随机事件与概率
（A卷)
单项选择题
1、事件A、B、C中，A、B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为（）
(A)AB C+A B C+A BC (B)ABC ABC
+
(C)AC BC
+(D)A+B+C
C 由题意知(A∨B)∧C ,即C选项。
2、设A、B为任意事件，则（A+B)(A+B)(A+B)=( )
( A)A+B (B)A-B
(C)B A(D)AB
D （A+B）（A+B）=A, A（A+B）=AB，即D项
3.从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中，任取3条线段能构成三角形的概率为（）
(A)3
10(B)1
5
(C)1
2
(D)2
5
A 枚举：5条线任选3条，共有C35=10。1 3 5 7 9 五条线，可以组成三角形的只有（3 5 7）、（3 7 9）、（5 7 9）三种，故选A (3/10).
（陈志恒）
4.设P(AB）=P(AB),则P(A)+P(B)=()
(A)0 (B)1 (C)1-P(AB) (D)12
答案为B
由题意知，P(AB )=1-P(A
B )=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以P(A)+P(B)=1
5.设A ，B 为两个随机事件，且B ìA,则下列式子正确的是（ ） A P （AB ）=P （A ） 错 应该等于P （B ） B P (B/A)=P(B) 错 应该等于
（Ａ）
）
（P AB P
C P （A+B ）=P （A ） 正确
D P （A B ）=P(B)-P(A) 错应该大于等于
6、5人摸彩方式决定谁得一张电影票，设A i 表示“第i 人摸到”（i=1,2,3,4,5）,则下列结 果中有一个不正确，它是（B ） A P （3|A 12A A )=13
B P （12A A )=14
错
411545
? C P （5A )=15
D P(12A A )=3
5
（高震）
7. 袋中有五个球，其中3个是新的2个时旧的，无放回地抽取两次，
每次取一个，则第二次取到新球的概率为 （A ） （A ）53 (B) 43 (C) 2
1 (D)
10
3 解： 设事件A 为第二次取到新球的概率
P （A ）=3/5×2/4+2/5×3/4 =3/5 二、填空题
1. 在任意相遇的8个人中，至少有两个人的生日在同一个月的概率为___________;
解：设事件A 为至少有两个人的生日在同一个月 P(A)=1-!
128
12A
=0.95
2. 则此人在三次内打开房门的概率为________________; 解：设事件A 为在三次内打开房门 P （A ）=2/5+3/5?2/4+3/5?2/4?2/3 =0.9
(陆雅晴）
3. 一批晶体管共有100只，次品率为10%，接连两次从其中任取一个
（取后不放回），则第二次才取到正品的概率为__
1
11
___ 解：由题意知，正品90个，次品10个，所求为
1090*10099=111
4. 设P(A ）=0.4，()p A B è=0.7，那么 （1）若A 与B 互不相容，则P （B)=__0.3
由已知条件得，P(AB)=0，所以P(A èB)=P(A)+P(B)=0.7，P(B)=0.3
(2) 若A 与B 相互独立，则P(B)=__0.5
由已知条件知，P(AB)=P(A)*P(B),P
（A èB)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B),所以P(B)=0.5
5.一射手对同一目标独立地进行三次射击，若至少命中一次的概率为
为
26
27
，则该射手每次射击的命中率为____2/3__ 解：由题意知，设命中率为P,则3(1)P -=127,即1-P=13,所以P=2
3
(高静）
6、设三个事件A ，B ，C 两两独立，且ABC=?，p(A)=P(B)=p(C)<2
1
, p(A ）C B =169,则P （A ）=4
1
解
：因为P
（A èB èC)=P(A)+P(B)+P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC); P(A)=P(B)=P(C) ABC=?且Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立 则P （ＡB C 热)=3P(A)-3P(A)P(A ）=916
所以P （A ）=４
１
7、甲，乙，丙三个班级的人数分别是35，40，40，某次考试的及格率依次为80%，90%，85%，现从三个班级中随机挑选一人，发现该生成绩不及格，则该生选自甲班的概率为
17
7
解：设不及格事件为B ，不及格为事件A ，（此题为逆概）
P （B ）=
7183
8117
23523202310115
??? P(1A |B)=1752317115
′
=7
17
三、计算题
3，在十张球票中，有五张10元的，三张30元的和两张50元的，任意取出三张，求：
（1）三张球票共70元的概率；（2）三张中至少两张票价相同的概率；解（1）有两种可能性30 30 10，50 10 10
P=
2112
5253
3
10
357
12024 C C C C
C
??
