数值计算误差分析

实验课程名称数值计算

实验项目名称误差分析

年级 13 1

专业数学与应用数学

学生姓名袁蕊

学号 1307010239

理学院

实验时间：2015 年 3 月 5 日

学生所在学院：理学院专业：数学与应用数学班级：131

数值计算第一二章答案

第一章数值计算中的误差 习题一 1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。 1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5?310. 答案：4，1，3，6，4，1. 1.2 设100>* x >10,x 是* x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。 答案：当10

数值运算的误差分析(精)

实验一 数值运算的误差分析 1.问题的提出 任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。 1)模型误差： 实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差： 数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。 3)截断误差： 通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。 例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式 n n n x n f x f x f f x p ! )0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++= 近似代替，则数值方法的截断误差是： εε(,)! 1()()()()(1 )1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R 4)舍入误差： 最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。 例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。 2.误差与有效数字 1)绝对误差： 2)相对误差： 3)有效数字： 若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示 ()() 1121*101010---?++?+?±=n n m a a a x ， 其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且 1*102 1 +-?≤ -n m x x

数值计算中误差的传播规律

数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：

实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：

1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22

二等水准测量设计和技术要求

二等水准测量设计和技术要求 1. 水准网的布设 1. 1水准网的技术设计 水准网布设前，必须进行技术设计，获得水准网和水准路线的最佳布设方案。技术设计的要求、内容和审批程序按照ZD A75 001《测绘技术设计规定》执行。 1. 2高程系统和高程基准 水准点的高程采用正常高系统，按照1985国家高程基准起算。 海上岛屿不能与国家高程网直接连测时，可建立局部水准原点，根据岛上验潮站平均海水面的观测确定其高程，作为该岛屿及其附近岛屿的高程基准。凡采用局部水准原点测定的 水准点高程，应在水准点成果表中注明，并说明局部高程基准的有关情况。 1. 3水准测量的精度 每公里水准测量的偶然中误差M和每公里水准测量的全中误差M W—般不得超过表1 规定的数值。 和W的计算方法见后面式（1）和式（2）规定。 2. 选点与埋石 2. 1选点 2.1.1选定水准路线时，应尽量沿坡度较小的公路、大路进行，应避开土质松软的地段和磁 场甚强的地段，应避开行人、车辆来往繁多的街道和大的火车站等，应尽量避免通过大的河 流、湖泊、沼泽与峡谷等障碍物；选定水准点时，必须能保证点位地基坚实稳定、安全僻静，并利于标石长期保存与观测。 2.1.2每一个水准点点位选定后，应设立一个注有点号、标石类型的点位标志，并按规定填 绘点之记；在选定水准路线的过程中，须按规定绘制水准路线图；对于水准网的结点，还须 按规定格式填绘结点接测图。 3. 2埋石 水准标石，含基岩水准标石、基本水准标石和普通水准标石三大类型。根据其制作材料 和埋石规格的不同，可分别为表2所列十一种标石。

混凝土普通水准标石钢管普通水准标石岩层普通水准标石混凝土柱普通水准标石爆破型混凝土柱普通水准标石墙 角水准标志 3 普通水准标石 标石的埋石类型可根据实地情况及相应的规定要求选定、埋设和整饰。 4.仪器的技术要求 4. 1仪器的选用 二等水准测量中使用的仪器按表3规定执行。 二等水准测量中所用仪器其技术指标按表4规定执行。

测量误差及其处理的基本知识

第五章 测量误差及其处理的基本知识 1、测量误差的来源有哪些？什么是等精度测量？ 答：测量误差的来源有三个方面：测量仪器的精度，观测者技术水平，外界条件的影响。该三个方面条件相同的观测称为等精度观测。 2、什么是系统误差？什么是偶然误差？它们的影响是否可以消除？ 答：系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。系统误差的影响采取恰当的方法可以消除；偶然误差是必然发生的，不能消除，只能削弱偶然误差的影响。 3、举出水准测量、角度测量及距离测量中哪些属于系统误差？ 答：水准仪的i 角误差，距离测量时钢尺的尺长误差，经纬仪的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等都属于系统误差。 4、评定测量精度的指标是什么？何种情况下用相对误差评定测量精度？ 答：测量中最常用的评定精度的指标是中误差，其绝对值越大精度越低。当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，采用相对误差作为衡量观测值精度的标准。例如距离丈量，采用往返丈量的相对误差作为评定精度的指标。 所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示K =| |/1||m D D m = 。 5、观测值中误差如何计算？ 答：设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即 11L x v -= 22L x v -= ．．．．．． n n L x v -= 则中误差 [] 1-±=n vv m 6、算术平均值及其中误差如何计算？

