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一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
3i
i
-（i 为虚数单位）等于 A. 13i --
B. 13i -+
C. 13i -
D. 13i + 答案：A
2．．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则()U A B = e( ) A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x > 答案：B
【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B = e{|01
}x x <≤． 3．幂函数()f x x α=的图像经过点)21
,4(，则1()4
f 的值为 ( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 答案：C
4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 答案:B
5.等比数列123{},4,2,n n a n S a a a 的前项和为且成等差数列.若141,a S =则= （ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
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答案:C
6. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ ） A ．38
B ．37
C ．36
D ．35
答案D
解析：由余弦定理得：
cos cos cos bc A ca B ab C ++=222222222
222b c a c a b a b c bc ca ab bc ca ab
+-+-+-++
2222
b c a +-=+
222222222
35222c a b a b c a b c +-+-+++==，故选D. 7. 已知点P 是以F 1 、F 2为左、右焦点的双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，
且满足12PF PF ⊥，且12:2:3PF PF =，则此双曲线的离心率为( )
A.
解：由1212||2
||||2,
||3
PF PF PF a PF -==得21||6,||4;PF a PF a == 在222222121212||||||43616,RT PF F F F PF PF c a a ?=+∴=+中，，
解得e =
8．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(1
2
)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )w_w w. k#s5_u.c o*m
(A )(1,2) (B )(2，＋∞) (C
(D
w_w _w.k
解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数 于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示 而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞1)的图象如图中虚线所示 结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)
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在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，
必需且只需(2)3
(6)3g g ?
所以g 4383a a
lo log ?
a ＜2w_w_w.k*s 5*u.c o^m
答案：D w_w w. k#s5_u.c o*m
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分.
9．某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高级教师的人数为
答案:3
10. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后
正好盛满杯子，则杯子高h=．
答案：8cm
11.若P 是边长为2的正三角形ABC 边BC 上的动点，则
的值恒为
)(+
?
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答案:6
12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y ) 值 依次记为(x 1 , y 1 )，(x 2 , y 2 )，……(x n , y n )，…… (1) 若程序运行中输出的一个数组是( , t)，则 t =；
(2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为
答案： ， 1005
13．已知数列{}n a 的通项公式为(21)2n n a n =-?，我们用错位相减法求其前n 项和n S ：
由23123252(21)2n n S n =?+?+?+-?…得
23412123252(21)2n n S n +=?+?+?+-?…
两式项减得：2312222222(21)2n n n S n +-=+?+?++?--?…，
94-
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图5
求得1(23)26n n S n +=-?+。类比推广以上方法，若数列{}n b 的通项公式为
22n n b n =?，
则其前n 项和n T 。
答案：
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知圆M 的极坐标方程为
2cos()604
π
ρθ
--+=，则ρ的最大值为
答案:15.（几何证明选讲选做题）如图5, AB 为⊙O 的直径,
AC 切⊙O 于点A ,且cm AC 22=,过C 的割线CMN 交
AB 的延长线于点D ,CM=MN=ND.AD 的长等于_______cm .
答案：16．(本小题满分12分)已知(1,sin ),((2),sin )3
m x n con x x π
==+ ，设函数f(x)=m n ? 。
(1)求函数f(x)的最小正周期. (2) 求函数f(x)的最大值.
解:f(x)=m n ? =cos(2x+)+sin x.
=
(1) 因为2,T ωπ=∴
=
3
π
21cos 21cos 2cos
sin 2sin
23
3222x x x x π
π
--+
=-
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(2)当sin 21x =-,即当,()4
x k k Z π
π=-
∈时,f(x)
17．（本小题满分12分）
在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。 （Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列。
解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P 1,则P 1=252102C C =4
9
……………………5分
（Ⅱ）ξ的取值可以是0，1，2，3…………………………………6分
(0)P ξ==(1-1P )3=
125
729
, (1)P ξ==12
311(1)C P P -=
300729=100
243,………………………………8分 (2)P ξ==22311(1)C P P -= =
240729=80
243
, (3)P ξ==31P =
64
729
………………………………10分
所以ξ的分布列如下表
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………………………………………………………12分
18.如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为a ，
D 是侧棱1CC 的中点．
(l)求证：平面1AB D ⊥平面11ABB A ； (2)求异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值；
(3)求平面1AB D 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小．
(l)证明：取1AB 的中点E ，AB 的中点F ．连结
DE EF CF 、、．
故11//
2EF BB ．又11
//.2
CD BB ∴四边形CDEF 为平行四边形，∴DE ∥CF ．又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱．△ABC 为正三角形．CF ?平面ABC ，
1,CF BB CF AB ∴⊥⊥，而1AB BB B = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又DE ∥CF ，
DE ∴⊥平面11ABB A ．
又DE ?平面1AB D ．所以平面1AB D ⊥平面11ABB A ．…………………………4分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则
1,0),(0,,0),(0,,),(0,0,),(0,0,0)22
a a
A C a D a
B a B
设异面直线1AB 与BC 所成的角为θ，则
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11||cos 4||||
AB BC AB BC θ?==?
故异面直线1AB 与BC
所成角的余弦值为
4
(3)由(2)
得1(,),(,)222
a a a
AB a AD =-=
设(1,,)n x y =为平面1AB D 的一个法向量．
由1(1,,)(,)0,2(1,,)(,)0,22a
n AB x y a a a n AD x y ??=?-=???
??=?=??
得，3x y ?=
???
?=??
