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第九章不等式与不等式组
第一节、知识梳理
一、学习目标
1. 掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义
2. 理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式
3. 会用数轴表示出不等式的解集
二、知识概要
1. 不等式：一般地，用不等号“〉”、表示不等关系的式子叫做不等式?
2. 不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
3. 不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集
4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式
5. 不等式的性质：
性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变
性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变
6. 三角形中任意两边之差小于第三边.
三、重点难点
重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解
四、知识链接
本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后
学的不等式组打下基础.
五、中考视点
不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答
题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等.
第二节、教材解读
1. 常用的不等号有哪些?
常用的不等号有五种，其读法和意义是：
(1)“工”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小
(2)“〉”读作“大于”，表示其左边的量比右
边的量大?
(3)“V”读作“小于”，表示其左边的量比右边
的量小?
(4)读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量?
(5)“W”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量?
2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？
(1)找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示
(2)正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大
于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义
(3)选用与题意符合的不等号将表示不
等关系的两个量的代数式连接起来?
根据下列关系列不等式：a的2倍与b的—的和不大于3.前者用代数式表示是2a+「b. “不大于就是“小于或等于”.
JJ
列不等式为：2a+ b< 3.
3. 用数轴表示不等式注意什么？
用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边
界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.
在同一个数轴上表示下列两个不等式：x> -3 ; x w 2.
第三节、错题剖析
一、去括号时，错用乘法分配律
【例1】解不等式
3x+2（2-4x）<19.
错解：去括号，得
3x+4-4x<19，解得x>-15.
诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.
正解：去括号，得
3x+4-8x<19，
-5x<15，所以x>-3.
二、去括号时，忽视括号前的负号
【例2】解不等式
5x-3 （2x-1）>-6.
错解：去括号，得
5x-6x-3>-6 ，解得x<3.
诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号
正解：去括号，得
5x-6x+3>-6 ，
所以-x>-9，所以x<9.
三、移项时，不改变符号
【例3】解不等式
4x-5<2x-9.
错解：移项，得
4x+2x<-9-5 ，
VI
即6x<-14，所以 '
诊断：一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.
正解：移项，得
4x-2x<-9+5 , 解得2x<-4，所以x<-2.
四、去分母时，忽视分数线的括号作用
【例4】解不等式
错解：去分母，得
6x-2x-5>14，解得I
诊断：去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来?错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用?
正解：去分母，得
6x- （2x-5）>14，
去括号，得
6x-2x+5>14，解得
五、不等式两边同除以负数，不改变方向
【例5】解不等式
3x —6v 1+7x.
错解：移项，得
3x —7x V 1+6,
即一4x V 7,所以■-
诊断：将不等式一4x V7的系数化为1时，不等式两边同除以一4后，根据不等式的基本
性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解
正解：移项，得
3x —7x<1+6,
即—4x V 7，所以x > W
【例6】x 2与a的和不是正数用不等式表示.
错解及分析：x 2+a<0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.
正解：x 2+a< 0.
【例7】求不等式〒⑶⑷一3勺的非负整数解.
错解及分析：整理得，3X W 16,所以故其非负整数解是 1 , 2, 3, 4, 5.
本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解
—
正解：整理得，3x< 16,所以3故其非负整数解是0, 1 , 2, 3, 4, 5.
IH 【例8】解不等式3-5 (寸x-2 ) -4 (-1+5x ) <0.
错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，所以「1
本题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘?
正解：去括号得3-x+10+4-20x<0 , 即-21x<-17，所以
【例9】解不等式7x-6<4x-9.
错解及分析：移项，得
7x+4x<-9-6 ,
即11x<-15，所以I
一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号
正解：移项，得7x-4x<-9+6 , 即3x<-3，所以x<-1.
3十2—3烈v ［十怎
【例10】解不等式—
错解及分析：去分母，得
3+2 (2-3x )< 5 (1+x).
即11x>2,所以X" II
错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”
正解：去分母，得
30+2 (2-3x )< 5 (1+x).
即11x > 29,所以M
【例11】解不等式6x-6 < 1+7x.
错解及分析：移项，得6x-7x < 1+6.
即-x < 7,所以x<-7.
将不等式-x < 7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解正解：移项，得6x-7x<1+6.
即-x < 7,所以x> -7.
