第五章 不定积分 一元积分学的内容是：
其核心内容是定积分，而定积分的计算工具是不定积分。另外从学习系统上来说，在才学过微分之后，从微分运算的逆运算角度提出不定积分也更具逻辑性。所以这一章我们先学不定积分，下一章讨论定积分和定积分的运用。
第一节 不定积分的概念 前面微分学中我们讨论了函数的微分及求导，函数的求导运算可
以看成是两个函数集合之间的一种关系。
})()(|)({})(|)({x F x f x f x F x F D dx
d '==Ω→---=可微 即D x F ∈?)(通过求导运算得到Ω中一
个函数)()(x F x f '=。
我们把)(x f 称为)(x F
对于)(x f 来说)(x F 现在我们来讨论这两个函数集之间的逆问题，即求导运算的逆运算。若已知右端函数集Ω中的函数)(x f ，能否通过一个关系求到左端的函数集中的)(x F 使得)()(x f x F ='。这便是求导运算的逆运算——积分运算问题。
})()(|)({})({x f x F x F x f ='→----积分运算
一、概念：
1
对于函数)(x f ，若存在函数)(x F 使得
)()(x f x F ='，称)(x F 为)(x f 求已知函数)(x f 的原函数，有些什么内容呢：
1）存在性问题： 对于已给函数)(x f 是否一
定存在)(x F ？使得)()(x f x F ='。
2）唯一性问题：
)(x f 的原函数存在，是否唯一？
3）有何性质；
4）如何运算；
5）求原函数运算的应用。
这一节我们讨论前三个问题。
2、原函数的存在性问题
一般的函数其原函数不一定存在，比如
狄利克雷函数???=为无理数
为有理数x x x D 01)(，就找不到任何函数)(x F 使得)()(x D x F ='，那么要附加什么样条件的函数必有原函数存在呢，这在理论上是个比较麻烦的问题。
我们不做细致的讨论，在这里只给一个 结论。
连续函数必有原函数。
若一个函数的原函数存在，则说这个函数具有可积性，或说它是可积的。 可见这里我们的对象就是连续函数。
3、唯一性问题
对于任给的连续函数)(x f ，由以上定理知都存在原函数。那么，它的原函数是否唯一呢，不唯一的话又有多少？相互之间有无关系呢。
1）定理： 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f
的原函数有无穷多，全部原函数为 C x F +)(。（C 为任意函数）
2）解释：所谓任意常数C ，即关于变量x 而
言是常数，而任意性刻划了)(x f 的原函数的无穷多性，有多少呢，有实数域那么多，当任意取定一个实数0C ，就对应
得到一个)(x f 的原函数0C x F +)(。
这个定理说明)(x f 的原函数有无穷多，但它们之间仅仅相差一个任意常数。可见，在相差一个任意常数的意义下，原函数族})({C x F +只有一族。就函数族来说一个函数)(x f 的原函数只有一族而不是两族。这种就“忽略一个常数不记的函数族”而言是唯一的。由此，我们对这族原函数给一个术语。
4、不定积分的定义
)(x f 的全部原函数})({C x F +被称
为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，
即C x F dx x f +=?)()(。
不定积分的不定就体现在任意常数C 上， 特别强调一旦见着积分号“?”右端一定有 任意常数C ，初学者最容易犯的错误就是忘 了写它。它不仅仅是个形式问题，而是概念
问题，少写了它成了一个函数，写上它成了 一族函数。
二、不定积分的性质
1、求不定积分运算与求导运算的关系 注意到求原函数运算与求导运算互为逆运算，但是不定积分是一族原函数，所以
1）先积后导，作用抵消
)())((x f dx x f ='? 或 ?=dx x f dx x f d )())((
2）先导后积要加任意常数
C x f dx x f +='?)()( 或 ?+=
C x f x df )()(
2、不定积分运算满足线性性
若)(x f i 都可积，i k 为实数n i ,,2,1 =。
则 ?∑?∑
===dx x f c dx x f c i n
i i i n i i )()(11 实际上线性性就是可加性和数乘性的综合
1）可加性???++=++dx f dx f dx f f n n 11)(
2）数乘性当0≠k 的常数时，
??=dx x f k dx x kf )()(。
3、不定积分的几何意义
函数)(x f 的不定积分C x F +)(就是一族平行的曲线族，称为函数)(x f 的积分曲线。
第二节 不定积分的运算
虽然说积分是微分的逆运算，许多内容都对应于微分，但是积分运算要困难得多，做不定积分运算时要注意：
有些什么方法，各种方法应用对象是什么；如何判别一个积分的类型，用什么方法 如何用。
另外，强调一个原则：求不定积分
C x F dx x f +=?)()(的关键是求出其原函数)(x F ，其过程繁、方法和步骤多，切不要拘泥于是否合理的细节讨论上，因为所求)(x F 是否是被积函数)(x f 的原函数，其结果的真实性都由)()(x f x F ='验之。
不定积分的运算内容：
1、基本积分表；
2、变量变换法
1）凑微分法
2）变量臵换法（又有三类五种）
3、分部积分法（又有三种情况）
学习时注意它们与微分运算对应的情况。
一、基本积分表
因不定积分和求导互为逆运算，首先由基本微分表对应可得基本积分表：
微分表
基本积分表
1、dx x x d 1)(-?=αααc x dx x ++=+?111αα
α 1-≠α
2、dx x x d 1)(ln =c x dx x +=?||ln 1
dx a x x d a ln 1)(log =——— 3、adx a a d x x ln )(=c a a dx a x x
+=?ln dx e e d x
x =)(?+=c e dx e x x 4、xdx x d cos )(sin =?+-=c x xdx sin cos 5、xdx x d sin )(cos -=?+=c x xdx cos sin
6、xdx tgx d 2
sec )(=?+=c tgx xdx 2sec 7、xdx ctgx d 2csc )(-=?
+-=c ctgx xdx 2csc
8、dx x x d 211)(arcsin -=
?+=-c x x dx arcsin 21
9、dx x x d 211)(arccos --=c x x dx +-=-?arccos 21
10、dx x arctgx d 211)(+=c arctgx x dx +=+?21
11、dx x arcctgx d 211)(+-=c arcctgx x dx +-=+?
