第四章静定结构的位移计算
一. 教学内容
理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。
能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下
的位移。
掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。
一. 教学目的
掌握各种静定结构的位移计算,为超静定结构的内力和位移计算打好基础。
二. 主要章节
第一节、概述
第二节、功和虚功原理
第三节、单位荷载法计算位移的
第四节、结构在荷载作用下的位移计算
第五节、图乘法
第六节、温度作用时静定结构的位移计算
第七节、支座移动时静定结构的位移计算
第八节、线性变形体系的互等定理
§6-9 小结
§6-10 思考与讨论
§6-11 习题
§6-12 测验
三. 学习指导
本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。
四. 参考资料
《建筑力学教程》P61～80
第一节、概述
一. 教学目的
了解位移的概念。
二. 主要内容
. 结构位移计算概述
三. 学习指导
本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。
四. 参考资料
《建筑力学》P61
6.1.1位移的概念：
结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。
图6-1
结构位移计算的目的：
(1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。
(2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。
6.1.2.产生位移的原因：
(1) 荷载作用；
(2) 温度变化和材料胀缩；
(3) 支座的沉降和制造误差。
位移计算的理论基础----虚力原理
第二节、功和虚功原理
第一节、单跨静定梁
一. 教学目的
掌握刚体和变形体的虚功原理；
掌握虚功原理的应用。
二. 主要内容
1.刚体和变形体的虚功原理；
2.虚功原理的应用。
三. 参考资料
《建筑力学》P62～P63
6.2.1 刚体体系的虚功原理
1. 刚体虚功原理
虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：
设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。
虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根
据不同的问题进行不同的假设。
本节是利用假设的位移进行求解未知力。
下面通过实例Array
来理解刚体体系的
虚功原理.
图示4-1a是一
几何可变体系，已图4-1a
知力 P ，为了平衡是求力 F 的大小。
虚设一位移状态图4-1b ，位移的假设应与荷载相一
致。
根据虚功原理,可以通过以下计算求出力 F
:
图4-1b
特点:
(1). 位移是假设的；
(2). 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系； (3). 采用几何几何的方法求解静力平衡问题。
2. 应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。 力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。 位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。
由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行：
(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力 F X 来代替,同时,结构则相应的变为机构.
(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力 F X 和主动荷载 F P 相应的位移分别是 ΔX 和 ΔP ，利用虚功原理可得：
(3)求出 ΔX 和 ΔP 之间的相互关系，即可求得 F X ：
(4)为了计算方便，假设ΔX = 1 ，此时，ΔP则用δP表示。
以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于ΔX = 1，所以又称单位支座位移法。
3. 实例分析
求图4-2a所示简支粱支座 B 的支反力及截面 C 处的弯矩.
图4-2
解:
(1)求支座 B 的支反力 R 。
力状态：将支座 B 去掉，用支反力R代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b）。
位移状态：在支座 B 处设一竖向位移1， AB 杆成斜线（图4-2-c）。
则：支反力的虚功为 1R ；
均不荷载的虚功为：
(2)求 R 截面处的弯矩 M
力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面 C 由刚接改为铰接，注意 C 截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d）。
位移状态：设 C 处的竖向位移为1，则 AC 、 BC 段的转角分别为：
2、虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理
虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。
下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。
,现在求B处如图6-2a中所示的静定粱，支座C向上移动了一个已知距离c
1
的位移Δ。
图6-2
为了应用虚功原理，计算图6-2a中的位移状态中的位移，应根据所求位移来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。
根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它方面两者完全无关，因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够在实际状态的所求位移Δ上做虚功，应在该点施加一集中力大小为1（为什么）----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图6-2b）。应用平衡条件可求出支座反力。
利用虚功原理可得：
结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。
6.2.2 变形体的虚功原理
（1）. 变形体的虚功原理
虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式：
虚力原理、虚位移原理
变形体的虚功原理可表述为：
