中考内容
中考要求
A B C
圆的有关概念理解圆及其有关概
念
会过不在同一直线
上的三点作圆；能利
用圆的有关概念解
决简单问题
圆的性质知道圆的对称性，了
解弧、弦、圆心角的
关系
能用弧、弦、圆心角
的关系解决简单问
题
能运用圆的性质解
决有关问题
圆周角了解圆周角与圆心
角的关系；知道直径
所对的圆周角是直
角
会求圆周角的度数，
能用圆周角的知识
解决与角有关的简
单问题
能综合运用几何知
识解决与圆周角有
关的问题
垂径定理会在相应的图形中
确定垂径定理的条
件和结论
能用垂径定理解决
有关问题
点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系了解直线与圆的位
置关系；了解切线的
概念，理解切线与过
切点的半径之间的
关系；会过圆上一点
画圆的切线；了解切
线长的概念
能判定直线和圆的
位置关系；会根据切
线长的知识解决简
单的问题；能利用直
线和圆的位置关系
解决简单问题
能解决与切线有关
的问题
圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置
关系
能利用圆与圆的位
置关系解决简单问
题
中考内容与要求
与圆有关的位置关系
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题
扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积
和全面积
能解决与圆锥有关
的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年
题号11，20 20，25 8，20，25
分值9分13分17分
考点垂径定理的应用；
切线判定、圆与解
直角三角形综合
圆的有关证明，计
算（圆周角定理、
切线、等腰三角形、
相似、解直角三角
形）；直线与圆的
位置关系
圆的基本性质，圆
的切线证明，圆同
相似和三角函数的
结合；直线与圆的
位置关系
中考考点分析
定义示例剖析
点和圆的位置关系：
点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
设O
⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
点在圆外?d r
>；
点在圆上?d r
=；
点在圆内?d r
<. 点P在圆外：
P
r
O
点P在圆上：
P
r
O
点P在圆内：
P
r
O
确定圆的条件：
1. 圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），
确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
2. 过已知点作圆
C B
A
知识互联网
模块一点和圆的位置关系知识导航
⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O 为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点A B
、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B
、的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点A B C
、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C
、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过n()4
n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
A B C
、、三点确定一个圆
注意：
⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分
线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是
三角形三边垂直平分线的交点，它到三
角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于
给定的三角形，其外心是唯一的，但一
个圆的内接三角形却有无数个，这些三
角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
O
C B
A
OA OB OC
==
【例1】 1. 已知ABC
△中，90
ACB
∠=?，2
AC=，3
BC=，AB的中点为M，
⑴以C为圆心，2为半径作C
⊙，则点A，B，M与C
⊙的位置关系如何?
⑵若以C为圆心作C
⊙，使A，B，M三点至少有一点在C
⊙内，且至少有一点在C
⊙外，求C
⊙半径r的取值范围．
夯实基础
2. 矩形ABCD 中，8=AB ，53=BC ，点P 在边AB 上，且AP BP 3=，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A ．点
B 、
C 均在圆P 外 B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外
D ．点B 、C 均在圆P 内
【例2】 ⑴ 一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为
________．
⑵ 在ABC △中，90C ∠=?，10cm AC =，24cm BC =，则它的外接圆的直径为_____________．
⑶ 确定已知弧AB 所在圆的圆心．
定 义
示例剖析
直线和圆的位置关系：
直线和圆的位置关系有：直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交三种，这三种关系由圆心到这条直线的距离与半径的大小关系决定．
设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：
d r >?直线l 与O ⊙相离； d r =?直线l 与O ⊙相切； d r
直线和圆相离：
l
O
d r
直线与圆没有公共点 直线和圆相切：
l
O
d r
直线与圆有唯一公共点， 直线叫做圆的切线， 公共点叫做切点
直线和圆相交：
能力提升
知识导航
模块二 直线和圆的位置关系
B
A
l
O
d r
直线与圆有两个公共点， 直线叫做圆的割线
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一
切线的判定：
定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
d r 定义法 距离法 定理法
切线长：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半. 推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等. O
P
B
A
,PA PB OPA OPB =∠=∠
θ
θP
A C B
O
PBC ∠为弦切角，
1
2
PBC BAC BOC ∠=∠=∠.
