形式释放。高能级电子向K 层空位填充时产生K 系辐射，L 层电子填充空位时，产生K α辐射，M 层电子填充空位时产生K β辐射。
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
第六章 磁场中的原子 6.1 已知钒原子的基态是2/34F 。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。 解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态2/34F 之角动量量子数2/3=J ，角动量在磁场方向的分量的个数为412 3 212=+?=+J ，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。 （2）J J P m e g 2=μ h h J J P J 2 15)1(= += 按LS 耦合：5 2 156)1(2)1()1()1(1==++++-++ =J J S S L L J J g B B J h m e μμμ7746.05 15 215252≈=???= ∴ 6.2 已知He 原子0111S P →跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距 厘米/467.0~=?v ，试计算所用磁场的感应强度。 解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为： mc Be g m g m v πλλ4)(1'1~1122-=-=? 氦原子的两个价电子之间是LS 型耦合。对应11 P 原子态，1,0,12-=M ；1,1,0===J L S ， 对应01S 原子态，01=M ，211.0,0,0g g J L S =====。 mc Be v π4/)1,0,1(~-=? 又因谱线间距相等：厘米/467.04/~==?mc Be v π。 特斯拉。00.1467.04=?= ∴e mc B π 6.3 Li 漫线系的一条谱线)23(2/122/32P D →在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
练习六习题1-2解 6-1 某一X射线管发出的连续X光谱的最短波长为0.0124nm，试问它的工作电压是多少?解：依据公式 答：它的工作电压是100kV. 6-2莫塞莱的实验是历史上首次精确测量原子序数的方法．如测得某元素的K(X射线的波长为0.068 5 nm，试求出该元素的原子序数． 解：由公式Hz；将值代入上式， =1780 Z=43 即该元素为43号元素锝(Te). 第六章习题3,4 6-3 钕原子(Z=60)的L吸收限为0.19nm，试问从钕原子中电离一个K电子需作多少功? 6-4 证明：对大多数元素Kα1射线的强度为Kα2射线的两倍． 第六章习题5,6参考答案 6-5 已知铅的K吸收限为0.014 1nm,K线系各谱线的波长分别为：0.016 7nm(K()； 0.0146nm(K()；0.0142nm(K(),现请： (1) 根据这些数据绘出有关铅的X射线能级简图； (2) 计算激发L线系所需的最小能量与L(线的波长． 分析要点:弄清K吸收限的含义. K吸收限指在K层产生一个空穴需要能量. 即K层电子的结合能或电离能. 解: (1)由已知的条件可画出X射线能级简图. K K( L( K( K( 激发L线系所需的能量: K层电子的电离能为: 在L壳层产生一个空穴相对于K壳层所需的能量 在L壳层产生一个空穴所需的能量 ELK= φK-φL φL =φK- ELK =87.94 keV -84.93keV=3.01 keV φ为结合能. 设L(线的波长为λML,则依题意有: 或 即有 即L(线的波长为0.116nm. 6-6 一束波长为0.54 nm的单色光入射到一组晶面上，在与入射束偏离为120(的方向上产生一级衍射极大，试问该晶面的间距为多大? 解：由于入射束在偏离120(的方向上产生一级衍射极大sin( =sin120(= 依据公式n=1 解得d=0.312 nm
第一章 1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4 2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11 3.定解问题的适定性 从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准： ⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。 ⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。 ⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12 4.Dirichlet 、Neumann 定解问题 定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。 5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx) 其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。 6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE = 7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等 8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +?=变为 0f u =+?，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =?，则为Laplace 方程。 Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。 9.二阶线性偏微分方程分类方法 022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。 若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点 ），（00y x 02211212>-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112 12=-≡?a a a ，称方程在这点），（00y x 是 抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。 第二章 1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26
第二章习题 2-1 铯的逸出功为，试求： (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长； (2)如果要得到能量为的光电子，必须使用多少波长的光照射? 解：（1）∵E=hν-W当hν=W时，ν为光电效应的最低频率（阈频率），即 ν =W/h=××10-19/×10-34 =×1014 ∵hc/λ=wλ=hc/w=×10-7(m) (2) ∵mv2/2=hν-W ∴ = hνν=h λ=c/ν=hc/(m)=×10-7m 2-2 对于氢原子、一次电离的氦离子He+和两次电离的锂离子Li++，分别计算它们的： (1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度； (2)电子在基态的结合能； (3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长． 解：（1）由类氢原子的半径公式 由类氢离子电子速度公式 ∴H: r 1H =×12/1nm= r2 H =×22/1= V1H=×106×1/1=×106(m/s) V2H=×106×1/2=×106(m/s) ∴He+: r 1He+=×12/2nm= r2He+=×22/2= V 1 He+=×106×2/1=×106(m/s) V 2 He+=×106×2/2=×106(m/s) Li++: r 1 Li++=×12/3nm=