误差的估算

第三节 误差的估算 由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。 一、直测量的误差估算 1．算术平均误差 在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ?。 按定义 ∑=-=?n i i X X n X 101 或 ∑=?=?n i i X n X 1 1 其中0X X X i i -=?。 当n 较大时，可用下式估算为 () 1--= ?∑n n X X X i 此法比前法得到的偏差要大些。 2.绝对误差 误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ?，X ?。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差 绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为 %100??= X X E r 广义地讲，后面要讨论的 X S x 、 X σ 等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差) 按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即

()∑=-=n i i x X X n 1 201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。 实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。 由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： () ∑=--=n i i x X X n S 1 2 11 或 ?? ??????????? ??--=∑∑==2 112 111n i i n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差 算术平均值的标准差与实验标准差的关系为 x x S n S ?= 1 类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系 X n X ??= ?1 而且x S X 80.0≈?。 二、间测量的误差计算（误差的传递） 上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。 1.误差传递公式的一般形式 设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,= 测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ?±=

二等水准测量设计和技术要求71969

二等水准测量设计和技术要求 1. 水准网的布设 1．1水准网的技术设计 水准网布设前，必须进行技术设计，获得水准网和水准路线的最佳布设方案。技术设计的要求、内容和审批程序按照ZD A75 001《测绘技术设计规定》执行。 1． 2高程系统和高程基准 水准点的高程采用正常高系统，按照1985国家高程基准起算。 海上岛屿不能与国家高程网直接连测时，可建立局部水准原点，根据岛上验潮站平均海 水面的观测确定其高程，作为该岛屿及其附近岛屿的高程基准。凡采用局部水准原点测定的水准点高程，应在水准点成果表中注明，并说明局部高程基准的有关情况。 1． 3水准测量的精度 每公里水准测量的偶然中误差?M 和每公里水准测量的全中误差W M 一般不得超过表1 规定的数值。 ?M 和W M 的计算方法见后面式（1）和式（2）规定。 2． 选点与埋石 2．1选点 2.1.1选定水准路线时，应尽量沿坡度较小的公路、大路进行，应避开土质松软的地段和磁场甚强的地段，应避开行人、车辆来往繁多的街道和大的火车站等，应尽量避免通过大的河流、湖泊、沼泽与峡谷等障碍物；选定水准点时，必须能保证点位地基坚实稳定、安全僻静，并利于标石长期保存与观测。 2.1.2每一个水准点点位选定后，应设立一个注有点号、标石类型的点位标志，并按规定填绘点之记；在选定水准路线的过程中，须按规定绘制水准路线图；对于水准网的结点，还须按规定格式填绘结点接测图。 3． 2埋石 水准标石，含基岩水准标石、基本水准标石和普通水准标石三大类型。根据其制作材料和埋石规格的不同，可分别为表2所列十一种标石。

标石的埋石类型可根据实地情况及相应的规定要求选定、埋设和整饰。4．仪器的技术要求 4．1仪器的选用 二等水准测量中使用的仪器按表3规定执行。 4．3仪器技术指标 二等水准测量中所用仪器其技术指标按表4规定执行。