21 12、xtgxdx x d sec )(sec =?+=c x xtgxdx sec sec 13、xctgxdx x d csc )(csc -=?+-=?c x ctgxdx x csc csc
二、线性性质初等数学的恒等变形扩大范围 dx x x ?+-2211在积分表中没有此公式
解： ???+-=+-=+-+=c arctgx x x dx dx dx x x I 212121222 dx x x x )cos 116(2+-+?
解： ???+-+=xdx dx x x dx I cos 1162
C x x arctgx ++-=sin ||ln 6
三、变量变换法
相对于求导中复合函数的连锁规则，不定积分中的反映就是变量变换法。变量变换法有两种，在理论和运用上都有差异。所以我们将其分类为：
1）第一变量变换法，又称为凑微分法，
2）第二变量变换法，又称为换元法或变量臵换法。以下分别讨论之。
1、凑微分法
?
≠+1)(n dx b ax n 注意微分的特点)(1)(1b ax d a ax d a dx +==
解：??++=+)()(1)(b ax d b ax a
dx b ax n n C b ax n a n +++=+1)(
)1(1 ?
?xdx x cos sin 3 注意xdx x d cos )(sin =，
解：C x x xd xdx x +==???4sin )(sin sin cos sin 433 从以上两例可见，利用基本微分表的反
向记忆dx x d )()(
?'=来寻求一个函数变换将我们未知的被积表达式换成基本积分表中可处理的公式，从而求出不定积分。这一方法的思路就是“凑”微分。
2、举例
例1：C x x
x d dx x x tgxdx +-=-==???|cos |ln cos )(cos cos sin 同理：C x ctgxdx
+=?|sin |ln 例2：??=x dx xdx sin csc
?
?--=x x d x xdx 22cos 1)(cos sin sin
C x x u
du +-+=--=?cos 1cos 1ln 2112 第六章 定积分
第一节 基本概念
一、定积分的概念
1、问题的提出
由于自然现象中变量之间关系的数学模 型是函数，而函数)(x f y =的几何解释是二维平面上的曲线。可见自然现象或社会经济现象中许多变化规律都可以抽象在几何内容上来探讨。关于几何上曲线所围区域面积问题可充分反映定积分的思想。
我们现在对平面区域面积的求取仍停留 在边界是直的折线
所围之多边形上，因
为三角形面积可求，
多边形可看成若干
三角形之和所以也可求。唯一能解决的曲线所围区域即圆(或部分圆,扇形等)。它是有了π这个数的原因，而一般的曲线所围区域面积的求取我们现在还无能为力。求取它们
的的思想远古人们就已认识，例如：我国汉朝末年的祖冲之计算π值的割圆术就是定积分思想的充分体现。他把圆周三等分得一等边三角形，当然两者面积差距很大，再将其化为正六边型、正十二边形、二十四边形、┈，分得越细，正n 边形的面积越接近圆的面积，而正n 边形面积与圆半径有关，以至于得到π的近似值。这一思想可应用于一般曲边梯形面积的求取。
2、曲边梯形的面积
函数],[,)(b a x x f y ∈=是
二维平面上曲线的一段，它
和b x a x ==,以及X 轴所围区域称为曲边梯形。可见一条封闭曲线在二维平面上所围区域总可以在坐标系建立以后化为若干曲边梯形之和。所以矛盾现在就在曲边梯形面积的求取上。矩形的面积为长乘宽我
们是会求的。应用割圆术思想我们可望将其化为若干小的近似矩形来处理（此时不妨设)(x f y =在X 轴上方）。
1）对],[b a 给一分划
b x x x a n =<<<=? 10：,
即在],[b a 中插入n 个点,将其分为n 个小区域,记为n ??,, 1,它们分别的长度为
1--=?i i i x x x 。
2) 在小区域i ?中选取一点i ξ，则)(i f ξ为这小矩形的长，其小矩形的面积为：i i x f ?)(ξ
3）将所有的小矩形面积和起来∑=?n
i i
i x f 1
)(ξ就是曲边梯形面积的近似值。
4）显然分划不细时误差很大,分划越细误差
就越小，当分划细到极限时,
I x f n
i i i =?∑=→?10)(lim ||||ξ 可以想象这就是其面积的准确值了。
3、物理上的例子
物体的质量问题：
一根细长的杆，若杆的截面积相对于杆的长 度s 来说充分小到可以忽略不计。
若杆的线密度ρ是个常数：
即其分布是均匀的，我们知道它的质量为：s m ?=ρ，
若杆的分布是不均匀的：
即其线密度ρ是关于位臵x 的函数)(x ρ，那么它的质量为多少？
1）对],[b a 给一分划b x x x a n =<<<=? 10：
, 2)i i ?∈?ξ则微元段i
?的质量近似为i i x ?)(ξρ。 3）将所有微元段的质量和起来∑=?n
i i i x 1)(ξρ
就
是细杆质量的近似值。
4）在分划细到极限时m x n i i i =?∑=→?10)(lim ||||ξρ就是
其质量的真值。
以上我们从不同的角度都得到了同一个 极限模型，抽象掉其背景，得到了一个有用的数学模型——定积分
4、定积分的定义
设)(x f 是有限区间],[b a 上的有界函数，
对],[b a 任意分划b x x x a n =<<<=? 10：
，将],[b a 分为n 个小区域n ??,, 1，
每个小区域长度为n x x ??,, 1,任取i i x ?∈ξ i i x f ?)(ξ,作和∑=?n i i i x f 1)(ξ,取极限∑=→??n i i
i x f 1
0)(lim ||||ξ。若极限存在，则称)(x f 在],[b a 上可积，称这个极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，
记为：?∑=→?=?b a n i i i dx x f x f )()(lim ||||10ξ。
其中?为积分号, b a ,为积分上下限， dx x f )(为被积表达式，)(x f 为被积函数, dx 为积分微元，x 为积分变量。
5、定义的解释
1） 定积分是特殊的极限，是一种和式的
极限。这个定义是构造性定义叙述很冗长。通俗说为四部曲：分划、取点、作
和、取极限。
2）定积分I dx x f b
a =?)(是个实数，这与不定积
分是一族函数有很大区别。
3）注意概念中两个任意性，保证了定义的
广泛性。实用中往往用等份分划，取点特殊取端点或中点，可体会一下为何定义是任意取点。
4）定积分是和式的极限，任给函数未必这
个极限就存在。这就有不定积分存在性问题，什么条件下的定积分一定存在呢。
有限区间],[b a 上的连续函数必可积。 有限区间],[b a 上具有限个第一类间断
点的函数必可积。
5）定积分的几何意义：
从前面提出问题时曲线曲
边梯形面积中可见其几何
意义。但是注意面积是非
负的，而定积分可正可负。若0<)(x f 即曲线在X 轴之下 ?