==
（2）用对立事件做
P=
111
532
3
10
3
1
4
C C C
C
创
-=
(章成芳）
2. 某厂的产品中有4%的不合格品，在100件合格品有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。
解：由题意【【
产品的合格率为96%
合格产品中的一等品率为75%
则出厂产品的一等品率P=96%*75%=72%
所以在该厂产品中任取一件是一等品的概率为72%。
3. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，甲选手发球成功后，乙选手回球失误的概率为0.3。若乙选手回球成功，甲选手回球失误的概率为0.4。若甲选手回球成功，乙选手再次回球失误的概率为0.5。试计算这几个回合中，乙选手输掉一分的概率。
解： 乙选手输掉一分有两种情况：
第一种是乙第一次回球就失误，所以P1=0.3;
第二种是乙第二次回球才失误，所以P2=0.7*0.6*0.5=0.21; 因此乙选手输掉一分的概率P=P1+P2=0.51。
4. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A 、B 、C 全不发生的概率。
解： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1/4+1/4+1/4-1/6-1/6 =5/12
则A 、B 、C 全不发生的概率为1-P(AUBUC)=1-5/12=7/12。
（2、3、4
题答案由卜某某提供）
5.甲乙俩人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，求他是甲射中的概率。 解：令事件B 为被射中 事件A 1表示甲射中乙没中 事件A 2表示乙射中甲没中 事件A 3表示俩人都中 则
P （
13()A A B
+）=
13()()
()
P A B P A B P B +=
1133112233()()()()
()()()()()()
P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A ?????=
0.60.60.5
0.40.5
0.60.5
???=0.75
7.乒乓球盒中有15只球，其中九只是没有用过的新球。第一次比赛时任取3只使用，用毕放回。第二次比赛时又任取3只，求此3只球全是没有用过的新球的概率。 解：设A i 为第一次抽到的新球个数。 B 为3只球为新球。
P （A 0）=0396315C C C ，P （A 1）=12
96
3
15C C C
P （A 2）=2196
3
15
C C C ′，P （A 3）=3096
315
C C C ′
P （0
A B ）=3
153
9
C C ，P （1
A B ）=3
15
3
8
C
C
P （2
A B ）=3
153
7
C C ，P （3
A B ）=3
15
3
6
C
C
P （B ）=P （0
A B ）′P （A 0）＋P （1
A B ）′P （A 1）
＋P （2
A B ）′P （A 2）＋P （3
A B ）′P （A 3）＝0.089
（赵雪晴）
四．1．证明重要公式：P(A-B)=P(A)P (AB);(或P(AB)=P(A) -P(AB));
2．设P(A)=0.7，P(A -B)=0.3，求P(AB ) 解：1．证明：因为A=A B
èAB
所以P （AB ）= P （AB AB è）= P （AB ）+P （AB ）P - (AB ?AB) 又因为AB ?AB=?