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功W i 。
可简单写成：外力功W =内力功W i
虚功原理涉及两组彼此无关的量----作用于结构的平衡力系和符合结构约
束条件的微小连续变形系。
（2）、变形体虚功原理的应用条件
变形体虚功原理的应用条件是：力系应当满足平衡条件----力系是平衡的；位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小连续的。
虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。
（3）. 变形体虚功原理的表达式
对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为：
如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于求力系中的某未知力。
如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容。
第三节、单位荷载法计算位移
一、教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，理解广义力、广义荷载和单位荷载法，利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。正确理解结构位移计算的一般公式。
二. 主要内容
1. 单位荷载法
2. 位移计算的一般步骤
3. 广义力和广义位移
三. 学习指导
本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式，对于相应的理论没有给出进一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载法。
四. 参考资料
《建筑力学教程》 P64
6.3.1. 单位荷载法
根据虚力原理的基本表达式：
为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载P。这样上式就变成：
进一步令P=1，便有：
式中，是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力和内力，它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。
由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移的基本思路。
下面讨论位移计算的一般步骤和思路
6.3.2. 位移计算的一般步骤
求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：
(1) 虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。
(2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。
(3) 利用公式：
可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反，具体计算可参考荷载作用下的位移计算和温度变化下的位移计算。
下面将讨论如何建立虚设状态----单位荷载状态。
6.3.3. 广义位移和虚设状态
本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载：
第四节、结构在荷载作用下的位移计算
一. 教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计算。正确理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式,能够计算结构的位移。
二. 主要内容
1. 各种结构的位移计算公式
2. 粱的位移计算实例
3. 桁架位移计算实例
三. 学习指导
本节的主要内容是用积分法计算结构的位移，对于相应的理论没有给出一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算，学习的方法是多进行练习，学习的基础是结构内力的计算和表示。
四. 参考资料
《建筑力学》P65～67
6.4.1. 各种结构位移计算公式
根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：
下面讨论结构在荷载作用下的计算公式，利用材料力学中内力与应变的关系：
这里，E和G分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A 和I分别是杆件截面的面积和惯性矩。k是与截面形状有关的系数。
将上两个结论进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式
内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。
各类结构的位移计算：
(1) 粱和刚架
由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为
(2) 桁架
桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为
(3) 组合结构
桁粱混合结构中，一些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为
(4) 拱
对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即
当压力线与拱轴线不相近时，只考虑弯曲变形的影响。
6.4.2. 粱的位移计算实例
位移计算的基本步骤：
(1) 根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程；
(2) 列实际荷载作用下的各杆段内力方程；
(3) 将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可计算所求位移。
实例分析：
试计算图6-3a 所示悬臂粱在B 端的竖向位移，EI 为常数。
图6-3
解: 虚设单位荷载图6-3b 。
实际荷载和单位荷载的弯矩方程为：
利用计算位移公式可得
计算结果为正说明实际位移方向与单位荷载方向一致。
有关粱和刚架的位移计算将在图乘法中继续分析。
6.4.3. 桁架的位移计算
计算图示是结构E 点的挠度，上弦杆截面面积为A1=120cm2，弹性模量为E1 =103kN / cm2下弦杆截面面积为A2 =100cm2，弹性模量为E2 =2.1×104kN / cm2腹杆截面面积为A3 =64cm2，弹性模量为E 3=2.1×104kN / cm2
图6-4
解：在结点E 加单位力，并求相应的内力（图6-4b）。
求实际荷载的内力(图6-4c)。
由于对称性，可计算一半内力，杆DF的长度只取一半。列表计算位移
所以
第五节、图乘法
一. 教学目的