【例12】解关于x的不等式m( x-2 ) >x-2.
错解：化简，得(m-1) x>2 (m-1),所以x>2.
诊断：错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.
正解：化简，得(m-1) x>2 (m-1),
①当m-1>0 时，x>2;
②当m-1<0 时，x<2;
③当m-1=0时，无解.
【例13】解不等式(a—1) x> 3.
g
错解：系数化为1，得I .
诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论
3
正解：①当a—1> 0时，x>m-l ；
②当a= 1时，O X x > 3，不等式无解；
3
③当a— 1 v 0时，x v I .
-x<0
【例14】不等式组12—1述的解集为
错解：两个不等式相加，得x-1 v 0，所以x v 1.
诊断：这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法
是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解
集，而不能用解方程组的方法来求解
正解：解不等式组，得在同
一条数轴上表示出它们的解集，如图，
d -
& |
￡
所以不等式组的解集为：0 v XV —
5 工-兔,
【例15】解不等式组1滋十2沖女-2.
错解：因为5x-3 > 4x+2，且4x+2 > 3x-2 ,
所以5x-3 > 3x-2.
移项，得5x-3x > -2+3.
]_
解得x >T.
诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x>〒的条件下，任取一个x
的值，看是否满足不等式组?如取x = 1,将它代入5x-3 >4x+2，得2> 6 (不成立)?可知乂>一不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集
正解：由5x-3 >4x+2，得x> 5.
由4x+2 > 3x-2，得x >— 4.
综合x>5和x>—4,得原不等式组的解集为x>5.
鮎十3 <7 F
【例16】解不等式组"4*
错解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.
由不等式5x-6>9可得x>3.
所以原不等式组的解集为2>x>3.
诊断：由不等式性质可得，2>3,这是不可能的.
正解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.
由不等式5x-6>9可得x>3.
所以原不等式组无解.
I - >3*:.
【例17】解不等式
错解：去分母，得3—4x —1> 9x.移项，得—4x —9x> 1 —3合并，得—13x>—2系数化为1,得
诊断：本题忽视了分数线的双重作用，去分母时，若分子为多项式，应对其加上括号.
正解：去分母，得3—(4x— 1 )>9x去括号，得3 —4x+1 > 9x.移项，得—4x —9x>-1 —3合并，得—13x>—4系数化为1,得^百一
色二L〉i
3
【例18】若不等式组口的解集为x>2,则a的取值范围是（
A. a<2
C. a>2
D. a > 2
X>2 !
错解及分析：原不等式组可分为得a<2,故选A.
X>27
当a=2时，原不等式组变为3’解集也为x>2.
正解：应为a< 2 ,故选B.
2flF<7+rT J CD
［例19】解不等式组3心-6一②
错解：②—①，得不等式组的解集为x<-13.
诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中
正解：由不等式2x<7+x得到x<7.
由不等式3x 所以原不等式组的解集为x<-3. 第四节、思维点拨 一、巧用乘法 ［例1】解不等式0.125x V 3. ［思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以0.125，就可以化系数为“ 1 ”但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷. 解：两边同乘以8，得x v 24. 二、巧去分母 ［例2】解不等式2525 2亠 【思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现 2 2 ，可先进行移项? 解：移项，得一「亠.-.. 合并同类项，得x> -1. 2x4-1 a-2 ^-2 【例3】解不等式0苗05' 【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数?但我们会注意到“ 0.25 X 4= 1, 0.5 X 2= 1 ”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以 2，这样就可以化去分母并且系数为整数? 解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2）, 得8x+4-2 （x —2）< 2, 去括号，得8x+4-2x+4 < 2, 移项，合并同类项，得 6x < -6两边同时除以6得 x < -1. 三、根据已知条件取特殊值 护十1 /十1 【例4】设a、b是不相等的任意正数，又x= 。’ b，则x、这两个数一定是（） A . 都不大于2 B . 都不小于2 C . 至少有一个大于2 D . 至少有一个小于2 【思考与分析】不妨取a= 1，b= 3,得x= 10，y = ^从而排除A、B,再取a= 3，b = 4， 5_ = 得a〒巧P，从而排除D,故选C. 答案：C. 【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另 选特殊值再验，直至选出答案. 四、根据数轴取特殊值 【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如下图中的( ) 【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组，然后再对照各选项选出正确答案，由于 这样做要解不等式组，比较麻烦?仔细观察各选项中的数轴，有两个特殊数2,-1，不妨先取x= 2,代入 务知兀T 一沁却岁T * 2 宅不成立，故可排除A、B.再取x= 0，代入2 2 不成立，又可排除C,从而选 D,这样做不仅节省了时间，而且又减少了出错的机会. 答案：D. 【反思】用特殊值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案 比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果 a —b>0，则a>b;如果a—b<0,则a 运用求差法比较大小的一般步骤是：(1)作差；(2)判断差的符号；(3)确定大小. 【例6】设x>y，试比较代数式-(8-10x )与—(8-10y )的大小，如果较大的代数式为正 数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？ 【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小 解：由两式作差得-(8-10x ) — [—( 8-10y ) = -8+10x+8-10y = 10x-10y. 因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0. 所以-(8-10x ) >—( 8-10y ). 斗 又由题意得-(8-10x ) >0,即，所以x最小的正整数值为1. 