各向同性介质
典型的透明介质如玻璃是各向同性的，它是指光不管以什么方向穿过介质都有相同的行为。介电质中的麦克斯韦方程给出了电位移D与电场强度E之间的关系：
这里ε0是指真空介电常数，P是电极化强度（电偶极矩在介质中形成的矢量场），物理上，电极化强度可以认为是介质对光电场的响应。
电极化率
在线性各向同性介质中，电极化强度P正比于电场E，并且方向相同：
这里χ是介质的电极化率。从而D与E的关系可以表示为：
这里
是介质的介电常数，√(1+χ)被称为介质的相对介电常数. 对非磁性介质，它与介质折射率n 有如下关系：
各向异性介质
在各向异性介质中，极化强度P不再与光电场E方向一致。这可以被看作是由电场引起的偶极矩具有特定的方向，这个方向与晶体结构有关。可以表示为：
这里χ不再是一个数而是一个二阶张量，称为极化率张量。按照3维分量的形式写成
或者用求和约定写成：
由于χ是张量，P不再与E同向. 根据热力学论据可以证明χij= χji，即χ张量是对称张量。根据spectral theorem，可以通过选择合适的坐标轴将张量对角化，使得所有除χxx，χyy和χ外的非对角分量变为0。这样可以给出以下关系式：
zz
这样的x、y、z方向被称为介质的主轴。
由此可以断定，D和E的关系可以有一个张量给定：
这里ε被称做相对介电常数张量或介电张量。因此，介质的折射率也必为一个张量。考虑一列光波沿z主轴传播而光电场沿x方向的情况，这列波经历了极化率χxx和介电常数εxx，因而折射率为：
对于y方向的偏振光：
所以光波将有两个不同的折射率。这种现象被称为双折射，常发生在一般晶体如方解石和石英中。
梁铨廷. 1987. 物理光学. 机械工业出版社.
M.玻恩和E.沃尔夫. 1978. 光学原理(上、下). 科学出版社.
简述: 在物理学中, 介质的折射率是一个张量. 任意方向的入射光进入非均质体后, 经过张量对角化处理, 必然分解为两个彼此垂直、大小不同的折射率, 即产生振动方向垂直、速度不等的两束光波.
世界数学难题——费马大定理 费马大定理简介： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. （(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。 这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 [编辑本段] 理论发展 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧
●今年6月间，德国哥庭根大学的大会堂里，500名数学家齐聚，观看普林斯顿大学数学家魏尔斯(Andrew Wiles)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家的名字，他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项，给予世界上头一个能解决费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目，约等于200万美金，而几个月前由魏尔斯领到时，不过相当5万美金左右，但是这确是近世数学界的盛事，魏尔斯不只是证明了费马最后定理，也替未来的数学带来革命性新发展。费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马(Pierre deFermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家，他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正，通常不鼓励他们出外社交，因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之中，悠然自得。在1637年的某一天，费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的数学译本，忽然灵光乍现，就在书页空白处，写下有名的费马定理。费马定理的内容其实很简单，它只是基于一个方程式（X+Y=Z)。这个方程式当n等于2时，就是人们熟知的毕氏定理，中国数学上所称的勾股弦定理，其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。如32.+42.=52.(9+16=25)。费马当时提出的难题是，当这个方程式(X+Y=Z)的n大于2时，就找不到任何整数来符合这个方程式。例如33.+43.(27+64)=91，但是91却不是任何整体的3次方。费马不仅写下了这个问题，他同时也写道，自己已经发现了证明这个问题的妙法，只是书页的空白处不够大，无法写下证明。结果他至死都没有提出他的证明，却弄得300多年来数学界群贤束手，也使他的难题得到一个费马最后定理的称号。19世纪时，法国的法兰西科学院，曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏，给予任何可以解决此一难题之人，不过并没有多大进展。20世纪初捐出10万马克奖金的沃夫斯柯，事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数痴”，据一些历史学家研究，沃夫斯柯原本一度已打算自杀，但由于对解决费马定理着迷，而放弃求死之心，因此他后来便在遗嘱中捐出巨款，原因是他认为正是费马定理救了他一命。