高等数学综合练习题
1、设0>a ，}{n x 满足：
,00>x ,2,1,0),(211 =+=
+n x a x x n
n n
证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞
→lim
分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明}{n x 单调且有界。 证明: （1） 证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n 则
a x x n
x a
n
n =≥+1，
从而有： 02)(212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x a x x a
x x x ，
故}{n x 单调减少，且有下界。所以}{n x 收敛。 （2）设l x n n =∞
→lim ， 在)(211n
n n x a
x x +=
+两边同时取极限得 1lim +∞
→=n n x l ),(21)(lim 21l
a l x a x n
n n +=+=∞
→
解之得a l =，即a x n n =
∞
→lim 。
2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3
1
0)(1 lim e x x f x x
x =?????
?++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.
分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。
解 由31
0])(1[lim e x
x f x x
x =+
+→得
3]
)
(1ln[lim
=++→x
x x f x x ，
因为分母极限为零，从而分子极限为零，即
0])
(1ln[lim 0
=+
+→x
x f x x ， 可以得到0)
(lim
=→x
x f x ， 同样，我们有
)0(0)(lim 0
f x f x ==→，
由导数的定义得
00
)
0()(lim
)0('0
=--=→x f x f f x 。
因为)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得
)0)((0)0("2
1
)(22→+=
x x x f x f ） 两边取极限得
2])
(0)0("21[lim 220=+→x
x f x ， 故4)0("=f 。
3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：
),[,+∞∈?a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。 证明：
x
x f )
(在),[+∞a 有界。 证明： 由条件知，),[+∞∈?a x ，有
|||)()(|a x K a f x f -≤-，
则
|)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤，
从而
a a f K x a f x a x K x a f x a x K x x f |)(||
)(||||)(|||||)(+≤+-=+-≤， 故
x
x f )
(在),[+∞a 有界。 4、设函数?????≥++<=0
,;0
,)(2x c bx ax x e x f x 且f
(0)存在, 试确定常数a , b , c .
分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。 解：由条件可知函数)(x f 在0=x 处连续, 故1)0(==f c 。
由条件可知)(x f '在0=x 处连续,且???>+<='0 ,2,
0 ,)(x b ax x e x f x , 故1)0(='=f b 。
因此???≥+<=',0 ,12;
0 ,)(x ax x e x f x 从而???><=''0 ,2,0 ,)(x a x e x f x ，故1)0(2=''=f a ，则
2
1
=a 。
5、设当1->x 时, 可微函数)(x f 满足条件0d )(1
1)()( 0 =+-
+'?x
t t f x x f x f ，且1)0(=f ，试证: 当0≥x 时, 有1)(≤≤-x f e x 成立.
分析：这是一个积分微分方程，可以通过两边求导变成一个微分方程，然后求解。 证明: 设由题设知1)0(-='f , 则所给方程可变形为
?=-++'+x
t t f x f x x f x 0
0d )()()1()()1(.
两端对x 求导并整理得
0)()2()()1(='++''+x f x x f x ，
这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得
x
C x f x
+='-1e )(.
由1)0(-='f 得1-=c , 01e )(<+-='-x
x f x
, 可见)(x f 单减.
而1)0(=f , 所以当0≥x 时,1)(≤x f 。
对01e )(<+-='-t
t f t
在],0[x 上进行积分得 x x t x
t
e t e t t e
f x f --=-≥+-=??0
-0d 1d 1)0()(.
6、计算三重积分
???
++=
V
dxdydz c
z b y a x I )(22
2222。 其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。
分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。 解： 由于
dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I V
V
V
???
???
???
++=2
2
2
2
2
2
， 其中
??
?
???
-=D
a
a V
dydz dx a x dxdydz a
x 2
2
22
， 这里D 表示椭球面
22
22221a
x c z b y -≤+
或
1)
1()
1(222
2222
2≤-+
-a
x c z a
x b y 。
它的面积为
)1()1)(1(22
2222a
x bc a x c a x b -=--ππ。
于是 abc dx a
x x a bc
dxdydz a
x a
a
V
ππ154)1(2
22
222
=-=?
???
-。 同理可得 abc dxdydz b y V
π154
2
2=???
，
abc dxdydz c
z V
π154
2
2=???
。 所以 abc abc I ππ5
4
)154(3==。 7、讨论积分dx x
x x
x q
p ?