∑<=?=→?b
a n i i i dx x f x f 010)()(lim ||||ξ, 但面积却是个正数，所以借用曲边梯形面积来说明定积分时，曲线在X 轴上方所为曲边梯形面积就
是其定积分。而曲线在X 轴下方时,定积分是其曲边梯形面积之相反数。
定积分定义虽然抽象复杂但思想清晰，即将变化的弯曲的对象先微分化，在微小的局部以直代曲（以常量代替变量）近似求解，然后全部积起来。而这么复杂的过程用于具体问题的计算，靠定义肯定寸步难行。以下我们先讨论它的性质，看能否找到简单可行的计算方法。
三、定积分的计算
定积分的思想几千年前人类就已认识到了，但为何这漫长的时间里未能起到作用。主要原因是没有解决计算问题，仅用定义几乎不能解决任何实际问题。Newton 和Leibniz 创立微积分的最主要功绩之一就是找到了定积分和不定积分以至于与微分之间的内在联系，从而获得了定积分计算的一般方法，从而使人类进入了一个崭新的时代。以下逐步展开这一方法的讨论。
1、微积分学基本定理
若)(x f 是],[b a 上的连续函数，
)(x F 是],[b a 的一个原函数，
则；)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
3393|212
132===--?x dx x
2
121202202
0===??πππ)sin ()(sin sin cos sin //x x xd xdx x 第六节 定积分的应用
一、几何方面的应用
Ⅰ、平面图形的面积
1）X 型区域：
若y 可表为x 的函数)(x f y = ],[b a x ∈，此 时用与Y 轴平行的直线与曲线)(x f y =至多只交一个点。有以下几种情况：（令A 为曲边梯形的面积）
?=b a dx x f A )( ?=b a dx x f A |)(| ?-=b
a
dx f f A )(21 2）Y 型区域：
若x 可表为y 的函数)(y x ?= ],[d c y ∈， 此时用与X 轴平行的直线与曲线)(y x ?
=至多只交一个点。有以下几种情况：
?
=d
dy y A
)(? ?=d dy y
A |)(|? ?-=
d dy
A )(2
1??
3）XOY 平面上任意一条封闭曲
线所围区域D ，总可以化为若干
个X 型和Y 型区域的和。
4、举例：
例：求由21x y =和222x y -=所围区域的面积。
解：两曲线交点；
???=-===?????-==111122221y x y x x
y x y 可得； 38|)3(2)1(2)(11211
21112=-=-=-=---??x x dx x dx y y S 例：求由曲线1,,===-x e y e y x x 围成的平
面图形的面积。
解：两曲线交)1,0(点；
被积区域]1,0[∈x ，
被积函数
)(x x e e -- 21)()(|101
0-+=+=-=--?e e e e dx e e S x x x x
Ⅱ、旋转体的体积
1、旋转体的定义：
由一条连续曲线)(x f
绕某坐标轴旋转而
得的立体。
2、旋转体的体积：
显然旋转体是一类特殊的已知截面面积的立体，特殊在 所有截面面积都是园面。
所以微元体的体积为： dx x f dx x A dV )()(2π==
旋转体的体积为：?=b
a
dx x f V )(2π 例：求由22y x x y ==，所围区域，绕X 轴旋转的旋转体体积。
解：容易求得两曲线的焦点是
（1，1），平面区域为： },10{2x y x x ≤≤≤≤ 所以所求体积为： πππ103)5121()(1
04=-=-=?dx x x V
数学在经济学中的应用 经济学院经济系张馨月 进入大学，我选择了经济学这门学科。经过一个学期的学习，我对经济系的课程有了一个基本的了解。数学是经济系乃至经济学院的学生必修的一门课程，非常的重要。为什么数学在经济学中的作用如此重要呢？今天，我就浅论一下这个问题，谈谈数学在经济学中的应用。 要谈这个问题，首先要明确经济学是什么。经济学是研究如何配置和使用相对稀缺的资源，来满足最大化需求的社会科学，即研究社会活动中的个人、企业、政府如何进行选择，以及这些选择如何决定社会资源使用方式的一门科学。经济学是一门社会科学，但是它却与哲学、文学等社会科学有着大相径庭的区别。经济学研究的是经济问题。虽然现实里的经济问题错综复杂，使经济学的分析增加了难度，具有了一些不确定性。但是，经济学的目标是朝着物理学的方式发展的，它本质上追求精确。对于这样一门追求精确的学问，数学的作用自然非比寻常。经济学使用到了数学、统计工具，这个传统从很早的威廉.配第就有了，到魁奈的《经济表》，到边际学派的边际分析，到萨缪尔森的《经济分析基础》，到再博弈论等等，数学在经济学中的地位越来越明显。 我认为，数学在经济学中的作用主要有两方面。一是在其工具性上，数学作为经济研究的基础工具，其作用自然不可小觑；二是在其思想性方面，数学是一门严谨的学问，其严谨的思想在追求精确和理性的经济学中占据重要的地位。数学在理论上的概括和科学的实际发展中，一般给人们的印象是，与其他学科相比，数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性。因此，说数学是一切科学的根本基础，是科学的皇后，是十分自然的。 先谈谈第一方面。首先，数学概念是抽象的典范，几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的，例如，点、线、面；自然数、实数和虚数等等；它们是抽象的，又是深刻的，极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征。其次，数学是严密逻辑推理的象征，其方法论的核心是演绎法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是，若公理为真，则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看，演绎法是清晰、合理和完美的，由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论。最后，由上面两点，数学应用的广泛性是不言自明的。自然，在经济研究中，少不了数学这样一个工具。经济学是研究在约束的条件下的最优化选择，即在资源稀缺的条件下，如何达到收益的最大化。于是，在研究中就存在成本、收益等等的概念和运算。同时，由于经济活动的多样性，研究中存在许多变化的因素，导致了经济研究的错综复杂。而数学其用处就在于为许多复杂的思想和现象提供了简洁而明了的解释，为许多错综的数据提供了计算模型，从而使经济研究简洁条理。 但数学的有用性不仅仅体现在其工具性上，更在其思想性上。改革开放以来，西方经济学作为市场经济运行描述的基本理论，对我们经济学学习和研究的作用越来越重要。从学习和研究的角度看，似乎可以明显感觉到，西方经济学的理论体系、思维方式和推理方式的深刻特点之一表现在其数学性方面，也正是这一特征使人们常常把经济学看成是最接近自然科学的社会科学学科。西方经济学从亚当·斯密《国富论》起的二百多年来，已形成了一个庞大而较严密的理论体系。在整个社会科学中，经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然
咸宁职业技术学院 教案 2013～ 2014 学年第二学期 系 ( 部 ) 机电工程系 教研室(实验室) 高数教研室 课程名称高等数学 授课班级 13级物流1、2、3、4班 主讲教师汪慧玲 职称讲师 使用教材应用高等数学 咸宁职业技术学院教务处制