实验一基本电工仪表的使用与测量误差的计算

电工电子实验指导 理工组：张延鹏

实验一 基本电工仪表的使用与测量误差的计算 一、实验目的 1．熟悉实验台上仪表的使用和布局； 2．熟悉恒压源与恒流源的使用和布局； 3．掌握电压表、电流表内电阻的测量方法； 4．掌握电工仪表测量误差的计算方法。 二、实验原理 通常，用电压表和电流表测量电路中的电压和电流，而电压表和电流表都具有一定的内阻，分别用R V 和R A 表示。如图1-1所示，测量电阻R 2两端电压U 2时，电压表与R 2并 联，只有电压表内阻R V 无穷大，才不会改变电路原来的状态。如果测量电路的电流I ，电流表串入电路，要想不改变电路原来的状态，电流表的内阻R A 必须等于零。但实际使用的电压表和电流表一般都不能满足上述要求，即它们的内阻不可 能为无穷大或者为零，因此，当仪表接入电路时都会使原来的状态发生变化，使被测的读数值与电路原来的实际值之间产生误差，这种由于仪表内阻引入的测量误差，称之为方法误差。显然，方法误差值的大小与仪表本身内阻值的大小密切相关，我们总是希望电压表的内阻越接近无穷大越好，而电流表的内阻越接近零越好。 可见，仪表的内阻是一个十分关键的参数。通常用以下方法测量仪表的内阻。 1.用“分流法”测量电流表的内阻 设被测电流表的内阻为R A ，满量程电流为I m ，测试电路如图1-2所示，首先断开开关S ，调节恒流源的输出电流 I ，使电流表指针达到满偏转，即I =I A =I m 。然后和上开关 S ，并保持I 值不变，调节电阻箱R 的阻值，使电流表的指针在1/2满量程位置，即I A = I S = I m / 2 则电流表的内阻R A =R 。 2.用“分压法”测量电压表的内阻 设被测电压表的内阻为R V ，满量程电压为U m ，测试电路如图1-3所示，首先闭合开关S ，调节恒压源的输出电压U ，使电压表指针达到满偏转，即 U =U V =U m 。然后断开开关S ，并保持U 值不变，调 节电阻箱R 的阻值，使电压表的指针在1/2满量程位置，即U V = U m = U m / 2 可调恒压源 R V U m 图1-3 图1-2 可调恒流源 R 1

二等水准测量实习分析报告

二等水准测量实习报告

作者: 日期:

二等水准测量实习报 告 口

目录 一、实习目的 (2) 二、实习任务............................................... .2 三、实习的组织与准备 (2) 四、实习要求......................................... .2 五、仪器及工具..................................... ?? (2) 六、实习步骤 (4) 七、主要技术要求................................ .. (6) 八、注意事项............................................. .6 九、实习心得体会 (7)

一、实习的目的 控制测量学是研究精确测定和描绘地面控制点空间位置及其变化的学科。它的服务对象主要是各种工程建设、城镇建设和土地规划与管理等工作。它是各种测量学的基础。所以控制测量的实习非常重要。控制测量学集中学习是在课堂结 束之后在实习地集中的实践性教学，是各项课间的综合应用，是巩固和深化课堂所学知识的必要环节。通过实习，不仅了解到了控制测量的全过程，系统地掌握测量仪器的操作和检校、待定点计算的基本技能，而且为今后解决实际工程中的有关问题打下基础，还能在业务组织能力和实际工作能力方面的锻炼。通过一条水准环线的施测，掌握二等精密水准测量的观测和记录，使所学知识得到一次实际的应用在实习中培养了我们严格认真的科学态度、塌实求实的工作作风、吃苦耐劳的献身精神和团结协作的集体观念。 二、实习任务 利用精密水准仪围绕本学校的篮球场测一圈。每个组员都要轮换进行观测，拉尺，举尺还有就是记录数据并行结算。尽量做到人人都能熟练掌握精密水准的操作和使用方法和技巧，并能快速准确无误的记录和处理结算处正确的结果。 三、实习的组织与准备 了解精密水准测量的规范，掌握规范要求和注意点，了解精密水准测量记录纸的观察记录顺序。 对班级人员分组，精密水准测量分组情况（共6人）： 本组组员：许勤肖燕赵建新钟万红邓灯余朱立成 （三）、实习的仪器和工具 精密水准测量：自动安平水准仪J2 一台，数码水准尺一对，测绳，二等水准测量记录纸 四、实习要求 1、每组选定一条0.6—I.OKm的闭合水准环线，每人完成不少于一个测站上的观测、记录、扶尺、拉绳的作业。 2、计算环线测量成果表。

测量误差基本知识

四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。

图 4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差m γ。 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m =m =m =m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a-b ，求m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a-c ，求βm 。 （3）已知a m =m =m ，S=100(a-b) ，求m 。 （4）已知D=() h S -，m =±5mm ，m =±5mm ，求m 。

第2章测量误差的计算基础

第二章 测量误差的计算基础 测量误差与概率统计学关系密切，下面介绍与测量误差有关的数学基础知识。 一、算术平均值 对某个被测量x 进行n 次测量，所得的n 个测量值(x i ，i=1，2，…，n)的代数和除以n 而得的商，称为算术平均值。即如果有n 个测量值x 1，x 2，…，x n ，那么 式中：x —算术平均值； n —测量次数； x i —第i 个测量值。 对于不含系统误差的测量列在重复性条件或复现性条件下得出n 个观测结果x n ，随机变量x 的期望值μx 的最佳估计是n 次独立观测结果的算术平均值x (x 又称样本平均值)。 [例2—1) 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为0.3，0.4，0.7，0.5，0.9，求其算术平均值。 [解] )(154321x x x x x n x ++++= )9.05.07.04.03.0(5 1++++= =0.56(取0.6) 二、残余误差