正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义,能够利用图乘法计算粱、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。
二. 主要内容
1. 图乘法及应用条件
2. 常见图形的面积和形心
3. 图乘法的几个具体问题
4. 图乘法应用举例(1)
5. 图乘法应用举例(2)
三. 学习指导
图乘法是粱、刚架位移计算的主要方法也是位移计算的重点，应重点掌握，练习和测验都是围绕图乘进行的，应多做练习。
四. 参考资料
《建筑力学》 P69-74
6.5.1. 图乘法及应用条件
根据计算粱和刚架位移的公式：
为避免微分运算，以下介绍一种计算方法----图乘法。
下面说明图乘法的内容和应用条件
图6-5为某直杆段AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线( M i图),如果抗弯刚度EI为常数，则可进行以下计算：
图6-5
上式中y0是在M K图形心C 对应处的M i图标距，A 是M K图的面积，因此：
位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法应注意两点：
1. 应用条件：
杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距y0 应取自直线图形中。
2. 正负号规定：
面积A与标距y0在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。
6.5.2. 常见图形的面积和形心
根据图乘法，位移计算主要是计算图形的面积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和面积：
三角形
二次抛物线
二次抛物线
二次抛物线
三次抛物线
n次抛物线图6-6
以上图形的抛物线均为标准抛物线----抛物线的顶点处的切线都是与基线平行。
对于复杂图形问题可以参考应用图乘法时的几个具体问题。
6.5.3. 应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。
(2) 如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如图6-7所示
图
6-7 图6-8
则计算结果应为：
(3) 如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，
对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。
图6-9
讨论：
以上抛物线中的M0 的两个图形并不相似,为什么面积和形心的横坐标是相同的?
6.5.4. 图乘法应用举例 (1)
试计算图6-10a所示悬臂粱B 点的竖向位移，EI为常数。
图6-10
解:虚设单位荷载（图6-10b),
作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图(图6-10a 、图6-10b)。
应用图乘法，实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标：
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。
第4章 静定结构的位移计算 4.1 结构位移的概念 4.1.1 结构位移 结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。 如图4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ?，它也可以用水平线位移Ax ?和竖向线位移Ay ?两个分量来表示如图4.1(b)。同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ?表示。又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ?角位移。同时截面B 发生了B ?的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ???+=。同理，C 、D 两点的水平线位移分别为 C ?如 D ?，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ?+?=?。 除上述位移之外，静定结构由于支座沉降等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。 一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。 图4.1 图4.2
引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。 4.1.2 结构位移计算的目的 1. 验算结构的刚度 结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。 2. 解算超静定 计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。 3. 保证施工 在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。 4. 研究振动和稳定 在结构的动力计算和稳定计算中，也需要计算结构的位移。 可见，结构的位移计算在工程上是具有重要意义的。 4.1.3 位移计算的有关假设 在求结构的位移时，为使计算简化，常采用如下假定： (1) 结构的材料服从胡克定律，既应力应变成线性关系。 (2) 结构的变形很小，不致影响荷载的作用。在建立平衡方程时，仍然用结构原有几何尺寸进行计算；由于变形微小，应力应变与位移成线性关系。 (3) 结构各部分之间为理想联结，不需要考虑摩擦阻力等影响。 对于实际的大多数工程结构，按照上述假定计算的结果具有足够的精确度。满足上述条件的理想化的体系，其位移与荷载之间为线性关系，常称为线性变形系。当荷载全部去掉后，位移即全部消失。对于此种体系，计算其位移可以应用叠加原理。 位移与荷载之间呈非线性关系的体系称为非线性变形体系。线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系。本书只讨论线性变形体系的位移计算。 4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 虚功和刚体系虚功原理 实功：若力在自身引起的位移上做功，所做的功称为实功。 虚功：若力在彼此无关的位移上做功，所做的功称为虚功。 虚功有两种情况：其一，在做功的力与位移中，有一个是虚设的，所做的功是虚功；
静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l l/l/22
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 a 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