应用高等数学 （授课人：汪慧玲） 第一章数学基础知识及其应用 【课题】 1.1初等函数 【教学目标】 知识目标： 1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值 2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义 能力目标：进一步提高学生捕捉某一变化过程中变量与变量之间关系的能力，并能运用所学知识分析相关性态 【授课内容】函数、反函数、分段函数、复合函数的概念及函数的几种特性【教学重点】 1、难点内容：函数概念和性质，复合函数的概念及分解方法 2、突出重点的方法：复习巩固，温故知新，例题配合、突出重点 【教学难点】 1、难点内容：复合函数的分解方法 2、突破难点的方法：先引导学生弄清楚运算顺序、然后正确分析函数结构、从而准确定位函数分解过程 【教时安排】2课时 【教学方式方法】讲授 【教学手段】黑板演示 【使用教具】三角板 【使用教材】《应用高等数学》韩飞陈大桥柳明珠主编 【参考资料】《经济数学》郭欣红、姜晓艳主编人民邮电出版社 《应用数学基础》（理工类）邢春峰主编人民邮电出版社 《工程应用数学》龚友运主编华中科技大学出版社 【教学过程】 一、复习导入（5分钟）： 在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量x之间存在这样的依赖关系：L=px 二、讲授内容（80分钟） A、函数概念及表示法（15分钟） 1、函数的概念 2、函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。 从导入实例出发，引出函数关系，再给出函数定义，并通过比较两函数是否
三年级下册数学期末试卷9 一、口算(10分) 15×8＝120 630－70= 560 18×40＝720 75÷25＝3 84÷12＝723×6＝138 80÷20＝4 0×130＝ 0 121÷11＝ 11 98×20＝1960 600×3＝1800 84÷6＝14 350÷50＝7 72÷12＝ 6 13×50＝ 650 54＋38＝92 720÷90＝8 25×8＝200 400＋350＝750 810÷30= 27 二、填空(30分) 1．用分数表示下面各图的阴影部分． 5/8 2/3 2．①12平方分米=( 1200)平方厘米 ②8千米=( 8000)米 ③500毫米=( 5)分米 ④3千克=( 3000)克 ⑤6000平方分米=( 60)平方米 5 3．在( )中填上合适的单位 ①大楼高30( 米) ②轮船载重30( 吨) ③小红身高140( 厘米) ④轮船每小时行30( 千米) ⑤小明每小时走10( 千米) ⑥一块菜地有300( 平方米) 4．在括号里最大能填几？ ①60×( 4)＜258 ②46×( 4)＜217 ③(4)×24＜100 ④( 5)×53＜302 ⑤75×( 8 )＜620 ⑥100×( 8)＜900 5．在○里填上“＞”、“＜”或“=” ①300厘米○3米②800克○8千克 = ＜ ＜＜＞
⑤小红买了20个本子，平均分成10份，每份占总数的( )． 三、计算(30分) 1．笔算(6分) ①3942÷73 = 54②1009÷43=23……20③312×57=17784 2．脱式计算(12分) ①190＋360÷24×8 ②(140＋60)×(26－8) =190+15×8 =200×18 =190+120 =3600 =310 ③78×7＋828÷18 ④(359－42)×53＋64 =546+46 =317×53＋64 =592 =16801+64 =16865 3．列式计算(12分) ①24乘126与74的和，积是多少？ 24×（126+74） =24×200 =4800 ②184减去210除以6的商，差是多少？ 184-210÷6 = 184-35 = 149 ③94除2538的商加上826，和是多少？ 2538÷94+826 = 27+826 = 853 四、应用题(30分) 1．植树队有3个小组，每个小组有14人，要植1554棵树，平均每人植多少棵？ 1554÷3÷14 = 518÷14 = 37（棵） 答：平均每人植37棵。
为何要研究经济学 当你在决定是否购买某本书之前,你是否曾今考虑过:你能从这本书中得到什么收益?这种收益是否能补偿你为此付出的成本?(这种成本不仅包括你所花费的货币,而且包括你读这本书所要花费的时间)这其实就是我们日常生活中的一个经济问题。显然，无论是从微观世界到宏观现象，还是从历史演变到如今的社会发展，经济问题无处不在。所以，我们要研究经济学。 何谓经济学 社会上有一种普遍的观点：“经济学就是研究钱的”是这样吗？答案显然是错误的。我先我们承认，经济学的确与货币密切相关，但经济学研究的范畴远不止于对货币的探讨。接下来我们要更深层次的了解经济学。 稀缺—选择—分配，是经济学的三大关键词。即生产什么?如何生产？为谁生产？是资源配置的三个方面。 显然人的资源有限但需求无限，资源是稀缺的，引出了经济学最基本的问题：“生产什么”。即在资源给定情况下，用于哪种产品的生产。由于这种稀缺性，人们就面临选择，不同的选择造就了不同的结果，即“如何生产”，选择什么样的生产技术的问题。生产好的产品要进入市场，又该如何与社会成员进行分配。这就得考虑收入分配问题，即“为谁生产”。所以用一句话概括说，经济学研究的就是资源配置的问题。 经济学历史的三次综合 色诺芬在他所编著的《经济论》、《雅典的收入》中最早提出了“经济”这个概念。他认为经济就是家庭管理，这被称为“色诺芬传统”。柏拉图《理想国》中提出了“财产”观念，他反对一切形式的私有财产。亚里士多德的经济思想在于把家庭管理纳入政治学的范围。但这并不表明经济学是一门学科，是经济学家威廉.配第正式将政治经济学作为为一门独立的学科。而亚当斯密建立了一个完整的体系。这是经济学的第一次综合。即将政治与经济综合在了一起。 在18世纪50年代~19 世纪70年代形成了古典经济学，然而在后期古典经济学分裂。随之而来的是边际革命，改革的结果是将数学引入到经济学中。这就是经济学的第二次综合，把数学与经济学相综合。
成人教育学院 学年第一学期期末考试 课程名称 经济数学（线性代数、概率论部分） 一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 [][]( ). ,5-,3,,,,B ,,,,4.143214321=+====B A B A A 则且阶方阵设αααβαααα ) (41*,2.2* 1 =+?? ? ??=-A A A A A A 的伴随矩阵，则是为三阶方阵，行列式设 ()()()( ). a 28,4,2,1,1,2,1-,1,5,3,1,1.3321=+=+==，则秩是的已知向量组a a ααα 4．n 个不同的球随机地放入n 个盒中，有空盒的概率为p = 5．同一寝室的6名同学中，至少有两人的生日在同一个月中的概率为 二．单项选择题（每题3分，共15分） ()()( )()()()()()()()(). 3,32,2 D ;,, ;-,, B ;-,-,- A . 3,2,1,,.1133221321211133221133221321αααααααααααααααααααααααααααα++++++++===C A A i A A i 则的三个列向量，为，其中为三阶方阵，设 (). .2等价，则 与阶方阵若B A n () ()() ().D ..B .A 1-有相同的特征向量、有相同的特征值、有相同的秩、，使得存在可逆矩阵B A B A C B A B AP P P = 3．X 与Y 独立，且均在(0,)θ均匀分布，则[min(,)]E x y = [ ] .2A θ； .B θ； .3C θ； . 4D θ