∞
++π
cos 的敛散性。 分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，其中Cauchy 收敛准则起作很大的作用。 解：首先注意到
()
2)1()1(q
p q p q p x
x x q x p x x x +-+-='
??? ??
+。 若1),max(>q p ，则当x 充分大时，0<'
?
?
? ??
+q p x x x ，从而当x 充分大时，函数q
p x
x x
+是递减的，且这时 +∞
→x lim
q
p x x x
+0=。
又因
?A
xdx π
cos A sin =1≤（对任何π>A ）
，故dx x x x
x q
p ?∞
++π
cos 收敛。
若1),max(≤q p ，则恒有0≥'
??
? ??
+q
p x x x ，故函数q p x x x +在π≥x 上是递增的。于是，?正整数n ，有
dx x x x x n n q
p ?
+
+4
22cos πππ
全国大学生数学竞赛 百度简介
中国大学生数学竞赛
该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002
高等数学竞赛 不定积分 不定积分的概念与性质 1、设)10(tan 2cos )(sin 2 2 <<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f 3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1) ?+dx x x x cos sin 12cos （2）?++dx x x 5212（3）?+x x dx 22cos 2sin （4）?+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin 2、求下列不定积分 （1） ?+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）?+dx x x x )1(ln )ln (2 3 （3） dx x x ? +2 11 arctan （4） ?+-dx xe x x x x ) cos 1(cos sin cos sin 2 （5）?++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 （1） ?-+2 2 1)1(x x xdx （2） ? +2 323) 1(x dx x （3） dx x x ? -2 29 （4）?-+211x dx 2、倒代换（即令t x 1 =）求下列积分 （1） )0(2 2 2>+?a x a x dx （2）? +) 2(7x x dx 3、指数代换（令,t a x =则t dt a dx ?= ln 1） （1）?++x x x dx 4 212 （2）?+++6 3 2 1x x x e e e dx 4、利用分部积分法求不定积分 （1）?+dx e x x 22)1( （2）? ++xdx x x 2cos )52(3 （3）?xdx x arccos 2 （4）? dx x x 2 3)(ln （5）? xdx e x cos
小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧 分数的四则混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数四则混合运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等。 【例1】计算2002× ［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。 ［解］方法—：2002×＝2002×（1－） ＝2002×1－2002× ＝2002－1 方法二：2002×＝（2001＋1）× ＝2001×＋1× ＝2000 点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和或两数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计算目的。 【例2】计算3×25＋37.9×6
［分析］注意观察3和6，它们的和为10，但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，才能运用乘法分配律来进行简算，因此不难想到把37.9分拆成25.4和12.5两部分。当12.5与6.4相乘时，又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。 ［解］3×25＋37.9＋6 ＝3＋25＋（25.4＋12.5）×6.4 ＝3.6×25.4＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋85 ＝334 点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。 【例3】× ［分析］可以发现181818，818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约数18与81，同样，218218和182182分别有约数218与182，所以先把各分子、分母写成乘积的形式，把相同因数约分后再计算。 ［解］×＝× ＝ ＝ 点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来化简运算。同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。 【例4】计算＋＋＋＋……＋
