将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
A
B
l 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点
P，使PA PB 最大。
A
作点 B
关于直
线l 的
对称点
B′，连
接AB′
交直线
于点
P，点P
即为所
求作的
点。
连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。
模型 1 定直线与两定点
模型
A
l
作法结论
PA+ PB 的最
小。
PA+PB 的最小
值为AB′。
PA PB 的最大
值为AB。
l
B
当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
PA PB 的最
大值为AB′。B
模型实例
例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形
ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为
CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是
AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
D
C
B
2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ ABC的周长最短时，求y 的值
y
A（3，0）
O
B（2，0）
x
3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值。
点 P 在∠ AOB 的内部， 在 OB 上找点 D ，在 OA 上找点 C ，使得△ PCD 周 长最小。
分别作点 P 关于 OA 、
OB 的对称点 P ′、 P"，连接 P ′ P"，交 OA 、OB 于点 C 、 D ，点 C 、D 即为所 求。
点 P 在∠ AOB 的内部， 在 OB 上找点 D ，在 OA 上找点 C ，使得 PD+CD 最小。
作点 P 关于 OB 的对称点 P ′，过点 P ′作 P ′C ⊥ OA 交 OB 于点 C ，点 C 、 D 即为所求。
点 P 、Q 在∠ AOB 的内 部，在 OB 上找点 D ，在 OA 上找点 C ，使得四边 形 PQDC 周长最小。
分别作点 P 、 Q 关于 OA 、 OB 的对称点 P ′、 Q ′， 连接 P ′Q ′，交 OA 、 OB 于点 C 、 D ，点 C 、 D 即为 所求。 PC+CD+D 的Q 最小值为 P ′Q ′，所以四边形 PQDC 的周长的最小值为 P ′Q ′+PQ
。
模型 2 角到定点 模型 作法 结论
△ PCD 周长最小为
P ′ P"。
PC+CD 的最小值为
P ′ C 。
模型实例
例 1． 如图，∠ AOB=30°，∠ AOB 内有一定点 P ，且 OP=10，在 OA 上有一
点 Q ，OB 上有一点 R 。若△ PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠ MON=4°0 ，P 为∠ MON 内一定点， A 为 OM 上的点， B 为 ON
上的点， 当△ PAB 的周长取最小值时： （1）找到 A 、B 点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠ APB 等于多少度。如果∠ MON= ， ∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=110°，∠ B=∠D=90°，在 BC 、CD 上分别
找一点 M 、 N ，使△ AMN 周长最小，并求此时∠ AMN+∠ANM 的度数。 3．如图，在 x 轴上找一点 C ，在 y 轴上找一点 D ，使 AD+CD+BC 最小，并
求
C
D
直线CD的解析式及点C、D的坐标。
y
A（1，3）
4．如图∠ MON=2°0 ，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
模型 3 两定点一定长
模型
作法
结论
d
A
B
d
A A'
AM+MN+N 最B 小为 A"B 。
如图，在直线 l 上找 M 、 N 两
点（ M 在左），使得 AM+MN+N
最B 小，且 MN=d 。
MN
A''
将点 A 向右平移 d 个单位
到 A ′，作 A ′关于直线 l
的对称点 A"，连接 A"B 交 直线 l 于点 N ，将点 N 向左 平移 d 个单位到 M ，点 M 、 N 即为所求。
A
A A
M 1
AM+MN+N 的B 最
小 值为 A ′B+d 。
1
A'
1
2
B
如图， l 1∥l 2，l 1， l 2之间 距离为 d ，在 l 1， l 2 分别找
M 、N 两点，使得 MN ⊥l 1 ，
且 AM+MN+N 最B 小。
N
B
将点 A 向下平移 d 个单位 到 A ′，连接 A ′B 交直线 l 2 于点 N ，将点 N 向上平移 d 个单位到 M ，点 M 、N 即 为所求。
模型实例
例 1． 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示， 点
A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上， 且 OA=6，OC=4，D 为 OC 中点，点 E 、F 在线段
OA 上，点 E 在点 F 左侧， EF=2。当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标。
热搜精练
1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在，x轴、y 轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。
（1）若 E 为边OA上的一个动点，求△ CDE的周长最小值；
（2）若E、F 为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标。
2．村庄A和村庄 B 位于一条小何的两
侧，
岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使若河岸彼此平行，要架设一座与河
与之间的距离最短？