王飞教师结构力学课程第13 讲（单元）教案设计
第六章静定结构的位移计算 §5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 5.1.1. 结构位移计算概述 位移的概念：结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种（图5-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。 图5-1 结构位移计算的目的： (1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。 (2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。 产生位移的原因： (1) 荷载作用； (2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。 5.1.2 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理 虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。
下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。 如图5-2a中所示的静定梁，支座C向上移动了一个已知距离1,现在求B处的位移Δ。 图5-2 为了应用虚功原理，计算图6-2a中的位移状态中的位移，应根据所求位移来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。 根据虚功原理，力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它方面两者完全无关，因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够在实际状态的所求位移Δ上做虚功，应在该点施加一集中力大小为1（为什么？）----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图5-2b）。应用平衡条件可求出支座反力。 利用虚功原理可得： 结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出
§1.3超静定结构的计算 超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件 不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。 计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解 题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算 问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要 解决的关键问题就是求解基本未知量。 1.3.1力法 力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。 （一）超静定次数的确定一 超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用 n表示。 确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中 的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原 结构的超静定次数。 在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种： ●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束； ●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于 去掉两个约束； ●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。 （二）力法的基本原理法 现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。其中，要特别重视力法的三个基本概念。
图1-26 1、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。力法这个名称也因此而得。 2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支 座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与 原结构完全相同。由此看出，基本体系本身既是静定结构（可方便计算），又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。 3、力法的基本方程：为求多余未知力，除平衡条件外，还须补充 新的条件，即利用原结构的已知变形条件。在本例中，基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同，即 Δ1=0 （a） 由图1-26d和e可知，变形条件（a）可表示如下： （b） 根据叠加原理，，于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。 a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q
建筑力学常见问题解答 5 静定结构位移计算 1.为什么要计算结构的位移？ 答：结构位移计算的目的有两个。一个目的是验算结构的刚度。在结构设计中，除了应该满足结构的强度要求外，还应该满足结构的刚度要求，即结构的变形不得超过规范规定的容许值(如屋盖和楼盖梁的挠度容许值为梁跨度的1/200～1/400，而吊车梁的挠度容许值规定为梁跨度的1/600)。另一个目的是为超静定结构的内力计算做准备。因为在超静定结构计算中，不仅要考虑结构的平衡条件，还必须满足结构的变形协调条件。 2. 产生位移的主要因素有哪些? 答：产生位移的主要因素有下列三种： (1)荷载作用；(2)温度变化和材料的热胀冷缩；(3)支座沉降和制造误差。 3.结构位移有哪两类？ 答：结构变形时，结构上某点产生的移动或某个截面产生的移动或转动，称为结构的位移。 结构的位移可分为两类：一类是线位移，指结构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位移，指结构上某点截面转动的角度。 4. 线性变形体系的应用条件是什么？ 答：线性变形体系的应用条件是： (1) 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比关系； (2) 结构变形微小，不影响力的作用。