所以P（A）= P（AB）+P（AB）
所以P（AB）= P（A）-P（AB）即P（A-B）=P（A）-P（AB）
2．由1可得，P（AB）= P（A）-P（A-B）=0.4
所以P(AB)=1-P(AB)=0.6（画图可帮助解题）
五．有一位国王，由于厌烦了他的星占家的多次错误预言，拟将星占家砍首，但国王为了显示自己的仁慈，决定给星占家最后一次机会。他吩咐星占家把4个球（2个白球2个黑球）任意放在两只箱子中，然后刽子手任取一只箱子并从中任取一只球。如果去到白球，星占家可免得一死；否则将星占家砍首。星占家为了使自己活下去的概率更大，他应该用什么方法把球分放到箱子中？
解：设事件A为取到白球
球分放在箱子中一共有四种情况：
I.一只箱子中没球，另一只箱子中4个球：P（A）
=1/2*2/4=1/4
II.一只箱子中1只白球，另一只箱子中其他三只球：P（A）=1/2+1/2*1/3=7/12
III.一只箱子中一只黑球，另一只箱子中其他三只球：P（A）=1/2*2/3=1/3
IV.一只箱子中2只白球，另一只箱子中两只黑球：P（A）=1/2
（胡菁提供）
（ B 卷）
一、单项选择题
1.对于任意两事件A 和B ，与A èB 不等价的是（
） (A)A ìB (B)B A ì (C)A B =? （D)AB =? D 解释：A èB=B 等价于 A ìB 则由图可知A ìB B A ì
而A B =? A B ?≠
2、设A 、B 为两个随机事件，P(A)=p,P(B)=q,(0 （A)互不相容 （B)相容且独立 （C)对立 （D)不独立 B 相容且独立 0 \ A 与 B 相容且独立 3、设A 与B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中，肯定正确的是（ ） （A)A B 与互不相容 （B)A B 与相容 （C ）P(A-B)=P(A) (D)P(AB)=P(A)P(B ） C A 与B 为互不相容事件 则 AB=?? 又 A-B=A-(AB) B A \ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A) ---卢云梦 4.设P(A)=12，P(B)=13,P(A|B)=16 ，则P(|A B )=( ) (A ）12 （B)29 (C)16 （D)13 选D P(A|B)=()()P AB P B =16，所以P(AB)=118,P(AB )=1-P(A èB)=2 9 P(|A B )= ()()P AB P B =1 3 6．进行一系列独立的试验，每次试验的成功率为p ，则在成功二次之前已经失败3次的概率为 ( ) （A ）4p*p*(1-p)*(1-p)*(1-p) (B)4p*(1-p)*(1-p)*(1-p) (C) p*p*(1-p)*(1-p)*(1-p) (D)(1-p)*(1-p)*(1-p) 解：答案为B ，根据题意可得已经试验4次，其中3次为失败，一次成功，成功率为p,则失败率为（1-p ）故为选B 二、填空题 1. 一批产品中有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽到一个，抽到不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为＿＿＿＿ 解：答案为10/33，根据题意一共有12件产品，假设首先抽到次品，则概率为(2/12)*(10/11),如果首先抽到是正品，则概率为（10/12）*（2/11）将两种可能的概率相加便为题目答案。 2．某种动物活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.4，则现在10岁的人活到15岁的概率为＿＿＿ 解：答案为0.5，根据题意，题中活到15岁0.4的概率是还要考虑 活到10岁的情况，故现在10岁活到15岁只要考虑10到15的概率，故将活到15的概率除去活到10岁的概率就是答案了 （钱思远） ３．设在一次试验中，事件A 发生的概率为P ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为_____(对立事件做：1-(1)n p -，A 至多发生一次的概率为（有两种情况：发生0次， 发生1次，则为1(1)(1)n n n P P P C - +- ４．箱子中装有A 类产品a 个，B 类产品b 个，任意取出一个然后放回，并再放入c 个与取出的类型相同点的产品，再从箱子中取出一个产品，则二次取出产品恰好一个A 类一个B 类的概率为______ (A 、B: a b a b a b c ′+++ B 、A: b a a b a b c ′+++ 即所求为 2()() ab a b a b c +++ 5.设事件A 、B 独立，它们都不发生的概率为 1 25 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A)=___ (由已知条件知， 1 ()()()25 P AB P A P B == , ()() P AB P AB =，即 ()() ()()P A P B P A P B =,即 (1())()()(1()) P A P B P A P P B -=-,所以 () (P A P B =,14 ()(),()55 P A P B P A == =) （汪志良） 二、填空题 6、某高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6.，现用此种 炮若干门同时各发射一发炮弹，为了以不小于99%的概率击中一架敌机，至少该配置该种高射炮的门数为6 1-0.4n ≥0.99 n ≥6 三、计算题 1、从十双不同的鞋子任取6只，分别计算“只有两只配成一对”和“至少两只配成一对”的概率。 ① P =C 110C 4924/C 206=0.52 先从10双中取1双，再从剩下的9双中取4双，最后从4双中取每双中的一只 ② P=1-C 61026/C 620=0.653 考虑对立面，即没有两只能够配成对，先从10双中取6双，再从6双取每双的一只 （许运佳） 2、设P(A)=0.9,P(B)=0.75,P(B|A )=0.4,求P(AB); 解：由P(B|A )= ) ()(A P A B P =1.0) (A B P =0.4 得() A B P =0.04，又由)(A B P =P(B)-P(AB)=0.75-P(AB)=0.04 故 P （AB ）=0.71 3、甲乙两人一次投掷一副（二枚）骰子，先得到总和为7的人获胜，分别求出甲乙获胜的概率。 