导数高考大题专题

导数高考大题专题（理科）

例题2011高考：（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 （21）解：（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

-+

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2

f f =??

?=-??即

1,

1,22

b a b =???-=-??

解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

ln 1

1x x x

++，所以

22

ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x

h x x -++=。 (i)设0k ≤，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)0h =，故

当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

2

1

()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211

x - h （x ）>0

从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k

.

（ii ）设0

-11）时，（k-1）（x 2

+1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）

=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2

11

x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时h ’

（x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2

11x

-

h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

1.已知函数

3

()31,0f x x ax a =--≠。()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点，求m 的

取值范围。

解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x >

∴当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x <或x >

由'

()0f x <解得x <<

∴当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）

()f x 在1x =-处取得极大值，

'2(1)3(1)30, 1.f a a ∴-=?--=∴= 3'2()31,()33,f x x x f x x ∴=--=-

由'

()0f x =解得1

21,1x x =-=。 由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，

(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。

2.设函数321a x x bx c

32f -++（x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处

的切线方程为y=1

（Ⅰ）确定b 、c 的值

（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）

证明：当

12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）由f （x ）=

32

132

a x x bx c -++ 得：f （0）=c ，f ’（x ）=2

x ax b -+，f ’（0）=b 。

又由曲线y=f （x ）在点p （0，f （0））处的切线方程为y=1，

得到f （0）=1，f ’（0）=0。 故b=0，c=1。 （Ⅱ）f （x ）=

32

1132

a x x -+，f ’（x ）=2x ax -。 由于点（t ，f （t ））处的切线方程为

y-f （t ）=f ’（t ）（x-t ），而点（0,2）在切线上，所以2-f （t ）= f ’（t ）（-t ）， 化简得

32

21032

a t t -+=， 即t 满足的方程为32

21032

a t t -+=。

下面用反证法证明。 假设f ’（1x ）=2f'() x ，

由于曲线y=f （x ）在点11(,f()) x x 及22(,f()) x x 处的切线都过点（0,2）， 则下列等式成立：

32

1132

222

21122210(1)32210

(2)32(3)

a x x a x x x ax x ax ?-+=??

?-+=??-=-???

由（3）得12x x a +=

由(1)-(2)得2

22

1

1223(4)4

a x x x x ++=

又2222222

211221212111333()()()4244

a a a a x x x x x x x x a x a x x =++=+-=--=-+≥

∴12a x =

，此时22

a

x =，与12x x ≠矛盾，所以12()()f x f x ≠。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点(0,2)可作()y f x =的三条切线，等价于方程2()()(0)f t f t t '-=-有三个相异的实根，即等价于方程32

21032

a t t -+=有三个相异的实根。 设32

2()132

a g t t t =

-+，则2()2g t t at '=-。 令2

()2g t t at '=-＝0得0,(0)2

a x x a ==>

列表如下：

由32()132g t t t =

-+的单调性知，要使32()132

g t t t =-+=0有三个相异的实根，当且仅当3

1024

a -<，即a > ∴a 的取值范围是)+∞。

3.设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。

(Ⅰ)求

()

f x 的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2

21x

e x ax >-+。 （I ）解：由()22,()2,.x

x

f x e x a x f x e x '=

-+∈=-∈R R 知

令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：

故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，

()ln 2f x x =在处取得极小值，

极小值为ln 2

(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e

a a =-+=-+

（II ）证：设2

()21,,x

g x e x ax x =-+-∈R

于是()22,.x

g x e x a x '=-+∈R

由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为

,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,

于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有 而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意 即2

2

210,2 1.x

x

e x ax e x ax -+->>-+故

4. 设函数0

),(,)1(31

)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中

（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。若对任意的],[21x x x ∈，

)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。

【答案】（1）1（2）)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31

3

223-

+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=31

3

223-

+-m m 【解析】解：当

1)1(,2)(,31)(1'2/23

=+=+=

=f x x x f x x x f m 故时，

所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.

（2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('

=x f ，得到m x m x +=-=1,1

因为m m m ->+>11,0所以

当x 变化时，

)(),('

x f x f 的变化情况如下表：

)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313

223-

+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=31

3

223-

+-m m （3）解：由题设， )

)((31

)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程1

31

22-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=?m ，解得

21)(21>

-

123

,32,221221>>

=+>

若0

)1)(1(31

)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意

若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x

则0

))((31

)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值

为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是

031

)1(2<-

=m f ,解

得

3333<<-

m 。综上，m 的取值范围是)33

,21(