即(1,
)33
n =……………………………………6分 显然平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m ．
则|(0,0,1)|
cos ,m n ?==
，故,4m n π=． 即所求二面角的大小为
4
π
………………14分 19．（本小题14分）已知12,F F 分别为椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，椭
圆的离心率e =
，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且?2MNF 的周长为8 （1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
A ，
B ，且OA ⊥OB （O 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请
说明理由；
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【解析】（1）据题意， ?2MNF 的周长为8，故48,2a a =∴=
又2222
24,1,3,14
c x e a b c y a ==
∴===∴+=椭圆方程．……………5分 （2）①设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx + t ，1122(,),(,)A x y B x y ．
解方程组2222222
4()4,(14)8440,14
y kx t x kx t k x ktx t x y =+??
++=+++-=?+=??得即……8分 要使切线与椭圆恒有两个交点A ，B ，
则使2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t ?=-+-=-+>
即1222222
2
122814410,41,4414kt x x k k t t k t x x k ?
+=-??+-+><+?-?=
?+?
即且，……………………………10分 2222222
2
2
12121212222
(44)84()()(),141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++
要使222221212222
444544
,0,0,141414t t k t k OA OB x x y y k k k ----⊥+=+==+++ 需使即
所以5t 2 – 4k 2 – 4 = 0，即5t 2 = 4k 2 + 4且t 2＜4k 2 + 1，即4k 2 + 4＜20k 2 + 5恒成立．
又因为直线y = kx + t 为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r
22
22222
4
(1)
44
5,.5511k t r x y k k +===+=++所求的圆为……12分 ②当切线的斜率不存在时，
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切线为22
22222
5,1(5,5)(5,5)545555
x x y =±+=±-±与交于点或满足．
综上，存在圆心在原点的圆224
5
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ．………………………………………………………14分
20. (本小题14分)已知321()3f x ax a x =
-，函数24(),[0,2]33
x g x x x =∈+ （1）当1a =时，求()f x 在点(3,6)处的切线方程 （2）求()g x 的值域；
（3）设0a >，若对任意，总存在，使10()()0g x f x -=，求实数的取值范围． 解：（1）当1a =时，3
1()3
f x x x =
-，∴2()1f x x '=-，(3)8f '= ∴切线方程为68(3)y x -=-，即8180x y --=-------------------3分
（2）2
4() [0,2]33
x
g x x x =
∈+ 0x =时 ()0f x = 02x <≤时，414412()133323
g x x x =
?≤=?=+，且()0g x > 当且仅当1x =时上式取等号 即 2
0()3
g x <≤
- 综上，()g x 的值域为2[0,]3
--------7分 (3)设函数()f x 在上的值域是A ，若对任意．
[]10,2x ∈[]00,2x ∈a []0,2[]10,2x ∈
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总存在,使10()()0g x f x -=，-------8分
由3
21()3
f x ax a x =
- 得
22()(f x ax a a x x '=-=，(0,2)x ∈ 令()0f x '=，得
(舍去) （i
）02<时，,(),()x f x f x '的变化如下表：
282
(2)233
f a a ∴=-≥，解得． ------------11分
(ii) 2≥时，()0f x '<函数()f x 在上单调递减．
28(0)0,(2)203f f a a ∴==-<，当时，不满足---13分
综上可知，实数的取值范围是． ------------14分
21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-(n ∈N*). （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令11
(1)log 2n n n a n c ++=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：当n ∈N*且n ≥2时，
22
n T <
. 解析（2）由122n n n S a +=-，得1122n n n S a --=-(n ≥2).
[]00,2x ∈20,3A ??∴?????
x =x =113a ≤≤∴()0,2 ∴[]0,2x ∈20,3A ??
?????
a 1,13??
????
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两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122n n n a a --=(n ≥2). 于是
11122n n n n a a ---=，所以数列{}2n
n
a 是公差为1的等差数列. …………5分 又21122S a =-，所以14a =. 所以
2(1)12
n
n a n n =+-=+，故(1)2n n a n =+?. ……………6分 （3）因为11(1)n n c n
+=-?，则当n ≥2时，
2111111234212n T n n =-+-++-- 111111
(1)2()232242n n
=++++-+++
111122n n n
=
+++++ . ……………9分
下面证
1111222
n n n +++<
++ 方法一：（1）令()ln(1)(0)1
x
g x x x x =+-
>+，则22
11'()01(1)(1)x g x x x x =
-=>+++， ∴()g x 在(0,)+∞时单调递增，()(0)0g x g >=，即当0x >时，ln(1)1
x x x +>+ 令1x n =
，111ln ln(1)ln 11n n n n n n +>?+->++，1
ln(2)ln(1)2
n n n +-+>+，
，1ln(3)ln(2)3n n n +-+>
+，……，1
ln(2)ln(21)2n n n
--> 以上n 个式相加，即有111
ln(2)ln 122n n n n n
->
+++++
∴111ln(2)ln ln 21222
n n n n n +++<-=<
++ ……………14分
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方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式
1111
122241
n n n n +++<-
+++ 。
①2n =时，111
349
+
<成立，故2n =时不等式成立。
②假设n k =时成立，即1111
122241
k k k k +++<-
+++ 则当1n k =+时，
11111111
2221224121221
k k k k k k k k ++++<-++-
+++++++
111
412122k k k =
-+-
+++，下面用分析法证
1111
41212245
k k k k -+-<++++ 即证
111141
1521224145(41)(45)(2)(2)22k k k k k k k k -<-==
++++++++ 即证
11
15(21)(22)(2)(2)22
k k k k <
++++， 故即证15(21)(22)(2)(2)2
2
k k k k ++>++，即证22
5462464
k k k k ++>++
上式显然成立。
（可以从n =k 到1n k =+时引导学生发现
1111
122()
k k k g n +++<-
++ 中的()g n 的值，此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很有效）
方法三：又据柯西不等式，有
111122n n n +++<++
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==. <
2
故
T<. ……………14分
22
n