四、利用全等三角形证线段之间的和差
倍分问题
证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：
(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.
已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF
分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。（证明略）
例2.
已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC
证明：在EA上截取EF=BE，连结CF
∵CE⊥AB于E（已知）
∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）
∴∠1=∠B（等边对等角）
∵∠1+∠2=180°（平角定义）
∠B+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（等角的补角相等）
（再往下证明略）
3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。
“补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。
本题已知适用于“补短法”。在实际做题时要根据具体的已知条件来选择截长还是补短法。无论是“截长法”还是“补短法”其目的是将三条线段和的关系MN=BM ＋NC.转化为求两条线段的相等关系，而证两条线段相等是最基本的题型。证明两条线段相等的方法通常有证两三角形全等，则对应边相等；或证明两条线段是等腰三角形的两腰相等，或等边三角形的任意两边相等；或两条线段是角平分线到角的两边的距离相等等。
（2）求△AMN 的周长。
我们来看图1，求△AMN 的周长，粗看三条边AM,AN,MN 和长短都
不知道，无法求周长AM ＋MN ＋AN 。而已知AB=12cm.解题的关键
是如何找到要求的量AM,AN,MN 和已知量AB 之间的等量关系。在
第（1）小题中我们已经证明了MN=BM ＋NC 。而从图中可以看
出AM ＋MB=AB,AN ＋NC=AC=AB.所以AM ＋MN ＋AN=AM ＋MB ＋
NC ＋AN=AB ＋AC=2AB=24cm.这小题是求三条线段的和的题型，通
常解题的技巧是通过等量代换的方法找到要求的量与已知量之
间的等量关系，从而使问题得到解答。
（3）若点M 、N 分别是AB 、CA 延长线上的
点，，请说明BM 、MN 、NC 之间的关系。
分析：（1）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题型。
（2）确定三条线段之间关系分为两类：一种是相等关系，即MN=BM
＋NC ；另一种是不等关系，即MN ＜BM ＋NC ；（为什么是MN 最
长呢？通过观察得到的）。（3）根据已知条件分析属于哪一种，我们
先假设相等，将NC 延长至D ，使CD=BM,由已知AB=AC,所以有
AB ＋BM=AC ＋CD,即AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,所以∠NMD ＞
∠ADM,所以MN ≠AD,MN ≠BM ＋NC 。所以三条线段只能是不等关
系。（4）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同
一个三角形中去。所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选
呢？我们要看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角
形。比如本题，三条线段中MN ，BM 都在△NMA 中，且第三条线
段NC 的一部分NA 也在△NMA 中，所以就选定△NMA 。然后我们
观察到在△NMA 中，只有线段AB 没有着落，且三条线段中只能
NC 中的一部分AC 没有着落，对比这两条线段，可以猜想它们相等，
即AB=AC 。可以利用等量代换的方法将AC 代换到AB ，(要证
AB=AC,最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰
或等边三角形两腰相等等方法实现。)就实现了将三条线段放在同一
个三角形中了。然后再利用三角形三边不等关系得证。
证明：BM、MN、NC之间的关系是MN＜BM＋NC；
在△NMA中，有MN＜AM＋NA,
因为AB=AC,所以AM=BM＋AB=BM＋AC,
所以MN＜BM＋AC＋NA,而NC=NA＋AC,所以MN＜BM＋NC
证明三条线段之间的不等关系
1.如图，已知△ABC是等腰三角形，且AB=AC,若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题型。（2）确定三条线段之间关系分为两类：一种是相等关系，即MN=BM＋NC；另一种是不等关系，即MN＜BM＋NC；（为什么是MN最长呢？通过观察得到的）。（3）根据已知条件分析属于哪一种，我们先假设相等，将NC延长至D，使CD=BM,由已知AB=AC,所以有AB＋BM=AC＋CD,即AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,所以∠NMD＞∠ADM,所以MN≠AD,MN≠BM＋NC。所以三条线段只能是不等关系。（4）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同一个三角形中去。所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选呢？我们要看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角形。比如本题，三条线段中MN，BM都在△NMA中，且第三条线段NC的一部分NA也在△NMA中，所以就选定△NMA。然后我们观察到在△NMA中，只有线段AB没有着落，且三条线段中只能NC中的一部分AC没有着落，对比这两条线段，可以猜想它们相等，即AB=AC。可以利用等量代换的方法将AC代换到AB，
(要证AB=AC,最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰或等边三角形两腰相等等方法实现。)就实现了将三条线段放在同一个三角形中了。然后再利用三角形三边不等关系得证。
证明：BM 、MN 、NC 之间的关系是MN ＜BM ＋NC ；
在△NMA 中，有MN ＜AM ＋NA,
因为AB=AC,所以AM=BM ＋AB=BM ＋AC,
所以MN ＜BM ＋AC ＋NA,而NC=NA ＋AC,
所以MN ＜BM ＋NC
3.如图3，点P 是△ABC 的外角∠DAC 平分线上一点，你能比较PB ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系吗？说明你的理由。（卷子）
解：延长BA 到点F ，使AF=AC,连接PF
∵点P 是△ABC 的外角∠DAC 平分线上一点，∴AP 平分∠DAC ∴∠PAF=∠PAC
在△PAF 与△PAC 中??