()() ()()()()4 a 4- D -4;a C 4;a B 8;a 282,,.4212 32221321<<<><+++=A a x ax x x x x x x f 的取值范围是 是正定的，则实数设二次型 5．0DX ≠，0DY ≠，则()D X Y DX DY +≠+是X 和Y 的 （ ） A ．不相关的充分不必要条件； B.不相关的充分必要条件； C ．独立的充分不必要条件 ； D.独立的充分必要条件。 三、计算题：（4×12分=48分） 1313 21132333 2312 .1------计算行列式 .111111111111,.2A B X XX A AB T ，求，其中设????? ?????----=??????????-=+=
1.一条路长100米，从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树，共栽（）棵树。 路分成100÷10＝10段，共栽树10+1＝11棵。 2、12棵柳树排成一排，在每两棵柳树中间种3棵桃树，共种（）棵桃树。 3×（12－1）＝33棵。 3、一根200厘米长的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯（）次。 200÷10＝20段，20－1＝19次。 4.蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，从第一节爬到第13节需要（）分钟。 从第一节到第13节需10×（13－1）＝120秒，120÷60＝2分。 5.在花圃的周围方式菊花，每隔1米放1盆花。花圃周围共20米长。需放（）盆菊花。20÷1×1＝20盆 6.王老师把月收入的一半又20元留做生活费，又把剩余钱的一半又50元储蓄起来，这时还剩40元给孩子交学费书本费。他这个月收入（）元。
[(40+50) ×2+20] ×2=400(元)答：他这个月收入400元。 7、一个人沿着大提走了全长的一半后，又走了剩下的一半，还剩下1千米，问：大提全长（）千米。 1×2×2＝4千米 8.小明、小华捉完鱼。小明说：“如果你把你捉的鱼给我1条，我的鱼就是你的2倍。如果我给你1条，咱们就一样多了。“请算出两个各捉了（）条鱼。 小明比小华多1×2=2（条）。如果小华给小明1条鱼，那么小明比小华多2+1×2=4（条），这时小华有鱼4÷（2-1）=4（条）。原来小华有鱼4+1=5（条），原来小明有鱼5+2=7（条）。 9.找规律，在括号内填入适当的数. 3，2，6，2，12，2，（），（）。 24，2。 10.找规律，在括号内填入适当的数. 2，3，4，5，8，7，（），（）。 答案：将原数列拆分成两列，应填：16，9。 11.找规律，在括号内填入适当的数. 1，4，3，8，5，12，7，（）。 答案：奇数项构成数列1，3，5，7，…，每一项比前一项多2；偶数项构成数列4，8，12，…，每一项比前一项多4，所以应填：16。
思维训练题（含答案） 草地上；白兔和花兔共17只；白兔和黑兔共25只；黑兔和花兔共18只；三种兔子各多少只？（两种方法会其中一种即可） 白+黑+花（17+25+18）÷2=30（只） 黑：30-17=13（只） 花：30-25=5（只） 白：30-18=12（只） 求下面图形的周长： （65+60）×2=250（cm） 250+45×2=340（cm） 答：它的周长是340cm. 一、我会填。 1、早晨当你面向太阳时；前面是（）；右面是（）。 2、我每天早上8:00上班；下午5:00下班；中午休息1小时；我一天工作（）小时。
3、在括号里填上合适的单位。 一张邮票的面积是6 （） 一棵大树高6 （） 4、 2平方米=（）平方分米 4平方千米=（）公顷 5、比较大小。 3.12厘米○3.13厘米 6. ▲＝●＋●＋●；▲＋●＝40 则●＝（）；▲＝（） 二、我会判断。 1、地图通常是按上北下南；左西右东绘制的。（） 2、小明说“我是1994年2月29日出生的”。（） 3、0除以任何数都得0。（）
4、公历年份是4的倍数；这一年不一定是闰年。（） 5、3角是0.33元。（） 三、我会选。 1、下午面对太阳；你的影子在（）方。 ① 西 ② 南 ③ 东 ④ 北 2、一个正方形的面积是64平方分米；它的边长是（）分米。 ①8 ②16 ③32 3、三(1)班有40名同学；25名同学参加了语文兴趣小组；23名同学参加了数学兴趣小组；两个兴趣小组都参加了的有（）人。 ①8 ②15 ③17 4、下面的年份中；（）是闰年。 ①2007年 ②2000年 ③2009年 5、下午3时40分；用24时记时法表示为（）。 ①3:40 ②14:40 ③15:40 四、我会算。 1、直接写出得数。 720÷9= 900÷9= 320÷8= 40×11= 50×20=
经济学中的数学意义(一) 改革开放以来，西方经济学作为市场经济运行描述的基本理论，对我们经济学学习和研究的作用越来越重要。从学习和研究的角度看，似乎可以明显感觉到，西方经济学（本文中主要指新古典（综合）主义经济学）的理论体系、思维方式和推理方式的深刻特点之一表现在其数学性方面，也正是这一特征使人们常常把经济学看成是最接近自然科学的社会科学学科。因此，对一般数学的意义、数学与理论的科学性、数学在经济学研究中的意义和具体作用、及数学的限制等基本问题的深入思考，将有助于我们进一步认识和把握西方经济学的基本思想和理论特征，更好地学习、借鉴和认识西方经济学。 一、数学与理论的科学性 众所周知，数学作为一个独立的知识体系起源于古希腊，两千多年特别从牛顿时代以来，数学及其具体应用-----自然科学取得了辉煌的成就。长期以来人们习惯认为，能充分应用数学的学科或领域等价于科学，数学所显示出的人类理性能力、根源和力量在诸多自然科学领域也似乎得到了完美的体现。这自然使人们猜想，为什么不能把数学方法应用到社会学科领域去寻求其真理呢？西方经济学也许正是这种猜想的一个主要结果或实验。数学究竟能给经济学带来什么呢？在进一步分析经济学中数学的意义之前，我们应先来概略了解一下几个数学基础问题。 1、数学是什么？ 简单回答这个问题是十分抽象的。例如若干著名学者认为，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。数学“是研究抽象结构的科学“。“数学是结构及其模型的科学”。等等。数学在理论上的概括和科学的实际发展中，一般给人们的印象是，与其他学科相比，数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性。因此，说数学是一切科学的根本基础，是科学的皇后，是十分自然的。 稍具体说，首先，数学概念是抽象的典范，几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的，例如，点、线、面；自然数、实数、虚数和四元数等等；它们是抽象的，又是深刻的，极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征。