静力学
1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图
F Ax
F A y
F B
(a)
(a)
F A
F B
F B
F D
F D F Bx
F By
F Bx
F C
F B
F C
F By
1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图
1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图
1-5a
1-5b
F Ax
F A y F D
F By
F A F Bx
F B F A
F Ax F A y F Dx
F Dy W
T E
F Cx
F C y
W
F Ax
F A y
F Bx
F B y
F Cx
F C y
F Dx
F Dy
F Bx F By
T E
N’
F B
F D
F A N F A
F B
F D
1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2,机构在图示位置平衡。试求二力F 1和F 2之间的关系。
解:杆AB ,BC ,CD 为二力杆,受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法)
假设各杆受压,分别选取销钉B 和C 为研究对象,受力如图所示: 由共点力系平衡方程,对B 点有:
∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有:
∑=0x F 030
cos 0
1=-F F BC
解以上二个方程可得:
22163.13
6
2F F F ==
解法2(几何法)
分别选取销钉B 和C 为研究对象,根据汇交力系平衡条件,作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形,如图所示。 对B 点由几何关系可知:
0245cos BC F F =
对C 点由几何关系可知:
0130cos F F BC =
解以上两式可得:2163.1F F =
F AB
F BC F CD 60o F 1
30o F 2 F BC
45o F 2
F BC F AB
B
45o
y x
F CD C
60o F 1
30
o F BC x y
45
030
2-3 在图示结构中,二曲杆重不计,曲杆AB 上作用有主动力偶M 。试求A 和C 点处的约束力。
解:BC 为二力杆(受力如图所示),故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。曲杆AB 受到主动力偶M 的作用,A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。AB 受力如图所示,由力偶系作用下刚体的平衡方程有(设力偶逆时针为正):
=∑
M 0)45sin(100=-+??M a F A θ
a
M F A 354
.0= 其中:3
1
tan =
θ。对BC 杆有: a
M
F F F A B C 354.0=== 。A ,C 两点约束力的方向如图所示。
2-4四连杆机构在图示位置平衡,已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC 上力偶的力偶矩M 2=1N ·m 。试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力AB F 。各杆重量不计。
解:
机构中AB 杆为二力杆,点A,B 出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C 处的约束力方向也可确定,各杆的受力如图所示。对BC 杆有:
0=∑M 030sin 20=-??M C B F B 对AB 杆有:A B F F =
对OA 杆有:
0=∑M
01=?-A O F M A
求解以上三式可得:m N M ?=31, N F F F C O AB
5===,方向如图所示。
F B F A
θ θ F B
F C F A
F O
O F A
F B F B
F C C
2-6等边三角形板ABC,边长为a ,今沿其边作用大小均为F 的力321,,F F F ,方向如图a,b 所示。试分别求其最简简化结果。
解:2-6a
坐标如图所示,各力可表示为:
j F i F F ρρρ2
3211+=,
i F F ρρ
=2,
j F i F F ρρρ2
3213+-=
先将力系向A 点简化得(红色的): j F i F F R ρρρ
3+=, k Fa M A ρρ2
3
=
方向如左图所示。由于A R M F ρ
ρ⊥,可进一步简化为一个不过A 点的力(绿色的),主矢不变,
其作用线距A 点的距离a d 4
3
=,位置如左图所示。
2-6b
同理如右图所示,可将该力系简化为一个不过A 点的力(绿色的),主矢为:i F F R ρρ
2-=
其作用线距A 点的距离a d 4
3
=
,位置如右图所示。
简化中心的选取不同,是否影响最后的简化结果?
