第六章 弯曲应力
6.1 钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：
EI
M =
ρ
1
则： ρ
EI
M =
，由弯曲正应力公式得ρ
σmax
max My =
=
ρ
max
Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯
曲变形，其中性层的曲率半径2
2D
d D ≈+=
ρ 2
)
2(max
D d
E =σ==D Ed MPa 2004004.0102003=??
6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程
0)(=∑F M A
得到： KN F F B A 4422
1
=??=
= 危险截面在梁的中点处：
KNm ql M 4428
1
8122max =??==
I z =
121
2h b ??=4431011521208012
1mm ?=??
M
P a
I My MPa I My
I My z d d z c c z
a a 83.201011526010442.1010115230
1040
4
646=???===???====σσσ
A F B
F s F M
M
机械
土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h=
d 36, b=d 3
3) 解：最大弯曲正应力：
z
z W M
y I M m a x m a x m a x m a x ==
σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6
1
)(616132222b b d b d b bh W -=-==
为b 为自变量的函数。
由 06
322=-=b d dt dW 3
6 333222d
b d h d d b =-===
6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布
图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3
2a 16ql 3,
3
2a 8ql 3）
解：做出梁的弯矩图如右所示：
（1）对于整体截面梁：
32
23
2)2(3161a a a bh W z =?==
故：3232max
max 1633
281a ql a ql
W M z
=
==
σ （2）对于两根方木叠置
由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有
32
32
11max 3max 21836
1)
81(21,
61
,21a ql a ql W M a W M M M z z =
?=====σ 3
2163a ql 3
2163a ql M
1
机械
土木
M 8
6.5 某梁的矩形截面如图，弯曲剪力Q y ＝40kN ，求截面上a 、b 、c 三点的弯曲剪应力。（MPa 2a =τ，MPa 5.1b =τ，0c =τ）
解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心上， 且有48331020015012
1
121mm bh I z =??==
3510625.57515050mm S z ?=??=
再有矩形截面梁的弯曲正应力
b
I S F z z S *
=
τ ，故 ,0=c τ 0.2200150104023233
=???=?=A F S a τ MPa 5.1150
1010625.510408
5
3=????==*
b I S F z z S b τ MPa 6.6 图示简支梁由三块木板胶合而成，l=1m, 胶缝的许用剪应力为[]MPa 5.0=τ，木材的许用弯曲正应力为[]MP a 10=σ，许用剪应力为[]MPa 1=τ，试求许可荷载P 。（P=8.1kN ）
解：依题给条件，对梁进行受力分析， 由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图
和弯矩图如右所示 （1）按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载
[]10120906
11
41
412
max max
=≤???===σσP W
Pl W M
N P 8640≤? （2）按木材剪应力强度要求确定许可荷载 []1120
90212323max
=≤??=?=ττP
A F S N
P 14400≤? （3）按胶合面剪应力强度要求确定许可荷载
[]
5.0901209012
1)
409040(21
'3'=≤??????==*ττP b
I S F z z
S
N P 8100≤?
综上所述可知 P=8100N=8.1KN
s
F P Pl 1M
2
P Pl 4
机械
土木
6.7 在图a 中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截出一部分，如图b 所示，试求在纵向面abcd 上由dA τ组成的内力系的合力，并说明它与什么力平衡。（Q=
x )x l (h
4q
3-） 解：有剪应力互等定律可知，纵向截面 上剪应力与横向截面上剪应力大小相等， 中性层上剪应力变化规律为：
()()()Bh x l q Bh qx ql A x F x S 423 221323-=?
?? ??-==τ
纵截面abcd 上剪应力合力为：
()()()h
x l qx dx B Bh
x l q dx B x F x
x 423 4230
-=
?-=?=?
