24.1.1圆
知识点一：圆的定义
1.描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径。
2.集合性概念：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合；
3.重点解读
(1)圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
(2)圆上任意一点到圆心的距离等于半径,所有到圆心的距离等于半径的点都在该圆上；
(3)确定一个圆需要两个要素：圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可。只有圆心，其大小不能确定；只有半径，其位置不能确定，只有圆心和半径都确定了，圆才能唯一确定。
知识点二：与圆有关的概念
1.弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；
2.弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示；
3.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆。
4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。长度相等的两条弧不一定是等弧，只有能够完全重合的弧才是等弧。半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧。
5.重点解读：
(1)直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；
(2)半圆是弧，,但弧不一定是半圆；
(3)长度相等的弧不一定是等弧；
24.1.2垂直于圆的直径
知识点一：圆的对称性
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
2.重点解读：对称轴是直线而不是线段，所以不能说“任何一条直径都是圆的对称轴”，因为对称轴是直线，而直径是线段；圆有无数条对称轴，在圆中任意一条直径都可以把圆二等分；总结成一句话：圆有无数条对称轴，但圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线，直径是线段，对称轴是直线。
3.
知识点二：垂径定理
1.垂径定理文字表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
2.垂径定理符号语言：如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，则 AE BE =，AC BC =, AD BD =
知识点三：垂径定理推论
1.垂径定理推论的文字表述：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理推论的符号语言：如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 为弦(不是直径)，AE=BE ，则CD ⊥AB ，AC BC =, AD BD =
3.重点解读：
(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”
(2)由垂径定理还可以得到：
①平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)作不平行的两条弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是圆心。
(4)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍然成立。
垂径定理是在圆中证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提
供了思考的方法和理论依据。在解答与弦有关的问题时，常见的做辅助线的方法有连接半径、做出圆心到弦的垂线段，构造由弦的一半、圆心到弦的垂线段、连接弦的端点到圆心的半径组成的直角三角形，然后利用勾股定理解答问题。
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点一：圆的旋转不变性
1.圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，因此圆是中心对称图形，圆心是对称中心；
知识点二：圆心角
1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角；有些时候也需要强调，圆心角的两边与圆相交，所以可以说成“顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角”。
知识点三：弧、弦、圆心角的关系及其推论
1.弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
2.弧、弦、圆心角的关系的推论
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也
相等；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，,那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧
和劣弧分别相等。
3.弧、弦、圆心角关系的符号语言表示，如图：
(1)如果AOB COD ∠=∠，那么 AB CD =，AB CD =
(2)如果 AB CD =，那么AOB COD ∠=∠，AB CD =
(3)如果AB CD =，那么AOB COD ∠=∠， AB CD =
4.重点解读：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧、两条劣弧、两条弦中有一组量相等，那么相应其他各组量都分别相等。但是在同圆或等圆中，由弧相等可推出所对的弦相等，但当弧有倍数关系时，弦没有相对应的倍数关系。
24.1.3圆周角
知识点一：圆周角及圆周角定理
1.定义相关：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角；
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；
3.符号语言：如图所示， BAC ∠为BC 所对的圆周角之一，BOC ∠是BC 所对的圆心角，则12
BAC BOC ∠=∠
知识点二：圆周角定理的推论
1.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2.符号语言：如图所示，
(1)如果
AC BD =，那么ABC BAD ∠=∠ (2)如果AB 是直径，那么90ABC BAD ∠=∠=；
(3)如果90ACB ∠=，那么AB 是直径;
知识点三：圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，则这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；
3.符号语言：如图所示，如果四边形ABCD 内接与⊙O ，那么180A C B D ∠+∠=∠+∠=
4.图形：
5.要点解读：在与圆的内接四边形有关的计算或证明中，利用圆内接四边形对角互补进行角度转化是解决问题的关键；已知圆上的四个点，或者已知四个点到某个点的距离相等，常构造圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质，巧妙地将未知角与已知角相联系。
24.2.1点和圆的位置关系
知识点一：点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种，设⊙O 的半径为r ，点p 到圆心的距离OP=d
点p 在圆内d r ?＜；
点p 在圆上d r ?=；
点p 在圆外d r ?＞；
在判断点与圆的位置关系时，关键是先确定点到圆心的距离和圆心的半径，然后对
点到圆心的距离和半径作比较。
知识点二：过已知点做圆
1.过一个已知点做圆（如点A）：
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径做圆即可，可以做无数个圆，如图所示
2.过两个已知点做圆（如点A、B）：
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，OA或者OB为半径做圆即可，可以做无数个圆，如图所示
3.不在同一条直线上的三个点（如点A、B、C）：
连接AB、BC（或AC），并做它们的垂直平分线，两条垂直平分线相较于点O，以点O为圆心，OA（或者OB、OC）为半径做圆即可。有且只有一个圆，如图所示
经过任意三点不一定能做出圆，经过不在同一条直线上的三个点能做一个圆，且只能做一个圆。
知识点三：三角形的外心
1.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；