2-13图示梁AB 一端砌入墙内,在自由端装有滑轮,用以匀速吊起重物D 。设重物重为P, AB 长为l ,斜绳与铅垂方向成α角。试求固定端的约束力。 法1 解:
整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程(坐标一般以水平向右为x 轴正向,竖直向上为y 轴正向,力偶以逆时针为正):
∑=0x F 0sin =+Bx F P α
∑=0y F
cos =--αP P F By
选梁AB 为研究对象,受力如图,列平衡方程:
x
y F R
M A
F R d
x
F R
M A
F R d y
P
B F Bx F
By
P
∑=0x F 0=-Bx Ax F F ∑=0y F 0=-By Ay F F 0=∑A M 0=?-l F M By A
求解以上五个方程,可得五个未知量
A
By Bx Ay Ax M F F F F ,,,,分别为:
αsin P F F Bx Ax -==(与图示方向相反)
)
cos 1(α+==P F F By Ay (与图示方向相同) l P M A )cos 1(α+= (逆时针方向)
法2 解:
设滑轮半径为R 。选择梁和滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程:
∑=0x F
0sin =+αP F Ax
∑=0y F 0
cos =--αP P F Ay
0=∑A
M
02
tan
sin )(cos )(=-----α
α
αR P R l P R l P M A
求解以上三个方程,可得
A
Ay Ax M F F ,,分别为:
αsin P F Ax -= (与图示方向相反)
)
cos 1(α+=P F Ay (与图示方向相同)
l P M A )cos 1(α+= (逆时针方向)
2-18均质杆AB 重G ,长l ,放在宽度为a 的光滑槽内,杆的B 端作用着铅垂向下的力F ,如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角α。 解:
选AB 杆为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
0=∑A M 0
cos cos 2cos =?-?-?
αααl F l
G a N D ∑=0y F 0cos =--F G N D α
求解以上两个方程即可求得两个未知量α,D N ,其中:
3
1
]
)2()(2arccos[l G F a G F ++=α
未知量不一定是力。
M A F Bx F By
F Ax
F A y
M A
P
F Ax F A y P
A
N A
N D
D
2-27如图所示,已知杆AB 长为l ,重为P ,A 端用一球铰固定于地面上,B 端用绳索CB 拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB 与Oyz 夹角为α,绳与轴Ox 的平行线夹角为θ,已知N P m c m a o 200,45,4
3
tan ,4.0,7.0===
==θα。试求绳子
的拉力及墙的约束力。 解:
选杆AB 为研究对象,受力如下图所示。列平衡方程:
=∑y
M
0tan sin cos tan 21
=?-?-?αθθαc F c F c P BC BC
N F BC 6.60= 0'
=∑x M
0sin 2
1
=?-?-?a F c F a P BC B θ N F B 100=
由∑=0
y F
和∑=0z F
可求出Az Ay F
F ,。平衡方程
=∑x
M
可用来校核。
思考题:对该刚体独立的平衡方程数目是几个?
2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑,连接处皆为铰链。已知力F 作用在平面BDEH 内,并与对角线BD 成o 45角,OA=AD 。试求各支撑杆所受的力。 解:
杆1,2,3,4,5,6均为二力杆,受力方向沿两端点连线方向,假设各杆均受压。选板ABCD 为研究对象,受力如图所示,该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程:
0=∑
DE M
045cos 02=?F 02=F
0=∑AO M 045cos 45cos 45
cos 0
00
6=?-?-a F a F
F F 226-
= (受
拉) 0=∑BH M 045cos 45
cos 0
60
4=?-?-a F a F
F F 224=
(受
压) 0=∑AD M 045sin 45cos 0
61=?-?+?a F a F a F
F F 22
11+=
(受
压) 0=∑CD M
045sin 0
31=?-?+?a F a F a F
F
F 213-= (受拉) 0=∑BC M
045cos 0453=?-?+?a F a F a F
05
=F
本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程,但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便,适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量,避免求解联立方程。
2-31如图所示,欲转动一置于V 形槽中的棒料,需作用一力偶,力偶矩cm N M ?=1500。已知棒料重N P 400=,直径cm D 25=。试求棒料与V 形槽之间的静摩擦因数s f 。
解:
取棒料为研究对象,受力如图所示。 列平衡方程:
???
??===∑∑∑000O
y x M F F
???????=-?+=+-=-+02)(045sin 045cos 2110
220
1M D F F N p F N p F
补充方程:
??
?==221
1N f F N f F s s
五个方程,五个未知量s f N F N F ,2211,,,,可得方程:
02222=+??-?M f D p f M S S
解得
491.4,223.021
==S S f f 。当491.42=S f 时有:
0)1(2)
1(2
221<+-=
S S f f p N
即棒料左侧脱离V 型槽,与题意不符,故摩擦系数
223.0=S f 。