???=∠=∠=PA PA PAC PAF AC AF ∴ △PAF ≌△PAC ∴PF=PC
∴PB ＋PC=PB ＋PF
∵AF=AC ∴BF=AB ＋AF=AB ＋AC
在△BPF 中∵BF ＜PB ＋PF ∴AB ＋AC ＜PB ＋PC
总结：判断几条（三条或四条）线段之间的大小关系，通常是将这几条线段通过等量关系放在同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。这种等量关系通常是通过证明三角形全等来实现的。这个过程了是转化思想的运用。
3-1.如图3-1，在△ABC 中，AB ＞AC,∠1=∠2,P 为AD 上任意一点，求证：AB －AC ＞PB －PC.（教材全解43页）
3-2.如图3-2，AD是△ABC的外角∠FAC的平分线，D是这平分线上的一个动点，你能想出AB＋AC与BD＋DC的大小关系吗？并证明你的猜想。（点拔27页）
分析：本题是涉及多条线段大小关系的题型，多条线段大小关系通常有两种，相等和不等。线段相等关系一般通过证全等三角形来实现边（线段）等量关系的转换。证明对应线段相等从而相等。不等关系也是通过证全等三角形来实现边（线段）等量关系的转换。，将几条线段转换到某一个三角形中利用三角形三边不等关系得证。我们还注意到是其中两条线段相加如AB＋AC与另外两条线段相加如BD＋DC的关系，通常要把两条线段放到一条直线上去，即把两条线段合成一条线段，这样就把四条线段之间的关系转化为了三条线段之间的关系。例如把AC转换到AB的延长线或反向延长线上去，得到新的一条线段BF=AB＋AC.然后再来找BF与BD＋DC的关系。或者也可以把BD＋DC放到同一条直线上去，得到新的一条线段等于BD＋DC，这要视具体情况而定。本题是需要把AC转换到AB的延长线或反向延长线上去，得到新的一条线段BF=AB＋AC.
本题中有角平分线，有角平分线的题型，通常是利用角平分线构造全等三角形。而角一部分线最常用的方法是利用已经有的两个相等角和角平分线这条公共边为构造全等三角形，如图3-2-1，可构造一个与△ACD全等的三角形。通常在角的另一边上截与AC等长的线段于F,连接DF。则可证△ACD和△AFD为全等三角形.从而可得AC=AF,DC=DF.通过观察图形可以看出通过AC=AF,DC=DF.的等量关系把AC转换到AF,把DC转换到DF,从图中可看出
AB,AF,DF,BD四条线段在同一三角形中，从而实现了把几条线段转换到同一三角形中的目的，可以利用三角形三边的不等关系得证：AB＋AC＜BD＋DC
已知，如图，在△ABC，延长AC边上的中线BE至M,使EM=BE,延长AB边上的中线CD
至N,使DN=CD,求证：（1）N,A,M三点在同一直线上。（2）AN=AM.(卷子)
4.如图5，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF,交AB 于点E,连结EG 、EF.（1）求证：BG=CF;(2)请你判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并说明理由。
解：(1)D 是BC 的中点,所以BD=CD,
AC ∥BG,所以∠GBD=∠ACD,
在△GBD 与△FCD 中??
???∠=∠=∠=∠ACD GBD CD BD CDF BDG ∴ △GBD ≌△FCD ∴BG=CF
(2)判断BE ＋CF 与EF 的大小关系,因为BG=CF ，所以可以将CF 转化为BG ，放到三角形△BGE 中，但要证明GE=EF ，而GE=EF 可通过证明Rt △GDE ≌FDE,
??