线性变形体系也称为线性弹性体系，它的应用条件也是叠加原理的应用条件，所以，对线性变形体系的计算，可以应用叠加原理。 5.应怎样理解虚功中作功的力和位移的对应关系？ 答：功包含了两个要素——力和位移。 当做功的力与相应于力的位移彼此独立无关时，就把这种功称为虚功。在虚功中，力与位移是彼此独立无关的两个因素。不仅可以把位移状态看作是虚设的，也可以把力状态看作是虚设的，它们各有不同的应用。 6. 何谓虚功原理？ 答：变形体虚功原理表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功，等于第一状态上的内力在第二状态上的变形上所做的内力虚功。即外力虚功W12=内力虚功W/12 7.何谓广义力？何谓广义位移？ 答：如果一组力经历相应的位移作功。即一组力可以用一个符号F表示，相应的位移也可用一个符号Δ表示，这种扩大了的力和位移分别称为广义力和广义位移。 8.何谓单位荷载法？ 答：利用虚功原理建立结构在荷载作用下的位移计算公式时，首先要确定力状态和位移状态。 由于实际荷载作用下结构产生位移和变形，所以是位移状态，也可以称为实际状态。 为用虚功原理，还必须建立力状态。由于力状态和位移状态除了结构形式
第3章 静定结构位移计算 §3 – 1 基本概念 3-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 3-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 3-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
静定结构的位移计算
第4章 静定结构的位移计算 4.1 结构位移的概念 4.1.1 结构位移 结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。 如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ?，它也可以用水平线位移Ax ?和竖向线位移Ay ?两个分量来表示如图4.1(b)。同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ?表示。又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ?角位移。同时截面B 发生了B ?的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ???+=。同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ?如D ?，这两个指向相反的水平位移之和称为 C 、 D 两点的水平相对线位移，既D C CD ?+?=?。 除上述位移之外，静定结构由于支座沉降
第4章静定结构的位移计算70 等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。 一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。 4.1 图
71 第4章静定结构的位移计算 引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。 4.1.2 结构位移计算的目的 1. 验算结构的刚度 结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。 2. 解算超静定 计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。 3. 保证施工 在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。 4. 研究振动和稳定 在结构的动力计算和稳定计算中，也需要计算结构的位移。 可见，结构的位移计算在工程上是具有重
第四章静定结构的位移计算 一. 教学内容 理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下 的位移。 掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。 一. 教学目的 掌握各种静定结构的位移计算,为超静定结构的内力和位移计算打好基础。 二. 主要章节 第一节、概述 第二节、功和虚功原理 第三节、单位荷载法计算位移的 第四节、结构在荷载作用下的位移计算 第五节、图乘法 第六节、温度作用时静定结构的位移计算 第七节、支座移动时静定结构的位移计算 第八节、线性变形体系的互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导 本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。 四. 参考资料 《建筑力学教程》P61～80 第一节、概述
一. 教学目的 了解位移的概念。 二. 主要内容 . 结构位移计算概述 三. 学习指导 本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。 四. 参考资料 《建筑力学》P61 6.1.1位移的概念： 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。 图6-1 结构位移计算的目的： (1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。 (2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。 6.1.2.产生位移的原因：
一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程
（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件
（3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系
第5章 静定结构位移计算 §5 – 1 基本概念 5-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 5-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 5-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
第5章 静定结构位移计算 习题 5-1：由积分法求图示悬臂梁C 点的竖向位移CY ?，杆件的EI 为常数。 题5-1图 5-2：由积分法求图示悬挑梁C 点、D 点的竖向位移CY ?和DY ?，杆件EI 为常数。 题5-2图 5-3：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，向左发生了b 的移动，求由此引起C 点的转角C ??和D 点的竖向位移DY ?。 题5-3图 题5-4图 5-4：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，C 支座向右发生了b 的移动，求由此引起铰D 两侧截面的相对转角D ??和E 点的竖向位移EY ?。 5-5：图示桁架的CE 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 m 4kN