【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买 一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80% 收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？ 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家 旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低? 解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意 东方旅行社的收费为2a + 70% a = 2.7a , 光明旅行社的收费为3a x 80%= 2.4a. 因为 2.7a — 2.4a = 0.3a>0 , 所以实际上光明旅行社的收费较低. 【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为如果不设的话, 我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手 五、巧去括号 【例8】 【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运 算简便. 解：去中括号，得山33 去分母，得3x+60 v 28+8x，移项，合并同类项，得-5x V -32 , 化系数为I簡舞 【例2】解不尊比 2［知-（务-曰卜訐一 【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便解：去小括号，得 2［齐一卜亡4宁补即 3 5 4 再去中括号「得 去分毎■得SO卄 移项冶并同类项「得血M-24. 化系数为［「得心-饕 □J 六、巧用“整体思想” 【例9】解不等式: 【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x —1视为整体，再去 中括号和分母，则可使运算简捷. 解：3 (2x-1 ) -9 (2x-1 ) -9 v 5. 合并同类项得 -6 X( 2x-1 ) v 14. 命2 解得3 反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运 算简便? 【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内 杯” .16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛(即每个队需同其他三个队各赛一场) ，胜一场积3分， 平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？ 【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论 出线积分的多少? (1)若某一队三战全胜积9分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的 两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平 一负积1分，两负积0分?(三场比赛，肯定有一场负)因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线； (2)若某一队三战两胜一平积7分，则 小组第二至少要两胜积6分才能出线； (3)若某一队三战两胜一负积6分，则其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积 6 分，不能确保小组出线? 由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线? 解：需7分. 【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次； 积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系 第五节、竞赛数学 2+t > "Zx-1 【例1】满足 2 — 3 的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于___________________________ . 【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因 此我们应该先解不等式? 解：原不等式去分母，得 3 (2 + x)> 2 (2x —1), 去括号，移项，合并同类项，得 —x>—8，即x< 8. 满足x< 8且绝对值不超过11的整数有0, 土 1 ,± 2,± 3，土4,± 5，土6，土7,± 8, —9,—10, —11. 这些整数的和为(一9) + (—10) + (—11)=—30. 【例2】如果关于x的一元一次方程 3 ( x + 4)= 2a + 5的解大于关于x的方程〔4a十I k_ 心〔％-4) —s 3 —的解，那么( ). A. a>"2a<2 “备D- 【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解(两个解都是关于a的式子)， 再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案 解：关于x的方程3 (x + 4)= 2a+ 5的解为 2c-7 (7) 由题意得了孑”，解得心IT .因此选D. 【例3】如果—, 2+C>2，那么（） A. a-c>a+c B. c-a>c+a C. ac>-ac D. 3a>2a 【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以 找到正确的答案 所以a<0. 由2+c>2，得c>0,则有—c 两边都加上a，得a-c 由a<0, c>0,得ac<0,—ac>0,从而ac<-ac，排除C; 由a<0,两边都加上2a,得3a<2a，排除D. 答案应该选B,事实上，由a<0,得—a>0,从而—a>a，两边同时加上c,可得c—a>c+ a. 【例4】四个连续整数的和为S, S满足不等式r； Pj,这四个数中最大数与最小数的 平方差等于___________________________ . 【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就 行了，由它们的和满足的不等式就可以求出 解：设四个连续整数为m-1, m m+1, m+2它们的和为S= 4m+ 2. 得」肚竺鱼- 由 2 2<19, 解得7 由于m为整数，所以m= 8,则四个连续整数为7, 8, 9, 10，因此最大数与最小数的平方的差为102—72= 51. 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离?但除零以外，绝对值都是表示 两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质，含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点. 一个实数a的绝对值记作I a I,指的是由a所惟一确定的非负实数： a,当口沁时； ld= O r当时： P*当时. 含绝对值的不等式的性质： (1) I a I >I b I J b w |a| 或b>-|a| , I a I (2) I a I - I b l I a I - I b I 由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算?