2011年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试
数学（理科）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上；
3．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并收回。 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ?=?
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k
n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式2
4S R π=，其中R 表示球的半径
球的体积公式34
3
V R π=，其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷 (选择题 满分60分)
一. 选择题：(本大共12小题,每小题5分,在小题的四个选项中只有一个是正确的.) 1．设2
{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则=Q P （ ）
A ．{|12}x x -<<
B ．{|31}x x -<<-
C ．{|14}x x <<-
D ．{|21}x x -<<
2．已知向量是则2),,1(),4,(===n n n ∥的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不要必条件
3．函数)0(2
≤-=x x y 的反函数是（ ）
A ．)
0(≥-=x x y
B ．)
0(≤-=
x x y
C ．)0(≥--=x x y
D ．)0(≤--=x x y
4．已知等差数列{}n a 的前13项之和为134
π
，则678tan()a a a ++等于（ ）
A ．
3
B C ．—1 D ．1 5．已知l n m 、、为三条不同的直线，βα、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．n m n m //,//???βαβα，
B ．αβαβ//,l l ?⊥⊥
C ．αα//,n n m m ?⊥⊥
D ．βαβα⊥?⊥l l ,//
6．设曲线3
2
3
3(34
y x x x =-++在1x =处的切线的倾斜角为α，则α的取值是（ ） A ．
56
π B ．
23π
C ．
3
π D ．
6
π
7. 已知函数f(x)＝sin(3
π
ω+x )(0>ω)的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A. 关于点（3π
，0）对称 B. 关于直线x ＝4π
对称 C. 关于点（
4
π
，0）对称
D. 关于直线x ＝
3
π
对称
8．将6个名额全部分配给3所学校，每校至少一个名额且各校名额各不相同，则分配方法的种数为（ ）
A. 21
B. 36
C. 6
D. 216
9．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长AB=2BB 1，则异面直线 AB 1与BC 所成的角的余弦值是（ ） A ．53 B ．5
5
C ．
3
2
D ．
3
6 10．已知向量OZ 与OZ ' 关于x 轴对称，(0,1)j =
，则满足不等式
20OZ j ZZ '+?≤
的点Z (x ,y )的集合用阴影表示为（ ）
11．已知点21F F 、为椭圆
116
252
2=+y x 的左右焦点，过1F 的直线l 交该椭圆于),),2211y x B y x A （、（两点，2ABF ?的内切圆的周长为π，则21y y -的值是（ ）
A ．3
5
B.310
C.320
D.35
12．设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则1919
c a +++的最大值为（ ）
A ．
3125 B.6
5
C.
3833 D.31
26
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
C 1
A
C
B
B 1
A 1
0.005
0.010.0150.0250.03
100
9080
70
6050
40频率／组距分数
二．(填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接添在题中的横线上。) 13．已知,)13(0166777a x a x a x a x ++???++=-则=+???+++7210a a a a 14．如图所示的是某班60名同学参加2011年高中
数学毕业会考所得成绩（成绩均为整数）整理
后画出的频率分布直方图，根据图中可得出的 该班及格（60分以上）的同学的人数为
15．若变量x 、y 满足20
400x y x y y ++≤??-+≥??≥?
的最小值为
16、在半径为R 的球O 内有一内接正三棱锥,S ABC ABC -?的外接圆恰好是球O 的一个大圆，一个动点P 从顶点S 出发沿球面运动，经过其余三点A 、B 、C 后返回点S ，则点P 经
过的最短路程是 ．
三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分) 已知函数()sin()cos sin cos()2
f x x x x x π
π=+--，
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3
BC B π
==,求AC 边的长.
