小波分析及其在信号滤波中的应用
学生
指导老师
电气信息工程学院
摘要：基于信号和噪声的频率不同，本文对小波进行了分析研究，并利用小波阈值方法对信号进行了滤波处理。根据频率的不同采用了最佳软阈值滤波法对原始信号进行了分离，采用db10小波和sym8小波对信号进行5层分解，并且在选择细节系数时，选用最佳阈值软模式和尺度噪声以及选用sure阈值模式和尺度噪声，分出实际有用信号和很明显的噪声信号。利用Matlab对noissin信号函数及初设原始信号进行分析，从得到的滤波前后的信号图片分析，验证了小波对信号滤波的有效性。
关键词：小波变换; 阈值; 信号滤波; MATLAB
Study on Wavelet Analysis and Its Application to Signal
fiter
Student:
Supervisor:
Electrical and Information Engineering Department
Abstract:Based on the frequency of the signal and noise is different, in this paper, the wavelet analysis and research, and use wavelet threshold value method to signal the filtering processing. According to the different frequency used the best soft threshold of filtering method for isolation of the original signal, the db10 wavelet and wavelet sym8 signal, 5 layers decomposition, and at selected detail coefficients, choose optimal threshold soft mode and scale noise and choose sure threshold mode and noise scale, cent gives actual useful signal and obviously noise signal. Use of Matlab noissin signal function and set up at the beginning of the original signal is analyzed, from the filter of the signal analysis before and after pictures, the effectiveness of the wavelet to signal the effectiveness of filtering.
Key words:wavelet transform; Threshold; Signal fiter; MA TLAB
1绪论
1.1设计的背景和研究意义
小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用於边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘侦测等。小波分析属于时频分析的一种，是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辨率的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时域局部化分析法。因此利用小波分析方法对信号进行滤波具有重要的实际意义。
1.2小波在信号滤波中的发展状况
小波分析是20世纪80年代形成的一个迅速发展的数学分支，它同时具有理论背景深刻和工程应用广泛的双重意义。小波分析是在Fourier分析基础上发展起来的，但它与Fourier分析存在着极大不同。小波变换与Fourier变换、加窗Fourier变换相比，它是一个自适应的时间和频率的局部变换，具有良好的时-频定位特性和多分辨能力。因而它能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的某些困难问题。所以小波分析被誉为“数学显微镜”，它是Fourier分析发展史上里程碑式的进展。随着小波理论与应用的不断发展，其理论成果和应用范围遍及众多学科和领域，所以投身于小波分析研究及应用的人员越来越多，成为众多学科共同关注的焦点和有力的应用工具之一，从而学习和掌握小波分析理
论和方法成为许多大学生、研究生和科技工作者的愿望。尽管小波滤波技术已经应用于多种领域，但总的来说，目前该方法的工程应用及其理论发展相比还显得滞后和不足，许多应用领域还停留在仿真实验阶段。小波变换本质上是一滤波过程，但它优于传统的数字滤波方法。子波分析方法对弱信号实时处理的结果表明：小波变换方法可以根据信号和噪声的不同特性进行非线性滤波。在改善信噪比的同时，具有很高的时间分辨率而且对信号的形式不敏感。这是传统的滤波方法所无法比拟的。小波变换方法特别适合于弱信号的检测和定位。随着小波变换理论的完善，小波变换方法将会有更广泛的应用前景。（1）对信号进行小波分解选择一个小波函数并确定分解的层次N，然后对信号S进行N层小波分解。（2）小波分解高频系数的域值量化对第1～N层的每一层高频系数，选择一个域值进行域值量化处理。（3）信号重构根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1～N层的高频系数，进行信号的小波重构（小波逆变换）。该方法并不复杂，但目前存在2个问题：a.在小波分解时选择什么样的小波函数更适合于特定工程问题，有利于更好去除噪声，不同的问题选用不同的小波函数，滤波效果会有所不同，目前的理论研究中，对此问题还感到非常棘手。b.对阈值的量化问题，在对各层分解中的高频系数（CD）的量化过程，选择多大的域值更有利于消噪，目前仍处于研究中，但常用的有软域值方法和硬域值方法，如基于无偏似然估计（二次方程）原理的自适应域值选择，对于一个给定的域值th，得到他的似然估计，再将非似然th最小化，就得到了所选的阈值。
1.3论文的主要内容
本文分析利用小波对信号的处理，以及在去噪方面的研究，首先具体是了解实际有用信号和干扰噪声之间的区别，利用小波分析方法对实际的含噪声信号进行滤波分析，降低噪声的影响，得出更具实际意义的信号；具体是通过小波理论中的多尺度分析理论，确定信号奇异点，其中涉及到信号分解和模极大值处理，通过设定阈值对消噪的处理，对信号进行重构，再结合数学算法得到结果，比较滤波前后信号的信噪比和均方根误差来验证小波方法对信号滤波的有效性能，最后利用Matlab仿真软件对其进行仿真分析。
本文第一章是绪论，第二章是小波分析的基本理论，第三章是小波在信号滤波中的应用，第四章是系统仿真分析，第五章是结束语。
2 小波分析的基本理论 2.1 小波函数
小波函数的基本公式如下公式（1）
∑∑
∞
-∞=∞
-∞
=><=j k k
j k
j t f t f )(~,)(,,ψψ =
∑∑∞-∞=∞
-∞
=j k k
j k
j t d
)(,,ψ
（1）
)2(,k t j
k
j -=ψψ
（2） 其中，)(t ψ 是小波函数，k j d , 是小波系数，且
