天津市武清区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、填空题（共14题，每题5分，共70分）
1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=．
2．（5分）已知z=（a﹣i）（1+2i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．
3．（5分）若命题“?x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．
4．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=．
5．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=．
6．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b=．
7．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=．
8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．
9．（5分）如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D是BC的中点，则的值为．
10．（5分）已知{a n}是公比为q的正项等比数列，不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，则q=．
11．（5分）在平面直角坐标系中，已知角α+的终边经过点P（3，4），则cosα=．
12．（5分）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A，B两点，当AB平行于x轴时，A、B两点间的距离为．
13．（5分）已知三个实数a，b，c，当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a2，则的取值范围是．
14．（5分）已知函数f（x）=x|x2﹣3|，x∈，其中m∈R，当函数f（x）的值域为时，则实数m 的取值范围．
二、解答题（共6小题，共90分）
15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．
（1）若B=，求A；
（2）若tanA=2，求tanB的值．
16．（14分）已知集合A={y|y=﹣2x，x∈}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（14分）在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
18．（16分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到
停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．
19．（16分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=﹣x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．
20．（16分）已知等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{b n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；
（3）当{b n}为等差数列时，对任意正整数k，在a k与a k+1之间插入2共b k个，得到一个新数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T n=2c m+1的所有正整数m的值．
天津市武清区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，每题5分，共70分）
1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤2}．
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B即可．解答：解：集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，
所以A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2}
故答案为：{x|0≤x≤2}
点评：本题是基础题，考查集合间的交集及其运算，考查观察能力，计算能力．
2．（5分）已知z=（a﹣i）（1+2i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解答：解：∵z=（a﹣i）（1+2i）=a+2+（2a﹣1）i在复平面内对应的点在实轴上，
∴2a﹣1=0，
解得a=．
故答案为：．
点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
3．（5分）若命题“?x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（0，1）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．
解答：解：∵命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”，
∴命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”的否定是“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”．
∵命题“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”是假命题，
∴命题“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”是真命题．
∴方程x2+2mx+m=0的判别式：△=4m2﹣4m＜0．
∴0＜m＜1．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．
4．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=0．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知结合向量的坐标加法运算与数乘运算求得﹣λ的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式得答案．
解答：解：∵=（2，1），=（0，﹣1），
∴﹣λ=（2，1+λ），
由（﹣λ）∥，得
2（1+λ）﹣2=0，即λ=0．
故答案为：0．
点评：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则
⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
5．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
解答：解：依题意可得，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．6．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b=﹣1．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、b 的方程组，解之即可得到实数b的值．
解答：解：设切点为（x0，x0lnx0），
对y=xlnx求导数，得y′=lnx+1，
∴切线的斜率k=lnx0+1，
故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），
整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，
与y=x+b比较得，
解得x0=1，故b=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=﹣7．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据奇函数的性质，得f（﹣3）=﹣6，代入解析式即可得到答案．
解答：解：∵f（x）是奇函数，f（3）=6
∴f（﹣3）=﹣6，
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，
∴（﹣3）3﹣3asin（﹣）=﹣6，
∴﹣27﹣3a=﹣6，
a=﹣7
故答案为：﹣7
点评：本题考查了函数的概念，性质，属于计算题．
8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．
考点：解三角形．