?τ
6.8 图示梁由两根36a 工字钢铆接而成。铆钉的间距为s=150mm, 直径d = 20mm, 许用剪应力[]MP a 90=τ。梁横截面上的剪力F s = 40kN 。试校核铆钉的剪切强度。（MPa 2.16＝τ） 解：查表可得，36a 工字钢的惯性矩 4
15800cm Ιz =，截面面积2
48.76cm =A 截面高度cm h 36=。组合惯性矩为
()()
422812004876181580022cm .A d ΙΙz zc =?+=+=
一根工字钢的截面对中性轴的静面矩为：3138048.7618cm S zc =?=*
铆钉连接处的纵截面上的剪力流： m KN I S F f z
zc
/6810
8120010138010408
63=????==
--*
有铆钉间距 f
Q S 铆2=
，得每个铆钉承受的剪力为：
N sf Q 51002
106815.023
=??==铆 铆钉的剪应力： 2.1614.34
1
2=??=
d Q 铆
τMPa < []τ=90 Mpa
故，校核安全。
a '
a '
b '
c
d
2
h
)
()
x τ
6.9 半径为r 的圆形截面梁，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面模量增大（何故？）。试求使W 为极值的α，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？（O 78=α）
解：切掉阴影部分后剩余的面积，是由4个相同的直角三角形和4个相同的扇形面积组成，一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为：
()()a a r a r a r bh I x 333
31sin cos 4
1
cos sin 4
141?===
一个扇型面积对水平直径的惯性矩为：
()()
?
?
?
??-=?=??=?=?
????a a r d d d d dA
y I r
a
r
A
x sin 4124sin sin 40
02
3
2
22θθρρρθρθρ
因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料而离中性轴远处的材料却较少，当切掉适当的小弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大，因而抗弯截面系数笔增大。剩余面积对水平直径的惯性矩为：
()a a r a a r a a r I I I x
x x 4sin 48sin cos 2sin 4124443
44
21-=?+??
? ??-=+=
抗弯截面系数： ()()a
a a r a a a y I W x
x s i n 84s i n 4s i n 44s i n 481
3m a x -=-== ()()
()()
7800cos 4sin 4sin 4cos 440sin cos sin 4sin cos 4482443==?=---?=??
?
???---=a a a a a a a a a a a a a r da dW x 或者
3max 791.0r W x =， 4774.0r I x =
未切前 4
433785.014.34
1
785.014.34
1
r r I r r W x x =??==??=
比较后可知，切后抗弯截面系数增大，而抗弯刚度降低，因而使梁的抗断能力提高，抗弯曲变形能力降低
6.10 试求图示梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。(提示：max τ发生在中性轴上。)（MPa 00.9max =σ
，
MPa 05.1max =τ）
解：KN ql F s 152
3
102max ,=?==
KNm ql M 25.11831082
2max =?==
2
*
4
8448750002550100502001001025.1)100200(121
mm S mm I z z =??-??=?=-=MPa
y I M z 00.91001025.11025.118
6
max max max
=???==σMPa b
I S F z z
s 05.1100
1025.1875000101583*
max ,max =????==
τ
6.11 图示铸铁梁，材料的许用拉应力[]MPa 40t =σ，许用压应力[]MPa 100c =σ，4z cm 5965I =，
mm 5.157y C =。试校核梁的强度。（MPa 8.52max c =σ，MPa 4.26max t =σ）
KN F A 3045
2104120=??+?=
KN F B 104
12104320=??-?=
KNm M KNm M 10,2021==
mm y 5.725.1572301=-=MPa y I M MPa y I M MPa y I M MPa y I M c z c
z t
c z c
z t
16.125.7210
5965101040.265.157105965101081.525.157105965102031.245.7210
596510204
61max
,24611max ,24
61max
,14
611max ,1=???===???===???===???==σσσσ
]
[40.26][81.52max ,max ,t t c c MPa MPa σσσσ≤=≤=
s
F M
1
A
F B
F 1
y s
F M
M 机械
土木
A F B
F
6.12 图示一铸铁梁，材料的许用拉应力与许用压应力之比为[][]3/1/c t =σσ，试求水平翼缘板的合理宽度b 。（b=316mm ）
170
2301703030
34060)602340
(
3034030601+?+=
?+?+??+??=
b b b b y 170
170
1703701702301703040040012+?+=+?+-=-=b b b b y y
][][2max ,1max ,c z
c t z
t y I M
y I M
σσσσ==
==
]
[]
[21c t y y σσ=
m m
b b b b b 72.31590
370170
170690170690170901701703703
1
17017037023017030=-?-?=
?+=?+=
?+?+
6.13 图所示矩形截面悬臂梁，承受载荷 F y 和 F z 作用，且F y = F z = F = 1.0 kN,截面高度h = 80 mm ，宽度b = 40 mm ，许用应力[]MPa 160=σ，a = 800 mm 。试校核梁的强度。