k j d , => j f ,~,ψ （3） 由公式（1）到（3） 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j ，而且还有时间的指标 k 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j ，在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。 通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是 [ψψ?++?-+* *a at b a at b ,]?? ? ????+?-?? ?ψωψω a a a a 1,1 （4） 其中j a -=2，时间窗的宽度为 ψ?a 2，随着频率的增大（即j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式（2）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数”j 2 。小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。 2.2小波函数的类型及选择 应用到小波去去噪，首先就要考虑到小波函数的选择，因此遵循选择小波函数的 “四项原则”。正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。在求小 波系数公式（3）中，如果 )(k t -ψ 是)(2IR L 空间的正交基，那k j ,~ψ为k j ,ψ的复共轭。 小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是1C 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧密支撑的性质。其次，还要考虑到“时--频窗”宽度的问题，下面简单讲述利用其检测频率信号。在最高频率水平 N V （即根据实测数据的时间测量间隔 t ?，最高能检测到的频率为 Nyquist 频率 t f ?= 21），选择最窄的“时—频窗”宽度，检测到原始信号中的最高频 率信号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在1-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间1-N V 。然后，增大“时—频窗”的宽度，再检测1-N V 空间中的高频信息，将这些信号从1-N V 空间中剥离，存放在2-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间2-N V 。依次类推。这就要求有两个互相有联系的空间： 11--+ =J J J W V V = 122---++ J J J W W V = …101W W W +++ - …2-+J W 1-+J W , ZZ J ∈ 子空间性质简介： （1） ……?1-V ?0V ?1V ?2V ? …… （2） clos 2 L (J ZZ J V ∈ ) =)(2IR L （3） {}0=∈J ZZ J V , 即{}0lim =-∞ →J j V （5） （4） 11--+ =J J J W V V （5） 1)2()(+∈?∈J J V x f V x f （6） {}l J W W l J ≠=,0 这样，对于参考子空间0V ，需要单个函数)(2IR L ∈φ在公式 0V =>∈ K IR L :,0) (2 φ （6） 上生成，其中， )2(2 2 ,k x j j k j -=φφ （7） 对于参考子空间0W ，需要单个函数)(2IR L ∈ψ在公式 0W = clos ) (2 IR L ZZ K K ∈:,0ψ （8） 上生成，其中， )2(2 2 ,k x j j k j -=ψψ 首先，这就要求有两个函数： φ 和 ψ，前者称为尺度函数，后者称为小波函数。并且，它们肯定是有关系的。 由（5）中的（1）式可知，φ10V V ?∈，由（4）式可知，ψ10V W ?∈，而 {k ,1φ：ZZ k ∈}是 1V 的一个基，所以存在唯一的2l 序列{k p }、{k q } ∑ -= k k k x p x )2()(φφ （9） ∑-= k k k x q x )2()(φψ （10） 并引入记号 )(z P = ∑k k k z p 2 1 （11） )(z Q = ∑k k k z q 2 1 （12） （9）称为尺度函数的“两尺度关系”，（10）称为小波函数的“两尺度关系”，)(z P 称为尺度函数φ的“两尺度符号”，)(z Q 称为小波函数ψ的“两尺度符号”。为了由高频到低频逐次检测到不同频率水平的信息，仅有上述两个函数是不够的。由前面分析可知，公式（1）中的小波函数与求小波系数使用的与f 作内积的函数不是同一个函数，除非使 用正交的小波函数。这就要求寻找尺度函数φ与小波函数ψ的对偶函数：对偶尺度函数 φ~ 、对偶小波函数 ψ ~，以便分解原始信号时能求出小波系数来。 常用的小波函数有以下三种： (1).正交小波 正交小波的两个族{}k j ,φ与{ }k j ,ψ满足： 1) j k j ,,,ψφ> = 0 3) l k j ,,,ψ ψ > = m k l j ,,δδ 4)=)(2IR L …… ⊕ 1-W ⊕0W ⊕1W ⊕…… 用振动的语言形象的比喻：{}k j ,φ是1+j V 子空间的低阶振型， {}k j ,ψ是1 +j V 子空间的高阶振型，j j V W ⊥ ，)(,k j W W k j ≠⊥。 (2). 半正交小波 半正交小波的四个族{}k j ,φ、{ }k j ,ψ、{}k j ,~ φ与{}k j ,~ψ满足： 1) j ,,~,ψψ > = m k l j ,,δδ 2) ,φφ> = m k ,δ 3) l k j ,,,ψ ψ > = 0, ,~ψψ> = 0，l j ≠；j,l,k,m ZZ ∈ 。 4) {}k j ,φ是 1+j V 子空间的低阶振型的线性组合，即低阶剩余模态。{ }k j ,ψ是1 +j V 子空间的高阶振型的线性组合，即高阶剩余模态。 5) j j W W ~=， j j V V ~ =，j j V W ⊥ 6)=)(2IR L …… ⊕ 1-W ⊕0W ⊕1W ⊕…… (3).- R 小波 - R 小波的{ }k j ,ψ与{}k j ,~ψ满足： 1) j ,,~,ψψ > = m k l j ,,δδ 2) =)(2IR L ……? +1 -W ? +0W ? +1W ? + …… 2.3小波的基本算法 小波的基本算法有以下几种： 1).将)(x f 投影到{}n V 上 )(x f ≈ ∑-=-Φ1 20 ) 2(n k n n k k x c =n f 2).小波分解算法（使用多分辨分析的金字塔算法） 1 -n d 1-n d 2-n d m n d - / / / / n c → 1-n c → 2-n c →m n c - ∑ --=l j l k l j k c a c 21 （13） ∑--= l j l k l j k c b d 21 （14） n f = m n m n n n n f g g g g -----+++++.......321 （15） ∑-Φ= k j j k j k x c f )2( （16） ∑-ψ= k j j k j k x d g )2(4 （17） 而n g 、n h 是符号多项式)(z G 、)(z H 的系数： )(z G = ∑ ---+=n m m m n n z E z E z z z g ) ()() 2 1( 2 12 12121 （18） )(z H = ∑-----=n m m n n z E m z z z h ) ()!12() 2 1( 2 1 2 121 (19） 12-m E =)!12(-m ∑-=+2 20 2)1(n k k n z k N （20） 3).小波重构算法 基于小波多分辨率的算法，利用下面提到的三次样条函数尺度函数进行的重构，基本构架如下： 1-n d 2 -n d m n d - / / / n c ←1 -n c ←2 -n c ← m n c - []∑----+= l j l l k j l l k j k d q C p C 1 21 2 在本文使用的小波分析软件 “XIAOBO ”中，使用的是三次样条函数尺度函数 44N ≡Φ及三次样条小波（B-小波）)(4x ψ。三次样条小波 )(4x ψ为 )(4x ψ = ∑-n n n x N q )2(4 （21） 其中 n q = )1(42 )1(84 3l n N l l n -+?? ? ???-∑ =，（10,,2,1,0 =n ） （22） m 阶样条函数)(x N m 的定义是 ? -= *≡--1 111)()()(dt t x N N N x N m m m ，2≥m （23） 1N 是区间[0，1]的特征函数。