重赏之下必有勇夫，但是解决数学难题却非人人可为。20世纪公认的德国天才数学家希伯特（D. Hilbert）就不愿去碰费马定理，他的理由是自己没那么多时间，而且到头来还可能落得失败的下场。虽然费马定理还是让许多数学家萦怀于心，但是他们看这个难题就有如化学家看炼金术一样，只是一个古老的浪漫梦。秘密钻研7年突破难题最后解决这个世纪难题的魏尔斯，早在1936年他10岁之时，便有着挑战费马定理的浪漫梦想，他在英国桥剑地方的图书馆中读到这个问题，便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪费时间于这个不可能之事，大学老师也试图劝阻他，最后他进了英国剑桥大学数学研究所，他的指导教授指引他转入数学中比较主流的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到，这个由古希腊起始的数学研究训练，最后会导致他再回到费马定理之上。1927年，日本数学家谷山丰提出一个讨论椭圆曲线的数学结构，后来在美国普林斯顿大学的日本数学家志村五郎，再将这个结构发展得更为完备。这个被称为“志村—谷山猜想”的数学结构，居然成为化繁为简，通向解决费马定理的绝妙佳径。1984年德国萨兰大学的数学家佛列发展出一种很奇特也很简单的关联，将“志村—谷山猜想”和费马定理扯在一块，佛列提出的关联经过好几位数学家的努力，最后终于证明了如果要证明费马最后定理，可以经由证明“志村—谷山猜想”来完成。魏尔斯是1993年在英国剑桥大学，正式宣布他已解决费马最后定理，在此之前他已秘密的工作达7年之久，原因不只是怕受到公众压力，也害怕其他数学家抄袭他的想法，在这段期间，魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。最后的结果是魏尔斯并不需要证明整个的“志村—谷山猜想”，他只要证明一些特定的椭圆形曲线是具备某种特性。但是这些特定的椭圆曲线还是有无穷多个，因此证明技巧上依然十分困难。魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法，他的办法有点像推倒骨牌的游戏，如果要推倒无限多张的骨牌，你必须确知的乃是一张骨牌倒下时，一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整，于是便在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。300年悬案终有解300多年数学悬案终于解决，不只数学界哗然震惊，数学门墙之外的社会大众亦感
412—惠更斯—菲涅耳原理 1. 选择题 1，根据惠更斯－菲涅耳原理，给定波阵面S上，每一面元dS发出的子波在观察点引起的光振动的振幅与以下哪些物理量相关： (A) 面元的面积dS。(B) 面元到观察点的距离。 (C) 面元dS对观察点的倾角。(D) 以上皆是。 [ ] 2，根据惠更斯－菲涅耳原理，给定波阵面S上，每一面元dS发出的子波在观察点引起的光振动的相位与以下哪些物理量相关： (A) 面元的面积dS。(B) 面元到观察点的距离。 (C) 面元dS对观察点的倾角。(D) 以上皆是。 [ ] 3，在研究衍射时，可按光源和所研究的点到障碍物的距离，将衍射分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射两类，其中夫琅和费衍射为： (A)光源到障碍物有限远，所考查点到障碍物无限远。(B) 光源到障碍物无限远，所考查点到障碍物有限远。 (C) 光源和所考察点的到障碍物的距离为无限远。(D) 光源和所考察的点到障碍物为有限远。 [ ] 4，在研究衍射时，可按光源和所研究的点到障碍物的距离，将衍射分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射两类，其中不是菲涅耳衍射为： (A) 光源和所考察的点到障碍物为有限远。(B) 光源和所考察点的到障碍物的距离为无限远。 (C)光源到障碍物有限远，所考查点到障碍物无限远。(D) 光源到障碍物无限远，所考查点到障碍物有限远。 [ ] 2. 判断题 1，在研究衍射时，是惠更斯首先引入子波的概念提出了惠更斯原理。 2，菲涅耳用子波相干叠加的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯－菲涅耳原理。 3，根据惠更斯－菲涅耳原理，衍射现象在本质上也是一种干涉现象。 4，惠更斯－菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面积元所发出的子波在观察点P的相干叠加，决定了P点的合振动及光强．
选 修3—4 一、知识网络 周期：g L T π2= 机械振动 简谐运动 物理量：振幅、周期、频率 运动规律 简谐运动图象 阻尼振动 受力特点 回复力：F= - kx 弹簧振子：F= - kx 单摆：x L mg F -= 受迫振动 共振 波的叠加 干涉 衍射 多普勒效应 特性 实例 声波，超声波及其应用 机械波 形成和传播特点 类型 横波 纵波 描述方法 波的图象 波的公式：vT =λ x=vt 电磁波 电磁波的发现：麦克斯韦电磁场理论：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场→预言电磁波的存在 赫兹证实电磁波的存在 电磁振荡：周期性变化的电场能与磁场能周期性变化，周期和频率 电磁波的发射和接收 电磁波与信息化社会：电视、雷达等 电磁波谱：无线电波、红外线、可见光、紫外线、x 射线、ν射线