其次，数学是严密逻辑推理的象征，其方法论的核心是演绎法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是，若公理为真，则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看，演绎法是清晰、合理和完美的，由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论。最后，由上面两点，数学应用的广泛性是不言自明的。 人的认识是无止境的，由于数学在科学发展中至高无上的地位，人们自然要进一步问，数学是绝对真理吗？亦即数学的抽象性是绝对无误的吗？数学的严密逻辑性是绝对可靠的吗？数学应用的广泛性是无限的吗？稍考察一下数学发展的历史可以看出，人们在这个问题的认识是不断变化发展的。 2、数学的真理性问题 十九世纪二十年代之前，数学的发展是顺利的，人们对于数学的真理性是确认的。特别是十五～十八世纪，数学的顺利发展达到高峰；这一时期一大批数学家同时在在数学和自然科学方面做出了惊人的成就，如哥白尼、开普勒、伽里略、笛卡尔、惠更斯和牛顿等。他们从许多方面证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合，最突出是牛顿力学；所有这些极大地加强了数学作为绝对真理的信念，人们相信上帝设计了宇宙，而数学的作用就是揭示出这些设计。 然而十九世纪二十年代非欧几何的提出和集合论中悖论的出现，使整个科学界震动，它迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的认识，以及数学和物质世界关系的理解，由此引出数学巨人之间关于数学基础的新数学方法而展开激烈的争论。如由弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义认为，逻辑法则是一个真理体系，而所有的数学是可以由逻辑推导出来。同一时期，以克罗内克、鲍莱尔、彭家勒和贝尔为代表的直觉主义却认为，从逻辑原理所推导出
《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12， A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4--= D 3. 求解下列线性方程组： ?? ?????=++++=++++=++++---1 1 113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠
4. 问 取何值时 齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解 5. 问取何值时 齐次线性方程组12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解 二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 41 421318320521 ------= D 的值。 8. 计算0 111101111011 110= D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算 4 124120210520 117 的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---???? -= ? ?----????
三年级下册数学题及答案 第一部分：基础知识（35分）（小朋友要认真想，细心填哦！） 一、快乐填空。 1．今年的2月份有（）天，全年一共有（）天。 2．下午3时是（）时23时是晚上（）时 3 . □47÷4，如果商是三位数，□里最小可以填（）；如果商是两位数，□里最大可以填（）。 4．一个正方形的周长是32分米，它的面积是（）平方分米。 5．300平方厘米＝（）平方分米48时＝（）日 7平方千米＝（）公顷6年＝（）个月 3分米7厘米＝（）米（填小数）9角＝（）元（填小数）6．填上合适的单位。 ①一间教室的长大约是8（）。 ②我国的土地面积约是960万（）。 ③一张单人课桌面的面积约是24（）。 ④我们的学校约占地2（） 7．如右图，全天共开放（）小时（）分钟。 8．按从大到小的顺序排列。 6.80 0.68 8.60 6.08 ( )＞( )＞( )＞( ) 9．一匹马换8只猫，1只猫换4只兔，一匹马可以换（）只兔。 10．如右图，阴影部分的面积是24平方厘米， 这个长方形的面积是（）平方厘米。 二、小小评判家。（正确的在（）里打“√”，错误的打“×”，共5分。）1．小数都比1小。（）2．边长是4米的正方形，它的周长和面积相等。（）3．李小刚的妈妈9月31日从上海回来了。（） 4. 小明班平均每人爱心捐款9元，小明一定捐了9元。（） 5. 用7个面积是1平方米的正方形拼图，它们的面积都是7平方米。（） 三、我的选择不会错！（将正确答案的字母填在括号里，每小题1分，共5分） 1.下列年份中，（）是闰年。 A.1900年 B.2068年 C.1998年 D.2011年 2.（）÷3＝103……２，括号里应该填（）。 A.309 B.311 C.307 D.308 3.把2个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是( )。 A.18厘米 B.24平方厘米 C.18平方厘米 D.36厘米 4.两位数乘两位数，积是（）。 A、三位数 B、四位数 C、三位数或四位数 D、不确定 5.下面三个算式的积中，（）最接近600。 A.31×19 B.25×20 C.25×303 D.22×35 6.小刚站在操场上，面向西北方，他的背面是（）方。
经济学和数学的关系 之所以说学好经济学，数学很重要是因为经济学已经越来越成为一门精确的学科，而一个学科成为科学的标志就是它是否成功的使用了数学，经济学也是如此。经济学如果非要和现有学科进行比较的话，那我说与之最接近的就是物理，而把经济学归为文科一类的归类方法是相当过时的。为什么说经济学类比于物理呢？因为二者同样是在一系列假定的基础之上，用严格的推理得到结论的学科，唯一不同就是物理大量使用重复试验的方法来验证结论，而经济学中的重复试验则比较困难。因此经济学研究中数学使用的好坏直接导致了经济学研究的成败。也因此现代经济学领域很少有像科斯那样的奇才能逾越数学而仍旧非常成功的经济学家。 如此重要的数学本身的体系也是很复杂的，因此本文就重点谈谈数学的各个分支学科和经济的联系。 数学有三高，数学分析、高等代数、解析几何(最近也有新提法：数学分析，高等代数，概率统计，私下认为这样有点弱化几何的地位)，这是老的提法，也有人叫三基，因此可以称之为老三高或者老三基，是高等数学的基础。还有近代数学的基础——新三基，领域上还是分析、代数和几何，只不过内容有了本质上的进化，分别是实函与泛函分析、近似代数和拓扑学。 先看老三高，数学分析就相当于经济学类学生大一学的高等数学，不过高等数学其实是为工科的学生准备的，以计算为主，最终的目的是能使用数学进行工程计算，而数学分析是以证明为主，主要是训练学生逻辑思维的能力，因此表面上看内容差别不是太大，但是实际学起来是不一样的。因此对于经济学这样的以推理为主的学科，学习数学分析是十分必要的。这一点田国强教授等人也多次撰文提过。数学分析数学系的本科生至少要学三到四个学期，而高等数学一般最多只有两个学期，而且其中还含有常微分方程和解析几何的东西，可见其内容被压缩冲淡了许多。