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2008年初中数学联赛（初二组）试卷
一、选择题（本大题满分56分，每小题8分）
1、已知a 、b 、c 是三角形的三边，则
a 4＋
b 4
c 4 －2 a 2c 2－2 b 2c 2－2 a 2c 2的值是（ ）
A.
恒正 B. 恒负 C.可正可负 D.非负 2、已知a ＋b ＋c ＝0， a
1
＋b
1＋c
1＝－4，那么，
（a
1
）2
＋（b
1）2
＋（c
1）2
的值是（ ） A.3 B. 8 C. 16 D.20
3、已知：a 1
－│a │＝1，那么代数式a
1＋│a │的值是（ ）
A.25
B.－2
5
C.－5
D. 5
4、已知│a │＝5，b 2＝9时，且ab ＞0则a ＋b 的值为( )，
A. 8
B.－2
C.－8或8
D.－2或2
5、已知a 、b 、c 是正整数，a ＞b ，且a 2－a b －a c ＋bc ＝7,
则a －c 的值为（ ）
A.－1
B.－1或－7
C.1
D.1或7 6、已知△ABC 的一个角是400，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的
大小是( )
A. 1400
B. 800或1000
C. 1000或 1400
D. 800 或1400
7、如图，已知FA ＝FB,FC ＝FD,下列结论中：①∠A ②DE ＝CE ；③连接FE ，则FE 平分∠F ，正确的是（ ） A. ①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题（本大题满分40分，每小题8分）
1、若x 2＋x y ＋y ＝14，y 2＋x y ＋x ＝28，则 x ＋y 的值为 .
2、（
3+1）
2001
-2（3+1）
2000
-2（3+1）
1999
+2008＝ .
3、已知x 、y 是实数，43+x +y 2
-6y+9=0，若axy-3x=y ，则a= . 4、a 、b 、c 为△ABC 的三边，且3a 3+6a 2b-3a 2c-6abc=0，则△ABC 的形状为 .
5、已知x
1+y
1=5，则
y
xy x y
xy x +++-2252= .
1 2
三、计算（本大题满分20分，）要求写出必要的步骤.
（1）21
15141021
151410+++--+
2） 18
6
12?＋（1＋
3）（1－3）
四、（本大题满分12分，）
如图，在△ABC 中，AD 若AB=5，AC=3，求AD
五、（本大题满分12分）
如图，在△ABC 中，AB=AC ∠BAC=80°O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，
∠OCA=20°,求∠BAO 的度数.
六年级 第1页 六年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 27等于乙数的 2 3 ，这个两位数的差最多是。 2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4=。 3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个。 4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距千米 6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是。 7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有个。 8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少次可以找出次品。 9、123A5能被55整除，则A=。 10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过次上述变化得到14. 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、1232001 1 2320012002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? a +省市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题
目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)
2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进
世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________. 9、 都是正数， 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞， 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?
第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，
应用题 专题简析： 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 . 例1：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 分析：如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。 例2：一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问：油和桶各重多少千克？ 分析：原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）。 例3：有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？ 分析：由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。 例4：一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 分析：这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5：有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等？分析：由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 课后练习 （1）新华小学买了两张桌子和5把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？ （2）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？
奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）Mathematics Olympic test (geometric part) 1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N 分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN.【简单】 2.已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为平 行四边形ABCD外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：平行四边形ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上一点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=CD.【简单】 4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：EF=CD+FH.【简单】 5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD，延长CE交AD与F,求证：CF⊥AD.【简单】
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F，连结CE交AB于G，连结FG，求证：FG∥CD.【简单】 7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线，交AB 于D，BC于E,AC于F，求证：PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P，向三边（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M，交AC的延长线AF于N，交BC于Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中等】 9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，DE平分∠ADC交AC 于F，若∠BDE=15°，求∠COE的度数.【中等】
