正比例函数和反比例函数
一、知识梳理
1. 如果变量y 是自变量x 的函数，对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫
做当x=a 时的函数值。
（为了深入研究函数，我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x 表示自
变量，括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。f(a)表示当x=a 时的函数值） 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质
4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ●概念辨析
1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做＿＿＿＿＿＿＿＿．保持数值不变的量叫做
________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________. 2. 写出下列函数的定义域： （1）1y x =+ （2）2
1
y x =
- （3
）y =
y = 3.已知：2()1f x x =-+，(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________. 4.解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________.
5.函数3y x =的图像是经过（1，3）和___________的一条____________.当自变量x 的值从小到大逐渐变化时，函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化.
6.反比例函数的解析式是_________,反比例函数的图像叫_____________.
7.已知：反比例函数8
y x
=，点A （-2，-4）________它的图像上（填“在”或“不在”）.
8.反比例函数y x
=-的图像的两支在第______象限。在其各自的象限内，y 随x 的增大而____________.
9.函数有三种表示法，分别为_________,__________,__________. 10．已知函数12)(+=x x f ，则=)1(f ____________．
11．在公式C =2πr 中，C 与r 成 比例.（填“正”或“反”）． 12．函数1-=x y 的定义域为_________________． 13．如果1
3
)(-+=
x x x f ，那么=)3(f ______________． 14．已知点P （2，1）在正比例函数kx y =的图象上，则k ＝___________． 15．函数y =－2 x 的图象是一条过原点及（2，a ）的直线，则a = ． 16．若正比例函数15
2
)3(--=m x m y 的图像经过二、四象限，则m 的值为 ．
17．已知反比例函数2
k y x
-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是 ． 18．已知函数x
k
y =
的图象不经过第一、三象限， 则kx y -= 的图象经过第 象限． ●待定系数法求函数解析式
1．若正比例函数经过（2，6），则函数解析式是 ． 2．若反比例函数经过（－2，1），则函数解析式是 ．
3．y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________． 4．如果一个等腰三角形的周长为12，那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围为 ．
5．已知反比例函数图像上有一点A ，过点A 做x 轴的垂线，垂足为B ，ΔAOB 的面积为6，则 这个反比例函数的解析式为 ．
6．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A （–3，4）和（3，a ）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a 的值．
7、已知21y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与1-x 成反比例，当x ＝－1时，y ＝3；
当x ＝2时，y ＝－3，
（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当2=x 时，求y 的值。
8．已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x =1-时，求y 的值．
9、如图，直线l 交x 轴、y 轴于点A 、B ，与反比例函数的图像交于C 、D 两点，如果A （2，0），点C 、D 分别在一、三象限，且OA ＝OB ＝AC ＝BD ，求反比例函数的解析式。
●数形结合 看图识图
１．看图填空：①P 的坐标是__________ ②直线l 的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③若点Q (,3)a -在直线l 上，则a =＿＿＿＿＿
２．已知：反比例函数图像上一点M （-1，3） ①求出这个函数的解析式 ②求直线MO 的解析式 ③作MN ⊥x 轴于N ，求MON S V ④求图中Q 的坐标
3．如图，在△AOB 中，AB =OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），ABO S ?=4，求点B
所在双曲线的函数解析式.