解：记“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B 由题意得P(A)= 23211151515 ()()()()...()()6666666 n n -++++ P(B)= 2233151 51515()()()()()()...()()66 6 6 6 6 6 6 n n ++++ 两式相比得 ()5 ()6 P A P B = 故 65 (),() 1111 P A P B == by电商0901刘瑞琪 4. 制造某零件可以采用两种工艺，第一种是经过三道工序，各工序出废品的概率分别为3%，4%和5%。第二种是经过二道工序，每道工序出废品的概率均为7%，假定各工序之间是互不影响的，为了减少废品，应采用哪种工艺？ 解：若采用第一种 设A为“不产出废品” P(A）=97%?96%?95%=0.88464 若采用第二种 设B为“不产出废品” P(B)=93%?93%=0.8649 P(A)>P(B) \应采用第一种 5.两个袋中各放有m1及m2个白球和n1及n2个黑球，现从每个袋中各取出一球，然后再从这两个球中取出一个，求这个球为白球的概率。解：设A i为“第一次取两球时取到i个白球”，i=0,1,2; B为“最终取到白球” P （A ）=1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ()() n n n n m n m n m n m n ? ++++ 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 2 2 1 1 22 1 1 2 2 ()()() P m n n m m n n m A m n m n m n m n m n m n +=?? ++++++ 1 2 1 2 21 1 2 2 1 1 2 2 ()()() P m m m m A m n m n m n m n = ?++++ )|(0A B P =0 )|(1A B P =2 1 1)|(2=A B P P(B)= ) (0A P ) |(0A B P + ) |()()|()(2 2 1 1A A A A B P P B P P += 121 2 2 1 1 1 2 2 22()() m m m n m n m n m n + +++ （陆杏娟) 6．某公司生产的某种半导体元件，次品率为4%。一批元件出厂前进行检验，规定在该批元件中任取3只进行检验，若发现一只次品则不能出厂。已知检验时，确是次品而被发现的概率为0.95；确是正品而被误验为次品的概率为0.01，假定对每只元件的检验是相互独立的。求这批产品能出厂的概率。 解：设1A 表示取出的一只元件为正品，2A 表示取出的为次品。B 表示一只元件经检验为正品的事件。C 表示产品能出厂。 则 ()()()121296%,4%(|)0.99,|0.05 P A P A P B A P B A ==== ()()()()()112296%0.994%0.05 0.9524P B P A P B A P A P B A =+=?? 由题可知，产品要出厂则三只元件皆需被检验为正品。 则()()()()30.95240.8639P C P B P B P B === 答：这批产品能出厂的概率为0.8639。 四．设事件A 、B 满足0<()P A <1,()P B >0，()()P B A P B A =，证明A 、B 独立。 证明：由题()()||P B A P B A =() () ()() P BA P AB P A P A ? 由公式可知： ()()()()() 1P B A P B P AB P A P A =-=- 代入式子中可得： ()()()() () 1P AB P B P AB P A P A -= - ? ()()()()()()()P A P B P A P A B P A B P A P A B -=- ? ()()()P A B P A P B = 则A 、B 独立得证。 （汤洁） 第五大题 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品，现从两箱中随便挑出一箱，然后再从该箱中先后随机挑出两个零件（取出的零件均不放回）。求：（1）先取出的零件是一等品的概率p ；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。 解：（1）设A i 为第i 个箱子，i=1,2；P(A 1)=1/2 P(A 2)=1/2 B 为先取出的零件是一等品 P(A 1 |B)=1/5 P(A 2|B)=3/5 故p=P(B)=P(A 1)P(A 1|B )+P(A 2)P(A 2|B )=2/5 （2）设C 为在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品 q=P(C/B)=P(BC)/P(B) P(BC)=P(BC|A 1)+P(BC|A 2)=1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29 故q=(1/2*1/5*9/49+1/2*3/5*17/29)/(2/5)=0.4856 （王莉媛） （C 卷） 1.一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率。 （1）某指定的一层有两位乘客离开； （2）没有两位及两位以上乘客在同一层离开； （3）恰有两位乘客在同一层离开； （4）至少有两位乘客在同一层离开； （假设乘客离开的各种可能排列具有相同的概率） 解：（1）1P =10 9 6 4 26C =0.0984 （2）2P = 10 6 6 10 A =0.1512 （3）3 P = () 1211314106994896 10 C C C C C C A ++=0.4982 （4） P=1-2P=0.8488 4 分析：一位乘客离开有10种方式，6位乘客就有106种可能。 （1）从6位乘客中选出2位在指定的一层中离开，另外4人各有9种方式离开。 （2）6位乘客分别在不同楼层离开，从10层中有顺序选出6个。