专题：计算题．
分析：根据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出△ABC的面积．解答：解：由，根据正弦定理得：a=c，
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，
即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，
则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．
故答案为：
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
9．（5分）如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D是BC的中点，则的值为﹣17．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：通过建立直角坐标系，求出向量的坐标，再利用数量积的坐标计算即可得出．
解答：解：建立直角坐标系，则C（0，0），A（3，0），B（0，4），D（0，2）．
则=（3，﹣4），=（﹣3，2）．
∴=3×（﹣3）﹣4×2=﹣17．
故答案为﹣17．
点评：熟练掌握向量的数量积的坐标计算公式是解题的关键．
10．（5分）已知{a n}是公比为q的正项等比数列，不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，则q=．
考点：等比数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用韦达定理，可得a1+a2=a3，结合等比数列的通项公式，即可得出结论．
解答：解：∵不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，
∴a1+a2=a3，∴1+q=q2，
∵q＞0，
∴q=，
故答案为：
点评：本题考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5分）在平面直角坐标系中，已知角α+的终边经过点P（3，4），则cosα=．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解cosα即可．
解答：解：角α+的终边经过点P（3，4），
所以sin（α+）=，cos（α+）=，
即，，
解得cosα=．
故答案为：．
点评：本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．
12．（5分）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A，B两点，当AB平行于x轴时，A、B两点间的距离为ln3．
考点：指数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意，由y=e x求出x=lny；由y=3?e x（k＞0）求出x=ln，作差等于ln3
解答：解：根据题意，
∵y=f（x）=e x，
∴x=lny；
又∵y=g（x）=3e x，
∴x=ln；
∴A、B两点之间的距离为lny﹣ln=ln（y÷）=ln3，
故答案为：ln3
点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应根据题意，转化条件，从而求出解答，是基础题．
13．（5分）已知三个实数a，b，c，当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a2，则的取值范围
是（﹣∞，0]∪
f′（t）+0 ﹣﹣
f（t）单调递增极大值单调递减单调递减
又f（﹣1）=﹣，f（0）=0，f（3）=9．
由表格可知：f（t）∈（﹣∞，0]∪∪，其中m∈R，当函数f（x）的值域为时，则实数m的取值范围．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：先去绝对值将函数f（x）变成：f（x）=，通过求导判断函数
x3﹣3x在单调递增，并且令x3﹣3x=2得，x=2，因为f（x）的值域是，所以x≤2；同样的办法可判断函数3x﹣x3在单调递增，在（1，）单调递减，所以x=1时该函数取最大值2，x=0时取最小值0，所以函数f（x）在上的值域是，并且x∈时f（x）的值域也是，所以m∈．
解答：解：f（x）=x|x2﹣3|=；
（1）（x3﹣3x）′=3x2﹣3，∴x3﹣3x在上单调递增，令x3﹣3x=2得，x=2，
∴x；
（2）（3x﹣x3）′=3﹣3x2，∴3x﹣x3在，∴x，且x∈时f（x）的值域为；
∴x∈f（x）值域是，x∈时f（x）的值域也是；
∴m∈；
即实数m的取值范围为．
故答案为：．
点评：考查处理含绝对值函数的方法，通过求导判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的应用，函数的值域的概念及函数最值的求法．
二、解答题（共6小题，共90分）
15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．
（1）若B=，求A；
（2）若tanA=2，求tanB的值．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值；解三角形．
分析：（1）利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合B=，通过三角形内角即可
求A；
（2）利用已知条件化简求出tanA=3tanB，通过tanA=2，即可求tanB的值．
解答：解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A﹣B），B=，
得sin（A+）=2sin（A﹣）．
∴．
化简，得sinA=cosA．
∴tanA=．
又A∈（0，π），∴A=．
（2）∵sin（A+B）=2sin（A﹣B）．
∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB﹣cosAsinB）．
化简，得3cosAsinB=sinAcosB．
又cosAcosB≠0，
∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算能力．
16．（14分）已知集合A={y|y=﹣2x，x∈}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点：交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：集合．
分析：（1）求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．
解答：解：（1）当a=4时，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}={x|x2+3x﹣28＞0}={x|x＞4或x＜﹣7}．A={y|y=﹣2x，x∈}={y|﹣8＜y＜﹣4}，
则A∩B={x|﹣8＜x＜﹣7}．
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A?B，
B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}={x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x=a或x=﹣a﹣3，
①若a=﹣a﹣3，即a=﹣，此时B={x|x≠﹣}，满足A?B，
②若a＜﹣a﹣3，即a＜﹣，此时B={x|x＞﹣a﹣3或x＜a}}，
若满足A?B，则a＞﹣4或﹣a﹣3＜﹣8，解得a＞﹣4或a＞5（舍去），
此时﹣1＜a＜﹣．
③若a＞﹣a﹣3，即a＞﹣，此时B={x|x＞a或x＜﹣a﹣3}}，
若满足A?B，则﹣a﹣3＞﹣4或a＜﹣8（舍），解得﹣＜a＜1．
综上﹣4＜a＜1．
点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，注意要进行分类讨论．
17．（14分）在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）利用向量垂直的条件，分∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°解得即可；
（2）由题意得=，求得D的坐标D（10﹣t，t﹣2），利用求模公式即可得出结论．
解答：解：（1）由题意得=（t﹣4，2），=（2，t），=（6﹣t，t﹣2），
若∠A=90°，则=0，即2（t﹣4）+2t=0，∴t=2；
若∠B=90°，则=0，即（t﹣4）（6﹣t）+2（t﹣2）=0，∴t=6±2；
若∠C=90°，则=0，即2（6﹣t）+t（t﹣2）=0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6．
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则=，设D的坐标为（x，y），