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
2012年(下)小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案 （1—10填空题，每题5分；11—20解答题，每题10分，共150分） 1．三个自然数的和是508，积是2012，则这三个数是 。 解：将2012分解质因数：2012＝2×2×503=4×503×1。故所求的三个数是503、4和1。 2．已知：a ，b 都是整数，并且1||||=+b a 。则=+||b a 。 解：b a ,都是整数?|||,|b a 都是自然数 ???==?1||0||b a 或???==0||1||b a ???±==?1 0b a 或???=±=01b a 1±=+?b a 1||=+?b a 。 3．某商品的价格规定如下：每个1元；每5个4元；每9个7元。小赵的钱最多能买50 个，小李的钱最多能买500个。小赵与小李各有 元。 解：50＝9×5＋5×1 7×5＋4×1＝39（元） 500＝9×55＋5×1 7×55＋4×1＝389（元） 答：小赵有39元，小李有389元。 4．如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这十个数中最小的一个是 。 解：两位奇数指的是11、13、15、…、99。其中，最大的9个数的和是 79819898,8192 9)8399(83959799=-=?+=++++ 。 由于和为898的十个两位奇数中较大的九个数的和不可能再大了，较小的那个数不可 能更小。所以，这十个数中最小的一个是79。 5．小芳和四位同学一起参加数学竞赛，那四位同学的成绩分别是78、91、82和79，小芳 的成绩比五人的平均成绩高6分。则小芳的成绩在这五个人中排第 名。 解：设小芳的成绩是x 分，则x x =+÷++++65)79829178(，解得: x 90=。所以，小芳的成绩在这五人中排第二名。 ?? ?? 1||||=+b a
全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
《小学数学竞赛辅导》教学大纲 课程编号：12307057 总学时： 14 课程学分：1 开课对象：小学教育专业本科学生 课程类别：专业任选课 课程英文译名：Tutorship of Mathematics Competition in Primary School 一、课程任务和目的 任务：使学生了解小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略，了解小学数学竞赛题型，掌握小学数学竞赛题的解题规律，培养学生研究小学数学的兴趣，提高学生的解题能力和数学思维能力。 目的：小学数学竞赛辅导是为将来从事小学数学教学打下坚实基础。 二、课程教学内容与要求 (一)绪论（2学时） 教学要求：明确开设小学数学竞赛辅导课程的意义，教学的方式和要求，了解小学数学竞赛的内容，发展趋势，以及小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学重点：小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学难点：数学竞赛的题型 教学内容： 1.课程的意义 2.小学数学竞赛的教学内容，发展趋势 3.小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略 4.小学数学竞赛的题型介绍 (二) 假设法问题（２学时） 教学要求：掌握假设法解题的方法、步骤，了解应用假设法解决的典型题型及基本解法。 教学重点：假设法解题的方法、步骤。 教学难点：假设法解题。 教学内容： 1.假设法解题的方法、步骤 2.鸡免同笼问题的解决方法及推广 3.分数应用题应用假设法解题举例 (三) 盈亏、还原问题（2学时）
教学要求：掌握盈亏、还原问题的类型，解法，介绍应用方程思想解决此类问题的方法及典型题的介绍。 教学重点：掌握盈亏、还原问题的类型，解法。 教学难点：确定类型 教学内容： 1.盈亏、还原问题的类型 2.盈亏、还原问题的解题思想、方法 3.典型题的介绍，应用方程思想解决的方法 (四)相遇和追及问题（2学时） 教学要求：掌握相遇和追及问题的类型，解法，以及变异问题。 教学难点：较难相遇与追及问题的解法。 教学重点：变异问题—追及问题在钟面上数学问题中的应用。 1.相遇和追及问题的类型，求解的方法 2.典型题的介绍 3.钟面上的数学问题 (五) 整除问题（2学时） 教学要求：深刻理解整除的概念、性质、数的整除特征，以及整除问题的具体应用实例。 教学重点：数的整除特征及其应用。 教学难点：数的整除特征。 教学内容： 1.整除的概念、性质 2.数的整除特征 3.整除问题的应用实例 4.典型题的介绍 (六) 工程问题（2学时） 教学要求：掌握工程问题的类型、计算公式，解法。 教学重点：工程问题的分数应用题。 教学难点：工程问题的分数应用题。 教学内容： 1.工程问题的类型 2.工程问题的计算公式、解法 3.工程问题的分数应用题 4.典型题的介绍 (七) 抽屉原理（2学时）