通常的手法是按照绝对值 符号内的 代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有 绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法?在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、 不漏?下面结合例题予以分析. 【例5】解不等式 丨x-5 | - | 2x+3 |< 1 ? 解：(1)当当x <戈时，原不等式化为-(x-5 ) - :- (2x+3) < 1 , 解得x<-7，结合x <|二|,故x<-7是原 不等式的解； _3_ (2)当一亍< x < 5时，原不等式化为 -(x-5 ) - (2x+3)< 1 , (3)当x >5时，原不等式化为： x-5- (2x+3)< 1, 解得x >-9，结合x >5，故x >5是原不等式的解. 综合(1), (2), (3)可知， 鼻是原不等式的解. 【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号 .分三个区间讨论: 解得 r 结合-故y ? = 是原不等式的解; 第六节、本章训练 基础训练题 1. 不等式x + 3V 6的非负整数解为（ ）. C. 1，2，0 D. 1 ，2，3，0 2 C, <1去- 2 D. 车 J_ x_ 4. 若4 + 2x 的值不大于8—丢的值，那么x 的正整数解是 __________________________________ 5. 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2元，一盒方便面3元，他买了 方便面，还可以买多少根火腿肠？ 6. 小华用最小刻度是1厘米的刻 度尺，测量一本书的长，测得结果是 17.5厘米，这0.5 他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为 x 厘米，那么x 应该满足的不等式是什么？ 答案 1. C 2. B 3. C 4. 1 , 2, 3 5. 解：设还可以买 x 根火腿肠. 由题意我们可列不等式 5 X 3+ 2x < 26, A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 2a-1 3.】 的值不小于一2，则a 的取值范围是（ ) 2.已知三个连续奇数的和不超过 A. 1 ，2 B. 1 ，2，3 27且大于10，这样的数组共有（ \|/.曰 米是 (4) -17 - 因为x 必须为正整数，所以 x = 1 , 2, 3, 4, 5. 答：小明还可以买火腿肠的数目不超过 5根. 6. 解：17v x v 18. 提高训练题 1. 解不等式4 8 4 2. 李明在第一次数学测验中得 76分，在第二次测验中得 92分，设第三次测验的分数为 x ，且三 次的平均分不低于 85分，求x 的取值范围. 3. 小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件 100元，小强想买的衬衣数不少于 5件， 路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：准备 400元，准备500元，准备510元，准备610 元.请你说明哪种方案可行？ 4. 某商城以单价260元购进一批DVD 机,出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售， 但要保 证利润不低于 10% . 小明说：“可降价 100元.” 小英说："可降价 150元.” 小华说：“降价不能超过 112元.” 你同意他们谁的说法？ 5. 巧解下列不等式： (1) 0.375X-2 < 0.5x (2) 6. 解下列不等式： 解得 (1) 9-2 (x—2)> 6 (2) 12-3x v 8-2x Q.— I 勺 3 0.^5 m=— ------ 3rn=—— 7. 已知? 答案 1 ?斛:将原不等盍裂项得孕一亠一字一丄 4 4 b 8 辛讣儿约分得扌十計”+p. 移翩時子?卜T+卜 合并得■，解得 尤肩-- o S 2. 解：由题意得我们可列不等式 *+92曲 3>85,解得x> 87. 3. 解：设小明准备了x元钱. x-lO 我们由题意可列不等式IOO > 5. 解得x> 510. 所以准备510元或准备610元都可以. 4. 解：设降价x元. 5. (1) x > -16 (提示：不等式两边同乘8 ); ⑵柑夕（握示:原不尊式先移项再合幷即可消 （35 -1 （4）哉号（提示;原不等式先移项再合并即可悄去分虽）一 2-（1）心厂 3）齋4一 玷鳩迦@冋釦耳一4琴-，躺耳衣-芈 我们可以由题意列不等式398-x —260>260X 10%.解得x< 112. 所以小明和小华的说法是正确的. 强化训练题 a+2 p_ 2a+1 1. 若实数a> 1，则实数M= a, N「’ 一—的大小关系是（） A . P > N> M B. M> N> P C . N > P> M D. M> P> N 2. 若0 v a v 1,则下列四个不等式中正确的 是（）. A- If — B. s■匚—I a a C. —D一［亡丄a d a 3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（） E b 血 —I_ ------ > ?* ----- 1零' -- — -2-10123 ① b+c > 0 :② a+b > a+c;③ bc > ac;④ ab > ac. A . 1 个B. 2 个C . 3 个D. 4 个. 4. 我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总 共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3 分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分 不少于50分，问小军至少要答对几道题？ 5. 已知前年物价涨幅(即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比)为20%，去年物价 涨幅为15%，预计今年物价涨幅降低5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55%，明年 物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低x个百分点(x为整数)则x=( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 某商场计划投入一笔资金，采购紧销商品.经调查发现，如月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，则月末又可获利10%;如等到月末出售可获利30%,但需要支付仓储费用700元. 请问根据商场资金多少，如何购销获利较多？ 7. 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现 有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们 的单价分别为2元和32元，经了解知道这两种灯的照明效果和使用寿命都是一样的.