4．已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与3-x 成反比例，当x =4时，y 的值为3；当x =1
时，y 的值为2
5
，求当x =9时，y 的值．
5．在同一直角坐标平面内，已知正比例函数y = –2x 和反比例函数x
y 6
-=的图像交于P 、Q
两点（点P 在点Q 的右边），点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离为4． （1）求P 、Q 两点的坐标；（2）求ΔAPQ 的面积．
6．在同一平面内,如果函数x k y 1=与x
k y 2
=
的图象没有交点,那么1k 和2k 的关系是( ) (A) 1k ＞0,2k ＜0 (B) 1k ＜0, 2k ＞0 (C) 1k 2k ＞0 (D) 1k 2k ＜0
7．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ） （A ）y =2x （B ）y =x 1 （C ）y =x
1
- （D ）y =x 2（x ＞0）
8．甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度v （千米/小时）与时间t （时）之间的函数关系用图象表示大致为…………（ ）
(A) (B) (C) (D)
9．如果点A （1x ，1y
）、B （2x ，2y
）在反比例函数y =x
k
（k ﹤0）的图象上，如果1x ﹥2x ﹥
0，则1y 与2y 的大小关系是( )
（A ）1y ﹥2y （B ）1y ﹤2y （C ）1y =2y （D ）不能确定 10.已知双曲线上两点A （2，4），C （4，2）， 且AB ⊥OB ，CD ⊥OD ，
求（1）双曲线的函数解析式；（2）△OAB 的面积； （3）△OAC 的面积。
下面各题中，哪些是正比例关系？哪些是反比例关系？
(1)和为非零常数的两个加数x 与y ； (2)积为非零常数的两个乘数x 与y ； (3)一个正数x 和它的算术根y ； (4)多边形的边数n 和它的内角和y ； (5)y ＝x 2中的y 和x ； (6)y ＝x 2中的y 和x 2；
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的 直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);
4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；
1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+= x y C.2x y = D.22 1 +-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y -= 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标 轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 1 2 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） x y o A x y o B x y o D x y o C
10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 C ．当2 1 > x 时，0 正比例、反比例、一次函数 1．若函数y ＝（m ＋1）x m 2+3m+1是反比例函数，则m 的值是（ ） (A) m ＝－1 （B ）m ＝-2 （C ）m ＝2或m ＝1 （D ）m ＝－2或m ＝－1 2．已知一次函数y ＝（m ＋2）x ＋（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且该函数的图像与x 轴的交点在原点的右侧，则m 的取值范围是（ ） （A ）m>－2 （B ）m<1 （C ）－2 考点训练： 1． y= x 的图象是一条过原点及点(-3,3 2 )的直线 2．一次函数y=kx+b 的图象经过P(1,0) 和Q(0,1)两点，则k= ,b= . 3．正比例函数的图象与直线y= -23 x+4平行，则该正比例函数的解析式为 ， 该正比例函数y 随x 的增大而 . 4．已知y-2与x 成正比例，且x=2时,y=4,则y 与x 之间的函数关系是 ，若点(m,2m+7), 在这个函数的图象上，则m = 5． 函数y=(m-4)x m2-5m-5的图象是过一、三象限的一条直线，则 m = 6．函数y=k x (k ≠0)的图象经过点( 2 ,3),则k= ,当x>0时，y 随着x 的增大而 7．如果一次函数y=kx+b 和反比例函数y=k x 的图象都经过(-2,1)点，则b 的值是 8．已知一次函数y=kx+b 的y 随x 的增大而减小，那么它的图象必经过 象限。 9．已知函数y= -2x-6。（1）求当x= -4时，y 的值，当y= -2时，x 的值。 （2）画出函数图象； （3）求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离； （4）如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值范围. 10.已知z 与y- 3 成正比例,x 与 6 z 成反比例，（1）证明：y 是x 的一次函数；(2)如果这个一次函数的图象经过点(-2,3 3 )，并且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点。求两 点的坐标。 ＊11．已知函数y=k x 的图象上有一点P （ｍ，ｎ），且ｍ，ｎ关于ｔ的方程ｔ2－4ａｔ＋4ａ2－6ａ－8＝0的两个实数根，其中ａ是使方程有实数根的最小整数，求函数y=k x 的解析式， 正比例函数与一次函数 教学目标 掌握函数的概念，函数解析式中自变量与因变量的意义，熟悉一次函数与正比例函数。 重难点分析 重点：1、函数的概念； 2、正比例函数的概念与表达式； 3、一次函数的概念与表达式； 4、函数与坐标平面内点的关系。 难点：1、正比例函数、一次函数的判别； 2、自变量、函数值、点的坐标的关系。 知识点梳理 1、常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值不发生变化的量为常量。 2、函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意： （1）在某一变化过程中有两个变量x与y。 （2）这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定。 （3）对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x＞0)中，当x＝9时，y对应的取值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数。 3、函数的三种表示形式： （1）列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法。 （2）图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法。（3）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法。 4、函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b．即当x＝a时，y＝b，那么b叫做自变量x的值为a时的函数值。 5、一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。 常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数 1．正比例函数 如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数 一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线 一次函数的性质 当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。 2、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k x k y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 3．对勾函数()b f x ax x =+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 （1） 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0); 4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”： （1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； （2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大； 正比例函数 1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米设列车的平均速度为300千米每小时。考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）（2）京沪高铁的行程ykm与时间th之间有何数量关系？ （3）从北京南站出发2.5小时后是否已过了距始发站1100千米的南京南站？ 二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】辨别正比例函数 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．r = lπ 2 （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． m=7.8v 方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注: 正比例函数y=kx（k≠0）的结构特征①k≠0 ②x的次数是1 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ (1）y2=4x （2）y=-4x+3 不是正比例函数不是正比例函数 （3）y=2(x－2x)+22x 是正比例函数，化简后为y=2x,正比例系数为2. 注：判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！ 例2（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________. （2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________. （3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________. ( 4）若 3 2 )2 (- - =m x m y是关于x的正比例函数，m=_________. . 探究点二：正比例函数的图象和性质 正比例函数和反比例函数 一、知识梳理 1. 如果变量y是自变量X的函数，对于X在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当 x=a时的函数值。 (为了深入研究函数，我们把“ y是X的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的X表示自变量，括号外的字母f表示y随X变化而变化的规律。f(a)表示当x=a时的函数值) 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质 4. 函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ?概念辨析 1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做 _______________ . 保持数值不变的量叫做 _________________ 达两个变量之间依赖关系的数学式子称为 ____________________ . 2. 写出下列函数的定义域： (1) ^X 1 (2) y=-(3) X n⑷厂' x—1 j√χ-4 3. 已知：f (X) =_x2+1，f (O) = _________ , f (T) = _______ , f ⑵= __________ . 4. 解析式形如y =kx(k式0)的函数叫做_______________ . 5. 函数y=3x的图像是经过（1, 3）和______________ ■勺一条 __________ .当自变量X的值从小到大逐渐变化时，函数值y相应地从 __________ 到_______ 渐变化? 6. 反比例函数的解析式是 ________ ,反比例函数的图像叫______________ . 7. 已知：反比例函数y =?8,点A（-2，-4）_________ 它的图像上（填“在”或“不在”）. X 8. 反比例函数γ=立的图像的两支在第___________ 限。在其各自的象限内，y随X的增大而 X 7、已知旳十科2, yι与x2成正比例，y与X -1成反比例，当X = - 1时，y = 3；当X = 2 时，y = —3, (1)求y与X之间的函数关系式； (2)当Xi 2时，求y的值。 8?已知y与X —1成正比例，且当X=3时，y=4, (1)求y与X的函数关系式；(2)当x=-1时，求y的值. 9、如图，直线I交X轴、y轴于点A、B,与反比例函数的图像交于C D两点，如果A( 2, 0)，点 C D分别在一、三象限，且OA= OB= AC= BD求反比例函数的解析式。 Iy 第1题图 一、探究新知 1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: (2)写出x与y之间的关系式 2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L. (1)完成下表: (2)你能写出x与y之间的关系式吗? (3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 探究二：通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念: 一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成的形式,则称y是x 的 (x是自变量,y为因变量).特别地,当时,则y是x的正比例函数. 探究三：学以致用 1写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系； (3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y与x的关系. 2某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元. (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式； (2)求出月通话150次的电话费； (3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数. 二课堂小结 这节课我们学习了一类很有用的函数—次函数，只要解析式可以表示成y kx b =+（,k b为常数，k≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0 b=时的特殊情形. 14.2.1 正比例函数教学设计 一. 教学目标 知识与技能： （1）理解正比例函数的概念 （2）能够识别正比例函数. 数学思考： 通过现实生活中的具体事例引入体会建立函数模型的思想. 解决问题： 会利用正比例函数解决简单的数学问题. 情感态度： 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流、独立思考的学习习惯． 二、教学重难点 教学重点：正比例函数概念 教学难点：正比例函数概念及其应用 三．教学方法 本节课通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特征，教师的主导作用与学生主体地位达到相互统一. 四、教学设计 【活动1】问题引入 1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后， 人们在2.56 万千米外的澳大利亚发现了它． （ 1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ （ 2）这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？ （3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？ 教师活动：教师用多媒体呈现问题. 学生活动：学生思考并解答. 教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式.注意自变量的取值范围． 设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育. 同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力. 【活动2】正比例函数概念的学习 1. 讨论与思考下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数． （1）圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的大小变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm, —些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随这些练习本的本数n 的变化而变化； (4)冷冻一个0 C物体，使它每分下降2 C,物体的温度T (单位：C)随冷冻时间t (单位：分)的变化而变化. 教师活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题. 学生活动：学生独立解答，再同学之间互相补充 教师要重点关注：(1)题中学生易将；二厂写成1(4)题中每分钟下 降2C应记为“ -2C”，避免学生将「二写为「二.关注学生能否准确找出 正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象 一、正比例函数性质和图象： 概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。 当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。 