二、考点解析 考点80 简谐运动 简谐运动的表达式和图象 要求：I 1）如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 简谐运动的回复力：即F = – kx 注意：其中x 都是相对平衡位置的位移。 区分：某一位置的位移（相对平衡位置）和某一过程的位移（相对起点） ⑴回复力始终指向平衡位置，始终与位移方向相反 ⑵―k ‖对一般的简谐运动，k 只是一个比例系数，而不能理解为劲度系数 ⑶F 回＝－kx 是证明物体是否做简谐运动的依据 2）简谐运动的表达式： ―x = A sin (ωt ＋φ)‖ 3）简谐运动的图象：描述振子离开平衡位置的位移随时间遵从正弦（余弦）函数的规律变化的，要求能将图象与恰当的模型对应分析。可根据简谐运动的图象的斜率判别速度的方向，注意在振幅处速度无方向。 A 、简谐运动（关于平衡位置）对称、相等 ①同一位置：速度大小相等、方向可同可不同，位移、回复力、加速度大小相等、方向相同. ②对称点：速度大小相等、方向可同可不同，位移、回复力、加速度大小相等、方向相反. 相对论简介 相对论的诞生：伽利略相对性原理 狭义相对论的两个基本假设：狭义相对性原理；光速不变原理 时间和空间的相对性：“同时”的相对性 长度的相对性： 20)(1c v l l -= 时间间隔的相对性：2 )(1c v t -?=?τ 相对论的时空观 狭义相对论的其他结论：相对论速度变换公式：21c v u v u u '+'= 相对论质量： 2 )(1c v m m -= 质能方程2mc E = 广义相对论简介：广义相对性原理；等效原理 广义相对论的几个结论：物质的引力使光线弯曲 引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验 定律进行推证 2.1 反射定律和折射定律 在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。 我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。 2.2费马原理 费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为： Q P nds =?极值（极小值、极大值或恒值） （2-1） 费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。 几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。 2.3 折射定律的推导 设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？ WILES证明费马大定理的成功时间为何其说不一？ 他的证明是否又被发现“漏洞”？ 在《征服费马定理的最后竞赛》中真正夺冠的应该是哪国人？ 1993年，国内新闻媒体说：350多年的数学难题被美国普林斯顿大学数学教授wiles证明。《黑龙江日报》在《科技世界》版头条发表了哈工大青年数学家曹珍富的文章《英国数学家证明了费尔马大定理》（副题：困扰人类350多年的数学难题今朝有解）。但是。几年后（1997）这位青年数学家又在《生活报》发文说：wiles是1995年证明成功的。 1994年，《中国青年报》发文说：wiles迫于社会舆论压力不得不透漏真情，说他遇到了料想不到的困难，还需要做很多工作。 1995年，《参考消息》（４月５日）载文《征服费马定理的最后竞赛》中说：wiles的证明被发现“漏洞”，他自己“堵不上”，想找合作者……。 2000年，哈工大理学院院长说：wiles最后成功的时间是1996年1月。 2002年，中科院一位院士在《教育台》的《学术报告厅》中宣讲时说wiles是1994年证明成功。 Wiles证明费尔马大定理成功的时间为何其说不一？ 还有更加令人不解的： 一、2003年，远方出版社出版的《数理化之谜》中说：千古之谜费马大定理，至今尚无人完全证明。 二、2007年，哈尔滨出版社出版的《数学的故事》中说：30年前，美国数学家大卫·曼福特证明了“如果不定方程有整数解，那么这种解是非常少的”。这是目前关于“费尔马问题”最好的研究成果。 为什么这两本书中，对wiles的证明成功却“只字皆无”？莫非wiles的证明又被发现了“漏洞”？ 大千世界无奇不有。1993年8月1日，《松花江报》发表了一篇该报记者写的报道《谷立煌宣称证明了费尔马大定
费马大定理的美妙证明 成飞 中国石油大学物理系 摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 0、费马大定理： 当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。 1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有 a b c 可见，线段a和线段b之和，就是线段c。 2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。 对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。 又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。 