（3）恰有两位在同一层离开，从6个人中选出两个在10层中的任一层离开。其余四个可在同一层离开，或三个人一起离开另外一个独自走，或四个人各自在不同层离开。 （4）是（2）的对立事件。 （张天柔） 2.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0.，其中B、C分别是一枚骰子连续掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q；解；一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36.方程组有实根的充分必要条件是 B平方>=4C 或C<=B平方/4 易见 -------------------------------------------------------------- B 1 2 3 4 5 6 -------------------------------------------------------------- 满足B平方>=4C 的基本事件个数0 1 2 4 6 6 -------------------------------------------------------------- 满足C<=B平方/4 的基本事件个数0 1 0 1 0 0 -------------------------------------------------------------- 由此可见，使方程有实根的基本事件的个数为 1＋2＋4＋6＋6＝19， 因此 该方程有实根的概率P1=19/36 方程有重根的充分必要条件是 B 平方=4C 或 C=B 平方/4 满足此条件的基本事件共有2个，因此 该方程有重根的概率P2=2/36=1/18 （冯树东） 3.在N 阶行列式的展开式中任取一项，求该项含主对角线元素的概率 解析：N 阶行列式的一般项为12 1 2 (...) 12(1) ...n n j j j j j nj a a a G -，每项要不要同行不同列，所以共有!N N A N =项，题目要求任取一项中含主对角线元素的概率，及等价于曾讲的一例题：标有1,2,3。。。N 的盒子，取同样标有1,2,3。。。N 的相同规格的小球向盒子里投，每盒投一个，问：球的号与盒子的号相同的概率。 所以具体求解如下： 设i A 表示“含主对角线上的第i 个元素”（i=1,2,3....,n ）,则 P(i A )= 1n ,P(i j A A )=P(i A )P(|j i A A )=1n *11 1(1) n n n =--,P(i j k A A A )=1(1)(2)n n n --,....,P(12...n A A A )=1 ! n ,故P(1A +2...n A A ++)= 1 n ? P(i A )—1() i j i j n P A A ??? + 1() i j k i j n P A A A ??? +....+ 112(1)(...) n n p A A A --=1 — 11111...(1)2!3!4!! n n -+-++- （曹艳娇） 二．求下列概率 1、在半径为R 的圆内任取一点，求该点位于给定圆内接正方形内的概率； 解：设正方形的边长为a ，则可得a=2R 记事件A=“该点位于给定圆内接正方形内” 则P （A ）=S S 正圆 =222R R p =2 p 2、在区间[0，1]上随机地取两个数，求两数之和超过13 的概率。 解：记随机取的两数分别为x ，y 则可得如下的图 1 1 0 13 1 3 x y 1 S 2 S 满足两数之和超过13的是S =12S S - 21111 23318 S =创= 记事件A=“两数之和超过13 ” 则 P(A)= 1 S S =1 1181 - =1718 （蒋彩烨） 三．设P(A)=P(B)=P(C)=p ，P(AB)=P(BC)=P(AC)=q ，P(ABC)=r,且2p-q ≠1，求P(C|B A )。 解.P(C B A )=P(C)-P(C(A+B))=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=p-2q+r P(B A )=1-P(A èB)=1-2p+q \P(C|B A )=P(C B A )÷P(B A )= 212p q r q p -++- 四.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一 件也是不合格品的概率。 解.设A 为取出第一件为正品，B 为取出第二件为正品 P (|)AB A B è=() () P AB P A B è P （B A ）= 432109 15? P （A B è）=1-6 510 9′ =3 2 \P (|)AB A B è= () ()P AB P A B è=5 1 （徐双燕） 五、设 0 相互独立。 解：由题得：(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-= ()()()() ()()1() P AB P AB P A P AB P B P B P B -\ ==- 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ） A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ） A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ） A. 41153， B. 441515， C. 1133 ， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是（ ） A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ） A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ） A ．ABC B ． C AB C ．C B A D ．C B A C B A C B A ++ 12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ） 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。 