当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。 ： 概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。 图像和性质： ①k>0,b>O,则图象过象限 ②k>0,b<0,则图象过象限 当k＞0时， y随x的增大而。 ③k<0,b>0,则图象过象限 ④k<0,b<0,则图象过象限 当k＜0时, y随x的增大而。 三、反比例函数性质和图象： 1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。 其他形式 2.图像：反比例函数的图像是双曲线。 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而减小。 当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴 所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 练习题 1、若y =(m －1)x 22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ） A 、2 5y x = B ．2 5y x =－1 C ．24 5y x = D ．2 5y x =- 3、下列函数中，反比例函数是（ ） A 、y=x+1 B 、y= C 、=1 D 、3xy=2 4、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ） 5、直线44 3--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 6 6、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ） 7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ） A 、x 1>x 2>x 3 B 、x 1>x 3>x 2 C 、x 3>x 2>x 1 D 、x 3>x 1>x 2 8、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y= 的函数值随x 的增大而__________。 1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+=x y C.2x y = D.22 1+-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y - = 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的 函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 12 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） 10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 A B D 《一次函数的性质 --- 1、正比例函数与一次函数间的关系》教学设计 教学目标：1、掌握一次函数的画法（两点） 2、熟记正比例函数与一次函数图像间的关系。 重点；正比例函数与一次函数间的关系 难点：运用 目的：根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂实 效，采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式。 在教学过程中，通过设置带有 探究性的问题，创设问题情境，弓I 导学生动手实践探索，发现归纳结论。 一、 提问复习，引入新课 1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ A 学生回答： B 学生回答 正比例函数的图象是一条_线。 正比例函数y=kx （k 是常数，k M 0）中， k 的正负对函数图象有什么影响 D 学生回答: 图像必经过（0, 0）和（1, k ）这两个点 二、新课精讲 例1.画出函数y =x , y =x +2与y=x-2的图象。（两点法---两点定线） 解：1、列表 E 学生回答： F 学生回答 正比例图像经过：（0, ）, （1, _） 一次函数图像经过：（0, ）,（,0）-- 坐标轴上的点 思考：请比较下列函数y=x, y= x+2,y=x-2的图象有什么异同点这几个函数的图象形状都是_，并且倾斜程度_ 函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点 _____________________________________________________________ ，即它可以看 作由直线y=x向__平移_个单位长度而得到.函数y=x-2的图象与y轴交于点_ __，即它可以看作由直线y=x向_平移_______________ 个单位长度而得到。 课堂练习 ⑴直线y=2x-3可以由直线y=2x经过_______________ 而得到; 直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过_________________ 得到； 直线y=x+2可以由直线y=x-3经过___________________ 得到. ⑵直线y=2x+5与直线y=-3x+5都经过轴上的同一点(___,_ . (3)______________________________________________ 将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是________________________________ . 推广归纳： (1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是：— (2) 直线y=kx+b与直线y=kx __________ ⑶直线y=kx+b可以看作由直线y=kx ___________ 而得到 当b>0,向上平移b个单位； 当b<0，向下平移b个单位。 其中，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距 小结：1 、 2 、 课后练习 (1)、直线y=3x-2可由直线y=3x向_____________ 平移_________ 单位得到。 ⑵、直线y=x+2可由直线y=x-1向_____________ 平移_________ 单位得到。 ⑶、函数y=2x- 4与y轴的交点为( ________ )，与x轴交于( ______ ) (4)__________________________________ .、直线y=2x-3与x轴交点坐标为;与y轴的交点坐标为________________________; (5)、.若直线y=kx+b平行于直线y=-3x-5,则k=_ . (6)、直线y=kx+b与直线y=5x+2平行，与y轴的交点为(0，-7)，则解析式为 正比例函数和反比例函数 一、知识梳理 1. 如果变量y 是自变量x 的函数，对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫 做当x=a 时的函数值。 （为了深入研究函数，我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x 表示自 变量，括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。f(a)表示当x=a 时的函数值） 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质 4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ●概念辨析 1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做＿＿＿＿＿＿＿＿．保持数值不变的量叫做 ________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________. 2. 写出下列函数的定义域： （1）1y x =+ （2）2 1 y x = - （3 ）y = y = 3.已知：2()1f x x =-+，(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________. 4.解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________. 5.函数3y x =的图像是经过（1，3）和___________的一条____________.当自变量x 的值从小到大逐渐变化时，函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化. 6.反比例函数的解析式是_________,反比例函数的图像叫_____________. 7.已知：反比例函数8 y x =，点A （-2，-4）________它的图像上（填“在”或“不在”）. 8.反比例函数y x =-的图像的两支在第______象限。在其各自的象限内，y 随x 的增大而____________. 9.函数有三种表示法，分别为_________,__________,__________. 10．