???==∠=∠=DF GD EDG EDF DE DE 090 所以GE=EF ，从而将BE 、CF 与EF 转化到同一三角形中了。这是转化思想的应用。
总结：判断三条线段之间的大小关系，通常是将三条线段通过等量关系放在同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。这种等量关系通常是通过证明三角形全等来实现的。这个过程了是转化思想的运用。
证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，
设法把线段的倍半问题转化为证线段的相等问题。这就是通常所说的“加倍”“折半”。
已知：△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC=DB ，E 为AD
中点，∠ADC=∠ACD，求证：CE=BC
分析：要证CE=BC，只要证2CE=BC即可，因此延长CE至F，使EF=CE，这样CF=2CE，只要证CF=CB，问题就得以证明。要证CF=CB，就要证它们所在的两个三角形全等，即△CFD≌△CBD
证明：延长CE至F，使EF=CE
∴CF=2CE（线段中点定义）
∵E为AD中点（已知）
∴AE=DE（线段中点定义）
在△ACE和△DFE中
∴△ACE≌△DEF（SAS）
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）
∴∠1=∠F（全等三角形对应角相等）
∴AC∥DF（内错角相等两直线平行）
∴∠ACD+∠CDF=180° （两直线平行同旁内角互补）
∵∠ADC+∠CDB=180° （平角定义）
∠ADC=∠ACD（已知）
∴∠CDF=∠CDB（等角的补角相等）
∵∠ADC=∠ACD（已知）
∴AC=AD（等角对等边）
∵AC=DF（已证）
AC=DB （已知）
∴DF=DB（等量代换）
在△CFD和△CBD中
∴△CFD≌△CBD（SAS ） ∴CF=CB（全等三角形对应边相等）
∴2CE=CB（等量代换）
∴CE=2
1CB （等式性质） 等腰三角形一腰上的中线把周长分成15 cm 和6 cm 两部分，求腰长和底边长（自己画图）
分析：此问题分两种情况，一种情况是AB+AD=15 cm ，
CD+BC=6 cm ，另一种情况是：AB+AD=6 cm ，CD+BC=15
cm .
（求解过程略，答案：腰长为10 cm ，底边长为1 cm ，或腰
长为4 cm ，底边长为13 cm ）。
已知：在△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，
∠DAC=90°，求：BD 的长
分析：利用已知图形求出BD 的长，不可能，因此需要添加辅助线，遇到等腰三角形经常添加底边的高，作AE ⊥BC 于E ，BE 能求出得16，要求BD ，只要求DE 即可，DE 所在的三角形ADE ，与三角形ADC 共用一条边AD ，可用勾股定理建立方程。
解：作AE⊥BC 于E ，
∵AB=AC
∴BE=CE=BC=16
在Rt△AEC 中，由勾股定理可得
在Rt△ADE中，由勾股定理可得 AD2=AE2+DE2
在Rt△ADC中，由勾股定理可得 CD2-AC2=AD2
∴AE2+DE2=CD2-AC2
设DE为χ则CD为16+χ
∴122+χ2=(16+χ)2-202
χ=9即DE=9
∴BD=BE-DE=16-9=7
答：BD=7
中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N
5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE ＝23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝12 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．
全等三角形的判定专题练习 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 9．已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？ 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？ 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 A C D E F 1 2 A B C E H D A C M E F B D A B C E F D A B C E D F A D E B C 1 2 3 4 D C F E A B
全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N
二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF =
D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的
全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因 此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 1
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE= C F 吗？说明理由。 A F B C D E 2．已知AC= B D，AE =CF，BE=DF ，问AE∥CF 吗？ E F A C B D 3．已知AB= C D，BE =DF，AE =CF ，问AB∥CD 吗？ A B E F C D 4.已知AC=AB，AE= A D，∠1=∠2，问∠3=∠4 吗？ A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2
全等三角形的判定方法SAS 专题练习 1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD 2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′ B ′，AC=A ′ C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C 3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________． 4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。 5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是 6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中， ∵ ∴△ABD ≌△ACD （ ） 7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵
∴△AOB≌△COD( ) 8.已知：如图，AB=CB，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？ 9.已知：如图，AB=AC，AD=AE ，∠1 =∠2 。试说明：△ABD ≌△ACE 。 10.已知：如图，△ABC中， AD⊥BC 于D，AD=BD， DC=DE，∠C=50°。求∠ EBD的度数。
B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q
（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②
全等三角形中题型归纳 一、含有公共边（线段） 例1已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 二、含有公共角（夹角） 例2已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 三、直角三角形 例3已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与 CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE = BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。 四、角平分线 例4.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 五、中线（点） 例5如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由 1 2 F E A C D B A E D C B
六、二次全等 例6已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 七、线段和差倍分 例7如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 八、常见辅助线归纳总结 例8如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。 例9在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF . 九、全等与等腰三角形 例10已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE 求证：OA ＝OD ． P E D C B A A D B E F C B A E D
全等三角形判定的条件组合（二）(人教版) 一、单选题(共7道，每道14分) 1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AE=CE；SAS B.DE=BE；SAS C.∠D=∠B；AAS D.∠A=∠C；ASA 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.BD=CD；SAS B.AB=AC；SAS C.∠B=∠C；ASA D.∠BAD=∠CAD；AAS 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个
条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AB=AC；AAS B.AE=AD；AAS C.BE=CD；ASA D.∠AEB=∠ADC；AAS 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS； ③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；
⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS； ③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．