18．（本小题满分12分）某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4。第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5。（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率； （3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；
19. (本题满分12分)已知等差数列{a n }的公差大于0，且53,a a 是方程045142
=+-x x 的两
根，数列{n b }的前n 项和为n S ，且n n b S 2
1
1-= (1)求数列{n a }、{n b }的通项公式； (2)记n n n b a c =，求证：*).(1N n c c n n ∈≤+
20. （本小题满分12分）如图1，在平面内，ABCD 边长为2的正方形，1ADD A ''和1CDD C '都
是正方形。将两个正方形分别沿AD ，CD 折起，使D ''与D '重合于点D 1。设直线l 过点B 且垂直于正方形ABCD 所在的平面，点E 是直线l 上的一个动点，且与点D 1位于平面ABCD 同侧，设(0)BE t t =>（图2）。
（1）设二面角E – AC – D 1的大小为θ ，当2=t 时，求θ的余弦值；
（2）当2t >时在线段1D E 上是否存在点P ，使平面11//PAC 平面EAC ，若存在，求出P
分1D E
所成的比λ；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分12分）已知双曲线22
221y x a b
-=（a >0，b >0）的上、下顶点分别为A 、B ，一
个焦点为F （0，c ）（c >0），两准线间的距离为1，|AF |、|AB |、|BF |成等差数列． （1）求双曲线的方程；
（2）设过点F 作直线l 交双曲线上支于M 、N 两点，如果7-=?，求△MBN 的面
积．
22．（本小题满分12分）已知函数36)2(2
3
)(23
-++-
=x x a ax x f . （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；
（2）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
（20题 图2）
（20题 图1）
18
．解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件1A 、1B ；设E 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则11()()P E P A B =?0.50.40.2=?= ………………………4分
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A 、B 、C ，则
()0.50.60.3P A =?=，()0.60.50.3P B =?=， ()0.40.50.2P C =?=。 ……8分
（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为ξ，则0ξ=、1、2、3。则
(0)0.70.70.80.392P ξ==??=，
(1)P ξ=0.30.70.80.70.30.80.70.70.2=??+??+??0.434=，
(3)0.30.30.20.018P ξ==??=
(2)P ξ=1(0.3920.4340.018)=-++0.156=（或者(2)P ξ=0.30.30.80.70.30.2=??+??
0.30.70.2+??0.156=）。 ξ∴的概率分布列为
4
00.39210.43420.15630.0180.85E ξ∴=?+?+?+?==。
……………12分
方法二：数学归纳法
（1） 当n=1时，左边=1，右边=1，不等式成立。 …………………………………7分 （2） 假设n=k 结论成立，即：
12121
311111121-≤-+++=+++∴
k k a a a k
……………………………8分
那么当n=k+1时，1
21
121211************++
-≤++-+++=+++∴
+k k k k a a a k 1
)1(2121212121
212212122212-+=+=--++-=-+++-<++
-=k k k k k k k k k k
所
以
当
n=k+1
时
，
结
论
成
立。 ………………………………………11分
综合以上（1）（2）不等式对于任意的*∈N n 成
立。
……………………………12分
（其它证法以例给分）
（2）设以D 为原点，对DA ，DC,DD 1所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示。BE = t (t>2).
)2,2,0(),2,0,0(),2,0,2(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(111C D A C B A D ，E(2,2,t)
…7分
λλλλλλλλλ++=+=+=
-=-?=∴12
,12,122,2(2,,),,,(11t z y x x z y x PE P D E D P z y x P 解得：）（，
所成的比为分假设存在满足题意的点 )12,12,12(λ
λλλλλ++++t P )
1)2(,12,12(1λλ
λλλ+-+-+=∴t PA (9)
分
设平面ACE 的法向量),,(000z y x n =
）
，，（则令22,,
2020220
2,022),2,0(),0,2,2(000000
00000000-=-===??
???-==????=--=+-=--?⊥=+-?⊥--=-=t t z t y x y t z y x t z y y x t z y y x t ……………………10分
y
由平面11//PAC 平面EAC ，得1//A P 平面EAC ，
.201)2(212121t
t t t PA =?=+--+-+?
⊥∴λλλλλλ ……………………11分
所以：在线段1D E 上是存在点P ，使平面11//PAC 平面EAC ，P 分1D E
所成的比
)2(,2
>=t t λ
………………12分
注：几何法以例给分
设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y =kx +2．
∴ 22213y kx x y =+???-=??
，，消去y ，整理得（3k 2-1）x 2
+12kx +9=0． ………………………8分
∵ MN 与双曲线交于上支，
∴ Δ=（12k ）2
-4×9×（132-k ）=36k 2
+36>0， x 1x 229031
k =
<-，122
1231
k
x x k -+=
-，
∴ 2
1
3
k <
． ………………………9分
∴ x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）=-7，整理得x 1x 2+k 2
x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=-7，
代入得：22
2
229
92411313131
k k k k k -++=----，
解得9
1
2=
k ，满足条件． ………10分 S △MBN =
211||2
BF x x ?-=1
32?
?
=1
32
?
?
=
132??
2
． ……………………………………………12分
（Ⅲ）方程2()f x x x a =++, 12ln(1)0x a x -+-+=. 记()12ln(1)g x x a x =-+-+, ∵ /21()111
x g x x x -=-=++,
由/()0g x >,得x >1或x <-1（舍去）. 由/()0g x <, 得11x -<<.
∴ g (x )在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. ………………………………10分 为使方程2()f x x x a =++在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，
只须g(x)=0在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有(0)0,
(1)0,(2)0.g g g ≥??
?≥?
∵ 22ln 232ln 3-<-, ………………………………11分
∴实数a的取值范围是22ln232ln3
-<≤-. ……………………… 12分
a