题5-5图 5-6：图示桁架的EB 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 题5-6图 5-7：求图示桁架E 点的竖向位移 EY ?、FG 杆的转角 FG ??，所有杆件EA 相同。 题5-7图 5-8：求出图示桁架C 点的竖向位移 CY ?，所有杆件的EA 相同。
题5-8图 5-9：求图示结构的C 、D 两点的相对水平位移 CDX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-9图 5-10：求图示结构D 点的水平位移 DX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-10图 5-11：计算图示结构D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同，弹簧刚度系数为k 。 10kN
题5-11图 5-12：试求图示结构G 点的水平位移GX ?，所有杆件的EI 均为常量。 题5-12图 5-13：用图乘法求图示结构D 点的竖向位移DY ?，所有杆件的EI 相同，弹簧的刚度系数为k 。 题5-12图 5-14：求图示结构A 点的水平位移 AX ?、D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同。 q kN
第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
静定结构位移计算试题 一、是非判断： １．变形体虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） ２．虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任何一个都可看作是虚设的。（ ） ３．功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） ４．位移反力互等定理对线弹性的静定结构和超静定结构均适用。（ ） ５．图1-５(a)、(b)各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。（ ） 题1-5图 题1-6图 ６．如图题1-6所示斜梁EI ＝常数，则截面A 的转角EI ql A 243 = ?（顺时针）。（ ） ７．图题1-7(a)、(b) 各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。（ ） 题1-7图 ８．M P 图、M 图1-8(a)、(b)所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的： )8 5 323221(1l al l al EI CH ?+?=?。 （ ） 题1-8图 ９．图题1-9中，下列图乘结果是正确的： )3 1(1))(31(132221111y b l EI y b a l y b l EI ?+?-+?。 （ ） 10．图1-10中，下列图乘结果是正确的： )8 5 323221(1d bc d ac EI ?+?。 （ ） 11．对于静定结构，没有内力就没有变形。（ ） 12．对于静定结构，没有变形就没有位移。（ ） 13．用单位荷载法计算结构位移时，用于计算外力虚功的广义力是虚设的广义单位力，而相应的广义位移是拟求的实际位移。（ ） q (a) (b) l a a q A B P (b)M 图
题1-9图 题1-10图 14．如果结构是由线弹性材料制成的，但在有温度变化的情况下，功的互等定理不成立。（ ） 二、填空 1．虚功原理有两种不同的应用形式，即 原理和 原理。其中 原理等价于变形协调条件。 2．位移计算时，虚拟广义单位力的原则是使外力虚功的值恰好等于 值。 3．用图乘法计算梁和刚架位移的适用条件是 。 4．如图2-4所示结构支座A 下沉a ，支座B 向右移动b ，则结点C 、D 的相对转角为 。 题2-4图 题2-5图 题2-6图 5．如图2-5所示结构中的AB 杆比原设计长度做短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为 ；引起支座A 的水平反力为 。 6．如图2-6所示三铰刚架，EI=常数。铰C 的竖向位移为 。 7．如图2-7所示结构，EI=常数。铰C 两截面的相对转角为 。 8．已知图2-8所示连续梁支座B 的反力为)(16 11 ↑=P R B ，则该连续梁在支座B 下沉1=?BV 时，D 点的竖向位移DV ?为 。 题2-7图 题2-8图 9．已知图2-9(a)所示简支梁在C 点作用集中力P =1kN 时，截面B 的角位移为0.005弧度，则该梁在截面 a b 1ω 2ω 3ω EI 1 EI 2 (a)M P 图 y 2 (a)M P 图 (b)M 图 C C P D B DV ? 1 =BV (a) (b)
建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ
第4章静定结构的位移计算习题解答 习题4.1 是非判断题 (1 变形体虚功原理仅适用于弹性体系,不适用于非弹性体系。( (2 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。( (3 功的互等定理仅适用于线弹性体系,不适用于非线弹性体系。( (4 反力互等定理仅适用于超静定结构,不适用于静定结构。( (5 对于静定结构,有变形就一定有内力。( (6 对于静定结构,有位移就一定有变形。( (7 习题4.1(7图所示体系中各杆EA 相同,则两图中C 点的水平位移相等。( (8 M P 图,M 图如习题4.1(8图所示,EI =常数。下列图乘结果是正确的: 4 832(12l l ql EI ??? ( (9 M P 图、M 图如习题4.1(9图所示,下列图乘结果是正确的: 0332 02201111(1y A EI y A y A EI ++ ( (10 习题4.1(10图所示结构的两个平衡状态中,有一个为温度变化,此时功的互等 定理不成立。(
F C C F l (aP l l (b P l 习题 4.1(7图图 (bM l /4 1 图 (aM P l 8
1ql 2q M 图 (bP M 图 (a1 02 y A 3A 2 1A 2 EI EI 1 01 y 03 y 习题 4.1(8图习题 4.1(9图(a(b F P t 12 t