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 2020小学数学竞赛活动方案 一、指导思想 20xx版新课程标准指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，而且要培养人的理性思维和创新能力”。为此，我校特开展本次数学学科竞赛活动。目的在于丰富校园文化生活的同时，培养学生学习数学的兴趣，激发学生学数学、用数学的热情，培养学生思维的灵活性和敏捷性，提升学生应用数学知识解决生活问题的数学素养。 二、活动目的 通过数学竞赛，提高学生的逻辑思维能力、创新能力和计算能力以及应用数学知识解决、分析问题的能力，拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣，真正感受到数学来源于生活并服务于生活。同时，通过竞赛了解我校在数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的数学教学收集一些参考依据。 三、竞赛年级 一、三、五年级 四、竞赛时间 1、一年级：__月__日（星期__）上午11：10-11：20进行计算大比拼。 2、三、五年级：__月__日（星期__）上午8：30-10：10进行应用意识，解决问题竞赛，其中五年级在__月__日（星期四）上午10：10-11：30进行数学史演讲比赛。 3、请各年级提醒学生提前10分钟进场。 五、竞赛形式 （一）一年级组 竞赛类型：计算大比拼。 1、规则：共100道题，用时10分钟，以班级为单位，各班选8名学生参赛，根据测试成绩决定竞赛名次，奖励年级前十五名（一等奖3名、二等奖5名、三等奖7名），团体奖一、二名。 2、竞赛地点：一（1）班和一（2）班教室。 （二）三、五年级组 1、竞赛类型。三年级：趣味数学；五年级：应用意识，解决问题。 2、规则： （1）题型分为计算题和填空题两大类，根据难易程度，试题数为20至25题之间，总分100分。题型分为计算题和填空题和能力提升题。计算题分值占20%，填空题分值占68%，能力提升题分值占12%。 （2）三、五年级各班推选8名选手参赛，按参赛学生总成绩÷参赛学生人数=班级均分（均分保留两位小数）计算各班成绩，根据测试成绩计算班级均分，按均分从高到低决定班级竞赛名次，并奖励年级前二十名（一等奖5名、二等奖6名、三等奖9名）。团体奖一、二、三名。 竞赛地点： 三年级：三（1）班、三（2）班教室。 五年级：五（1）班、五（2）班教室。 3、五年级数学史演讲比赛方式及规则： （1）各班推选一名选手代表本班参赛（演讲选手必须是应用意识，解决问题的八个选手之一），要求脱稿讲述。 （2）可适当布置场景、配置音乐；可根据内容准备相应的服饰和道具；讲述时间为4至6分钟，不足或超时者，视情况按规则扣分。 （3）数学史演讲比赛内容包括数学故事、数学历史，数学家等，应符合学生年龄特征及理解能力。 （4）选手最后得分为去掉一个最高分和去掉一个最低后的平均分，最后得分保留到小数点后两位。 （5）如果对背景音乐和PPT有特殊要求的，可自行播放。 一、活动目的 为了更好地展示我校素质教育成果，更好地推进我校课程改革向纵深发展，依据学校教学工作安排，经研究决定，本学期选择一、三年级数学开展数学竞赛活动。 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 推荐10本小学奥数参考书 推荐一些同步的参考书教材，大家根据自己的年级买对应的书即可 1、《华数奥赛教材》 出版社：吉林出版集团 主编：毛文凤，单墫等 华数奥赛教材.png 简介：一本有着较长历史的书，可以作为同步学习的资料。作者毛文凤、单墫等都是我国著名的数学竞赛教练，同时编书很严谨。书正如其标题所示，是一本针对华杯赛的教材。华杯赛作为目前全国范围内比较正规、权威的赛事，其知识点覆盖面很全，同时对初中学习也有很强的指导作用。书中例题多采用华杯赛中的真题、改编题，可以帮助构建整个小学数学竞赛的知识框架。 优点：同时解决知识框架和华赛备考 缺点：书中欠缺知识点总结 适合学员：五年级、六年级有较好基础的同学可以使用 难度： 2、《小学奥数举一反三》 出版社：陕西人民教育出版社 主编：蒋顺，李济元 小学奥数举一反三.png 简介：也是分年级的一本书，难度相对来说较为简单，无论是大人还是小孩子都能看明白。孩子如果未接触过数学竞赛，可以用来作为初步自学的书籍。本书氛围A版和B版，A版是教材，有知识点讲解和例题；B版是同步练习册，用于课后巩固。 优点：入门必备，编排板式不错，有单独练习册 缺点：难度、深度均不足 适合学员：1-3年级推荐使用此书进行初步学习，4-6年级如果刚刚接触数学竞赛可以用此书作为初步学习的教材。 难度： 3、《明心数学资优教程》 出版社：湖北教育出版社 主编：刘嘉 明星数学资优教程.png 简介：这是武汉的刘嘉老师编写的一本教材，内容非常详细，每个知识点的介绍都有很多的背景介绍，不仅传授方法和知识，也会培养孩子对于数学历史的了解。