1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．
5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ). （A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ). （A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1） 3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ）112 4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为 ( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3 3331111 123 99 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 . 8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1 y x = （x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 . 9．若1 12 y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80 分） 11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++ =的两个整数根恰好比方程 （第8题） （第10题）
1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}，
2019年中国数学奥林匹克国家集训队名单 姓名性别年级省市学校 潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学袁祉祯男高二湖北省武钢三中 骆晗男高三浙江省镇海中学 钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学 邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学黄轶之男高三四川省成都七中 戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学 胡航男高三四川省四川省绵阳中学 周鼎昌男高三北京市人大附中 胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学 陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校杜航男高三四川省成都七中 赵文浩男高二上海市上海市上海中学 姚缘男高二上海市上海市上海中学 卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学 梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学 何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学 罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学 谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学杨铮男高二上海市上海市上海中学 许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学 谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学 熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学 黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学 杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学朱天明男高二湖北省武汉二中 常弋阳男高三河南省郑州一中 贾镐铮男高二河北省石家庄市二中
傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学夏一航男高二江苏省扬州中学 饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学刘元凯男高三浙江省宁波中学 宛彦明男高三广东省深圳中学 马晓阳男高三安徽省安徽省合肥市第一中学李逸凡男高一上海市上海市上海中学 王祯安男高一山东省山东实验中学 徐苇杭男高三四川省成都七中 陈正男男高三广东省深圳中学 尹顺男高二湖南省湖南师大附中 陈凡男高三福建省福建省厦门双十中学姜昕澎男高三辽宁省东北育才学校 朱容宇男高三安徽省安徽省马鞍山第二中学傅增男高二上海市复旦大学附属中学涂雅欣女高三湖北省武汉外国语学校 胡宇轩男高三北京市北京市第八中学 李洲子男高三上海市上海市上海中学 葛程男高三上海市上海市上海中学 陈锐男高二湖北省武汉市第二中学 温凯越男高二广东省深圳中学 刘明扬男高二广东省华南师范大学附属中学罗煜翔男高一浙江省浙江省镇海中学 王义寅男高一广东省广州市执信中学 冯时男高三湖北省武汉市第二中学
第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈，222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。 第二天 （2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ?∈，记 1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ F E I O B C A D
2016年小学数学竞赛决赛试卷 （国奥赛决赛） （2016年4月10日下午2:00-3:30） （本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。） 1.）（）（）（40375.08.041545.2? ÷??? = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】9 64 【分析】原式 = 0.5×4×0.2÷（ 43×403） = 52×9 160 = 964 2.1 811611*********－＋－＋－＋－ = 。 【考点】计算（平方差公式利用） 【难度】★★ 【答案】9 4 【分析】原式 = ) 18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（????） = 971751531311????＋＋＋
= （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×2 1 = （1－ 91）×21 = 98×2 1 = 94 3.)]3 2152(347[163)25.016743(＋－＋－÷?÷ = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】28 69 【分析】原式 = )1215347(163)4171643(??? －＋－ = 3 16163)41712(?＋－ = 28 41 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是 。 【考点】最值问题 【难度】★ 【答案】54 【分析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