KNmm a F M y z 8008000.1max ,=?==
KNmm
a F M y y 160016000.12max ,=?=?=
]
[75.937575.1840806
1101600804061108002323max ,max ,max σσ≤=+=???+???=+
=
MPa W M W M y
y z
z
max
,y M
6.14简支梁受力如图，求梁上最大正应力，并求跨中点的总挠度。已知弹性模量E = 100GPa 。（σmax = 9.83 MPa , f max = 6mm ） 解：内力
KNm
l F M KNm l F M z z 941.14315sin 10415sin 244.74
3
15cos 10415cos =??=?==??=?=
MPa
W M W M y
y
z z 83.92.588244.71502006
110941.12001506110244.726
26
max
=+=???+
???=
+=σ
m m
w w w EI l F w EI l F w y z y y z
z 60.00.260.540.26mm 150
2001211010048300015sin 10104815sin 0.54mm
20015012
1
1010048300015cos 10104815cos 222
2
max 3
33
333
33
33
=+=+==?????????=??==?????????=
??=
6.15 试校核图示梁的强度。已知〔σ〕=160MPa 。（σmax = 140 MPa ）
KNmm
F M KNmm F M KN
F F y z N 43203014430 86406014460144=?=?==?=?=== ]
[ 140606*********
14320000
1206061
86400006012014400022max
σσ≤=++=??+
??+?=
++=MPa W M W M A F y
y
z z N t
N
F
6.16 试求图示具有切槽杆的最大正应力。（σmax = 140 MPa ）
KNmm F M y z 5.22
5
=?
=MPa
W M W M A F y
y z z N t
1406060205106
12500
10561500051010002
2max =++=??+??+?=
++=σ
6.17简支折线梁受力如图，横截面为25cm*25cm 的正方形，F=8KN ，求梁上的最大正应力。 （σc max = 3.72 Mpa （压应力）（在B 截面））
解：本题为弯曲和拉压组合问题： 1) 约束力
KN F
F C 42
==
1) 内力
KNm F M M C B Max 6.94.244.2=?=?==
564.22tan ==αKN F F C N 073.36
56
4sin 22=+?==α
MPa A
F W M N
z c 3.730.0491683.686425010073.32506
1106.9 2
3
36max max ,=+=?+??=+=
σ
C
F N F
第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内
实验三纯弯曲正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律并与理论值进行比较； 2．验证纯弯曲梁的正应力计算公式； 3．掌握运用电阻应变仪测量应变的方法。 二、实验仪器和设备 1．多功能组合实验装置一台或弯曲梁试验装置； 2．TS3860型静态数字应变仪一台； 3．纯弯曲实验梁一根； 4．温度补偿块一块； 5．游标卡尺 3-1 多功能组合实验装置 3-2弯曲梁试验装置 1—弯曲梁 2—铸铁架 3—支架 4—加载杆 5—加载螺杆系统 6—载荷传感器 7和8—组成电子秤 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E＝200GN/m2，泊松比μ＝0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：
x M y I σ= （3-2） 式中：M 为弯矩；I x 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力ΔP 时，梁的四个受力点处分别增加作用力ΔP ／2，如图3-3所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了7片应变片（见图3-3）（对多功能组合装置：b ＝18.3mm ；h ＝38mm ；c ＝133.5mm ），各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的下表面沿横向粘贴了应变片8# 。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律公式σ＝E ε，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 若由实验测得应变片7#和8#的应变ε7，和ε8满足 87||εμε≈ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 图3-3弯曲梁布片图 四、实验步骤 1．检查或测量（弯曲梁试验装置）矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离c ，及各应变片到中性层的距离y i 。 2．检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。然后把梁上的应变片按序号接在应变仪上的各不同通道的接线柱A 、B 上，公共温度补偿片接在接线柱B 、C 上。相应电桥的接线柱B 需用短接片连接起来，而各接线柱C 之间不必用短接片连接，因其内部本来就是相通的。因为采用半桥接线法，故应变仪应处于半桥测量状态，应变仪的操作步骤见应变仪的使用说明书。 3．根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷P 0（一般按P 0＝0.1σS 确定）、最大载荷P max （一般按P max ≤0.7σS 确定）和分级载荷ΔP （一般按加载4～6级考虑）。