(一)定义 测量列中的某个测得值(x i )和该测量列的算术平均值(x )之差为残余误差)(i υ，简称残差。 [例2—2] 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为：10.4，10.5，10.7，10.6，10.8。求残余误差)(i υ。 [解] )8.106.107.105.104.10(5 1++++=x =10.6 1υ=10.4-10.6=-0.2； 2υ=10.5-10.6=-0.1； 3υ=10.7-10.6=+0.1； 4υ=10.6-10.6=0； 5υ=10.8-10.6=+0.2。 (二)应用 判断x ，i υ计算是否正确，可用∑i υ=0来判定（算术平均值特性之一，算术平均值的另一个特性是：∑2i υ=最小）。当x 计算修约结果产生修 约误差时，∑i υ≠0，此时应满足： 式中：n —测量次数； m —保留位数末位的以10为底幂的指数。 如在[例2—2]中： 0)2.0(0)1.0()1.0()2.0(54321=+++++-+-=++++=∑υυυυυυi 说明；x ，i υ的计算结果正确。 [例2-3] 在重复条件下，对某被测量重复测量7次，测量值为：10.4，

误差基本知识及中误差计算公式

测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。

§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=

2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。

数值分析误差一点总结

数值分析学习报告 邹凡峰1329010062 作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 一．数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 二．误差知识与算法知识 （1）误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值

高程控制测量

§5.5 精密水准测量的实施 精密水准测量一般指国家一、二等水准测量，在各项工程的不同建设阶段的高程控制测量中，极少进行一等水准测量，故在工程测量技术规范中，将水准测量分为二、三、四等三个等级，其精度指标与国家水准测量的相应等级一致。 下面以二等水准测量为例来说明精密水准测量的实施。 5.5.1 精密水准测量作业的一般规定 在前一节中，分析了有关水准测量的各项主要误差的来源及其影响。根据各种误差的性质及其影响规律，水准规范中对精密水准测量的实施作出了各种相应的规定，目的在于尽可能消除或减弱各种误差对观测成果的影响。 （1）观测前30分钟，应将仪器置于露天阴影处，使仪器与外界气温趋于一致；观测时应用测伞遮蔽阳光；迁站时应罩以仪器罩。 （2）仪器距前、后视水准标尺的距离应尽量相等，其差应小于规定的限值：二等水准测量中规定，一测站前、后视距差应小于1.0m，前、后视距累积差应小于3m。这样，可以消除或削弱与距离有关的各种误差对观测高差的影响，如i角误差和垂直折光等影响。 （3）对气泡式水准仪，观测前应测出倾斜螺旋的置平零点，并作标记，随着气温变化，应随时调整置平零点的位置。对于自动安平水准仪的圆水准器，须严格置平。 （4）同一测站上观测时，不得两次调焦；转动仪器的倾斜螺旋和测微螺旋，其最后旋转方向均应为旋进，以避免倾斜螺旋和测微器隙动差对观测成果的影响。 （5）在两相邻测站上，应按奇、偶数测站的观测程序进行观测，对于往测奇数测站按“后前前后”、偶数测站按“前后后前”的观测程序在相邻测站上交替进行。返测时，奇数测站与偶数测站的观测程序与往测时相反，即奇数测站由前视开始，偶数测站由后视开始。这样的观测程序可以消除或减弱与时间成比例均匀变化的误差对观测高差的影响，如i角的变化和仪器的垂直位移等影响。 （6）在连续各测站上安置水准仪时，应使其中两脚螺旋与水准路线方向平行，而第三脚螺旋轮换置于路线方向的左侧与右侧。 （7）每一测段的往测与返测，其测站数均应为偶数，由往测转向返测时，两水准标尺应互换位置，并应重新整置仪器。在水准路线上每一测段仪器测站安排成偶数，可以削减两水准标尺零点不等差等误差对观测高差的影响。 （8）每一测段的水准测量路线应进行往测和返测，这样，可以消除或减弱性质相同、正负号也相同的误差影响，如水准标尺垂直位移的误差影响。 （9）一个测段的水准测量路线的往测和返测应在不同的气象条件下进行，如分别在上午和下午观测。 （10)使用补偿式自动安平水准仪观测的操作程序与水准器水准仪相同。观测前对圆水准器应严格检验与校正，观测时应严格使圆水准器气泡居中。