四年级 第1页 四年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 （2015年10月） 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 四年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、一台铺路机3小时铺路162米，照这样计算，2台铺路机9小时共铺路_______米。 2、在□里填上适当的数，使下面的等式成立。 17□+2□9+□46=800 3、动物园大象馆和猩猩馆相距60米，现要在两馆间的通道两旁植树，相邻两棵树之间的距离是3米，则一共栽了_________棵树。 4、奶奶剪一个窗花用3分钟，每剪好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始剪，她剪好第5个窗花时已经到了_____时_____分。 5、一群宠物狗泰迪和一群牧羊犬进行拔河比赛，虽然泰迪比牧羊犬多8只，但最终双方打成平手。如果2只泰迪与1只牧羊犬的力气相等，那么共有_________只泰迪。 6、如图，图形的每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求得图形的面积为________平方厘米。 7、如果△=○＋○＋○，○×△=48，那么○＋△=________。 8、有一箱图书，小红拿走了一半多2本，小华拿走了剩下的一半多3本，这时箱子里还剩9本图书。这箱图书共有 本。 9、右图中，共有大大小小的长方形 个。 10、标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A 、C 、E 、G 四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A 开始，顺次拉动开关，即从A 到G ，再从A 开始顺次拉动开关，即又从A 到G ，……他这样拉动了2015次开关后，开着的灯是 。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、5516－（516－189）＋576－（276－211） 12、31×121－88×125÷（1000÷121） 省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题
小学二年级奥林匹克数学竞赛试题 学校：：编号： 1、已知一只梨300克，一只苹果（）克，一只桃子（）克。 5、如图：一共有（）个方木块。 6、一根绳子长米。 7、由2、9、8、3组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 9、明明今年11岁，妈妈今年35岁，15年后妈妈比明明大（）岁。 10、小丽家养了白兔9只，养的黑兔是白兔的4倍，养了（）只兔子。 11、在○里填上合适的＋、－号，并把3、4、5、6填到□里使算式成立。 □○□○□○□=2 12、小林家有一只母鸡，每天生1个蛋。他家原有8个蛋。如果小林每天吃2个蛋，可以连吃（）天。 13、哥哥今年24岁，是妈妈年龄一半，妈妈今年（）岁。 14、28个红球，16个黄球，每4个装一盒，红球比黄球多装（）盒。 15、二年级一班有32名学生，二班有35名学生，开学后又转来7名新同学，怎样分才能使两班的学生人数相等？
16、把7、8、9、10、11、12填在下面括号里，使等式成立。 （）+（）=（）+（）=（）+（） 17、妈妈买来一些糖，比10多，比20少。把它们平均分，分的份数和每一份的个数同样多。妈妈买来（）粒糖。 18、有100名运动员参加长跑比赛，他们身上贴有1~100不同的。在上数字“6”共出现（）次。 19、29支笔，每个小朋友分3支，还剩2支，分给了（）个小朋友 20、小路上栽了一排树，每两棵之间距离是8米，从第一棵到第八棵树的距离是（）米。 小学二年级60道奥数题； 小学二年级60道奥数题 1、妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？ 2、小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？
小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案 （四年级） 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 13 差数之和的最小值是( ). A 28 B 30 C 31 D 29 32 41 13
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第一天（2018年7月30日8:00-12:00） 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第二天（2018年7月31日8:00-12:00） 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．
三年级晋级赛 一、填空题。（每题5分，共60分） 1、计算：8888×3333＋4444×3334= 。 2、如图，阴影部分是正方形（单位：厘米），那么长方形ABCD的周长是厘米。 3、三年级同学参加“元旦”节团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多。小志的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数是第7人。参加表演的同学有人。 4、三年级（1）班有50名同学帮助班主任老师把20捆教科书搬到230米外的教室，每两个人抬一捆，大家轮流休息，平均每人抬米。 5、小泉做一道除数是一位数的除法时，误把除数9看成6，结果算出的商是7，余数是3。你知道正确的结果是。 6、数一数，图中有个三角形。 7、欧欧、小美、小泉、奥斑马四人到一山上完成一个星期的勘察任务（7天），每人每天需要一瓶水，但他们只剩下10瓶水，而上山下山各需2天，山下的龙博士至少带瓶水上山，才正好解决缺水的困难。 8、有47名游客要渡河。现在只有一条小船，每次只能载6人（无船工），每渡河一次需要2分钟。那么，至少要花分钟才能渡完。 9、幼儿园将一批苹果分给大、中、小三个班，大班分得总个数的一半多20个，中班分得余下的一半少20个，最后把剩下的140个全部给了小班，那么这批苹果一共有个。 10、庆祝“元旦”，黑白团队用一根花丝带装饰屋前的大树。若绕大树五圈则余下5米；若绕大树六圈则差1米。那么，用这根花丝带绕大树两圈余米。 11、黑白团队在一个黑漆漆的山庙里点上了24支蜡烛。突然一阵风吹灭了5支蜡烛；过了一会，又被吹灭了4支；这时奥斑马把窗子都关上，之后就再也没有蜡烛被吹灭。那么，山庙里最后还剩下支蜡烛。 12、下表中，第一列是“多创放”，第二列是“思新飞”……，第2012列是。
全国小学数学奥林匹克竞赛简介 奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。从此每年一次，至今已举办了50届。 奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。 近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。 由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。 从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。会议决定，从1991年起，每年春季举行一次"小学数学奥林匹克"，会议还特别强调，中国数学会举办的高中联赛、初中联赛、小学数学奥林匹克都是普及型、大众化的数学竞赛。为了使"小学数学奥林匹克"的试题能适合多数学生的实际水平，在举办1991年"小学数学奥林匹克"时，主试委员会向全国发出一份试题样卷，广泛征求意见，另外，把初赛试卷，分成A，B，C三种不同水平的试卷，供合地选择采用，同时还宣布了两条命题原则："一、试题涉及的知识范围不超出现行的小学数学教学大纲；二、每一道题一定有一种简单的算术解法。"并且声明，抽屉原则、容斥原理、运筹学等离课堂教学内容较远的内容，一定不在试题中出现。我们就是希望，不要过多的课外辅导，尽可能减轻学生的学习负担。经过若干年的实践，全国反映较好，普遍认为试题有利于启迪思维和智力开发，也有利于课堂教学水平的提高。参加者十分踊跃，人数逐年增加。事实上，试题难度逐年在降低，一年比一年容易些，获得高分的人数大幅度增加。以1993年来说，参加决赛的16万学生中，全国有500多人获满分(十二道试题都做对)，有10%的人做对九道题以上，有40%以上学生能做对六道以上，可以说试题的难易程度是比较适当的。这项赛事分为初赛和决赛，分别在每年的三月份和四份，从1993年开始我们又举办了这项赛事的后继活动---"小学数学奥林匹克总决赛"，后来称为"我爱数学少年夏令营"。 "全国小学数学奥林匹克"(创办于1991年)每年3、4月中国数学会普及工作委员会为有关省份提供了一份"小学数学奥林匹克"初赛和决赛试卷，目的在于引导学有余力的小学生的数学课外活动的方向。目前包括"三段式"--小学数学奥林匹克初赛、决赛、我爱数学夏令营。初赛(每年3月份)、决赛(每年4月份)和夏令营(每年暑期)。组织这项活动的原则：一是要把它办成一个"大众化、普及型"的活动；二是要使所出的题目"不超前、不超纲"；三是要尽可能给每个题目一个小学生看得懂的算术解法；四是要充分认识到地区发展不平衡的特点。 “我爱数学少年夏令营”简介 权威性：★★★★★ 举办方：中国数学会普及工作委员会