38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. 第一章测试 1 【单选题】(10分) 设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=()。 A. {1,2,5,6,7,9,10} B. {1,2,5,6,7,8,9,10} C. {1,2,4,5,6,7,8,9,10} D. {1,2,3,5,6,7,8,9,10} 2 【单选题】(10分) 同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为()。 A. 0.325 B. 0.125 C. 0.375 D. 0.25 3 【单选题】(10分) 假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。 A. B. C. D. 4 【单选题】(10分) 设A，B为任意两个事件，则下式成立的为()。 A. B. C. D. 5 【单选题】(10分) 设则＝（）。 A. 0.48 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.30 6 【单选题】(10分) 设A与B互不相容，则结论肯定正确的是()。 A. B. C. D. 与互不相容 7 【单选题】(10分) 已知随机事件A,B满足条件，且，则（）。 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 8 【单选题】(10分) 若事件相互独立，且，则()。 A. 0.665 B. 0.875 C. 0.775 D. 0.95 9 【单选题】(5分) A. B. C. D. 10 【判断题】(5分) 不可能事件的概率一定为0。（） A. 对 B. 错 11 【判断题】(5分) A. 错 B. 对 12 【判断题】(5分) 贝叶斯公式计算的是非条件概率。（） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑 球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 （2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A） 第一章测试题 一、选择题 1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A一定互不相容得事件为 (A) (B) (C) (D) 2、对于任意二事件A与B,与不等价得就是 (A) (B) (C) (D) 3.设、就是任意两个事件,,,则下列不等式中成立得就是( ) 4.设,,,则( ) 事件与互不相容事件与相互独立 事件与相互对立事件与互不独立 5.对于任意两事件与,( ) 6.若、互斥,且,则下列式子成立得就是( ) 7.设、、为三个事件,已知,则( ) 0、3 0、24 0、5 0、21 8.设A,B就是两个随机事件,且0 11.将一枚均匀得硬币独立地掷三次,记事件A=“正、反面都出现”,B=“正面最多出现一次”,C=“反面最多出现一次”,则下面结论中不正确得就是( ) (A)A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(D)与A独立 12.进行一系列独立重复试验,每次试验成功得概率为p,则在成功2 次之前已经失败3次得概率为( ) (A) (B) (C) (D) 二、选择题 1、设A, B, C为三个事件, 且____、 2、设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件就是不合格品, 另一件也就是不合格品得概率为_______、 3、随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域得概率与区域得面积成正比, 则原点与该点得连线与x轴得夹角小于得概率为______、 4、设随机事件A, B及其与事件A?B得概率分别就是0、4, 0、3, 0、6, 若表示B得对立事件, 则积事件得概率= ______、 5、某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中得一种, 则同时订这两种报纸得住户得百分比就是________、 6、三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障得概率依次为0、9, 0、8, 0、7, 则这三台机器中至少有一台发生故障得概率________、 7、电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏得概率依次为0、3, 0、2, 0、1, 则电路断路得概率就是________、 8、甲乙两人投篮, 命中率分别为0、7, 0、6, 每人投三次, 则甲比乙进球多得概率______、 9、三人独立破译一密码, 她们能单独译出得概率分别为, 则此密码被译出得概率_____、 10、设A,B就是任意两个随机事件,则 11、已知A、B两事件满足条件,且,则 12、已知 13 ()()(),()()0,() 416 P A P B P C P AB P BC P AC ======,则都不发生得概 率为__________ 三、计算题概率论第一章课后习题答案
李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案
概率论第一章小测试
上海工程技术大学概率论第一章答案
概率论第一章习题解答
第一章概率论习题解答附件
《概率论与数理统计》第一章知识小结
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
第一章 概率论的基本概念习题答案
2020年智慧树知道网课《概率论》课后章节测试满分答案
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率统计第一章答案
概率论与数理统计第一章测试题
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案
概率论第一章答案
概率论与数理统计第一章习题解答
概率论与数理统计第一章
相关主题
文本预览