其性质及特点如下： 1).三次样条小波具有连续、紧支撑、广义线性相位和半正交的性质 2).三次样条小波是2C 阶连续，用它模拟一个信号，二阶导数都是连续的,精度极高。 3).三次样条小波支撑区间为[0，7]，三次样条尺度函数支撑区间为[0，4]。 4).三次样条小波是对称函数，因而具有广义线性相位，滤波不会失真。唯一不足的是三次样条小波不是正交的，只是半正交的，在小波分解中，求小波系数必须使 用其对偶小波 4~ψ ，对偶小波 4 ~ψ的傅立叶变换为 2 4 44 ) 2(? )(?)(?~∑∞ -∞ =+=k k πωψωψ ωψ （24） 4).小波函数阈值算法 阈值函数法(又称小波阈值滤波法)是目前研究和应用比较广泛的滤波方法之一。Donoho 等，已经证明:小波阈值滤波法的效果明显优于其它经典的滤波方法。阈值函数法主要是基于在小波高频子空间中，比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上都是由噪声产生，因此可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置为零，而保留大于阈值的小波系数，再通过一个阈值函数映射，得到估 计系数，最后对估计系数进行逆小波变换，就可以得到去噪后的信号重建。有硬阈值、软阈值和最佳软阈值噪的方法。 3 小波在信号滤波中的应用 3.1小波滤波的基本原理 一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。所以降噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理：最后再对信号重构即可达到降噪的目的。 设一个含噪声的信号的模型可以表示成如下形式： i k j k j z x w λ+=,, (i=0,1,......n-1) （25） 其中，i z 是一个标准的高斯白噪声，λ是噪声级，n 是信号长度。若要从被噪声污染的信号k j w ,中恢复出原始信号i x ，则基于小波分析的去噪方法分为以下3个步骤： (1)计算含噪声信号的正交小波变换。选择合适的小波和小波分解层数，将含噪信号进行小波分解，得到相应的小波分解系数，包括低频系数和高频系数。 (2)对分解得到的小波系数进行阈值处理。选择适当的阈值对每一层小波系数进行量处理。 (3)进行小波逆变换。将经阈值处理过的小波系数重构，得到恢复的原始信号估计值。 从信信号学的角度看 ,小波滤波是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在滤波后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波滤波实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如下图1所示： 图1 信号去噪流程图 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下图 2所示： (k )()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 （26） 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部 分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信 号进行重构即可以达到消噪的目的。 图2 含噪信号模型 3.2基于小波最佳软阈值的信号滤波 下面的几种阈值函数体现了对小波系数处理的几种不同方式。 k j w ,为含噪信号小波 变换后的小波系数，λ为阈值，k j w ,∧ 为经阈值函数处理后的小波系数估计值。 1)阈值函数(hard-thresholding) 此仅保留绝对值大于阈值x 的小波系数，并且保留的小波系数与原始系数相同，用式子表示为 λ λ<≥=∧ k j k j k j k j w w w w ,,,,,0 { （27） 硬阈值函数如图3所示。 2)软阈值函数(soft-thresholding) 绝对值小于阈值λ的小波系数用0代替;绝对值大于阈值λ的小波系数用λ来缩减.如下图4，用式子表示为 λ λλ<≥-=∧ k j k j k j k j w w w s i g n w ,,,,0 ), ({ （28） 图3硬阈值方法 图4软阈值方法 以上两种阈值函数在实际中得到广泛应用，也取得了良好的效果，但它们也存在固有的缺点。比如：在硬阈值函数中k j w ,∧ ，在λ处是不连续的，利用k j w ,∧ 重构的信号可能会产生一些震荡。而由软阈值函数得到的估计值k j w ,∧ 的整体连续性好，但是当λ≥k j w ,时，k j w ,∧ 和k j w ,总存在恒定的偏差，直接影响重构信号与真实信号的逼近程度.基于以上考虑，有学者对以上阈值函数作了改进，提出了几种介于硬阈值函数与软阈值函数之间的阈值函数. 3)最佳软阈值（best soft-thresholding ） 其定义为： , , ,,0 ))(sgn({ ,,,,,λλλ≤>-=∧ j i j i k j k j k j w w a w w w （29） 这里0≤a ≤1，是一待定参数,显然,当a=0或a=1时，由式(4)给出的一般化软门限滤波就分别变成了通常的硬门限和软门限滤波。下一步，就是要根据最小均方误差准则确定a 的值，以便得到信号的最佳估计。 利用式(25)，这里可以把式(28)重新写成： λ λ λ≤>--=-∧ k j k j k j k j i k j k j w w w a w z x w ,,,,,,,])s g n ([{ （30） 由此得到 E[2,,)(k j k j w x ∧ -] =)sgn(])[(],[,2 2,2,k j i k j k j w a z E w x E -+≤δλ =]),sgn()sgn(])[(][),sgn(,,22,λλλ>≠++>k j i k j i k j i w z w a z E w z （31） 为了求出a 的最佳值，可以令 0) [(2 ,,=?-?A W X E K J K J 可以推出 a=)/(])),sgn()sgn([]),sgn()sgn([(,,,,-++>≠->=P P w z w z E w z w Z E k j i k j i k j i k j i λλ （32） 其中 }),sgn()Pr{sgn(,,λ>==+k j i k j w z w p （33） }),sgn()Pr{sgn(,,λ>≠=-k j i k j w z w p （34） 因此，当概率分布i z 和k j x ,为已知时，通过以上公式及数值计算的方法，就可以求出最佳的a 值。在实际应用中，为了给出a 的一个近似结果,我们可以假设 -≈>≠P Z E w z w z E i k j i k j i ][]),sgn()sgn([,,λ （35） + ≈>=P Z E w z w z E i k j i k j i ][]),sgn()sgn([,,λ （36） 这样，就得到了a 的一个近似表达式 - +-++-≈P P P P z E a i ] [ （37） 下面就讨论在不同的噪声情况下，a 的具体取， 情形1 噪声分布i z =±1及Pr{i z =1}=Pr{i z =-1}=1/2，即噪声以等概率取1和-1两个值，此时：E[i z ]=1<故由式(31）可以得到 - +-++-= P P P P a 1 （38) 情形2 噪声项i z 为区间[-1,1]上的均匀分布,此时E[i Z ]=1/2<由式(31)可以得到 - +-++-= P P P P a 212 （39） 情形3 噪声项i z 为均值是零，方差是1的正态分布,此时E[i Z ]≈0.6774，利用式 有 - +-++-=P P P P a 6774 .03 （40） 为了对式(32)进一步简化，我们讨论-P 的取值，实际上，由式(25)可以得到sgn(k j w ,)≠sgn(i z )，且|k j w ,|>λ的必要条件为λ>k j x ,，它表明 }Pr{}),sgn()Pr{sgn(,,,λλ>≤>≠=-k j k j i k j x w z w P (41) 考虑到信号边缘处的能量比较集中，故仅仅有极少的小波系数的幅度超过门限λ，故Pr{|k j x ,|>δ}=ε<<1。