1. 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2 kN ，F 2=5 kN ，试计算梁 内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩（位于F 2作用点所在横截面）： M max =2kNm (3) 计算应力： 最大应力：MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力：MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ，许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T 形截面倒置成为⊥形，是否 合理？何故？ 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告 一、实验目的 1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律 2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式 二、实验仪器设备和工具 3.XL3416 纯弯曲试验装置 4.力＆应变综合参数测试仪 5.游标卡尺、钢板尺 三、实验原理及方法 在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为 σ= My / I z 式中M为弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。 为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。 实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量 σ实i=E△ε实i 将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 四、实验步骤 1.设计好本实验所需的各类数据表格。 2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变 片到中性层的距离y i 。见附表1 3.拟订加载方案。先选取适当的初载荷P 0（一般取P =10％P max 左右），估 算P max （该实验载荷范围P max ≤4000N），分4～6级加载。 4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。 6. 加载。均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级 等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。实验至少重复两次。见附表2 7. 作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。 附表1 （试件相关数据） 附表2 （实验数据） 载荷 N P 500 1000 1500 2000 2500 3000 △P 500 500 500 500 500 各 测点电阻应变仪读数 με 1 εP -33 -66 -99 -133 -166 △εP -33 -33 -34 -33 平均值 -33.25 2 εP -16 -3 3 -50 -67 -83 △εP -17 -17 -17 -16 平均值 16.75 3 εP 0 0 0 0 0 △εP 0 0 0 0 平均值 0 4 εP 1 5 32 47 63 79 △εP 17 15 1 6 16 平均值 16 5 εP 32 65 9 7 130 163 △εP 33 32 33 33 平均值 32.75 五、实验结果处理 1. 实验值计算 根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算 各点的实验应力值，因1με=10-6ε，所以 各点实验应力计算： 应变片至中性层距离（mm ） 梁的尺寸和有关参数 Y 1 －20 宽 度 b = 20 mm Y 2 －10 高 度 h = 40 mm Y 3 0 跨 度 L = 620mm （新700 mm ） Y 4 10 载荷距离 a = 150 mm Y 5 20 弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ） 泊 松 比 μ= 0.26 惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4
第六章 弯曲应力 6.1 钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 ) 2(max D d E =σ==D Ed MPa 2004004.0102003=?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.201011526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 32 23 2)2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 32 32 11max 3max 21836 1) 81(21, 61 ,21a ql a ql W M a W M M M z z = ?=====σ 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8
纯弯曲梁的正应力实验 一、实验目的： 1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律 2.验证纯弯曲梁的正应力公式 二、实验设备及工具： 1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置 2.数字测力仪、电阻应变仪 三、实验原理及方法： 在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：z M y I σ?= 为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。 采用增量法加载，每增加等量荷载△P （500N ）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i ，从而求出应力增量： σ实i =E △ε实i 将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。 四、原始数据：