高等代数相当于经济类学生学的线性代数，除了范围上前者更广一些外主要的差别也是偏重理论与偏重计算的问题。高等代数更注重理论的证明过程，而线性代数更注重计算，学生会算了就行，至于怎么来的，为什么这样，这些对将来科研很重要的东西都很少训练。解析几何这种学科在经济上的直接应用较少，经济上的图像一般也没有复杂到不学解析几何就看不懂的地步，但是我个人感觉几何学的好的人对代数的理解一般会更加深刻，代数很多方面就是几何的多维扩展。 再看看新三高。实函与泛函在学科中一般被分为两科来学，本身也是两个不同的领域，只是由于叫法的问题经常被捏在一起。实函的主要内容是数学分析的延续，对于狄里克莱函数这样异常的函数在数学分析的领域中不可微积分，而通过对一系列定义的扩展，在实变函数的领域内又可以进行微积分了。其中里面最基础的理论莫过于测度理论，它也是概率论的基础，因此在数学系本科的教学中经常是先学实变再学概率论。而对随机问题研究颇多的金融学科的博士需要研究测度论也就不足为奇了。 泛函可以说是数学中集大成之作。数学的发展在历史上有两个方向，一个是越来越精细，对某一问题的深入探讨进而发展成一门学科，另一个方向就是从很高的高度对数学进行概括，描述学科与学科之间的共性的问题进而找出漂亮的结论，泛函分析就是这样一门学科。它把函数看成集合中的元素，把全体函数看成一个集合，在这样的视角下给出了像不动点定理这样的东西，对求函数的极值这样理论证明上经常遇到的问题给出了一般的解法，因此如果泛函不懂，在学习高等宏观经济学中，遇见涉及动态规划的问题时肯定是有很大障碍的。所以高等宏观才会有罗默的那本为数学不好的人提供的书的畅销，而很多老师却在推荐萨金特的高级宏观。对于近似代数和拓扑学，很不幸，本人读书的那个年代正直高校学科改革，在学
经济数学基础试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2 )(x x f =，x x g =)( C ．2 ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 2 2 cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数????? =≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数 x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若c x F x x f +=?)(d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 1 2 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(ln 1 d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 7．设23，25，22，35，20，24是一组数据，则这组数据的中位数是（ ）． A . 5.23 B . 23 C . 5.22 D . 22 8．设随机变量X 的期望1)(-=X E ，方差D (X ) = 3，则=-)]2(3[2 X E = ( ) ． A . 36 B . 30 C . 6 D . 9 9．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）
經濟數學方法 壹、 矩陣與行列式 ◎定義: m n ?-階矩陣為一包括n 列和m 行的數字的方形排列，若以A 代表 此矩陣，則 m n a a a a a a a a a a A ij nm n n m m ?=???? ? ?? ?????=)(21222 21 11211Λ M ΛM M ΛK 例: ??????--=? ???????????---=11133111,531 321213102B A 分別為43?和24?矩陣 ◎定義: 若m n ij m n ij b B a A ??==)(,)( 則 m n ij m n ij ij C b a B A ??=+=+)()( =C m n ij a A ?=)(αα 例: ????? ?????--=??????????=3152 12,112312B A 則???? ? ?????-=??????????-++++-=+227520311152231122B A ???? ? ?????=??????????----+??????????=-+=-84513412315212551015510)1(55B A B A
A A A 21123122224624112312112312=???? ? ?????=??????????=??????????+??????????=+ ◎ 定義:若A=()ij a 為m n ?矩陣，B=()ij b 為k m ?矩陣，則A 和B 的 乘積AB 為k n ?矩陣C 例: ??????????-=??????=130112001,102210B A 求AB 及BA ???? ??????-? ? ? ???=130112*********AB =? ?? ???+-?+++++??+-?+++++1.1)1(00.23.11.00.20.12.01212)1(10.03.21.10.00.22.11.0 =??? ???132172 BA 無法計算 33?Θ 32? ◎ 行列式: Cramer's Rule 已知 1212111b X a X a =+ 2222121b X a X a =+ ? 2112221112222122 211211222121* 1a a a a a b a b a a a a a b a b X --== 211222111 2121122 2112112211 11 *2 a a a a b a b a a a a a b a b a X --== 例:解下列聯立方程式: ?? ?? ? ?????=????????????????????--025312121111321X X X
微积分在经济学中的应用分析 李博 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。 关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系 经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。 经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。 数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂
[试卷信息]: 试卷名称:经济数学基础 [试题分类]:经济数学基础 [试卷大题信息]: 试卷大题名称:单选题 [题型]:单选题 [分数]:5 1、{ ()()f x g x 与不表示同一函数的是 [ ] 2 2 ()()0()()0 011()()1(1)()arcsin ()arccos 2A f x x g x x x B f x x g x x x C f x g x x x D f x x g x x π==≠?==??+-==--==-、与、与、与、与 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:B 2.{ []2(),()2,()x f x x x f x ??=== 设函数则[ ]22x A 、2x x B 、 2 x x C 、22x D 、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 3.{ 下列函数既是奇函数又是减函数的是[ ](),(11)A f x x x =--≤≤、2 3 ()f x x =-B 、()sin ,(,)22C f x x ππ=- 、3()D f x x =、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项
答案:A 4.{ y x 函数=cos2的最小正周期是[ ]πA 、22π B 、 C π、4 D π、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:C 5.{ 下列极限存在的有[ ]1 0lim x x →A 、e 01 lim 21x x →-B 、 01limsin x x →C 、2(1) lim x x x D x →∞+、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 6.{ 0tan 2lim x x x →=[ ]0A 、1B 、 1 2C 、 2D 、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:D 7.{ 232lim 4,3x x x k k x →-+== -若则[ ]3-A 、3B 、 1C 、1D -、 } A.考生请选择正确选项 B.考生请选择正确选项 C.考生请选择正确选项 D.考生请选择正确选项 答案:A 8.{ ()()y f x x a f x x a ===函数在点连续是在点有极限的[ ]A 、必要条件B 、充要条件
《经济数学一（下）》平时作业 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。 1．函数()5x f x =的一个原函数是15ln 5 x C + （A ） A ．正确 B ．不正确 2．定积分 2 22311d d x x x x >?? （B ） A ．正确 B ．不正确 3．2cos x 是（ ）的一个原函数 （D ） A ．22sin x x B ． 22cos x x C ．2cos x x - D ． 22sin x x - 4．积分11sin(ln )d e x x x =? ( A ) A ．1cos1- B ． 1cos1+ C ．1sin1- D ． 1sin1+ 5．微分方程3x y e '=的通解是 （ D ） A ．x y Ce -= B ． 3x y e C -=+ C ．x y Ce = D ． 3x y e C =+ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。 1．2116dx x =+?1arctan 44 x C +． 2. 若生产x 单位某产品时的边际收益为()305x R x '=-，总收益()R x =2 3010 x x -. 3. 定积分2 0cos d 1sin x x x π =+?ln 2 ． 4．微分方程690y y y '''++=的通解为312()x y c c x e -=+. 三、计算下列各题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分） 1．求不定积分 2211sec .dx x x ?. 解 22211111sec sec tan dx d C x x x x x =-?=-+?? 2．已知()f x 的一个原函数是cos x x ,求()xf x dx '?.
思维训练题（含答案） 草地上，白兔和花兔共17只，白兔和黑兔共25只，黑兔和花兔共18只，三种兔子各多少只？（两种方法会其中一种即可） 白+黑+花（17+25+18）÷2=30（只） 黑：30-17=13（只） 花：30-25=5（只） 白：30-18=12（只） 求下面图形的周长： （65+60）×2=250（cm） 250+45×2=340（cm） 答：它的周长是340cm. 一、我会填。 1、早晨当你面向太阳时，前面是（），右面是（）。 2、我每天早上8:00上班,下午5:00下班,中午休息1小时,我一天工作（）小时。
3、在括号里填上合适的单位。 一张邮票的面积是6 （） 一棵大树高6 （） 4、 2平方米=（）平方分米 4平方千米=（）公顷 5、比较大小。 3.12厘米○3.13厘米 6. ▲＝●＋●＋●，▲＋●＝40 则●＝（），▲＝（） 二、我会判断。 1、地图通常是按上北下南,左西右东绘制的。（） 2、小明说“我是1994年2月29日出生的”。（） 3、0除以任何数都得0。（）
4、公历年份是4的倍数，这一年不一定是闰年。（） 5、3角是0.33元。（） 三、我会选。 1、下午面对太阳,你的影子在（）方。 ① 西 ② 南 ③ 东 ④ 北 2、一个正方形的面积是64平方分米,它的边长是（）分米。 ①8 ②16 ③32 3、三(1)班有40名同学,25名同学参加了语文兴趣小组,23名同学参加了数学兴趣小组,两个兴趣小组都参加了的有（）人。 ①8 ②15 ③17 4、下面的年份中, （）是闰年。 ①2007年 ②2000年 ③2009年 5、下午3时40分,用24时记时法表示为（）。 ①3:40 ②14:40 ③15:40 四、我会算。 1、直接写出得数。 720÷9= 900÷9= 320÷8= 40×11= 50×20=
经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ．
《经济数学》 作业题 第一部分 单项选择题 1．某产品每日的产量是x 件，产品的总售价是21 7011002 x x ++元，每一件的成 本为1 (30)3x +元，则每天的利润为多少？（A ） A ．21 4011006x x ++元 B ．21 3011006x x ++元 C ．25 4011006x x ++元 D ．25 3011006 x x ++元 2．已知()f x 的定义域是[0,1]，求()f x a ++ ()f x a -，1 02 a <<的定义域是？ （ C ） A ．[,1]a a -- B ．[,1]a a + C ．[,1]a a - D ．[,1]a a -+ 3．计算0sin lim x kx x →=？（ B ） A ．0 B ．k C ．1k D ．∞
4．计算2 lim(1)x x x →∞+=？（ C ） A ．e B ．1e C ．2e D ．2 1e 5．求,a b 的取值，使得函数2,2()1,23,2ax b x f x x bx x ?+ ? 在2x =处连续。（ A ） A ．1 ,12a b ==- B ．3 ,12a b == C ．1 ,22a b == D ．3 ,22 a b == 6．试求3 2 y x =+x 在1x =的导数值为（ B ） A ．32 B ．52 C ．12 D ．12 - 7．设某产品的总成本函数为：21()40032C x x x =++ ，需求函数P =x 为产量（假定等于需求量），P 为价格，则边际成本为？（ B ） A ．3 B ．3x + C ．23x + D ．132 x +