已知小王家所在地 的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。 答案 1.【分析与解】由于M、N、P都是含字母的式子，不易比较其大小.不妨用特殊值法.由a> 1，取 a = 4,贝U M=4, N=2, P=3,易知M>P>N,故选D. 注：用特殊值法解选择题时，一般取能使运算简单的数为特殊值，如本例取a=4. 比超：由「不紡取圧=4■厕丄也由 d 巧￡ 3. 【分析与解】本题不妨取a = 2.5 , b = 0.5 , c= -1.5，这样就把利用不等式基本性质解答较难的问题变成了简单的计算题了，易知②、③、④正 确，故选C. 4. 【思考与解】首先要清楚记分原则，抓住关键 “最后得分不少于50分”，列出不等式解决问 题. 方法一：设小军答对x道题，依题意，得 3x — ( 20-x )》50, （易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点 一、选择题 1．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ） A ．1x >- B ．3x ≤ C ．13x -≤≤ D ．13x -<≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3， 故选D ． 【点睛】 考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 2．不等式组30240x x -≥??+>? 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：30240x x -≥??+>? ①②， 解不等式①得，x ≤3 解不等式②得，x ＞﹣2 在数轴上表示为： . 故选D ． 【点睛】 本题考查在数轴上表示不等式组的解集． 3．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+?? +=?的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2 B ．m ＞－3 C ．－3＜m ＜2 D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A 【解析】 【分析】 先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可. 【详解】 解325x y m x y m -=+??+=?，得 212 x m y m =+??=-?. ∵x ＞y ＞0， ∴21220m m m +>-??->? ， 解之得 m ＞2. 故选A. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键. 4．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．21090(18)2100x x +-≥ B ．90210(18)2100x x +-≤ C ．21090(18) 2.1x x +-≤ D ．21090(18) 2.1x x +-> 【答案】A 【解析】 设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ． 第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质： 性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等. 1. 常用的不等号有哪些？ 常用的不等号有五种，其读法和意义是： （1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ （1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？ 用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2. 初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练 一、选择题 1．如果关于x 的不等式组232x a x a >+?? <-?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a≥2 D ．a≤2 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可． 【详解】 ∵不等式组232x a x a +?? -?＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ． 【点睛】 本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． 2．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8 不等式与不等式组 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每空3分，共15分） 1、在数轴上表示不等式2x ≥-的解集，正确的是（ ） A B C D 2、不等式组0 1x x >?? C 、01x << D 、无解 3、代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是（ ） A 、13m -<≤ B 、31m -≤< C 、22m -≤< D 、22m -<≤ 4、不等式 45 111 x -<的正整数解为（ ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、已知关于x 的不等式2)1(>-x a 的解集为a x -< 12 ，则a 的取值范围是（ ） A 、0a C 、1>a D 、1-<0 1, 2x x 的解集是________. 3、已知三角形的三边长分别为2、5、x ，则x 的取值范围是_____________. 4、不等式03φ+-x 的最大整数解是 5、若不等式（6)32<-x m 的解集为2 三、解不等式和不等式组（每题6分，共24分） 1、 22213+≥ -x x 2、 320<-≤x 3、 211841x x x x ->++<-??? 4、 x x x x --≥+>-??? ??324123 1() 四、（8分）求不等式组2(2)5 3(2)82x x x x +<+??-+≥?的整数解 五、（8分）若不等式组?? ?--3 212φπb x a x 的解集是－１ 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 初中数学七年级知识点总结09不等式与不等式组（含答案）【编者按】本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 一．知识框架 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 了一个一元一次不等式组。 6.不等式：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x ＜3，5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 7.解不等式可遵循的一些同解原理 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 主要的有： ①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x） 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 1．