五、实验步骤： 1. 打开应变仪、测力仪电源开关 2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。 3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。按清零键，使测力计显示零。 4.应变仪调零。按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。 5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。以后，加力每次500N，到3000N为止。 6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。 六、实验结果及处理：
1.各点实验应力值计算 根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值： σ实i=E△εPi×10-6 2.各点理论应力值计算 载荷增量△P = 500N 弯矩增量△M = △P/2×L P 应力理论值计算（验证的就是它） 3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图 以横坐标表示各测点的应力σ 实和σ 理 ，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。 将各点用直线连接，实测用实线，理论用虚线。 σ y 4.实验值与理论值比较，验证纯弯曲梁的正应力公式
课程: 材料力学教者： 第30,31,32课时(3.22,3.26) 课程内容或课题： 1．梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导 2．熟练弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 目的要求： 1．掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设2．理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度 3．掌握弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 重点难点： 1.纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导 2.横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算 3.弯曲的强度计算 教学形式、手段： 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考 教学过程： 一：导入新课 二：授新 1、几个基本概念 ⑴平面弯曲和弯曲中心 变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
图6-1 怎样加载才能产生平面弯曲？ 若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在次对称平面内，才能发生平面弯曲。 图6-2 若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。 什么叫弯曲中心？ 当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。这样的特定点称为弯曲中心。 图6-3 关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
图6-4 ①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图6-4(a),(b),(c)所示。 ②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图6-4(d)、(e)所示。 ③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图6-4(e)、(f) ④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。 ⑵纯弯曲和横力弯曲 图6-5 平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。 ⑶中性层和中性轴
一、实验目的 1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 3、初步掌握电测方法，掌握1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法，并且对试验结果及误差进行比较。 二、实验仪器和设备 1、多功能组合实验装置一台； 2、TS3860型静态数字应变仪一台； 3、纯弯曲实验梁一根。 4、温度补偿块一块。 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E=210GPa ，泊松比μ=0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为： x M y I σ= 式中：M 为弯矩；x I 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力P ?时，梁的四个受力点处分别增加作用力/2P ?，如下图所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式E σε=，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ实 =E ε实 式中E 是梁所用材料的弹性模量。
图3-16 为确定梁在载荷ΔP 的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷ΔP 测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε实来依次求出各点应力。 把Δσ实与理论公式算出的应力Z I MY =σ比较，从而验证公式的正确性，上述理论公式中的M 应按下式计算： Pa ?= M 2 1 （3．16） 四、实验步骤 1、检查矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离a ，及各应变片到中性层的距离i y 。 2、检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。分别采用1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法进行测量，其中1/4桥需要接温度补偿片，1/2桥通过交换接线方式分别进行两次试验来比较试验结果。 3、根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷0P (一般按00.1s P σ=确定)、最大载荷max P (一般按max 0.7s P σ≤确定)和分级载荷P ? (一般按加载4～6级考虑)。 本实验中分四次加载。实验时逐级加载，并记录各应变片在各级载荷作用下的读数应变。 4、实验完毕后将载荷卸掉，关上电阻应变仪电源开关，并请教师检查实验数据后，方可离开实验室。 五、数据处理