从而根据上式可以假定-P ≈0，把该值代入式(39)，(40)和(41)就得到1a =1,2a =1/2及3a =0.6774。这一结果表明软门限方法只是在噪声为二值分布时，可以给出最好的结果，而对Gauss 白噪声，当式(29)中的a=0.6774时，才会给出信号的最佳估计。 3.3滤波的评价指标 信噪比是音响界公认的衡量音响器材质量水准的一个重要指标。信噪比，失真率、频率响应这三个指标是音响器材的“基础指标”或“基本特性”，我们在评价一件音响器材或者一个系统水准之前，必须先要考核这三项指标，这三项指标中的任何一项不合格，都说明该器材或者系统存在着比较重大的缺陷。信噪比作为设备、系统的基础指标之一，必须得到应有的高度重视。信噪比英文名称叫做SNR 或S/N （SIGNAL-NOICE RATE)，是指一个电子设备或者电子系统中信号与噪声的比例。信噪比的计量单位是dB ，其计算方法是10LG(PS/PN)，其中Ps 和Pn 分别代表信号和噪声的有效功率，也可以换算成电 压幅值的比率关系：20LG(VS/VN)，Vs和Vn分别代表信号和噪声电压的“有效值”。在音频放大器中，我们希望的是该放大器除了放大信号外，不应该添加任何其它额外的东西。 因此，信噪比应该越高越好。信噪比公式如下； C=10LG(PS/PN) （42）这里的PS代表信号的有效功率，PN代表噪声的有效功率。 例如： function y=snr(PS,PN);PS是原始信号，PN是降噪后信号 N=length(PS); y1=sum(PS.^2); y2=sum((PS-PN).^2); y=10*log((y1/y2)); 通过计算公式我们发现，信噪比不是一个固定的数值，它应该随着输入信号的变化而变化，如果噪声固定的话，显然输入信号的幅度越高信噪比就越高。显然，这种变化着的参数是不能用来作为一个衡量标准的，要想让它成为一种衡量标准，就必须使它成为一个定值。于是，作为器材设备的一个参数，信噪比被定义为了“在设备最大不失真输出功率下信号与噪声的比率”，这样，所有设备的信噪比指标的测量方式就被统一起来，大家可以在同一种测量条件下进行比较了。信噪比通常不是直接进行测量的，而是通过测量噪声信号的幅度换算出来的，通常的方法是：给放大器一个标准信号，通常是0.775Vrms或2Vp-p@1kHz,调整放大器的放大倍数使其达到最大不失真输出功率或幅度（失真的范围由厂家决定,通常是10%，也有1%），记下此时放大器的输出幅Vs，然后撤除输入信号，测量此时出现在输出端的噪声电压，记为Vn，再根据SNR=20LG(Vn/Vs)就可以计算出信噪比了。Ps和Pn分别是信号和噪声的有效功率，根据SNR=10LG（Ps/Pn）也可以计算出信号比。这样的测量方式完全可以体现设备的性能了。但是，实践中发现，这种测量方式很多时候会出现误差，某些信噪比测量指标高的放大器，实际听起来噪声比指标低的放大器还要大。经过研究发现，这不是测量方法本身的错误，而是这种测量方法没有考虑到人的耳朵对于不同频率的声音敏感性是不同的，同样多的噪声，如果都是集中在几百到几千Hz，和集中在20KHz以上是完全不同的效果，后者我们可能根本就 察觉不到。因此就引入了一个“权”的概念。这是一个统计学上的概念，它的核心思想是，在进行统计的时候，应该将有效的、有用的数据进行保留，而无效和无用的数据应该尽量排除，使得统计结果接近最准确，每个统计数据都由一个“权”，“权”越高越有用，“权”越低就越无用，毫无用处的数据的“权”为0。更为接近了。噪声中对人耳影响最大的频段“权”最高，而人耳根本听不到的频段的“权”为0。这种计算方式被称为“A计权”，已经称为音响行业中普遍采用的计算方式。 4 系统仿真分析 本文采用Mtalab本身程序提供的noissin信号函数及初设原始信号f（x）为例进行Matlab分析,其中： ； ()sin(0.03) f x t e = noissin + 0.5*randn(size(e1)); 首先对noissin函数上叠加上随机噪声信号得到e，分别对比采用db10小波和sym8小波对信号e进行5层分解，并且细节系数选用最佳阈值软模式和尺度噪声（db10）以及选用sure阈值模式和尺度噪声(sym8)。最佳软阈值通过小波变换后在matlab中定义一个函数为functionthrm=bestsoft (matrix,thr)，然后运用t=(abs(matrix)>=thr)这条语句对系数进行比较，得到一个返回矩阵值t，最后返回值与小波系数矩阵相乘thrm=sign(matrix).*abs(matrix-a*thr).*t，得到一个新去噪后的矩阵。最后进行使用ca2=idwt2(a3,ch3,cv3,cd3,'sym8'),ca1=idwt2(ca2,ch2,cv2,cd2,'sym8'),ca3=idwt2(ca1,ch1,cv1 ,cd1,'sym8')，进行逆变换。在进行噪声消除后，还对原信号进行进一步分析，将原始信号和噪声信号分离开来，仿真结果如图5,6,7所示： 图5 原始信号和加噪图 图6 db10滤波后的信号图 图7 sym8滤波后的信号图 图5为原始信号图形和叠加随机噪声后的图形，而图6和7为分别利用db10和sym8小波默认阈值降噪后的信号图形。从图7可以看出利用db10小波降噪后的信号基本上恢复了原始信号，滤波效果明显。但是滤波后的信号与原始信号也有不同，从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少无法准确还原原始信号这是由于为降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致，如需要更好的恢复信号，还可以采用其它种类小波对其进行分析，通过选取不同的阈值，分析结果，得到一个合适的阈值。从图6和图7中看出，在经过用db10对信号进行5层分解，然后分别对分解的第5层到第1层的低频系数和高频系数进行重构。可以得出其主要基波函数和高频噪声函数的图形，其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的，而正弦信号可以在图6中的近似信号a5得到。因为在这一层的影响已经可以忽略了，所以获得的信号就是初始信号的波形，从而把淹没在噪声中的有用信号有效地分离出来 小波分析在信号去噪中的应用 摘要：利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB 信号去噪的仿真试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。 关键词：小波去噪；阀值；MATLAB 工具 1、 小波去噪模型的建立 如果一个信号被噪声污染后为，那么基本的噪声模型就可以表示为()f n ()s n ()()() s n f n e n σ=+式中：为噪声；为噪声强度。最简单的情况下为高斯白噪声，且=1。()e n σ()e n σ小波变换就是要抑制以恢复，从而达到去除噪声的目的。从统计学的()e n ()f n 观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，也可以看作是在正交基上对函数无参估计。小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现： ()f n a)小波分解； b)设定各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理； c)小波逆变换重构信号。 小波去噪的结果取决于以下2点： a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性； b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。 