不等式：用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 3．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 例1．用不等式表示“7与m 的4倍的和是正数“就是． 【答案】740m +>． 例2．“x 与y 的和大于1”用不等式表示为． 【答案】x+y ＞1 例3．用不等式表示x 与5的差不小于4：． 【答案】45≥-x ． 例4．把不等式x ≥1-在数轴上表示出来，正确的是（） 【答案】C 9.1.2 不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 例1．如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（） A ．a ﹣3＜b ﹣3 B ．3﹣a ＜3﹣b C ．ac 2＞bc 2 D ．a 2＞b 2 解：∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ，∴3﹣a ＜3﹣b ； 例2．如果a ＜b ，那么下列不等式成立的是（） A ．－3a ＞－3b B ．a －3＞b －3 D ．a －b ＞0 解：根据不等式的基本性质1可得，选项B 、D 错误；根据不等式的基本性质 12可得，选项C 错误；根据不等式的基本性质3可得，选项A 正确.故答案选A. 例3 ．下列不等式变形正确的是（） -1 0 1 A B C D D A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 【答案】C 【解析】 解：A：因为c的正负不确定，所以由a＞b得ac＞bc不正确，据此判断即可． B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．9.2 一元一次不等式 1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项 （4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 例1 2 解：去分母，得2x﹣4＜x﹣1 移项，合并同类项，得x＜3． 在数轴上表示解集为： 例2．解不等式，并求它的非负整数解． 解：2x-2＜x+1 2x-x＜1+2 x＜3 不等式的非负整数解为0，1，2． 例3 32 授课内容不等式和不等式组 教学目标1.掌握不等式的解集表示方法； 2.掌握不等式的性质 3.了解什么是不等式组 教学内容 【知识梳理】 知识点一、不等式的解集 1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． 3．不等式解集及其数轴表示法 ⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8. ? (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如： 知识点二、不等式的性质 1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c． 2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变， 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b，c<0， 那么，ac 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的两个步骤： （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。 【例题精讲】 题型1：不等式的变形 " 例若a>b，试比较下列各题中两个代数式的大小. (1)a+c与b+c；(2)3a与3b；(3)-a与-b；(4)ac与bc. 【解答】1、(1)不等式a>b两边都加上c，根据不等式性质1可知a+c>b+c； (2)不等式a>b两边都乘以3，根据不等式性质2可知3a>3b； (3)不等式a>b两边都乘以-1，根据不等式的基本性质3可知-a<-b； (4)分三种情况，①若c>0，不等式a>b两边都乘以c，得ac>bc； ②若c=0，不等式a>b两边都乘以c，得ac=bc=0； ③若c<0，不等式a>b两边都乘以c，得ac 《不等式与不等式组》测试题（一） 一、 精心选一选，你一定能行（每小题3分，共30分） 1.一家三口（父母和女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知:“父母买全票，女儿按半价优惠。”乙旅 行社告知：“家庭旅游可按团体票价，即每人均按 的收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同，那么 （ ） A.甲比乙优惠 B.乙比甲优惠 C.甲与乙相同 D.与原票价相同 2.已知a 是有理数，下列格式总正确的是 （ ） A.2 0a > B.11a -> C.10a -≥ D.11a a +>-- 3.ABC ?的三边,,a b c 都是正整数，且满足a b c ≤≤，如果4c =，那么这样的三角形共有 （ ） A.4 B.6 C.8 D.10 4.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为,,,P Q R S ,如图，则他们的大小关系是（ ） A.P R S Q >>> B.Q S P R >>> C.S P Q R >>> D.S P R Q >>> 5.若不等式组0{321 x a x -≥->-的整数解有5个，则a 的取值范围是 （ ） A.3a <- B.4a >- C.3a >- D.43a -<≤- 6．不等式组211{841 x x x x ->++<-的解集是（ ） A.3x < B.3x >- C.3x <- D.3x > 7．一次知识竞赛共有30道题，规定答对一道得4分，打错或不答得-1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对（ ）道题 A.23 . B.24 C.25 D.26 8.若点(2,1)A a a -+在第二象限，则a 的取值范围是 （ ） A.2a > B.12a -<< C.1a <- D.1a < 9.若式子221x x -+的值是负数，则x 的取值范围是 （ ） 初中数学 不等式与不等式组练习 一、 填空题 1. 不等式325x +≥的解集是 . 2. 关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3． 不等式23x x >-的解集为 ． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．不等式组40 320x x ->??+>? 的解集是 . 6. 不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7. 甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得22 S S <乙甲， 则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9. 不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 10. 不等式组103x x +>?? >-? ， 的解集是 ． 