弯曲正应力实验 一、实验目的：1、初步掌握电测方法和多点测量技术。； 2、测定梁在纯弯和横力弯曲下的弯曲正应力及其分布规律。 二、设备及试样： 1. 电子万能试验机或简易加载设备； 2. 电阻应变仪及预调平衡箱； 3. 进行截面钢梁。 三、实验原理和方法： 1、载荷P 作用下，在梁的中部为纯弯曲，弯矩为1 M=2 Pa 。在左右两端长为a 的部分内为横力弯曲，弯矩为11 =()2 M P a c -。在梁的前后两个侧面上，沿梁的横截面高度，每隔 4 h 贴上平行于轴线上的应变片。温度补偿块要放置在横梁附近。对第一个待测应变片联同温度补偿片按半桥接线。测出载荷作用下各待测点的应变ε，由胡克定律知 E σε= 另一方面，由弯曲公式My I σ=，又可算出各点应力的理论值。于是可将实测值和理论值进 行比较。 2、加载时分五级加载，0F =1000N ，F ?=1000N ，max F =5000N ，缷载时进行检查，若应变差值基本相等，则可用于计算应力，否则检查原因进行复测(实验仪器中应变ε的单位是 610-)。 3、实测应力计算时，采用1000F N ?=时平均应变增量im ε?计算应力，即 i i m E σε?=?,同一高度的两个取平均。实测应力，理论应力精确到小数点后两位。 4、理论值计算中,公式中的3 1I=12 bh ，计算相对误差时 -100%e σσσσ= ?理测 理 ，在梁的中性层内，因σ理=0，故只需计算绝对误差。 四、数据处理 1、实验参数记录与计算： b=20mm, h=40mm, l=600mm, a=200mm, c=30mm, E=206GPa, P=1000N ?, max P 5000N =, k=2.19 3 -641I= =0.1061012 bh m ? 2、填写弯曲正应力实验报告表格
第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b m m 纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中 m m 性层' 'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）' 'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为 θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()( 而其线应变为 ρ θρθεy d yd bb l ==?= 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = m dA x z
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为 ?=A dA N σ，?=A y dA z M σ，?=A z dA y M σ 考虑左侧平衡， ∑=0X ，∑=0y M ，得 ?==A dA N 0σ， ?==A y dA z M 0σ 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M ?? == =A A z M dA y E dA y M 2ρσ 式中积分 z A I dA y =? 2 是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为 EI M = ρ 1 式中，Z EI 越大，则曲率 ρ 1 越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E E ρ εσ= =，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My = σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为
中国矿业大学（北京） 工程土木工程_______专业_______班_________组 实验者姓名：__________实验日期：___________年____月___日 实验六纯弯曲正应力分布规律实验 一.实验目的 1.用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）的 分布规律。 2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 二.实验仪器与设备 1.多功能工程力学实验台。 2.应力＆应变综合参数测试仪一台。 3.矩形截面钢梁。 4.温度补偿块（或标准无感电阻）。 5.长度测量尺。 三.实验原理及方法 四.实验步骤
1.测量梁矩形截面的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点的距离a ，并测量各应变片到中性层的距离y I 。 2.将拉压传感器接至应力＆应变综合参数测试仪中。 3.应变片连接采用1/4桥连接方式，将待测试应变片连接在A 、B 两端，将B 、B 1短接，在桥路选择上，将A 、D 两端连接补偿片，D 1、D 2短线连接即可。 4.本次实验的载荷范围为0～2kN ，在此范围内，采用分级加载方 式（一般分4～6级），实验时逐级加载，分别记录各应变片在各级载荷作用下的应变值。 五.实验结果处理 1.按实验记录数据求出各点的应力实验值，并计算出各点的应 力理论值。计算出它们的相对误差。 2.按同一比例分别画出各点应力的实验值和理论值沿横截面高度 的分布曲线，将两者进行比较，如两者接近，则说明弯曲正应 力的理论分析是可行的。 3.计算6＃和5＃的比值，若 μεε≈5 6 ，则说明纯弯曲梁为单向应力状 态。
4.实验数据可参照下表： 应变片至中性层的距离 梁宽度b= 20.84 mm；梁高度h= 40.15mm；施力点到支座距离l= 106 mm 应变片在各级载荷下的应变值 各测试点应力实验结果 P=400N
第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)