已知函数12)(+=x x f ，则=)1(f ____________． 11．在公式C =2πr 中，C 与r 成 比例.（填“正”或“反”）． 12．函数1-=x y 的定义域为_________________． 13．如果1 3 )(-+= x x x f ，那么=)3(f ______________． 14．已知点P （2，1）在正比例函数kx y =的图象上，则k ＝___________． 15．函数y =－2 x 的图象是一条过原点及（2，a ）的直线，则a = ． 16．若正比例函数15 2 )3(--=m x m y 的图像经过二、四象限，则m 的值为 ． 17．已知反比例函数2 k y x -=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是 ． 18．已知函数x k y = 的图象不经过第一、三象限， 则kx y -= 的图象经过第 象限． ●待定系数法求函数解析式 1．若正比例函数经过（2，6），则函数解析式是 ． 2．若反比例函数经过（－2，1），则函数解析式是 ． 3．y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________． 4．如果一个等腰三角形的周长为12，那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围为 ． 5．已知反比例函数图像上有一点A ，过点A 做x 轴的垂线，垂足为B ，ΔAOB 的面积为6，则 这个反比例函数的解析式为 ． 6．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A （–3，4）和（3，a ）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a 的值． 第1课时正比例函数的图象和性质一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B． y=C． y= D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B． 三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C． y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3 C．±3D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2 B．k≠2C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 8题图 9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A．k 1 ＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（） A．B．C．D． 二．填空题（共9小题） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ． 正比例函数与一次函数综合练习50题 1．如图，已知函数 y=﹣x+b 的图象与x轴，y轴分别交于点A、B，与函数y=x 的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D． （1）求点M、点A的坐标； （2）若OB=CD，求a的值，并求此时四边形OPCM的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交点A（4，2），动点M在直线OA上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，一次函数y=﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）． （1）求m和n的值； （2）求△POB的面积； （3）在直线OP上是否存在异与点P的另一点C，使得△OBC与△OBP的面积相等？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=mx（m≠0）与直线l2：y=ax+b （a≠0）相交于点A（1，2），直线l2与x轴交于点B（3，0）． （1）分别求直线l1和l2的表达式； （2）过动点P（0，n）且平行于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D左方时，写出n的取值范围． 5．如图，一次函数y=ax+b的图象与正比例函数y=kx的图象交于点M． （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围； （3）求△MOP的面积． 6．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+7的图象交y轴于点D，且它与正比例函数y=x的图象交于点A． （1）求点D的坐标； （2）求线段OA的长； （3）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC=OA，求△OBC的面积． 14.2.1 正比例函数教学设计 一.教学目标 知识与技能： （1）理解正比例函数的概念 （2）能够识别正比例函数. 数学思考： 通过现实生活中的具体事例引入体会建立函数模型的思想. 解决问题： 会利用正比例函数解决简单的数学问题. 情感态度： 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流、独立思考的学习习惯． 二、教学重难点 教学重点：正比例函数概念 教学难点：正比例函数概念及其应用 三．教学方法 本节课通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特征，教师的主导作用与学生主体地位达到相互统一. 四、教学设计 【活动1】问题引入 1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？ (3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？ 教师活动：教师用多媒体呈现问题. 学生活动：学生思考并解答. 教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围． 设计意图： 通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力. 【活动2】正比例函数概念的学习 1.讨论与思考 下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数． （1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； 函数的概念与正比例函数 八年级数学学科总计20 课时第课时 课题函数的概念与正比例函数 概念回顾： 1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。 2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。 3、如果变量y是自变量x的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的。 4、解析式形如的函数叫做正比例函数。 5、正比例函数的图像是。 一、求函数定义域应注意的问题 ○5若函数中含有0x，则应0 x 例：求下列函数的定义域 练习：（1）4 241 y x x =+-；（2）3 22 x y x --=+；（3）0 3(2)y x =- （4）2439 y x x =---+；（5）24 x y -= 二、()y f x =的相关问题 把语句“y 是x 的函数”用记号()y f x =来表示，这里括号内的字母x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随着x 变化的规律。 练习：已知2(2)32 x y x -=-，把它改写成y=f （x ）的 形式，并求f （3）的值。 三、成正比例的相关问题 例3、已知y+1与2 x 成正比例，且当2,9x y =-=-时。 求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （2，a ）和点B （b,-13）也是函数图像上的点，求a 、b 的值. 练习：y-1与2x+3成正比例，且当1,x =-时3y =。 求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （0，a ）和点B （b ，0）也是函数图像上的点，点O 为坐标原点，求△AOB 的面积。 四、正比例函数(0)y kx k =≠的概念 注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为1 例4、若函数2 2 1 ()k k y k k x --=+?是正比例函数，求函数 的解析式。 练习：若函数222 (1)26 k k y k x k --=-+-是正比例函数，求 函数的解析式。 五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式 例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a ，-15），求函数的解析式与a 的值。正比例反比例一次函数
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