【例3】 在Rt ABC △中，90C ∠=?，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆
和直线AB 有怎样的位置关系?为什么?
⑴ 9cm r =；⑵ 10cm r =；⑶ 9.6cm r =．
夯实基础
O
C B A
【例4】 ⑴ 如图为平面上圆O 与四条直线l 1、l 2、l 3、l 4的位置关系．若
圆O 的半径为20公分，且O 点到其中一直线的距离为14 公分，则此直线为何？（ ）
A ．l 1
B ．l 2
C ．l 3
D ．l 4
⑵ 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上一点， ∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长 线于点E ，则∠E 等于（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°
⑶ 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P ＝40°，则∠ACB 的 度数是（ ） A ．80° B ．110° C ．120° D ．140° ⑷ 如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，cm AB 3=，
cm BC 3=，则AOC ∠的度数是 ．
【例5】 1. 如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点.
求证： DE 为⊙O 的切线.
2. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以A C 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 与⊙O 相切； (2) 若AE=6，sin ∠CFD=3
5
，求EB 的长． 能力提升
C
A
B O O D
C
B A F
C O
D B
E A
l 3
l 4l 1O E
B D C
O F E D
C
B
A
【例6】 如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长
为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． ⑴ 求证：CD 与O ⊙相切；
⑵ 若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．
定 义
示例剖析
圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定．
设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中
R r >）
，两圆圆心距为d ，则有： d R r >+?两圆外离； d R r =+?两圆外切； R r d R r -<<+?两圆相交； d R r =-?两圆内切； 0d R r <-?≤两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与
⑴ 两圆外离：
r R
O 1
O 2
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． ⑵ 两圆外切：
r
R O 2O 1
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在
另一个圆的外部． ⑶ 两圆相交： 知识导航
模块三 圆与圆的位置关系
内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
r R O 1O 2
两个圆有两个公共点．
⑷ 两圆内切：
r R
O 1O
2
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． ⑸ 两圆内含：
r R
O 1
O
2
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
【例7】 ⑴ 圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为（ ）
A. 1
B. 3
C. 1或2
D. 1或3
⑵ 如图，平面直角坐标系中，⊙O 的半径长为1， 点()0 ，a P ，⊙P 的半径长为2，把⊙P 向左平 移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1或3 D. 1±或3±
⑶ 若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距 为_______．
⑷ 相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正 确的是（ ）
夯实基础
P
1
1O
y x
A. B.
C. D.
⑸ 两圆的圆心距为7，两圆的半径分别是方程01072=+-x x 的两个根，则两圆的
位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
如图，PA ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点， AC 是O ⊙的直径，若25BAC ∠=°，则 P ∠= 度.
.
训练1. 在ABC △中，90C ∠=?，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答
下列问题，并说明理由.
⑴ 当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？
⑵ 当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶ 是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？
训练2. 已知：A B C D E ，，，，五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三
点作圆，最多能作出________个圆． （西
城区教研）
训练3. 如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延
长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC 是O ⊙的切线．
思维拓展训练(选讲)
P
O
C
B
A C
B A
O
D
C
A P
G
F E
K D
C
B
A
训练4. 如图，两个等圆O ⊙和O ⊙′，O ⊙′
的两条切线OA OB 、，A B 、是切点，则AOB ∠等于__________．
知识模块一 点和圆的位置关系 课后演练
【演练1】 定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．如图，现有一矩形ABCD ，14cm 12cm AB BC ==，
，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K
⊙的距离为______________．
知识模块二 直线和圆的位置关系 课后演练
【演练2】 如图，AB 为O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，AD 和过C 点的切线
互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分DAB ∠．
【演练3】 已知：如图，P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PE OA ⊥于
E ．
以P 点为圆心，PE 长为半径作P ⊙．求证：P ⊙与OB 相切．
知识模块三 圆和圆的位置关系 课后演练
【演练4】 图中包含的两圆之间不同的位置关系有____________________________．
【演练5】 ⑴已知两圆相切，两圆半径分别为5cm 和2cm ，则圆心距为______________．
⑵设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙ 相切的半径为3的圆的个数是_______． 实战演练
B
A
O'O
O
D
C
B
A
P
B