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放缩法技巧及经典例题讲解

放缩法技巧及经典例题讲解-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使

A C

B ≤≤，

由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<

（2）

11>

n >=

（3）21111111

(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

=<<=->++-- （4

）=

<=<=

（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m

b b m b b

+><

+ （6）21111111

112!3!!222

n n -+++???+<+++???+

（7）222

11111111

11(1)()()232231n n n

+++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n <-）（7）1111111112321111

n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或

11111111

123222222

n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8

）1+

+???>+???== （9）

)1(11)1(12-<<+k k k k k ，??

????--≤！！（！k k k 1)11211

（10） 1

211

2-+<

<++k k k k k

【经典回放】

例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,

21212

n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；

(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有

11174

n a a a +++

<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,1212

2133

S a =---,又111S a ==,所以2

4a =；

(Ⅱ) 当2n ≥时,32112

233

n n S na n n n +=---,

()()()()32

1122111133

n n S n a n n n -=--

----- 两式相减得()()()2

112213312133

n n n a na n a n n n +=---

-+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即

111n n a a n n

+-=+,又21121a a

故数列n a n ??

????

是首项为111a =,公差为1的等差数列,

所以

()111n

a n n n

=+-?=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444

a a +=+=<；当3n ≥时,

()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212

111111

1111111

111434

423341n a a a n n n ????

??+++

=+++++

<++-+-++- ? ? ?-????

111717

14244

n n =++-=-<

综上,对一切正整数n ,有12

11174

n a a a +++

<. 例2：

【经典例题】

例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1

111

1,1,1++-=-=

-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ?的前n 项和3

n S 分析：（1）此时我们不妨设)

(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++

即

A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=

B A )

(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}

{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。

a n a n n n n +==-∴2,2即.

（3）由（1）知

n n n n b n a 21

,2=

∴+=. 当2≥n 时,

.2122

1121

121...21211......1)(...)()(1

12121123121-----=--

=++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c

当n=1时，1c =1也适合上式，所以

121

2--

=n n c ，故

)12)(22(1)21212121(211

11--=---=

++-n n n

n n n n d b

方法一：n

n 2221≥-+ ，312

≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.

必须要有执果索因的分析才可推测出.)

1)211(31211)21(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n

n n n n n S d b . 方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3时,我们看:

121)]221121(...)301151()14171[(31121

221 (1511417161617)

31)12()22(1 (151417613211)

11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?=

++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得

这样由前二项会得到 .

..31

0121

,022112111也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然

<>->---++n n n n s 易验证当n=1，2时 31<

n s . 综上31

n s

例2、已知正项数列{}n a 满足()

()

1111

,1N n a n a a a n n n ∈?++==+ （1）判断数列{}n a 的单调性；（2）求证：

()

111

112111+<-<+-++n a a n n n n 分析：（1）n

n n n a a n a a >>+=

-++12

10)1(1

故，即n n a a >+1

故数列{

a }为递增数列.

(2) 不妨先证

21)

1(1

11+<-+n a a n n

1(1

)1(1)1(1

121

-=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n

n n n

再证：1

12111+-<+-+n n a a n n

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

2021年典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式欧阳光明（2021.03.07）所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证 143 ＜＋＜a b 。证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋ b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14 （a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14 （a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：证明：因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。

所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（）二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证： 12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c +++＜2，故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知n ∈N*，求n 2n 131211＜…+ +++。证明：因为，则11213+ ++

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。一．先求与再放缩例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩例5、(1)求得值; (2)求证:、例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、四、分式放缩姐妹不等式:与记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、例9、姐妹不等式:与也可以表示成为与例10、证明: 五、均值不等式放缩例11、设求证例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、例14、 , 试证明:、

用放缩法证明不等式的方法与技巧

用放缩法证明不等式的方法与技巧一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学）二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -）（7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题惠州市华罗庚中学欧阳勇摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（）证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（）二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，，所以（2）因为，所以，所以； 2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

放缩法证明不等式的基本策略

放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点能体现出创造性。放缩法”它可以和很多知识内容结合，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，些高考试题，例谈放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩）子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运用往往对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，否则就不能同向传递。下面结合一例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

第一轮复习放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。（Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．（Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立．点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。另外，熟悉一些常用的放缩方法，如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

导数应用于不等式证明之放缩法一例

导数应用于不等式证明之放缩法一例的单调区间；求轴垂直，处的切线与，在点（曲线是自然对数的底数），为常数，已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明：，对任意）设（ ()()()】式成立。证毕。恒成立，【所以所以）递增，）递减，在（，在（划分单调区间如下：解得令】【只需证再用放缩法，）即证明（）（】，只需证，要证【）（）（），所以（放缩，由于以下对】【证明：结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈；（1）求证：数列{} 2n s 是等差数列；（2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+；（1）求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++；（1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<

用放缩法证明不等式Word版

利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =，1,2,3, n =，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 1 1 131131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>；（II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12n +≥ 。证明：（I ）111 111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -++++++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>．（II ） 112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++ 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥ ≥，又11217 ,1,212T S T ===， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

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