r 2 Li++=×22/3= V 1 Li++=×106×3/1=×106(m/s) V 2 Li++=×106×3/2=×106(m/s) (2) 结合能：自由电子和原子核结合成基态时所放出来的能量，它等于把电子从基态电离掉所需要的能量。 ∵基态时n=1 H: E1H= He+: E1He+=×Z2=×22= Li++: E1Li+=×Z2=×32= (3) 由里德伯公式 =Z2××3/4= 注意H、He+、Li++的里德伯常数的近似相等就可以算出如下数值。 2-3 欲使电子与处于基态的锂离子Li++发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能? 要点分析:电子与锂质量差别较小, 可不考虑碰撞的能量损失.可以近似认为电子的能量全部传给锂,使锂激发. 解：要产生非弹性碰撞,即电子能量最小必须达到使锂离子从基态达第一激发态,分析电子至少要使Li++从基态n=1激发到第一激发态n=2. 因为 ⊿E=E2-E1=Z2R Li++hc(1/12-1/22)≈32××3/4eV= 讨论:锂离子激发需要极大的能量 2-4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使氢原子发射出光子，质子至少应以多大的速度运动? 要点分析:质子与氢原子质量相近,要考虑完全非弹性碰撞的能量损失.计算氢原子获得的实际能量使其能激发到最低的第一激发态. 解：由动量守恒定律得 m p V=(m p+m H)V ' ∵m p=m H
原子物理学课后前六章答案（第四版） 杨福家著(高等教育出版社) 第一章：原子的位形：卢瑟福模型 第二章：原子的量子态：波尔模型 第三章：量子力学导论 第四章：原子的精细结构：电子的自旋 第五章：多电子原子：泡利原理 第六章：X 射线 第一章 习题1、2解 1.1 速度为v 的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad. 要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动. 证明：设α粒子的质量为M α，碰撞前速度为V ，沿X 方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射。电子质量用me 表示，碰撞前静止在坐标原点O 处，碰撞后以速度v 沿φ方向反冲。α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有： （1） ? θααcos cos v m V M V M e +'= （2）
? θαsin sin 0v m V M e -'= （3） 作运算：（2）×sin θ±(3)×cos θ, （4） （5） 再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v ， 化简上式，得 （６） θ?μ?θμ2 22s i n s i n )(s i n +=+ （７） 视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有 令 sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即 2cos(θ+2φ)sin θ=0 若 sin θ=0, 则 θ=0（极小） （8） （2）若cos(θ+2φ)=0 ,则 θ=90o-2φ （9）
将（9）式代入（7）式，有 θ ? μ ? μ2 2 2) (90si n si n si n+ = - θ≈10-4弧度（极大）此题得证。 1.2（1）动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？ （2）如果金箔厚1.0 μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？ 要点分析:第二问是90°～180°范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值 . 其他值从书中参考列表中找. 解：（1）依 金的原子序数Z2=79 答：散射角为90o所对所对应的瞄准距离为22.8fm. (2)解: 第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来. (问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出) 从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, ρAu=1.888×104kg/m3 依 θa 2 sin
第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 z -1 ≤（7）1, z +1 2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1 第六章Legendre多项式 6.2 基础训练 6.2.1例题分析 例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是 ?? 2 2 ?2u? Ze2 u=Eu 其中?,μ,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。 解：先令A= 2 8π2μ ,B=Ze2，则Schrodinger方程可以简单写为 A?2u+B u+Eu=0 由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为 A[1 2 e e (r2 eu e )+ 1 2 e e (sinθ eu e )+ 1 22 e2u e2 ]+B u +Eu=0 令u(r,θ,?)=R(r)Y(θ,?)，代入上式得 AY 2d (r2 dR )+ AR 2 e e (sinθ eY e )+ AR 22 e2Y e2 +( B +E)RY=0 两边分别乘以r 2 ARY ，得 1 R d dr (r2 dR dr )+ r2 A ( B r +E)=? 1 Y sinθ e eθ (sinθ eY eθ )? 1 Y sin2θ e2Y e?2 要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l+1)，从而 d dr (r2 dR dr )+[ B A r+Er2?l(l+1)]R=0 即 1 r2d dr (r2dR dr )+[8π2μ ? 2 (Ze2 r +E)?l(l+1) r2 ]R=0（1） 至于Y则满足球函数方程 1 sinθ e eθ (sinθeY eθ )+1 sinθ e2Y e? +l(l+1)Y=0（2） 球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(θ,?)=Θ(θ)Φ(?)代入（2），并有周期条件，则得Φ满足 Φ′′+m2Φ=0（3） 它的解是 Φm=A m cos m?+B m cos m?m=0,1,2,? Θ满足缔合勒让德方程 (1?x2)d2Θ dθ2?2x dΘ dθ +[l(l+1)?m2 1?x2 ]Θ=0（4） 其中x=cosθ. 例2.证明：P n(1)=1,P n(?1)=(?1)n,P2n?1(0)=0,P2n(0)=(?1)n2n! 2n! . 第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上北邮数理方程课件-第六章-Legendre多项式
数学物理方法知识点归纳
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