11. 不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12. 不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13. 不等式组23732x x +>??->-? ， 的解集是 ． 14. 如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15. 如果不等式组2 223 x a x b ?+???-? 的解是 ． 17. 某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3 元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ． 19．已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且 225a b +=，则a b +=____________． 20. 如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 21. 如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?? ->?的解集是11x -<<，则2009 () a b += ． 23． 已知关于x 的不等式组0521x a x -??->? ≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 24. 函数y = 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 25. 不等式组2 21x x -??- 不等式与不等式组培优专题 知识点: 一、不等式（组）的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。 不等式的所有，叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的叫做不等式组的 解集。 2 ?求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。 二、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式： （l）概念：含有未知数并且含未知数的项的次数是的不等式，叫做一元一次不等式。 （2 ）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以 （或除以）一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组： （1）概念：含有的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 （2）_________________________________________________________________ 解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的_____________________________________ 注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。 三、不等式与不等式的性质 1、不等式：用不等号表示的式子。（表不等关系的常用符号：艺＜，＞）。 2、不等式的性质: (l) ____________________________________________________ 。用字母表示为：— (2) ____________________________________________________ 。用字母表示为：_ (3) ____________________________________________________ 。用字母表示为：— 教案 科目数学时间学生 第9章不等式和不等式组 这里我们所讲的不等式与不等式组都是一元一次的 一. 不等式和不等式的解 1.不等式的定义 先回忆一下,什么是等式？等式是用等号连接起来的式子. 那么不等式呢？不等式当然是用不等号连接起来的式子啦.不等号有哪些呢？“”,“”,“≤”,“≥”,“≠”这些都是表示不等关系的不等号. 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 例题：下面选项中是不等式3x+7≥13的解的是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集 例题：如果－3(x+3)≤－27,则x的取值范围是,在下面的数轴上表示该解集. *注意区分“解”和“解集”. 4.不等式的性质： ①不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变： 若a>b,则a+c__b+c(a-c__b-c) ②不等式的两边乘（或除）同一个正数,不等号的方向不变： 若a>b,且c>0；则ac__bc(a c __ b c ) ③不等式的两边乘（或除）同一个负数,不等号的方向改变： 若a>b,且c<0；则ac__bc(a c __ b c ) 例题：利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示出来：1.x-7>26 2.3x<2x+1 3.2 50 3 x> 4.-4x≥3 5.解不等式的一般步骤： ①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1. 例题：解下列不等式： 1. 3（2x+7）>23 2. 12-4(3x-1) ≤2(2x-16) 3. 325 1 53 x x +- <- 4. 21315 3212 x x -- -≥ 练一练： 解不等式 10 15 32 x x+ +≥-,并在数轴上表示出来. *注意,在数轴上表示不等式的解集时,注意两“定”：一定“边界点”,二定“方向”.若边界点包含于解集,则为实心圆点,若边界点不包含于解集则为空心圆圈；对于方向,相对于边界点而言,“大于向右,小于向左”. 二. 不等式组 回忆一下二元一次方程组,我们知道方程组是有几个不同的方程组成的,不等式组也是由不同的不等式组成的,这里的不等式都是指一元一次不等式. 1.不等式组的解：能够使不等式组中各个不等式成立的未知数的值叫做不等式组的解 2.不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分,就是由它们所组成的不等式组的解集. 3.解不等式组的步骤： ①解不等式组中的各个不等式； ②利用数轴求出这些不等式解集的公共部分,即求出了该不等式组的解集. 例题：不等式组 240 1 (26)0 2 x x +> ? ? ? -> ?? 的解集是,在数轴上表示出来. 不等式与不等式组 一、知识网络结构 二、知识要点 1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：＞、＜、≥、≤、≠。 2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。 3、不等式的性质： ①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 用字母表示为：如果，那么；如果，那么； 如果，那么；如果，那么。 ②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； ③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。 