如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波去噪结果。 2、小波系数的阈值处理 2．1由原始信号确定阈值 小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信噪比来决定的。在模型里用这个量来表示，可以使用MATLAB 中的wnoisest 函数计算得到σσ值，得到信号的噪声强度后，根据下式来确定各层的阈值。 thr =式中n 为信号的长度。 2．2基于样本估计的阈值选取 1)无偏似然估计(rigrsure)：是一种基于Stein 无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于给定的阈值T ，得到它的似然估计，再将似然T 最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。 2)阈值原则(sqtwlolg)：固定阈值T 的计算公式为。 3)启发式阈值原则(heursure)：是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折 实验报告 课程名称：数字信号处理 实验名称：低通滤波器设计实验 院（系）： 专业班级： 姓名： 学号： 指导教师： 一、实验目的： 掌握IIR数字低通滤波器的设计方法。 二、实验原理： 2.1设计巴特沃斯IIR滤波器 在MATLAB下，设计巴特沃斯IIR滤波器可使用butter 函数。 Butter函数可设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟IIR滤波器，其特性为使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但同时损失截止频率处的下降斜度。在期望通带平滑的情况下，可使用butter函数。butter函数的用法为： [b,a]=butter(n,Wn)其中n代表滤波器阶数，W n代表滤波器的截止频率，这两个参数可使用buttord函数来确定。buttord函数可在给定滤波器性能的情况下，求出巴特沃斯滤波器的最小阶数n，同时给出对应的截止频率Wn。buttord函数的用法为：[n,Wn]= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和Ws分别是通带和阻带的拐角频率（截止频率），其取值范围为0至1之间。当其值为1时代表采样频率的一半。Rp和Rs分别是通带和阻带区的波纹系数。 2.2契比雪夫I型IIR滤波器。 在MATLAB下可使用cheby1函数设计出契比雪夫I 型IIR滤波器。 cheby1函数可设计低通、高通、带通和带阻契比雪夫I 型滤IIR波器，其通带内为等波纹，阻带内为单调。契比雪夫I型的下降斜度比II型大，但其代价是通带内波纹较大。cheby1函数的用法为：[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,/ftype/)在使用cheby1函数设计IIR滤波器之前，可使用cheblord 函数求出滤波器阶数n和截止频率Wn。cheblord函数可在给定滤波器性能的情况下，选择契比雪夫I型滤波器的最小阶和截止频率Wn。cheblord函数的用法为： [n,Wn]=cheblord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和Ws分别是通带和阻带的拐角频率（截止频率），其取值范围为0至1之间。当其值为1时代表采样频率的一半。Rp和Rs分别是通带和阻带区的波纹系数。 三、实验要求： 利用Matlab设计一个数字低通滤波器，指标要求如下： 数字信号处理的应用与发展趋势 作者：王欢 天津大学信息学院电信三班 摘要： 数字信号处理是应用于广泛领域的新兴学科，也是电子工业领域发展最为迅速的技术之一。本文就数字信号处理的方法、发展历史、优缺点、现代社会的应用领域以及发展前景五个方面进行了简明扼要的阐述。 关键词： 数字信号处理发展历史灵活稳定应用广泛发展前景 数字信号处理的简介 1.1、什么是数字信号处理 数字信号处理简称DSP，英文全名是Digital Signal Processing。 数字信号处理是利用计算机或专用处理设备以数字的形式对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。 DSP系统的基本模型如下： 数字信号处理是一门涉及许多学科且广泛应用于许多领域的新兴学科。它以众多的学科为理论基础，所涉及范围及其广泛。例如，在数学领域、微积分、概率统计、随即过程、数值分析等都是数字信号处理的基本工具；同时与网络理论、信号与系统、控制论、通信理论、故障诊断等学科也密切相关。近年来的一些新兴学科，如人工智能、模式识别、神经网络等，都是与数字信号处理密不可分的。数字信号处理可以说许多经典的理论体系作为自己的理论基础，同时又使自己成为一门新兴学科的理论基础。 1.2、数字信号系统的发展过程 数字信号处理技术的发展经历了三个阶段。 70 年代DSP 是基于数字滤波和快速傅里叶变换的经典数字信号处理, 其系统由分立的小规模集成电路组成, 或在通用计算机上编程来实现DSP 处理功能, 当时受到计算机速度和存储量的限制,一般只能脱机处理, 主要在医疗电子、生物电子、应用地球物理等低频信号处理方面获得应用。 80 年代DSP 有了快速发展, 理论和技术进入到以快速傅里叶变换(FFT) 为主体的现代信号处理阶段, 出现了有可编程能力的通用数字信号处理芯片, 例如美国德州仪器公司(TI公司) 的TMS32010 芯片, 在全世界推广应用, 在雷达、语音通信、地震等领域获得应用, 但芯片价格较贵, 还不能进 入消费领域应用。 90 年代DSP 技术的飞速发展十分惊人, 理论和技术发展到以非线性谱估计为代表的更先进的信号处理阶段, 能够用高速的DSP 处理技术提取更深层的信息, 硬件采用更高速的DSP 芯片, 能实时地完成巨大的计算量, 以TI 公司推出的TMS320C6X 芯片为例, 片内有两个高速乘法器、6 个加法器, 能以200MHZ 频率完成8 段32 位指令操作, 每秒可以完成16 亿次操作, 并且利用成熟的微电子工艺批量生产,使单个芯片成本得以降低。并推出了C2X 、C3X 、C5X 、C6X不同应用范围的系列, 新一代的DSP 芯片在移动通信、数字电视和消费电子领域得到广泛应用, 数字化的产品性能价 格比得到很大提高, 占有巨大的市场。 1.3、数字信号处理的特点 1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？） 答：设)()(2R L t ∈?,且其Fourier 变换)(ω? 满足可允许性（admissibility ）条件 +∞ 摘要 小波变换归属于数学领域的调和函数的范畴，是调和分析几十年来的一个突破性进展，并且在很多科技领域内得到了广泛应用。本文旨在探讨小波变换理论，并结合专业中的地震信号去噪展开研究。 论文以小波变换为核心，首先介绍了论文研究的目的、意义及主要研究内容，由此引出了小波变换理论，并对其原理做了详细阐述。这不仅包括连续小波，离散小波，多分辨率分析方法还包括与传统傅氏变换等的对比，从而在理论上明确其性能特点的优越性。本文选定了小波阈值去噪方法。由此结合给定的信号应用matlab 进行处理，并通过对比处理结果为本文后面的处理工作选定合适的参数。从所做例子来看，小波阈值处理达到了很好的去噪效果。论文应用matlab 模拟微地震信号，结合小波阈值去噪方法对微地震信号进行了处理。在文中给出了信号的原始模拟信号，加噪信号及处理后的效果图，从图中可以看出，小波阈值去噪完成了模拟微地震信号的去噪处理。另外，对实际的微地震资料进行了试处理，达到了去噪的目的。 