IMRT计划剂量验证通过率对机架角度误差灵敏度分析要点

四物理四生物四技术四ＩＭＲＴ计划剂量验证通过率对机架角度误差 灵敏度分析 王宁王彬陈阿龙黄晓延 ５２８４００中山市中医院医学影像科（王宁）；５１００６０广州，华南肿瘤学国家重点实验室 中山大学肿瘤防治中心放射治疗科（王彬二陈阿龙二黄晓延） 通信作者：黄晓延，Ｅｍａｉｌ：ｈｕａｎｇｘｉａｏｙ＠ｓｙｓｕｃｃ．ｏｒｇ．ｃｎ ＤＯＩ：１０．３７６０／ｃｍａ．ｊ．ｉｓｓｎ．１００４?４２２１．２０１６．１２．０１２ ?摘要?目的分析患者ＩＭＲＴ计划剂量验证通过率对机架角度误差的灵敏度三方法选取 ９例ＩＭＲＴ计划，引入机架角度误差（?２.０?二?１.０?二?０.５?）三每个病例有７个计划，１个原计划和６个 带有误差的新计划三利用螺旋形半导体探测阵列（ＡｒｃＣＨＥＣＫ）进行验证测量，得到每个病例原计划 和新计划的剂量分布三分别采用绝对剂量ＤＴＡ和Ｇａｍｍａ的计算方法，３％／３ｍｍ和２％／２ｍｍ为评价 指标，以原计划计算剂量分布为参考，分别得到每个计划的通过率三通过率行非参数Ｗｉｌｃｏｘｏｎ秩和检 验三结果当评价指标取３％／３ｍｍ时，９例原计划的平均通过率分别为ＤＴＡ方法９５.２％和Ｇａｍｍａ 方法９６.５％；采用Ｇａｍｍａ方法－２.０?二２.０?二１.０?二－０.５?二０.５?机架角度误差的计划平均通过率降低了 １２.２％二２３.５％二６.３％二０.９％二２.９％（Ｐ＝０.００８二０.００８二０.００８二０.０３６二０.０１２）；采用ＤＴＡ方法－２.０?二 ２.０?二－１.０?二１.０?二０.５?机架角度误差的计划平均通过率降低了１６.２％二２３.８％二１.７％二６.８％二３％（Ｐ 均＝０.００８）三ＤＴＡ方法较Ｇａｍｍａ方法，以及２％／２ｍｍ评价指标较３％／３ｍｍ对机架角度误差更敏 感三结论机架角度误差越大，平均通过率下降越大三０.５?机架角度误差，ＩＭＲＴ计划的剂量验证也 对其敏感三为保证ＩＭＲＴ计划执行的准确性，需要对机架角度做更加严格的质量控制和质量保证三 ?关键词?剂量验证； 机架； 角度误差； 通过率 Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｏｆｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｏｆｉｎｔｅｎｓｉｔｙ?ｍｏｄｕｌａｔｅｄｒａｄｉｏｔｈｅｒａｐｙｐｌａｎｓｉｎｄｏｓｅｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎａｇａｉｎｓｔ ｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓＷａｎｇＮｉｎｇ，ＷａｎｇＢｉｎ，ＣｈｅｎＡｌｏｎｇ，ＨｕａｎｇＸｉａｏｙａｎ ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｄｉｃａｌＩｍａｇｉｎｇ，ＺｈｏｎｇｓｈａｎＴｒａｄｉｔｉｏｎａｌＣｈｉｎｅｓｅＭｅｄｉｃｉｎｅＨｏｓｐｉｔａｌ，Ｚｈｏｎｇｓｈａｎ５２８４００，Ｃｈｉｎａ （ＷａｎｇＮ）；ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＯｎｃｏｌｏｇｙｉｎＳｏｕｔｈＣｈｉｎａ，ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＲａｄｉａｔｉｏｎＯｎｃｏｌｏｇｙ，Ｃａｎｃｅｒ Ｃｅｎｔｅｒ，ＳｕｎＹａｔ?ｓｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１００６０，Ｃｈｉｎａ（ＷａｎｇＢ，ＣｈｅｎＡＬ，ＨｕａｎｇＸＹ） Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ：ＨｕａｎｇＸｉａｏｙａｎ，Ｅｍａｉｌ：ｈｕａｎｇｘｉａｏｙ＠ｓｙｓｕｃｃ．ｏｒｇ．ｃｎ ?Ａｂｓｔｒａｃｔ?ＯｂｊｅｃｔｉｖｅＴｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｏｆｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｏｆｉｎｔｅｎｓｉｔｙｍｏｄｕｌａｔｅｄｒａｄｉａｔｉｏｎ ｔｈｅｒａｐｙ（ＩＭＲＴ）ｐｌａｎｓｉｎｄｏｓｅｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎａｇａｉｎｓｔｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓ．ＭｅｔｈｏｄｓＧａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓ（? ２.０?，?１.０?，ａｎｄ?０.５?）ｗｅｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｏｔｈｅｃｌｉｎｉｃａｌＩＭＲＴｐｌａｎｓｏｆ９ｐａｔｉｅｎｔｓ．Ｔｈｅｒｅｗｅｒｅ７ＩＭＲＴ ｐｌａｎｓｆｏｒｅａｃｈｐａｔｉｅｎｔ，ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ１ｏｒｉｇｉｎａｌＩＭＲＴｐｌａｎａｎｄ６ＩＭＲＴｐｌａｎｓｗｉｔｈｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓ．Ｔｈｅｄｏｓｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌａｎｄｍｏｄｉｆｉｅｄｐｌａｎｓｆｏｒｅａｃｈｐａｔｉｅｎｔｗａｓｍｅａｓｕｒｅｄｂｙＡｒｃＣＨＥＣＫａｒｒａｙ．Ｂａｓｅｄｏｎ ｔｈｅｄｏｓｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｐｌａｎ，ｔｈｅｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｏｆｅａｃｈｐｌａｎｗａｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｕｓｉｎｇａｂｓｏｌｕｔｅｄｉｓｔａｎｃｅ ｔｏａｇｒｅｅｍｅｎｔ（ＤＴＡ）ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄＧａｍｍａａｎａｌｙｓｉｓｗｉｔｈｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆ３％／３ｍｍａｎｄ２％／２ｍｍ．Ｔｈｅ ｏｂｔａｉｎｅｄｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｂｙｎｏｎ?ｐａｒａｍｅｔｒｉｃＷｉｌｃｏｘｏｎｒａｎｋｔｅｓｔ．ＲｅｓｕｌｔｓＵｎｄｅｒｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆ ３％／３ｍｍ，ｔｈｅｍｅａｎｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｉｎ９ｏｒｉｇｉｎａｌＩＭＲＴｐｌａｎｓｗａｓ９５.２％ｕｓｉｎｇＤＴＡａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ９６.５％ ｕｓｉｎｇＧａｍｍａａｎａｌｙｓｉｓ．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏＧａｍｍａａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅｐｌａｎｓｗｉｔｈｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓｏｆ－２.０?，２.０?， １.０?，－０.５?，ａｎｄ０.５?ｈａｄｔｈｅｍｅａｎｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｄｅｃｒｅａｓｅｄｂｙ１２.２％，２３.５％，６.３％，０.９％，ａｎｄ ２.９％，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ（Ｐ＝０.００８，０.００８，０.００８，０.０３６，０.０１２）．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏＤＴＡａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅａｂｏｖｅｐｌａｎｓ ｈａｄｔｈｅｍｅａｎｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｄｅｃｒｅａｓｅｄｂｙ１６.２％，２３.８％，１.７％，６.８％，ａｎｄ３％，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ（ａｌｌＰ＝ ０.００８）．ＴｈｅｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙＤＴＡｍｅｔｈｏｄｗｅｒｅｍｏｒｅｓｅｎｓｉｔｉｖｅｔｏｔｈｅｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓｔｈａｎ ｔｈｏｓｅｂｙＧａｍｍａｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｌｅｔｈｅｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅｓｕｎｄｅｒｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆ２％／２ｍｍｗｅｒｅｍｏｒｅｓｅｎｓｉｔｉｖｅｔｈａｎ ｔｈｏｓｅｕｎｄｅｒｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆ３％／３ｍｍ．ＣｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓＴｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｅｒｒｏｒｓ，ｔｈｅｌａｒｇｅｒｔｈｅ ｄｅｃｒｅａｓｅｉｎｔｈｅｍｅａｎｐａｓｓｉｎｇｒａｔｅ．ＩＭＲＴｄｏｓｅｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｉｓｅｖｅｎｓｅｎｓｉｔｉｖｅｅｎｏｕｇｈｔｏｄｅｔｅｃｔｔｈｅｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅ 万方数据 ｅｒｒｏｒｓｗｉｔｈｉｎ０.５?．Ｅｎｈａｎｃｅｄｑｕａｌｉｔｙｃｏｎｔｒｏｌａｎｄａｓｓｕｒａｎｃｅｏｆｇａｎｔｒｙａｎｇｌｅｉｓｎｅｅｄｅｄｔｏｇｕａｒａｎｔｅｅｔｈｅ