竭诚为您提供优质文档/双击可除纯弯曲正应力分布实验报告 篇一：弯曲正应力实验报告 一、实验目的 1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 3、初步掌握电测方法，掌握1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法，并且对试验结果及误差进行比较。 二、实验仪器和设备 1、多功能组合实验装置一台； 2、Ts3860型静态数字应变仪一台； 3、纯弯曲实验梁一根。 4、温度补偿块一块。三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量e=210gpa，泊松比μ =0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压 头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：?? m
yIx 式中：m为弯矩；Ix为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力?p 时，梁的四个受力点处分别增加作用力?p/2，如下图所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴 向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式??e?，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ实=eε 式中e是梁所用材料的弹性模量。 实 图3-16 为确定梁在载荷Δp的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷Δp测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε
厦 门 海 洋 职 业 技 术 学 院 编号：XH03JW024-05/0 实训（验） 报告 班级： 姓名： 座号： 指导教师： 成绩： 课程名称： 实训（验）： 梁弯曲正应力测量 年 月 日 一、 实训（验）目的： 1、掌握静态电阻应变仪的使用方法； 2、了解电测应力原理，掌握直流测量电桥的加减特性； 3、分析应变片组桥与梁受力变形的关系，加深对等强度梁概念的理解。 二、 实训（验）内容、记录和结果（含数据、图表、计算、结果分析等） 1、实验数据： （1） 梁的尺寸： 宽度b=9mm ；梁高h=30mm ；跨度l =600mm ；AC 、BD ：弯矩a=200mm 。测点距轴z 距离： 21h y ==15mm ；42h y ==7.5mm ；3y =0cm ；-=-=44h y 7.5mm ；-=-=2 5h y 15mm ；E=210Gpa 。 抗弯曲截面模量W Z =bh 2/6 惯性矩J Z =bh 3 /12 （2） 应变)101(6-?ε记录： （3） 取各测点ε?值并计算各点应力：
1ε?=16×10-6 ；2ε?=7×10-6 ；3ε?= 0 ；4ε?=8×10-6 ；5ε?=15×10-6 ； 1σ?=E 1ε?=3.36MPa ；2σ?=E 2ε?=1.47MPa ；3σ?=0 ； 4σ?=E 4ε?=1.68MPa ；5σ?=E 5ε?=3.15MPa ； 根据ΔM W =ΔF ·a/2=5 N ·m 而得的理论值： 1σ?=ΔM W /W Z =3.70MPa ；2σ?=ΔM W h/4(J Z )=1.85MPa ；3σ?=0 ； 4σ?=ΔM W h/4(J Z )=1.85MPa ；5σ?=ΔM W /W Z =3.70MPa ； （4） 用两次实验中线形较好的一组数据，将平均值ε?换算成应力εσ?=E ,绘在坐标 方格纸上，同时绘出理论值的分布直线。 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
第5章 弯 曲 应 力 习题 (1) 如图5.18所示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F ，试问： ① 吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？ ② 吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？ (2) 如图5.19所示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F ，在梁的截面C —C 处下边缘上，用标距s =20mm 的应变仪量得纵向伸长s ?=0.008mm 。已知梁的跨长l =1.5m ， a =1m ，弹性模量E =210GPa 。试求F 力的大小。 图5.18 习题(1)图 图5.19 习题(2)图 (3) 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图5.20所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[]σ=170MPa 。试求梁的许可荷载[F ]。 图5.20 习题(3)图 (4) 简支梁的荷载情况及尺寸如图5.21所示，试求梁的下边缘的总伸长。 图5.21 习题(4)图 (5) 一简支木梁受力如图5.22所示，荷载F =5kN ，距离a =0.7m ，材料的许用弯曲正应力[]σ=10MPa ，横截面为b h =3的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。
图5.22 习题(5)图 (6) 如图5.23所示，一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F =5kN ， 1.5a =m ， []σ=10MPa 。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比b h ，以及梁所需木料的最小直径d 。 图5.23 习题(6)图 (7) 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如图5.24所示。木料的许用弯曲正应力 []σ=10MPa 。现需在梁的截面C 上中性轴处钻一直径为d 的圆孔，试问在保证梁强度的条件下，圆孔的最大直径d (不考虑圆孔处应力集中的影响)可达多大？ 图5.24 习题(7)图 (8) 当荷载F 直接作用在跨长为l =6m 的简支梁AB 之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图5.25所示的辅助梁CD ，试求辅助梁的最小跨长a 。