5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。 6、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解( 此时也称这个不等式组的解集为空集)。 7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 （11）不等式与不等式组的应用 〖考试内容〗 一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用. 〖考试要求〗 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题. 〖考点复习〗 [例1]某次“迎奥运”知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了10分，答错了或不答扣5分，至少要答对（ ）道题，其得分才会不少于95分？ (A)14 (B)13 (C)12 (D)11 [例2]根据下图所示，对a 、b 、c 三中物体的重量判断正确的是 ( ） A 、a 初中数学 不等式与不等式组练习 一、 填空题 1. 不等式325x +≥的解集是 . 2. 关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3． 不等式23x x >-的解集为 ． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．不等式组40320x x ->??+>? 的解集是 . 6. 不等式组3(2)412 1.3 x x x x --??+?>-??≥，的解集是 ． 7. 甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得22S S <乙甲， 则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9. 不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 10. 不等式组103 x x +>??>-?，的解集是 ． 11. 不等式组6020x x -? 的解是 ． 12. 不等式组210 x o x -≤??>?的解是 13. 不等式组23732x x +>?? ->-?，的解集是 ． 14. 如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15. 如果不等式组2223 x a x b ?+???-? 的解是 ． 17. 某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．关于x 的不等式组1 2x m x m >->+???的解集是1x >-，则m = ． 19．已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且225a b +=，则a b +=____________． 20. 如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 122 x kx b >+>-的解集为 ． 21. 如果不等式组2223 x a x b ?+???-??->? 的解集是11x -<<，则2009()a b += ． 23． 已知关于x 的不等式组0521x a x -?? ->?≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 24. 函数y =中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 25. 不等式组221 x x -??- B ．3x < C ．3x >- D ．3x <- 29．据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天佛山市气温t （℃）的变化范围是( ) 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数大于等于0(≥0)，非正数小于等于0(≤0) 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质: (1) 不等式的两边加上(或减)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果 a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果 a>b,并且c>0,那么ac>bc, a/c=b/c. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac 一般地: 如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b; 如果a xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx 分） 试题1: 若m＞n，则下列不等式中成立的是（） A ．m + a＜n + b B．ma＜nb C．ma2＞na2 D．a m ＜a n 试题2: 不等式4（x 2）＞2（3x + 5）的非负整数解的个数为( ) A．0个B．1个 C．2个 D．3个试题3: 若不等式组的解集为1≤x≤3，则图中表示正确的是（） A． B． C． D． 试题4: 若方程的解是负数，则的取值范围是（） A． B． C． D． 评卷人得分 试题5: 不等式的解集为，则的值为（） A．4 B．2 C． D． 试题6: 不等式组的解集是（） A．≥ 1 B．＜5 C．1≤＜5 D．≤1或＜5 试题7: 已知x的与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为。 试题8: 某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 18 months. 如果用x （单位：月）表示Eatable Date（保质期），那么该饮料的保质期可以用不等式表示为。 试题9: 当x 时，式子3x5的值大于5x + 3的值。 试题10: 阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为。 试题11: 解不等式，并把它的解集表示在数轴上。 试题12: 解不等式组 试题13: 已知方程组，为何值时，＞？ 试题14: 有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在50和70之间，你能求出这个两位数吗？ 试题15: 小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1. 8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是多少？ 试题16: 学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？ 试题1答案: D 试题2答案: A 试题3答案: D 试题4答案: A 试题5答案: B 试题6答案: C(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点
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