09年中考各地数学试题汇编——二次函数（能力）
1、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，
，B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△． （1）如图，一抛物线经过点
A B B '、、，求该抛物线解析式；
（2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．
2、（09甘肃庆阳）如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为（
1-，0），点
B 在抛物线
22y ax ax =+-上．
（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； （4）将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达AB C ''
△的位置．请判断点B '、C '是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．
3、（09福建莆田）已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． (1)、抛物线的解析式；
(2)、点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：
(3)、点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
4
（（（
5线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
6、（09广东深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .
（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB
7、（09福建漳州）如图1，已知：抛物线212
y x bx c =++与x 轴
交于A B 、两点，与
y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是
1
22
y x =
-，连结AC ． （1）B 、C 两点坐标分别为B （ ， ）、C （ ， ），抛物线的函数关系式为 ； （2）判断ABC △的形状，并说明理由；
（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点
D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩
形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线2
y ax bx c =++的顶点坐标是2
4,24b ac b a
a ??-- ?
??]
8、（09甘肃定西）如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］ （1）k
=
，点A 的坐标为 ，点B 的坐
标为 ； （2）设抛物线
22y x x k =-+的顶点为
M ，求四边形ABMC
的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线
22y x x k =-+上求点
Q ，使△BCQ 是以BC
为直角边的直角三角形．
9、（09广东广州）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y
的
图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
4
5
。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
x 图1
图2(备用)
（第26题）
图14（1） 图14（2） 图14（3）
（09广西钦州）如图，已知抛物线y ＝
34
x 2
＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝
3
4t
x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1． （1）填空：点C 的坐标是 ，b ＝ ，c ＝ ； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
（09广西梧州）如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一
点B ．
（1）求此抛物线的解析式； （2）若直线
)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求
k 的值；
（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．
（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与
y 轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
图（9）-1
图（9）-2
（09贵州黔东南）已知二次函数22-++=a ax x y 。
（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求
出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2
133，若存在求出P 点坐
标，若不存在请说明理由。
(09湖北黄冈)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ，其中曲线AB 为抛物线的一部分，点A 为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线
2
52051230y x x =-+-的一部分，且点A ，B ，C 的横坐标分
别为4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x 个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
(09湖北黄冈) (满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线
214
10189
y x x =
--与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从A,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)
(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜
92
时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,
若不是,请说明理由;
(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．
(09湖北荆州)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
(09湖北十堰) 如图①， 已知抛物线
32++=bx ax y （a ≠0）
与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
(09湖北武汉) 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、
(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且
45DBP ∠=°，求点P
(09湖北仙桃) )如图，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4
(1)求抛物线的解析式；
(2)若S △APO ＝2
3，求矩形ABCD
(09湖南娄底) 已知关于
x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m + （1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且2
1
x +22
x =5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.
(09湖南湘西) 在直角坐标系xoy 中，抛物线
2y x bx c =++与
x 轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，其中A 在B 的左侧，B 的坐标是（3，0）．将直线
y kx =沿y 轴向上平移3个单位
长度后恰好经过点B 、C ． （1） 求k 的值；
（2） 求直线BC 和抛物线的解析式； （3） 求△ABC 的面积；
（4）
设抛物线顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且
∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标．
（09山东德州）如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B
两点，与
y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥
x
轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
(09湖南益阳) 20.阅读材料：
如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
ah S ABC 2
1
=
?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .
(1)求抛物线和直线AB 的解析式；
(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；
(3)是否存在一点P ，使S △P AB =8
9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；
若不存在，请说明理由.
(09湖南株洲) 如图，已知ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?，
AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过
点B 、D ．
（1）求点A 的坐标（用m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．
（09浙江绍兴）
图12-2 x
O
y A
B
D 1
1
C
图12-1
A
2
（09吉林长春）如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-
=2
4
1经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分） （2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）
（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分） 【参考公式：抛物线
2y ax bx c =++的顶点坐标为2b a
?-
?，
244ac b a ?-??
．】
（09江西省）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为
D .
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；
①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？
②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.
（09内蒙包头）已知二次函数2y ax bx c =++（0a
≠）的图
象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形
ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
（第
24
（09山东济南）已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为
1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y
轴交于点C 其中
()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
（09山东威海）如图，在直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(10)(30)(03)-，，，，，，过A B C ，，三点的抛物线的对称轴为直线l D ，为对称轴l 上一动点． (1)、求抛物线的解析式；
(2)、求当AD CD +最小时点D 的坐标； (3)、以点A 为圆心，以AD 为半径作A ． ①证明：当AD CD +最小时，直线BD 与A
相切．
②写出直线BD 与A 相切时，D 点的另一个坐标：_________．
（09山东德州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线
2y ax bx c =++与y
轴交于点D ，与直线
y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和
点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．
（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
（第24题图）
（09山东烟台）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两
点，与
y 轴交于
C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线
1x =，顶点是M ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存
在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一
点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；
（4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，
（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
（09浙江台州）如图，已知直线12
1
+-
=x y 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．
（09浙江湖州）已知抛物线
22y x x a =-+（0a <）与y 轴
相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，
y 轴相
交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N.
(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则
()()M N ， ， ， ；
(2)如图，将NAC △沿
y 轴翻折，若点N 的对应点N
′恰好落在
抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积； (3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得
（第24题）
y
x
12
1
+-
=x y
备用图
以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
P 点的坐标；若不存在，试说明理由.
（09天津）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程
120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上．
（Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数
1y 与2y 的图象的两个交点为
A B ，，当ABM △的面积为1
12
时，求t 的值；
（Ⅲ）若01αβ<<<，当01t
<<时，试确定T αβ
，，三
者之间的大小关系，并说明理由．
（09四川遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，
39
7
)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为
6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的
坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
（09四川内江）如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，且0t
>，tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点
(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点． （1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；
（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值．
第（2）题
备用图
（第24题）
（09四川南充）如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、
y 轴分别交于C 、
D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：
123
S S
=？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（09四川眉山）如图，已知直线112
y x =+与
y 轴交于点A ，与
x 轴交于点D ，
抛物线212
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出
点M 的坐标。
（09四川泸州）如图12，已知二次函数c bx x y ++-=22
1(0)c <
的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OB OA OC ?=2． (1)求c 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式； (3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线
AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（09四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线与x
轴交
于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为
N ，且
。
(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度
?
（09陕西省）如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥
，且
2OB OA =，点A 的坐标是(1
2)-，． （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；
（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得
ABP ABO S S =△△．