可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形， B c A 根据三角形余弦定理，有 c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。 3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。 此时，a,b,c也必构成三角形， B A 根据三角形余弦定理，有 c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π) 因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60o，180o），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，?）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b， 1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数； 等式两边同乘以c，有 c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么 c3 > a3+ b3 2、当cosɑ=?，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有 (a+b)c2 = a3+ b3 又因为a+b>c， 所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600） 那么，cosɑ=［0，?）时，更加满足c3 < a3+ b3 既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3， 那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。 即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。 4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，
费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t
学院 学术论文 论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大
定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。 【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。 当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。 据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。
我用概率证明了费马大定理 章丘一职专马国梁 1637年，法国业余数学家费马在一本著名的古书——丢番图的《算术》中的一页上写了如下一段文字： “分解一个立方为两个立方之和，或分解一个四次方为两个四次方之和，或更一般地分解任一个高于二次方的幂为两个同次方的幂之和均不可能。对此我发现了一个奇妙的证明，但此页边太窄写不下。” 用数学语言表达就是说，当指数n > 2时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解。这就是著名的连小学生都能看懂的费马猜想。 可是在这个猜想提出后，那个重要的“奇妙证明”不论在费马生前还是死后始终没有被人见到，且后人也再没有找到，所以人们怀疑那个证明根本就不存在或者是在什么地方搞错了。费马生前只是证明了n = 4 的情况；直到1749年，才被欧拉证明了n = 3 的情况。 这个猜想看上去是如此的简单，让局外人根本无法想象证明它的艰难，所以曾经让不少人跃跃欲试。他们搜肠刮肚，绞尽脑汁，耗费了无数的精力。三百多年来，虽然取得了很大进展，显示了人类的智慧，但问题总是得不到彻底解决。直到1995年，才由英国数学家怀尔斯宣称完成了最后的证明。从此费马猜想变成了真正的“费马定理”。 对费马定理的证明之所以艰难，是因为在整数内部有着极其复杂微妙的制约机制，要想找到这些制约关系，必须深入到足够的程度进行细致的分析才行。所以三百多年来，虽然有不少数学大家还有广大业余爱好者不畏艰难，前赴后继，顽强奋斗，但怎奈山高路远，歧途太多，终归难免失败。 在这样的现实下，笔者明白自己也是局外之人，所以不可能去钻这个无底的黑洞。但是作为一种乐趣，我们不妨另外开辟一条渠道，进行旁证和展望。试用概率计算一下：看看费马猜想是否成立，又成立到什么程度。虽然这在数学界难以得到公认，但是我们歪打正着，乐在其中。因为对于决定性的现象，如果其决定因素和控制过程过于复杂，那么其结果是可以用概率理论进行推算的。 但是要证明费马猜想究竟应该从何处下手呢？对此笔者心中一直有一个强烈的直觉。 我们知道：当n = 1 时，x + y = z 可有无数组解。在正整数中，任何两个整数相加的结果必然也还是整数。 但是当n = 2 时，方程x^2 + y^2 = z^2 的解就没有那么随便了，它们必须是特定的一组组的整数。其组数大大减少。 