基本电工仪表的使用及测量误差的计算(精)

实验一 基本电工仪表的使用及测量误差的计算 一、实验目的 1. 熟悉实验台上各类电源及各类测量仪表的布局和使用方法。 2. 掌握指针式电压表、电流表内阻的测量方法。 3. 熟悉电工仪表测量误差的计算方法。 二、原理说明 1. 为了准确地测量电路中实际的电压和电流，必须保证仪表接入电路后不会改变被测电路的工作状态。这就要求电压表的内阻为无穷大；电流表的内阻为零。而实际使用的指针式电工仪表都不能满足上述要求。因此，当测量仪表一旦接入电路，就会改变电路原有的工作状态，这就导致仪表的读数值与电路原有的实际值之间出现误差。误差的大小与仪表本身内阻的大小密切相关。只要测出仪表的内阻，即可计算出由其产生的测量误差。以下介绍几种测量指针式仪表内阻的方法。 2. 用“分流法”测量电流表的内阻 如图1-1所示。A 为被测内阻(R A )的直流电流 表。测量时先断开开关S ，调节电流源的输出电流I 使A 表指针满偏转。然后合上开关S ，并保持I 值不 变，调节电阻箱R B 的阻值，使电流表的指针指在1/2 满偏转位置，此时有 I A ＝I S ＝I/2 ∴ R A ＝R B ∥R 1 可调电流源 R 1为固定电阻器之值，R B 可由电阻箱的刻度盘上读得。 图 1-1 3. 用分压法测量电压表的内阻。 如图1-2所示。 V 为被测内阻(R V )的电压表。 测量时先将开关S 闭合，调节直流稳压电源的 输出电压，使电压表V 的指针为满偏转。然后 断开开关S ，调节R B 使电压表V 的指示值减半。 此时有：R V ＝R B ＋R 1 电压表的灵敏度为：S ＝R V /U (Ω/V) 。 式 中U 为电压表满偏时的电压值。 4. 仪表内阻引起的测量误差（通常称之为方 可调稳压源 法误差， 而仪表本身结构引起的误差称为仪表基 图 1-2 本误差）的计算。

误差的计算

误差的计算 一、单次直接测量误差的计算 在实际工作中，我们有时不可能进行重复的测量，或者在测量精度要求不高的情况下只进行一次的测量，称之为单次直接测量。在物理实验中，特别是在电学实验中，经常采取单次测量。因此，如何估计单次测量的误差，是物理实验中的一重要问题。 单次直接测量的测得值就作为其最佳值，其测量误差可以用仪器本身的误差（仪器误差）来计算。 仪器误差是指仪器在规定的作用条件下，正确地使用仪器时，可能产生的最大误差，用Δ仪表示。对仪器误差的估计，我们可分以下几种情况进行讨论： 1、有刻度的仪器仪表 如果未标出精度等级或精密度，取其最小分度值的一半作为测量仪器误差 Δ仪。 2、标有精度的仪器仪表 对于标有精度的仪器，可以取精度的1/2作为测量仪器误差Δ仪。 3、标有精度等级的仪器仪表 可按仪器的标牌上（或说明书中）注明的精度等 级及相关公式计算误差。 4、停表和数字显示的仪器仪表 取末位的1为测量人仪器误差。 仪器误差遵从均匀分布规律，即在误差范围（-Δ仪，+Δ仪）内，各种误差出现的概率都相等。面在这个误差范围以外，误差不可能出现。其分布曲线如图所示，这与正态分布是不同。根据均匀分布理论，仪器的标准误差和仪器误差有如下关系： （6） 因此，单次测量的标准绝对误差为： （7） 二、多次直接测量误差的计算 在条件许可的情况下，我们总是采用多次测量，求其算术平均值作为最佳值。 设对一个物理量x 进行了n 次等精度测量，测量值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n 。则其算术平均值为： （8） 其绝对误差为： （9） 若测量列中n 次测量结果是唯一值，或测量列算术平均的标准误差，相对于仪器的标准误差非常小，则多次直接测量取，即多次直接测量的误差可以用下式表示： （10） 3仪仪?= σ3仪仪单?= =σσ∑==n i i x n x 11) 1()(1 2 --= ∑=- n n x x n i i x σ?? ?<>=)()(仪仪仪σσσσσσσx x x 图2-3均匀分布曲线