习题 4.1(10图 【解】(1错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。 (2错误。只有一个状态是虚设的。 (3正确。 (4错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 (5错误。譬如静定结构在温度变化作用下,有变形但没有内力。 (6错误。譬如静定结构在支座移动作用下,有位移但没有变形。 (7正确。由桁架的位移计算公式可知。 (8错误。由于取0y 的M 图为折线图,应分段图乘。 (9正确。 (10正确。习题4.2 填空题 (1 习题4.2(1图所示刚架,由于支座B 下沉?所引起D 点的水平位移?D H =______。 (2 虚功原理有两种不同的应用形式,即_______原理和_______原理。其中,用于求位移的是_______原理。 (3 用单位荷载法计算位移时,虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。 (4 图乘法的应用条件是:__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。 (5 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5图所示,曲线为二次抛物线,横梁的 抗弯刚度为2EI ,竖杆为EI ,则横梁中点K 的竖向位移为________。 (6 习题4.2(6图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ,由此引起C 点的竖向位移为________;引起支座A 的水平反力为________。 (7 习题4.2(7图所示结构,当C 点有F P =1(↓作用时,D 点竖向位移等于?(↑,当E 点有图示荷载作用时,C 点的竖向位移为________。 (8 习题4.2(8图(a 所示连续梁支座B 的反力为(16 11R ↑=B F ,则该连续梁在支座B
4静定结构的位移计 算
第4章静定结构的位移计算 4.1 计算结构位移的目的 结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。这些移动和转动称为结构的位移。此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。 例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b 所示。这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。 又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。此时，C点移至C'点，即C点的线位移为C C'。若将C C'沿水平和竖向分解（图4—2b），则分量C''C'和CC''分别称为C点的水平位移和竖向位移。同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。 计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。 此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
本章所研究的是线性变形体系位移的计算。所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。 4.2 功广义力和广义位移 在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。 例如在图4—3a所示结构中，A点处作用一个集中力F，待达到平衡以后，假设由于某种其他原因结构继续发生如图4—3b所示的变形，力F的作用点由A移动到A'。在移动过程中，如果力F的大小和方向均保持不变，则力F所作之功为 W =F ? 式中是A点的线位移AA'在力作用线方向的分位移，也称为与力F相应的位移。为了清晰，在图4—3a中没有标明由于力F作用而使结构发生的变形，在图4—3b中则没有标明使结构发生变形的原因。
ΔC ΔCy ΔCx 第四章 静定结构结构位移计算 学习目的和要求 静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功原理是结构力学结构力学中的重要理论。位移计算公式就是在此原理上得到的，对于近一学习也起到奠基性的作用。 本章基本要求： 1、了解温度改变、支座移动引起的位移计算。 2、领会变形体虚功原理和互等定理。 3、掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 4、熟练荷载产生的位移计算。 5、熟练掌握图乘法求位移。 学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算；支座移动、温度改变产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。 §4.1 应用虚力原理求刚体体系位移 1、 结构的位移： 结构在荷载作用下，要产生内力和变形，结构的变形引起结构的位移，位移一般分为线位移和角位移两种，线位移是指结构上点的移动，角位移是指杆件横截面产生的转动。 2、 计算位移的目的： (1) 验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。 (2) 为超静定结构的内力分析打基础。超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。 (3) 结构制作、施工过程中也常需先知道结构的位移 2、 产生位移的主要原因 产生位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移动和制造误差。 各种因素对静定结构的影响 (1)荷载使静定结构产生内力、变形、位移； （2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产生内力、但能产生变形、位移；
iP （3）支座移动或制造误差使静定结构不产生内力变形、但能产生位移； 4、位移计算方法： 本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。 由于线性变形体系和叠加原理的使用条件都是：①材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比； ②结构变形微小，不影响力的作用。所以，对线性变形体系的位移计算，可以应用叠加原理。 §4.2 结构位移计算的一般公式 如结构在荷载、温度改变、支座移动等因素作用下而发生了图1所示变形和位移，这是结构的实 际的位移状态。要利用虚功方程求位移Δi2（状态②中i方向的位移）。应先虚拟力状态：在欲 求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载（如图2）。求出虚拟力状态 的内力和反力。由虚功方程，即得平面杆系结构位移计算的一般公式： 该式适用于：①静定结构和超静定结构； ②弹性体系和非弹性体 系； ③各种因素产生的位移计算。 §4.3 荷载作用下的位移计算 如果弹性体系由荷载产生了内力（M P，N P，Q P）， 而内力产生的变形可由材料力学公式得到 代入虚功方程式得： 几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移；