而当n = 3 时，方程x^3 + y^3 = z^3 则根本就没有整数解了。那么其原因是什么呢？ 对此笔者曾经思考了多年。但没想到只是在近几天才一下子开了窍，找到了问题的关键。原来是：指数越大，整数的乘幂z^n在数轴上的坐标点就越稀疏，从而使任意两整数的同次方幂之和x^n + y^n 落在坐标点上成为整数的可能性就越小。其概率是z^n 的导数的倒数。即每组x^n + y^n 能够成为整数的可能性只有 η= 1/[n z^(n-1)] = 1/ [n (x^n + y^n )^(1-1/n) ] 当x、y在平面直角坐标系的第一区间随意取值时，我们可以用积分的办法算出其中能够让z成为整数的组数。其公式为 N =∫∫ηdx dy =∫∫[(dx dy) / (n (x^n + y^n )^(1-1/n))] 因为在平面直角坐标系上，当z 一定时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是个正圆； 而由方程x^n + y^n = z^n 所决定的曲线则是一个近似的圆； 只有当n 趋于无穷大时，它的曲线才能成为一个正方形。 所以当n较小时，我们是可以把方程的曲线当作一个圆来处理的。这样以来，N的积分公式就变成了 N =∫[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))] ①当n = 1 时，由方程x + y = z 所决定的曲线是一条斜的直线。它在第一象限的长度是sqrt(2) z ，此时能够成为整数的概率是100%，即η= 1/[n z^(n-1)] = 1 所以N =∫sqrt(2) z dz = [1/sqrt(2)] z^2 即与z的平方成正比，这意味着在坐标系的第一象限中，遍地都是解。仔细想想这也可以理解。因为不论x还是y，都是可以取任意整数的；而正整数的数量是无穷多，所以它们的组合数将是无穷多的平方，为高一级的无穷多。 ②当n = 2 时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是一个正圆。在第一象限是一段1/4 的圆周，其长度是0.5πz ；此时η= 1/[2 z ] 所以N =∫(0.5πz dz / (2 z) ) = (π/4) z
费马大定理的简单证明 李联忠 （营山中学 四川 营山 637700） 费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。 证明： 当n=2时，有 222y x z += ∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1） 令 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得 222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-= ∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z += 当n=3时，有 333y x z += ∴ ))((22333y zy z y z y z x ++-=-= （2） 令 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得 ］ ［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +?+=)33(36332233m y m y m ++= 若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某正整数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++ ∴ )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ 则必有 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，而y,m,l 都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以363322)33(l m y m y =++不成立。即x 不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程333y x z +=无正整数解。 当n>3时，同理可证方程n n n y x z +=无正整数解。 定理得证。
费马大定理是怎么证明的 已故数学大师陈省身说道，20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚—辛格指标定理，另一个是费马大定理。当然，20世纪的重大数学成就远不止这两个，不过这两大成就却颇具代表性，特别是从科普的角度来看。 说实在的，数学虽然总是居于科学之首，可是一般人对数学可以说几乎一无所知，尤其是说到数学有什么成就、有什么突破的时候。理、化、天、地、生，门门都有很专门的概念、知识、技术，可不久之前的大成绩很容易就可以普及到寻常百姓家。激光器制造出来还不到50年，激光唱盘早已尽人皆知了，克隆出现不到10年，克隆这字眼已经满天飞了。即使人们不太懂黑洞的来龙去脉，一般人理解起来也不会有太大障碍。可是有多少人知道最新的数学成就呢？恐怕很难很难。数学隔行都难以沟通，更何况一般人呢。正因为如此，99%的数学很难普及，成百上千的基本概念就让人不知所云，一些当前的热门，如量子群、非交换几何、椭圆上同调，听起来就让人发晕。幸好，还有1%的数学还能对普通的人说清楚，费马大定理就是其中的一个。 费马大定理在世界上引起的兴趣就正如哥德巴赫猜想在中 国引起的热潮差不多。之所以受到许多人的关注，关键在于它们不需要太多的准备知识。对于费马大定理，人们只要知道数学中头一个重要定理就行了。这个定理在中国叫勾股定