整本书的结构非常不错，对于所涵盖的专题的讲解非常细致。 优点：对于单个知识点挖掘得很深，同时有很多背景知识介绍，丰富孩子的见闻 缺点：可能这套丛书只是部分完成，很多重要专题没有涉及，另外部分题目的解题方法已经较为落后 适合学员：对数学有较强兴趣，同时有一定数学竞赛基础的同学，此书只有4—6年级 难度： 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 数学竞赛和县三科联赛辅导计划 张老寺学校于晓东 一、指导思想 体现新课程标准的精神，渗透新世纪新的教育理念，立足于课本知识，以教学大纲所明确的系统数学知识为载体，在巩固基础知识、优化知识结构的同时，刻意为学生深刻领会、掌握和运用数学思想方法创设良好的情景，使他们具备想数学、用数学的习惯、意识和能力。使一些对数学感兴趣，成绩优异的同学在学好课本知识的同时，进一步拓宽他们的知识面，提高他们对问题的分析、思考能力，为以后的数学学习打好基础。为了迎接数学竞赛泾川县三科联赛，并能在竞赛中取得好成绩，特制定此计划。 二、辅导学生 确定优秀的参赛选手，是比赛成功与否的关键，因此最重要的是选好苗子。由于该两项竞赛难度较一般的课本测试题大，因此参加这两项比赛的学生必须要有相当好的基础和灵活的头脑，这就要求我们科任教师要选准优秀学生参赛。 三、辅导时间：每周第八节课 四、辅导地点：物理实验室 五、辅导形式：集中辅导和个别辅导相结合 六、辅导内容：初中知识：实数、方程、三角形、函数、四边形、圆等。 七、辅导措施： 1、注重基础知识训练。 由于该竞赛命题大多以课本为依据，因此在辅导时要紧扣课本，严格按照由浅入深、由易到难、由简到繁、循序渐进的原则，适时联系课本内容。 2、不拘泥于课本，适当扩展深度。 由于该竞赛题目往往比平时考试卷难，教师必须在课本的基础上加以延伸、拓宽，或教给学生新的知识 3、精讲赛题，启迪思维。 竞赛是一种高思维层次、高智力水平的角逐，一种独立的创造性活动。因此，竞赛试题可以多方面地培养人的观察、归纳、类比、知觉的方法，它能给学生施展才华、发展智慧的机会。教师在讲解竞赛题时，应向学生强调认真审题的重要性，并提醒学生适时联系以前解过的题，用其已掌握的方法或解题思路，以求对竞赛题作出合理的解答和更全面深刻的理解，并通过解题后的回顾，教会学生总结，研究自己的解题过程，培养学生发现问题、发现规律的能力。 4、设计专题训练，帮助学生掌握知识。 竞赛题以其难度大、新意浓的特点考查学生的灵活性，解竞赛题虽然没有常规的思维模式可套，但因其源于课本而高于课本，所以它离不开基础知识和特有的思维规律，因而在辅导中需要确定一些专题进行讲授和训练。但指导教师在设计专题时，应注意题目要有一定的梯度和新鲜感，这样才能真正达到培养能力的目的。 八：具体安排 98小学数学竞赛复习辅导题 计算题： 变换数据，巧用定律 46×+× ×24+×÷240 创造条件,巧约巧算 544151655161766176?+?+?{提示：7 6 )6770(766171?+=?} 63÷34×51÷72×64÷36 构造“定律”计算简便 62×37+52×36=52×（37+36）+10×37 ] 9741)197()197(9756[974196989756?--+?=?-?] 裂项相消，化繁为简 ?? ? ??+++÷??? ??+++991631351151201121 6121 +?+?+?11 81 851521……+ 53501? 打破常规，巧算得数 ×+×÷ 61×13 6 185********?+?+ 解数学谜 横式的： 在 中填上一个相同的数，使等式成立。 在 中填上适当的数，使等式成立： 竖式的： 看图计算 下列右图是六个面积为1cm 2的正方形拼成的，求阴影面积a+b+c= 上面右图是由两个边长分别是6cm 和4cm 的正方组成的。求图中阴部分的 面积（提示：连接BE ，可知 ABE 和 BEC 等底等高，通过等量代换，可得 右图，已知正方形面积为20 cm 2，甲、乙两块阴影面积之差是（ ）。 （提出： 将一个表面积涂有红色的长方体，分割成若干个体积为1立厘米的小立方 体，其中六个面都有红色的小立方体只有3个，那么原长方体的体积是（ ） 立方厘米（45）两面带有红色的小立方体有（ ）个（20） 数的整除 三个连续自然数的和是33，那么这三个连续自然数的最小倍数是（ ）。 有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数是（ ）。 有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余4，这个数最小是多少 100以内不能被6和10整除的数有多少个（提示：100以内能被6整除的数有（ ）个，能被10整除的数有（ ）多少个，6和10的公倍数有（ ）、（ ）、（ ）所以100以内不能被6整除的数有： 100－（ ）－（ ）+（ ）=（ ）个 有一个数用它去除47、61和75三个数都余5，这个数是多少 已知两个互质数的积是1998，它们的差除以2么这两数的和是多少 在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些初中数学竞赛辅导讲义全
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