关键词：小波变换；去噪；微地震；分解；重构 ABSTRACT The wavelet transform attributables to the mathematical field of harmonic function areas, it’s a breakthrough progress, and in many areas of science and technology has been widely used. This study aims to explore wavelet transform theory, and the combination of professional study of seismic signal de-noising. Papers to wavelet transform at the core, first of all, on paper the purpose of thestudy, the significance and major research content, which leads to the wavelettransform theory, and its principles expounded in detail.This includes not only thecontinuous wavelet, wavelet, multire solution analysis methods include traditional Fourier transform contrast, in theory, clear the superiority of its performance characteristics. The paper selected through comparative study of wavelet de-noising threshold method.This combination of a given signal processing applications matlab,and by comparing the results of this paper to the back of the appropriate handling of the selected parameters. From doing example, wavelet thresholding to deal with a very good de-noising effect. Papers matlab simulated micro-seismic signal applications, wavelet de-noising threshold with this method micro-seismic signal processing. In this paper the original analog signal, the signal plus noise and the effects of treatment plans, as can be seen from Fig, wavelet de-noising threshold completed micro-seismic signal de-noising analog processing. Key words: wavelet；de-noising；micro-seismic；decompose；compose 1.设计物理可实现的低通滤波器 设计思路：因为要设计FIR有限脉冲响应滤波器，通常的理想滤波器的单位脉冲响应h是无限长的，所以需要通过窗来截断它，从而变成可实现的低通滤波器。程序如下： clc;clear all; omga_d=pi/5; omga=0:pi/30:pi; for N=3:4:51; w1= window(@blackman,N); w2 = window(@hamming,N); w3= window(@kaiser,N,2.5); w4= window(@hann,N); w5 = window(@rectwin,N); M=floor(N/2); subplot(311);plot(-M:M,[w1,w2,w3,w4,w5]); axis([-M M 0 1]); legend('Blackman','Hamming','kaiser','hann','rectwin'); n=1:M; hd=sin(n*omga_d)./(n*omga_d)*omga_d/pi; hd=[fliplr(hd),1/omga_d,hd]; h_d1=hd.*w1';h_d2=hd.*w2';h_d3=hd.*w3';h_d4=hd.*w4';h_d5=hd.*w5'; m=1:M; H_d1=2*cos(omga'*m)*h_d1(M+2:N)'+h_d1(M+1); H_d2=2*cos(omga'*m)*h_d2(M+2:N)'+h_d2(M+1); H_d3=2*cos(omga'*m)*h_d3(M+2:N)'+h_d3(M+1); H_d4=2*cos(omga'*m)*h_d4(M+2:N)'+h_d4(M+1); H_d5=2*cos(omga'*m)*h_d5(M+2:N)'+h_d5(M+1); subplot(312);plot(omga,[H_d1,H_d2,H_d3,H_d4,H_d5]); legend('Blackman','Hamming','kaiser','hann','rectwin'); subplot(313);plot(abs([fft(h_d1);fft(h_d2);fft(h_d3);fft(h_d4);fft(h_ d5)])'); pause(); end 程序分析： 整个对称窗的长度为N，然而为了在MATLAB中看到窗函数在负值时的形状需将N变为它的一半，即为2M+1个长度。窗长设置为从3开始以4为间隔一直跳动51。则长度相同的不同窗函数在时域[-M,M]的形状如第一个图所示。 对窗函数进行傅里叶变换时，将零点跳过去先构造一个一半的理想滤波器的脉冲响应hd，再将零点位置求导得出的数赋值进去。将生成的hd左右颠倒形成了一个理想的滤波器的脉冲响应。将构造的理想滤波器的脉冲响应依次与之前定义的窗函数相乘，相乘出来的为列向量，用转置将其变成行向量，形成的h_d就是非理想的低通滤波器的脉冲响应序列。因为h_d为对称奇数长度序列，它的DTFT 可以是二倍的离散余弦变化，而零点的位置则直接带入求出，两者相加则是H_d。则第二个图表示的是五个矩阵向量在频域的变化，而第三个图表示的是五个非理想低通滤波器的傅里叶变换，图三FFT给出的结果永远是对称的，因为它显示 《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）： 第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。 基于小波分析的信号去噪技术 [摘要] 介绍了小波变换的基本思想和优点及多分辨率分析的过程, 并在MA TLAB 下利用小波变换工具箱, 编写程序实现信号去噪处理。充分显示了小波变换在处理非平稳信号中的优势。 [关键词] 小波变换 信号去噪 模极大值 李普西兹指数 在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节。但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。因此，如何消除实际信号中的噪声，从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信息学科研究的焦点之一。傅里叶变换是一种经典方法，适用于诸多场合。但由于傅里叶变换是一种全局变换，无法表述信号的时域局部性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了更有效地处理非平稳信号，人们提出了小波变换这种新的信号分析理论。小波变换是一种信号的时频分析，它具有多分辨率的特点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。本文主要讨论应用小波变换的理论，利用Matlab 软件在计算机上实现了信号的噪声消除，从混有噪声的实际信号中提取了原始信号，具有非常实用的意义。 1.