实验四：弯曲正应力电测实验 一、实验目的和要求 1．学习使用应变片和电阻应变仪测定静态应力的基本原理和方法。 2．用电测法测定纯弯曲钢梁横截面不同位置的正应力。 3．绘制正应力沿其横截面高度的的分布图，观察正应变（正应力）分布规律，验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 二、实验设备、仪器和试件 1.CLDS-2000型材料力学多功能实验台。 2.YJZ —8型智能数字静态电阻应变仪。 3.LY —5型拉力传感器。 4.直尺和游标卡尺。 三、实验原理和方法 （1）理论公式： 本实验的测试对象为低碳钢制矩形截面简支梁，实验台如图4-1所示，加载方式如图4-2所示。 图4-1 图4-2 由材料力学可知，钢梁中段将产生纯弯曲，其弯矩大小为 c P M 2 ?= （1） 横截面上弯曲正应力公式为
Z I My = σ （2） 式中y 为被测点到中性轴z 的距离，I z 为梁截面对z 轴的惯性矩。 12 3bh I Z = （3） 横截面上各点正应力沿截面高度按线性规律变化，沿截面宽度均匀分布，中性轴上各点的正应力为零。截面的上、下边缘上各点正应力为最大，最大值为W M =max σ。 （2）实测公式： 实验采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，荷载大小可由电子测力仪读出。当增加压力P ?时，梁的四个点受力分别增加作用力2/P ?，如图4-2所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁的纯弯曲段侧面布置了5片应变片，如4-2所示，各应变片的粘贴高度见梁上各点标注。此外，在梁的上表面沿横向粘贴了第6片应变片，用以测定材料的泊松比μ；在梁的端部上表面零应力处粘贴了第7片温度补偿应变片，可对以上各应变片进行温度补偿。 在弹性范围内，如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度上的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律，即： σε=E （4） 由上式可求出各点处的应力实验值。将应力实验值σε=E 与理论值Z I My =σ进行比较，以验证弯曲正应力公式。 如果测得应变片4和6的应变满足 μεε=46/ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 实验采用增量法。每增加等量载荷ΔP ，测得各点相应得应变增量实ε?一次。因每次ΔP 相同，故实ε?应是基本上按比例增加。 四、实验步骤 1.用游标卡尺和直尺分别测量矩形截面梁的宽度b 、高度h 以及载荷作用点到支点的距离a ，并记入实验记录表中。注意两端a 值应相等，可通过移动两根拉杆的位置来保证。 2.将1到5点测量应变片以4/1桥分别接入电阻应变仪的任意5个通道的A 、B 点之间（若考虑温度补偿，则须将仪器后面板B 、1C 端子的标准120Ω电阻去掉，再将温度补偿片接入该处），将拉力传感器的四根输出线与电阻应变仪的任意通道的A 、B 、C 、D 端对应连接（全桥测量），将应变仪的通讯电缆与PC 机的COM 口连接，注意检查各接点连接是否可靠。 3．打开PC 机及应变仪的电源，预热后设置各通道参数（通道使用与否、桥型、灵敏度系数、被测物理量量纲），参数设置有两种方法：一是由应变仪键盘设定，二是由PC 机安装的测试软件用通信方式设定，建议采用第二种方法设定参数，这样比较简单快捷。具体设定
叠梁、复合梁正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定叠梁、复合梁在纯弯曲受力状态下，沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2．推导叠梁、复合梁的正应力计算公式。 二、实验仪器和设备 1．纯弯曲梁实验装置一台（纯弯曲梁换成叠梁或复合梁）； 2．YJ-4501A静态数字电阻应变仪一台； 三、实验原理和方法 叠梁、复合梁实验装置与纯弯曲梁实验装置相同，只是将纯弯曲梁换成叠梁或复合梁，叠梁和复合梁所用材料分别为铝梁和钢梁，其弹性模量分别为E=70GN/m2和E=210GN/m2。叠梁、复合梁受力状态和应变片粘贴位置如图1所示，共12个应变片。叠梁、复合梁受力简图如图2所示，由材料力学可知
叠梁横截面弯矩：M=M 1+M 2 2 2112221111 Z Z Z Z I E I E M I E M I E M += == ρ I Z1为叠梁1截面对Z 1轴的惯性距； I Z2为叠梁2截面对Z 2轴的惯性距。 因此，可得到叠梁Ⅰ和叠梁Ⅱ正应力计算公式分别为 2 2111 111 1 1Z Z I E I E Y M E Y E += =ρ σ 2 2112222 2 2Z Z I E I E Y M E Y E += =ρ σ 式中Y 1——叠梁Ⅰ上测点距Z 1轴的距离； Y 2——叠梁Ⅱ上测点距Z 2轴的距离。 复合梁 设： E 2 / E 1 = n 2 2111 Z Z I E I E M += ρ I Z1为梁1截面对中性Z 轴的惯性距； I Z2为梁2截面对中性Z 轴的惯性距。 中性轴位置的偏移量为： ) 1(2) 1(+-= n n h e 因此，可得到复合梁Ⅰ和复合梁Ⅱ正应力计算公式分别为 2 21111 1Z Z I E I E MY E Y E += =ρ σ 2 21122 2Z Z I E I E MY E Y E += =ρ σ 在叠梁或复合梁的纯弯曲段内，沿叠梁或复合梁的横截面高度已粘贴一组应变片，见图1。当梁受载后，可由应变仪测得每片应变片的应变，即得到实测的沿叠梁或复合梁横截面高度的应变分布规律，由单向应力状态的虎克定律公式εσE =，可求出应力实验值。应力实验值与应力理论值进行比较，以验证叠梁、复合梁的正应力计算公式。 四、实验步骤 1． 叠梁、复合梁的单梁截面宽度 b=20mm, 高度 h=20mm, 载荷作用点到梁支点距离c=150mm 。 2． 将载荷传感器与测力仪连接, 接通测力仪电源, 将测力仪开关置开。 3． 将梁上应变片的公共线接至应变仪背面B 点的任一通道上，其它接至相应序号通道的A 点上，公共补偿片接在0通道的B 、C 上。 4． 实验： 叠梁实验 a ． 本实验取初始载荷P 0=0.5KN （500N ），P max =2.5KN(4500N)，ΔP=0.5KN(500N)， 共分四次加载； b ． 加初始载荷0.5KN(500N)，将各通道初始应变均置零； c ． 逐级加载，记录各级载荷作用下每片应变片的读数应变。 复合梁实验