一二等水准测量

精密水准测量的实施 精密水准测量一般指国家一、二等水准测量，在各项工程的不同建设阶段的高程控制测量中，极少进行一等水准测量，故在工程测量技术规范中，将水准测量分为二、三、四等三个等级，其精度指标与国家水准测量的相应等级一致。 下面以二等水准测量为例来说明精密水准测量的实施。 一精密水准测量作业的一般规定 在前一节中，分析了有关水准测量的各项主要误差的来源及其影响。根据各种误差的性质及其影响规律，水准规范中对精密水准测量的实施作出了各种相应的规定，目的在于尽可能消除或减弱各种误差对观测成果的影响。 （ 1 ）观测前30 分钟，应将仪器置于露天阴影处，使仪器与外界气温趋于一致；观测时应用测伞遮蔽阳光；迁站时应罩以仪器罩。 （ 2 ）仪器距前、后视水准标尺的距离应尽量相等，其差应小于规定的限值：二等水准测量中规定，一测站前、后视距差应小于 1.0m ，前、后视距累积差应小于3m 。这样，可以消除或削弱与距离有关的各种误差对观测高差的影响，如i角误差和垂直折光等影响。 （ 3 ）对气泡式水准仪，观测前应测出倾斜螺旋的置平零点，并作标记，随着气温变化，应随时调整置平零点的位置。对于自动安平水准仪的圆水准器，须严格置平。 （ 4 ）同一测站上观测时，不得两次调焦；转动仪器的倾斜螺旋和测微螺旋，其最后旋转方向均应为旋进，以避免倾斜螺旋和测微器隙动差对观测成果的影响。 （ 5 ）在两相邻测站上，应按奇、偶数测站的观测程序进行观测，对于往测奇数测站按“后前前后”、偶数测站按“前后后前”的观测程序在相邻测站上交替进行。返测时，奇数测站与偶数测站的观测程序与往测时相反，即奇数测站由前视开始，偶数测站由后视开始。这样的观测程序可以消除或减弱与时间成比例均匀变化的误差对观测高差的影响，如i角的变化和仪器的垂直位移等影响。 （ 6 ）在连续各测站上安置水准仪时，应使其中两脚螺旋与水准路线方向平行，而第三脚螺旋轮换置于路线方向的左侧与右侧。 （7 ）每一测段的往测与返测，其测站数均应为偶数，由往测转向返测时，两水准标尺应互换位置，并应重新整置仪器。在水准路线上每一测段仪器测站安排成偶数，可以削减两水准标尺零点不等差等误差对观测高差的影响。 （8 ）每一测段的水准测量路线应进行往测和返测，这样，可以消除或减弱性质相同、正负号也相同的误差影响，如水准标尺垂直位移的误差影响。 （9 ）一个测段的水准测量路线的往测和返测应在不同的气象条件下进行，如分别在上午和下午观测。 （10) 使用补偿式自动安平水准仪观测的操作程序与水准器水准仪相同。观测前对圆水准器应严格检验与校正，观测时应严格使圆水准器气泡居中。 （11 ）水准测量的观测工作间歇时，最好能结束在固定的水准点上，否则，应选择两个坚稳可靠、光滑突出、便于放置水准标尺的固定点，作为间歇点加以标记，间歇后，应对两个间歇点的高差进行检测，检测结果如符合限差要求（对于二等水准测量，规定检测间歇点高差之差应≤1.Omm ），就可以从间歇点起测。若仅能选定一个固定点作为间歇点，则在间歇后应仔细检视，确认没有发生任何位移，方可由间歇点起测。 二精密水准测量观测 1. 测站观测程序 往测时，奇数测站照准水准标尺分划的顺序为