小波变换与多分辨率分析 设ψ是定义在(-,+)∞∞上能量有限的函数，Ψ构成平方可积信号空间，记为Ψ∈L2(R)，则生成函数族{ ab ψ }： 1/2()||()ab t b t a a --ψ=ψ ,0b a -∞<<+∞> （1） Ψ(t)称为小波函数，()ab t ψ由Ψ(t)伸缩和平移生成，为小波基函数。a 为伸缩因子，b 为平移因子。对任一信号()f i ∈L2(R)的连续小波变换可定义为信号与小波基函数的内积： 1/ 2 (();,),||()ab R t b WT f t a b f a dt a --=<ψ>=ψ? （2） 低通滤波：又叫一阶惯性滤波，或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC 低通滤波器的功能。 适用范围：单个信号，有高频干扰信号。 一阶低通滤波的算法公式为： Y(n)X(n)(1)Y(n 1)αα=+-- 式中： α是滤波系数；X(n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果1： 红色线是滤波前数据（matlab 中生成的正弦波加高斯白噪声信号） 黄色线是滤波后结果。 滤波效果2： matlab中函数，相当于一阶滤波，蓝色是原始数据（GPS采集到的x（北）方向数据，单位m），红色是滤波结果。 一阶滤波算法的不足： 一阶滤波无法完美地兼顾灵敏度和平稳度。有时，我们只能寻找一个平衡，在可接受的灵敏度范围内取得尽可能好的平稳度。 互补滤波：适用于两种传感器进行融合的场合。必须是一种传感器高频特性好（动态响应好但有累积误差，比如陀螺仪。），另一传感器低频特性好（动态响应差但是没有累积误差，比如加速度计）。他们在频域上互补，所以进行互补滤波融合可以提高测量精度和系统动态性能。 应用：陀螺仪数据和加速度计数据的融合。 互补滤波的算法公式为： 1122Y(n)X (n)(X (n)Y(n 1))αα+=+-- 式中：1α和2α是滤波系数；1X (n)和2X (n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤 波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果 （测试数据）： 蓝色是陀螺仪 信号，红色是加 速度计信号，黄 色是滤波后的 角度。 . 互补滤波实际效果： . 卡尔曼滤波：卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测。 首先，用于测量的系统必须是线性的。 (k)(k 1)(k)(k)X AX BU w =-++ (k)(k)(k)Z HX v =+ (k)X 是系统k 时刻的状态，(k)U 是系统k 时刻的控制量。(k)Z 是系统k 时 刻的测量值。A 和B 为系统参数，(k)w 和(k)v 分别表示过程和测量的噪声，H 是测量系统参数。 在进行卡尔曼滤波时： 首先进行先验预测： (k 1|k)(k |k)(k)(k)X AX BU w +=++ 计算先验预测方差： '(k 1|k)(k |k)(k)P AP A Q +=+ 计算增益矩阵： (k 1)(k 1|k)'/((k 1|k)'(k 1))Kg P H HP H R +=++++ 后验估计值： (k 1|k 1)(k 1|k)(k 1)(Z(k 1)(k 1|k))X X Kg HX ++=++++-+ 后验预测方差： (k 1|k 1)(1(k 1))(k 1|k)P Kg H P ++=-++ 其中，(k)Q 是系统过程激励噪声协方差，(k)R 是测量噪声协方差。 举例说明： （下文中加粗的是专有名词，需要理解） 预测小车的位置和速度的例子（博客+自己理解）: 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨 %应用db5作为小波函数进行3层分解 %利用无偏似然估计阈值 %对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理clear;clc load('D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat'); E=M(:,2); E=E'; n=size(E); s=E(1:2000); %小波分解 [C L]=wavedec(E,3,'db5'); % 从c中提取尺度3下的近似小波系数 cA3=appcoef(C,L,'db5',3); %从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数 cD1=detcoef(C,L,1); cD2=detcoef(C,L,2); cD3=detcoef(C,L,3); %使用stein的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值 %cD1,cD2,cD3为各层小波系数， %'rigrsure’为无偏似然估计阈值类型 thr1=thselect(cD1,'rigrsure'); thr2=thselect(cD2,'rigrsure'); thr3=thselect(cD3,'rigrsure'); %各层的阈值 TR=[thr1,thr2,thr3]; %'s'为软阈值;'h'硬阈值。 SORH='s'; %---------去噪---------------- %XC为去噪后信号 %[CXC,LXC]为的小波分解结构 %PERF0和PERF2是恢复和压缩的范数百分比。 %'lvd'为允许设置各层的阈值, %'gbl'为固定阈值。 %3为阈值的长度 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2]=wdencmp('lvd',E, ...'db5',3,TR,SORH); %---------去噪效果衡量（SNR越大效果越好, %MSE越小越好）------------------------ %选取信号的长度。 N=n(2); x=E; y=XC; F=0; M=0; for ii=1:N m(ii)=(x(ii)-y(ii))^2; t(ii)=y(ii)^2; f(ii)=t(ii)/m(ii); F=F+f(ii); 题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤ 11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩 2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H 为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况 计算机仿真技术实验指导书 河南科技大学电子信息工程学院 二〇〇八年二月 计算机仿真技术实验指导书 MATLAB是一种交互式的以矩阵为基本数据结构的系统。在生成矩阵对象时，不要求明确的维数说明。所谓交互式，是指MATLAB的草稿纸编程环境。 与C语言或FORTRON语言作科学数值计算的程序设计相比较，利用MATLAB可节省大量的编程时间。 本实验指导书主要讨论四个实验。 实验一信号与系统的时域分析以及信号合成与分解 1. 实验目的 (1) 连续时间信号的向量表示法和符号运算表示法，典型离散信号表示； (2) 连续信号和离散信号的时域运算与时域变换； (3) 连续系统和离散系统的卷积，以及冲激响应、阶跃响应、单位响应、零状态响应； (4) 周期信号的傅立叶级数分解与综合（以周期方波为例）； 2. 实验原理与方法 (1) 信号在MATLAB中的表示方法 MATLAB用两种方法来表示连续信号，一种是用向量的方法来表示信号，另一种则是符号运算的方法来表示信号。用适当的MATLAB语句表示出信号后，就可以利用MATLAB的绘图命令绘制出直观的信号时域波形。 向量表示法表示信号的方法是：MATLAB用一个向量表示连续信号的时间范围，另一个向量表示连续信号在该时间范围内的对应样值。