理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。它的内涵丰富，从数论的角度看就是求不定方程（即变元数多于方程数的方程）X2+Y2=Z2的正整数解。中国在很早已知（3，4，5）是这个方程的一个解，也就是32+42=52，其后也陆续得到其他解，最后知道它的所有解。这样，一个不定方程的问题得到圆满解决。 数学家的思想方向是推广，这个问题到了17世纪数学家费马的手中，就自然问，当指数变是3,4……时，又会怎样？这样费马的问题就变成不定方程Xn+Yn=Znn=3，4，……是否有正整数解的问题。费马误以为自己证明了对于所有n≥3的情形,这个方程(不妨称为费马方程)都没有正整数解，实际上，他的方法只证明n＝4的情形。不过，这个他没有证明的定理还是被称为费马大定理。 这样一个叙述简单易懂的定理对于后来的数学家是一大挑战，其后200多年，数学家只是部分地解决了这个问题，可是却给数学带来丰富的副产品，最重要的是代数数论。原来的问题却成为一个难啃的硬骨头。20世纪初，有人悬赏10万德国马克，征求费马大定理的证明，成千上万的错误证明寄到评审机构那里，其中几乎没有什么真正的数学家。本书的第四章生动地描写了其中的故事。 有时我们把这些人称为业余数学爱好者，近来称之为民间科
A 试证：试证：x x 4+y 4=z 4在xy xy≠ ≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有： z 4-x 4=(z -x)(z 3+z 2x+z x 2+x 3)=(z -x)(z +x)(z 2+x 2)=y 4由x 、y 、z 都是大于0的正整数，所以有z ＞x 得：得：z z -x -x＜＜z +x +x＜ ＜z 2+x 2（其中若z +x +x≥≥z 2+x 2，则x(1-x)x(1-x)≥ ≥z (z -1)负数大于正数，不成立。）分两种情形讨论： ①y 是质数，得：是质数，得：y=z y=z -x y=z +x y 2=z 2+x 2由前两式得x ＝0（不成立）②y 是合数，得：是合数，得：(z (z -x)a=y (z -x)b=y z 2+x 2=aby 2稍微变换一下就可以得到：（（a a 2b 2-1-1） ）z 2=(a 2b 2+1)x 2即：即：a a 2 b 2-1=k 12a 2b 2+1=k 22但是在整数里，但是在整数里，m m 2-n 2≠1。故这种情形不成立。∴x 4+y 4=z 4在xy xy≠ ≠0时无整数解。B 试证：试证：x x 3+y 3=z 3在xy xy≠ ≠0时无整数解。证：假设原命题成立，则有： z 3-x 3=(z -x)-x)（ （z 2+xz +x 2）=y 3＞0则有：则有：z z ＞x z 2+xz +x 2＞z -x 分两种情形讨论： ①y 是质数，得：是质数，得：y=z y=z -x y 2＝z 2+xz +x 2即：即：z z 2+xz +x 2＝y 2=(z -x)2整理得到：整理得到：xz xz =-2xz (不成立不成立) )②y 是合数，则有：是合数，则有：(z (z -x)a=y z 2+xz +x 2＝ay 2整理得到：（（a a 3-1-1） ）z 2-(a 3+1)xz +(a 3-1)x 2=0若z 有解，需有解，需△≥△≥△≥00即：即：a a 3≤3由于a 是大于0的正整数，故a ＝1即：即：z z -x=y 回到第回到第① ①种情形，结果仍是不成立。 ∴x 3+y 3=z 3在xy xy≠ ≠0时无整数解。另外根据我的推到出勾股方程的满足条件或生成方法是： ((e 2-f 2)/2)2+(ef)2=((e 2+f 2)/2)2 其中e 、f 取大于0的同时为奇或偶的正整数（的同时为奇或偶的正整数（e e ≠ f ）但是我在一本介绍数论的书上看到已经被人家找出来，只是形式和我的有点差异。故我通过上述方法找到了勾股方程成立的充足理由，及同样找到了其满足条件。乐哉！
HUYGENS-FRESNEL PRINCIPLE 惠更斯-菲涅耳原理 目录 The One---The Origin of the Huygens-Fresnel principle The Two ---The Essence of the Huygens-Fresnel principle The Three---The Conclusion of the Huygens-Fresnel principle 一、惠更斯-菲涅耳原理的起源 二、惠更斯-菲涅耳原理的本质 三、惠更斯-菲涅耳原理的结论 The One---The Origin of the Huygens-Fresnel principle 一、惠更斯-菲涅耳原理的起源 The penetration of light waves into the region of a geometrical shadow can be explained with the aid of Huygens'principle.This