全等三角形练习题 一．选择题（共 3 小题） AD⊥BC 于点D，若∠ BAC=128°，∠C=36°，则∠ DAE的度数是（）1．（2012?梧州）如图，AE是△ ABC的角平分 线， A． 10°B．12°C． 15°D．18° 2．（ 2011?随州）如图，在△ ABC 中 E 是 BC上的一点， EC=2BE，点 D是 AC的中点，设△ ABC，△ ADF，△ BEF 的面积 分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF，且S△ABC=12，则 S△ADF﹣ S△BEF=（） A． 1 B．2 C． 3 D．4 3．（ 2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进 5 米后向右转20°，再前进 5 米后又向右转20°，，这样一直走 下去，他第一次回到出发点O时一共走了（） A．60米B． 100米C．90米D． 120米 二．填空题（共 4 小题） 4．（ 2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、 乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．_________ ．
5．（ 2007?资阳）如图，对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB， BC， CA至点 A1，B1，C ，使得 A B=2AB， B C=2BC， C A=2CA，顺次连接 A ，B ， C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长 1111111 1 1 1 1 A1B1， B1C1，C1A1至点 A2，B2， C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2， B2， C2，得到△A2B2C2，记其 面积为S2；；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= _________ ． 6．（ 2012?通辽）如图，△S= _________．△CAO ABC 的三边AB、BC、CA长分别 为 40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO： 7．（ 2012?通辽）如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， DC⊥BC，将梯形沿对角线处，若∠ A′BC=15°，则∠ A′BD的度数为_________．BD折叠， 点 A 恰好落在DC边上的 点 A′ 三．解答题（共 5 小题） 11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下： 中． AB=AC， P 为底边BC上一点， PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、 如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB?PE+AC?PF=AB?CH． ∵AB=AC， ∴PE+PF=CH． （ 1）如图②， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、 CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加 以证明： （ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为PF，当 PF=3时，则 边上的高CH= _________．点P到AB边的距离PE= _________． AB 12．（ 2012?云南）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，点 D 是 AB边上的一点， DM⊥AB，且 DM=AC，过点 M作 ME∥BC 交AB于点 E． 求证：△ ABC≌△ MED．
全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定
初中数学专项训练：全等三角形 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是 A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=? 60，CP2 =，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是 A．2 B．2 C．3D．3 2 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三 条直线l 1，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为1 , l 2 ，l 3 之间的距离为2 , 则AC的长是（）
A ．26 B ．52 C ．24 D ．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D ，∠ABC=∠BAD ，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 ． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 。 10．如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个） 11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ． 12．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ． 13．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A
全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E 全等三角形判定 一、选择题： 1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全 一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4的 方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF,下列说法中成立的是（） A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFD C.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形中，没有相等的角 3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（） A．△ABD和△C DB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC 4.下列判断中错误 的是（） ．． A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 5.使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED， BC=BE，则∠ACB等于（） A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( ) A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/ D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/ 8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF （） A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 10.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰 好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 11.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG 分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 初二数学之全等三角形 及解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 初二数学的全等三角形一．选择题（共5小题） 1．（2016春?龙口市期末）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2016春?永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（） A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点 3．（2016?黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（） A．B．C．2 D． 4．（2016?铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题（共2小题） 6．（2016?南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC． 其中所有正确结论的序号是______． 7．（2016?潮州校级一模）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则 BD=______． 三．解答题（共5小题） 8．（2016?湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 9．（2016?宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD． 10．（2015秋?增城市校级期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B=∠C． 11．（2014秋?上饶校级月考）已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC=∠B； （2）猜想线段AF、BC的关系． 12．（2015?陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE． 初二数学的全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如 DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 如图，在ABC ?和DEF ?中??? ??===DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点 D 是对应点， ?=∠26BAC ，且 ?=∠20B ，1=?ABC S ，求 ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 例 2．如图， ABC ?≌DEF ?， cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF A D全等三角形判定_专题复习50题[含答案及解析]
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