如下列代码p=0.001; t=-pi:p:pi; f=1+cos(t); plot(t,f) title('f(t)=1+cos(t)') xlabel('t') axis([-pi,pi,-0.2,2.4]) 执行后即可绘制连续信号1+cos(t)的时域波形。 借助于符号运算以及符号绘图函数ezplot，也可以绘制连续信号时域波形。如下列代码 syms t f=sym('1+cos(t)') %定义符号表达式 ezplot(f,[-pi,pi]) %绘制符号表达式波形 set(gcf,'color','w') %设置当前图形背景颜色为白色 执行后即可绘制连续信号1+cos(t)的时域波形。 与连续信号的表示相似，在MATLAB中，离散信号也需要用两个向量来表示，其中一个向量表示离散信号的时间范围，另一个向量表示该离散信号在该时间范围内的对应样值。但与连续信号表示有所不同的是，表示离散信号时间范围向量的元素必须为整数。如下列代码 n=[-3,-2,-1,0,1,2,3]; x=[-3,2,-1,3,1,-2,1]; stem(n,x,'filled') set(gcf,'color','w') title('x(n)') xlabel('n') 执行后即可绘制离散信号x(n)={ -3,2,-1,3,1,-2,1}的时域波形。 ↑ n=0 (2) 连续信号和离散信号的时域运算与时域变换 对连续信号而言，其基本时域变换有反褶、平移、尺度变换、倒相。 利用MATLAB的符号运算功能以及符号绘图函数ezplot，可以直观的观察和分析连续信号的时域运算与时域变换。如下列代码 syms t; f=sym('(t+1)*(heaviside(t+1)-heaviside(t))'); f=f+sym('(heaviside(t)-heaviside(t-1))'); %定义信号符号表达式 ezplot(f,[-3,3]) %绘制信号波形 axis([-3,3,-1.2,1.2]) set(gcf,'color','w') 成绩： 现代信号处理 及其应用 题目:现代信号处理在通信对抗中的应用学号:111143321 姓名:王琦 2015年6月 现代信号处理在通信对抗中的应用 摘要：信息技术在现代军事领域占有越来越重要的地位,成为决定战争胜负的一个关键因素。信息战已经成为现代战争的主要作战形式之一。应用于军事通信对抗的现代信号处理理论发展非常迅速,这得益于两个方面的动力:其一,军事通信的技术和手段不断更新。其二,现代信号处理的三大热点—谱估计、高阶统计量方法、时频分析的理论和技术日臻完善,并逐渐应用于通信对抗领域。通信对抗是电子战的重要组成部分。 关键词：通信对抗；信号检测；现代信号处理技术 一、引言 信号处理是信息科学的重要组成部分。在现代科技领域,电子信息系统的应用范围十分广泛,主要有通信、导航、雷达、声纳、自动控制、地震勘探、医学仪器、射电天文等。这些领域的研究进展很大程度上依赖于信号处理理论和技术的进步。通信对抗是电子战的重要组成部分,也是电子战领域中技术含量最高的部分。[1]通信对抗不仅采用了最先进的电子和通信技术,而且有力地推动了信号处理理论的发展,促进了通信技术的发展。通信对抗在现代战争中具有广泛的应用价值。本文探讨的内容主要涉及现代信号处理理论在通信对抗技术中相关的应用。 二、现代信号处理技术基本原理 信号是信息的载体,是随时间和空间变化的物理量。要想得到有用信息就必须对信号进行分析处理。它分为确定信号和随机信号。其中，确定信号：序列在每个时刻的取值服从某种固定函数的关系的信号；随机信号：序列的取值服从某种概率规律的信号。而确定信号又分为周期信号与非周期信号；随机信号分为平稳随机信号和非平稳随机信号。 现代信号处理技术，则是要把记录在某种媒体上的信号进行处理，以便抽取出有用信息的过程，是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称。 [2]利用观测数据作出关于信号与（或）系统的某种统计决策。统计决策理论主要解决两大类问题：假设检验与估计。信号检测、雷达动目标检测等是假设检验的典型问题。估计理论设计的范围更广泛，它又被分为非参数化和参数化两类方法。 三、现代信号处理技术在通信对抗中应用 在军事通信对抗中,军用无线电台是电子战部队实施电子侦测、截获和干扰的主要目标。电台在工作中常常受到敌方有针对性地发射的电磁波攻击。扩频通信是目前军用电台的常见通信方式。扩频通信具有良好的低功率谱密度发射所带 1、小波变换在图像处理中有着广泛的应用，请简述其在图像压缩中的应用原理？ 答：一幅图像经过一次小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有微弱的细节信息。为此，如果只保留占总数数量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来代替，则就可以省略图像部分细节信息，而画面的效果跟原始图像差别不是很大。这样，就可以得到图像压缩的目的。 2、给出GPEG数据压缩的特点。 答：（1）一种有损基本编码系统，这个系统是以DCT为基础的并且足够应付大多数压缩方向应用。 （2）一种扩展的编码系统，这种系统面向的是更大规模的压缩，更高精确性或逐渐递增的重构应用系统。 （3）一种面向可逆压缩的无损独立编码系统。 3、设计雪花检测系统 答：1）获得彩色雪花图像。2）灰度雪花图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判断法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对雪花区域的定位。8）利用hough变换截下雪花区域的图片。 9）雪花图片几何位置调整。 4、用图像处理的原理设计系统，分析木材的年轮结构。 答：1）获得彩色木材年轮图像。2）灰度木材年轮图像。3）灰度拉伸以增加对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对木材年轮圈进行定位。8）图片二值化。9）利用边界描述子对木材的年轮结构进行识别。 5、给出生猪的尺寸和形貌检测系统。 答：1）获得彩色生猪图像。2）灰度生猪图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以除去噪声。 7）用梯度算子对生猪区域的定位。8）利用hough变换截下生猪区域的图片。9）生猪图片几何位置调整。10）生猪图片二值化。11）利用边界描述子对生猪尺寸和形貌的识别。 第二种答案：（类似牌照检测系统） 1）第一步定位牌照 由图像采集部件采集生猪的外形图像并将图像存储在存储器中，其特征在于：数字处理器由存储器中读入并运行于生猪外形尺寸检测的动态检测软件、从存储器中依次读入两幅车辆外形图像数据、经过对生猪外形图像分析可得到生猪的高度，宽度和长度数据即生猪的外形尺寸。通过高通滤波，得到所有的边对边缘细化（但要保持连通关系），找出所有封闭的边缘，对封闭边缘求多边形逼近，在逼近后的所有四边形中，找出尺寸与牌照大小相同的四边形。生猪形貌被定位。 2）第二步识别 区域中的细化后的图形对象，计算傅里叶描述子，用预先定义好的决策函数，对描述子进行计算，判断到底是数字几。 6、常用的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？ 答：目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++(面向对象可视化集成工具)和MATLAB的图像处理工具箱（lmage processing tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 微软公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来小波分析在信号去噪中的应用(最新整理)
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现代信号处理及其应用
博士复试题目+答案
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