2.三角形的外心：三角形外接圆的圆心，叫做这个三角形的外心。三角形外心的确定方法很简单，就是做三角形三条边垂直平分线的交点；
3.三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的外心不一定在三角形的内部；
4.三角形外心的位置：
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部；
(2)直角三角形的外心在三角形斜边中点处；
(3)钝角三角形的外心在三角形的外部；
反之：
(1)如果一个三角形的内心在三角形内部，这个三角形是锐角三角形；
(2)如果一个三角新的外心在一边的中点处，这个三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的外心在三角形的外部，这个三角形是钝角三角形；
5.三角形的外接圆和圆内接三角形
三角形的外接圆和圆内接三角形是同一个图形不同角度的不同说法；
三角形的外接圆有且只有一个，是唯一的，但是圆的内接三角形并不是唯一的，有多个；知识点四：反证法
1.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由反证法矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。
2.一般步骤
(1)反设：假设命题的结论不成立;
(2)归谬：从假设出发，经过逻辑推理，推出与基本事实定理、定义或已知条件矛盾；
(3)做结论：由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确；
3.重点解读
(1)在运用反证法时，反设必须合理、全面，要注意命题中结论的“反面”是一种情形还是多种情形，做到反设“不重复、不遗漏”；
(2)反证法主要用来证明用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有
①结论是否定型的命题；
②结论是无限型的命题；
③结论是“至多”或“至少”型的命题；
24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一：
1.直线与圆的位置关系：
2. 当无法确定直线与圆有几个公共点时，通常过圆心做直线的垂线段，计算垂线段的长度，在与圆的半径进行比较，从而判断直线和圆的位置关系。
知识点二：切线的判定
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2.切线判定方法
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；
(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
3.切线的判定思路
(1)要证的直线与圆有公共点，且存在过公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂直”；
(2)给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“连半径,证垂直”；
(3)当直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径该直线是圆的切线”来证明，口诀是“作垂直,证半径”；
知识点三：切线的性质
1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
2.切线的性质定理推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；
3.“见切线，连半径”是与切线相关问题中常见的辅助线。
知识点四：切线长及切线长定理
1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3.符号语言：如图，
PA 、PB 是⊙O 的两条切线，
∴PA=PB ，12
APO BPO APB ∠=∠=∠
4.拓展延伸：在上面切线长定理的基本图形之中，还可以得出很多结论，例如：
PO AB ⊥①；AD BD =②；AC BC =③；,PA OA PB OB ⊥⊥④；
1234∠=∠=∠=∠⑤；
5.切线长定理包括两个方面：一是从圆外一点引的这两条切线的切线长相等；二是这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。切线长相等可以判定两条线段相等，连线平分夹角可以证明角相等或者求角的度数。
知识点五：三角形的内切圆与圆心
1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
2.三角形的内心：
(1)定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心
(2)确定方法：三角形三条角平分线的交点；
(3)性质：内心到三角形三边的距离相等；过三角形顶点和内心的射线必平分三角
形的内角；
(4)三角形的内心位置：三角形的内心都在三角形的内部；
24.3正多边形和圆
知识点一：正多边形的有关概念及计算，把一个圆分成相等的一些弧，顺次连接各分点，就做出这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
1.相关概念
2.相关公示
3.重点解读：作出圆内接正多边形的半径和边心距，构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距、边长等，在利用正多边形的相关公式可以求周长面积；
知识点二：正多边形的画法
1.正多边形的画法，通常采用等分圆周法。
2.用量角器等分：先计算正n 边形的中心角360n
，把以圆心O 为顶点的周角分成n 个360n
的角，确定圆周的n 等分点，然后依次连接各等分点。这种画法的缺点是：画出任意正n 边形，如果边数相对较多时，容易有较大的误差；
3.用尺规等分：如在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各等分点就可以得到正六边形；尺规等分的方法只能够画一些特殊的正多边形，不能够将圆任意等分。
4.正多边形都是轴对称图形，当正多边形的边数为奇数时对称轴是正多边形顶点与对边中点连线所在的直线；当正多边形的边数为偶数时，它的对称轴是对边中点连线所在的直线和相对顶点连线所在的直线；正多边形不都是中心对称图形，当正多边形的边数为偶数时，它是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心，否则不是中心对称图形；
24.4弧长和扇形面积
知识点一：弧长公式及其应用
1.弧长公式：180
n R l π= 2.推导过程：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长2C R π=，所以1°的圆心角所对的弧长是2360R π，即180R π，于是有n °的圆心角所对的弧长为180
n R l π=。 3.温馨提示：在弧长的计算公式中，n 表示1°的倍数，不带单位；在弧长公式之中，已经知道,,l n R 中的任意两个量，都可以确定出第三个量。
知识点二：扇形面积公式及其应用
1.扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形；
2.面积公式：2360n R S π=扇形或者12
S lR =扇形 3.推导过程：在半径为R 的圆中，因为圆心角为360°的扇形的面积，就是圆面积2S R π=，所以圆心角是1°的扇形的面积是2
360R π，于是圆心角为n °的扇形的面积为
2360n R S π=扇形或者12
S lR =扇形 4.温馨提示：扇形面积公式中的n 与弧长公式中的n 一样，都应该理解为1°的倍数，不带单位；已知,,,S l n R 扇形中的任意两个，都可以求出另外两个。
知识点三：圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥的相关概念：
(1)圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
(2)圆锥的高：连接圆锥的顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高；
2.圆锥与扇形的联系：沿着圆锥的一条母线把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这个扇形的半径等于圆锥的母线长；
3.圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则
1=22
S l r l r ππ=侧，圆锥的全面积为2==S S S l r r ππ++全侧低 4.温馨提示：圆锥的高、母线、底面半径可以构成一个直角三角形，由勾股定理来确定相关需求的量；一动点绕固定点旋转一定的角度，运动的路线是一段弧，固定点为圆心，两点之间的距离为半径；