principle,however,gives no information on the amplitude and ,consequently,on the intensity of waves propagating in different directions. The French physicist Augustin Fresnel (1788~1827) supplemented Huygens'principle with the concept of the interference of secondary waves.Taking into account the amplitudes and phases of the secondary waves makes it possible to find the amplitude of the resultant wave for any point of space .Huygens'principle developed in this way was named the Huygens-Fresnel principle 光波进入几何阴影区的渗透可以用惠更斯原理.这个原理虽然没有给出振幅信息.因此，对在不同方向上传播的波的强度。法国物理学家奥古斯丁-菲涅耳（1788 ~ 1827）补充了惠更斯原理的次波的干涉的概念。考虑到振幅和二次波的相位使得有可能找到任何点的空间所得到的波的振幅。惠更斯原理以这种方式发展被命名为惠更斯-菲涅耳原理。 The Two ---The Essence of the Huygens-Fresnel principle 二、惠更斯-菲涅耳原理的本质 According to the Huygens-Fresnel principle .Every element of wave surface S (Fig.1.1) is the source of a secondary spherical wave whose amplitude is proportional to the size of element dS.The amplitude of a spherical wave diminishes with the distance r from its source according to the law 1/r.Consequently,the oscillation rives from each section dS of a wave surface at point in front of this surface . Is the the phase of the oscillation where wave surface S is ,k is the wave number ,r isthe distance from surface element dS topoint Parrives from each section dS of a wave surface at point P in front of this surface . The factor is determined by theamplitude on the light oscillation at the location of dS .The coeffcient ()00cos a kr wt r d a K dE s +-=0a ?
费马原理与光的反射和折射 福建省石狮市石光中学 陈龙法 1650年法国数学家费马对光的传播传播原理作了一个概括性的叙述：光从空间一点A 到另一点B,光沿着所需的时间为极值的路径传播。 1.光的反射 光线由A 点入射，经介面MN 反射到B 点（如图）。试求光线以最短时间所通过的路径。 分析 建立如图坐标系。A 点B 点是已知的， C 为界面上的任一点。设光的传播速度是V ，光线 由A 点经C 到B 经历时间 )(1 )(CB AC V x t += ()? ? ? ? ?+-++=2222121h x a h x V 式中V 、h 1、h 2及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。 为了求得最短时间，我们求t 对x 的导数： ()()???? ??+--- +='22221 21h x a x a h x x V x t 令()0='x t ，则 () 22 2 2 1 2 h x a x a h x x +--= + 若C 点的法线为CC ’,则由图知， Sin α=Sin β 所以，α=β，即入射角等于反射角。 又因为 ()() ()()()?????? ????? ?? ?+-+--+ +-- - ++- += ''2 2 2 2 2 22 22 2 2 122 12221 2 1h x a h x a x a h x a h x h x x h x V x t () ()[ ] ??? ??? ? ? +-+ +=2 /32222 2 2 /32 12211h x a h h x h V 式中所有值都是正的，所以()0>''x t ，故当α=β时，光线由A 点到B 点所需要的时间为最短。 2.光的折射 光线由A 点入射，经介面MN 折射到B 点（如图）。试求光线以最短时间从A 射到B 发生折射所通过的路径。 分析 建立如图坐标系。A 点B 点是已知的，C 为界面上的任一点。设光在第一介质中的传播速度 2)