即（x﹣4，y）=（6﹣t，t﹣2），∴即D（10﹣t，t﹣2），
∴==，
∴当t=6时，||的最小值为4．
点评：本题主要考查向量垂直的充要条件的应用及向量相等等知识，属于中档题．18．（16分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到
停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；解三角形．
分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由sinθ=，sinα=，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到
PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速
（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）如图，作PN⊥AB，N为垂足．
sinθ=，sinα=，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×=4.8（km）．
在Rt△PNM中，MN==1.5（km）．
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，
小船的速度为v1km/h，则t1==0.4（h），t2==（h）．
由已知得：t2+=t1，=0.4，
∴v1=．
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM==（km），MN=（km）．
∴QM=QN﹣MN=4.8﹣（km）．
∴t==．
∵t′=，
∴令t'=0得：cosα=．
当cosα＜时，t'＞0；当cosα＞时，t'＜0．
∵cosα在α∈（0，）上是减函数，
∴当方位角α满足cosα=时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．
19．（16分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=﹣x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）求出h′（x），根据图象可知导函数过（0，﹣8），（4，0）两点，则把两点坐标代入h'（x）=2ax+b中求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化简后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切线的斜率；（2）在定义域x大于0上，令f′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），要使函
数f（x）在区间上是单调函数，根据函数的单调区间可得大于1且小于等
于3，列出不等式求出解集即可到得到m的取值范围；
（3）函数y=﹣x的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到﹣x大于等于f（x），列出不等式解出c≤﹣x2﹣6lnx+7x恒成立，求出g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x的最小值方法是令导函数=0求出x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最小值．根据c小于等于g（x）的最小值列出不等式，求出解集即可得到c的范围．
解答：解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，﹣8），（4，0）两点，把两点坐标代入h'（x）=2ax+b
∴，h'（x）=2x﹣8，
∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+c
∴
∴f'（3）=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0；
（2）∵x＞0
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间上是单调函数，
则，解得
（3）由题意，﹣x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得﹣x≥6lnx+x2﹣8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤﹣x2﹣6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
设g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x，x∈（0，6]，则c≤g（x）min
因为x＞0，∴当时，∴g'（x）＞0，g（x）为增函数
当和（2，+∞）时，∴g'（x）＜0，g（x）为减函数
∴g（x）的最小值为和g（6）的较小者．
，
g（6）=﹣36﹣6ln6+42=6﹣6ln6，
，
∴g（x）min=g（6）=6﹣6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6﹣6ln6
点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．
20．（16分）已知等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{b n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；
（3）当{b n}为等差数列时，对任意正整数k，在a k与a k+1之间插入2共b k个，得到一个新数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T n=2c m+1的所有正整数m的值．
考点：等比数列的通项公式；数列的应用．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；
（2）由2n2﹣（t+b n）n+b n=0解出b n，列举出b1，b2和b3，要使数列{b n}为等差数列，根
据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；
（3）显然c1=c2=c3=2，容易判断m=1时不合题意，m=2适合题意，当m大于等于3时，得到c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，然后根据T n=2c m+1列举出各项，利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2k=k2+k﹣1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解，所以得到满足题意的m仅有一个解m=2．解答：解：（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
又a1=2，所以a n=2n
（2）由2n2﹣（t+b n）n+b n=0，得b n=，
所以b1=2t﹣4，b2=16﹣4t，b3=12﹣2t，
则由b1+b3=2b2，得t=3
而当t=3时，b n=2n，由b n+1﹣b n=2（常数）知此时数列{b n}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于c m+1个，则一定不适合题意，
从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+b k）=2×2k+1，
即，即2k+1﹣2k2﹣2k+2=0．
也就是2k=k2+k﹣1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n﹣1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k﹣1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k﹣1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k﹣2=（k+1）2+（k+1）﹣1+k2﹣k﹣3
≥（k+1）2+（k+1）﹣1+5k﹣k﹣3=（k+1）2+（k+1）﹣1+k+3（k﹣1）＞（k+1）2+（k+1）﹣1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n﹣1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k﹣1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，灵活运用数列解决实际问题，以及会利用数学归纳法进行证明，是一道比较难的题．