【真题】16年山东省潍坊市高密三中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)(创新班)

高三理科数学基础训练（一） 姓名_________1.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos 2α=（ ） A. 13- B. 13 C. 79- D. 79 2.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 （ ）A. 10000B. 1000C. 100D. 103.定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-4.设x ，y 满足0023x y x y a ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 5.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （ ） A ．332- B ．332± C ．1- D ．1±6.等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =（ ）A ．2014 B ．2013 C ．1007 D ．1006 7.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b += 成立的是（ ） A ．13a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥ 8.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是（ ） A ．(cos )(cos )f A f B < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B > 9.（2013四川）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A B ．12 C D 10.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .11．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线()c x y +=3与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4， AB ＝2，以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M .(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角正弦值．。

潍坊中学2015-2016学年度高三期末自主练习数学试题（理） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}31,x x n n A ==-∈N ，{}4,1,0,2,5B =--，则集合A B =（ )A ．{}2,5B ．{}4,1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,0,2,5-2。

若0a b >>，则下列不等式正确的是（ ) A ．sin sin a b > B ．22loglog a b < C ．1122ab<D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.已知()0,απ∈，若1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．45- B ．45C ．54- D ．544。

已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()1f a =，则()1f a -=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6。

已知C ∆AB 和点M 满足C 0MA +MB+M =，若C λAB +A =AM 成立，则实数λ的值为( ）A ．2B ．3C ．4D ．57。

若中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y =,则该双曲线的离心率为（ ） AB3 CD ．3 8。

已知变量x ，y 满足线性约束条件3202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数12z x y =-的最小值为( )A ．54- B ．0 C ．2- D ．1349。

已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论: ①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x f x +T =成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x ≥M ；④函数()f x 的图象上存在无数个点,使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行．其中，所有正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．③④10。

2016年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣5x+6≥0}，则∁U A=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞3或x＜2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足（2﹣i）z=5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．1 B．C．D．25．（5分）在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1﹣30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[77，90]内的学生人数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S表示的值为（）A．a0+a1+a2+a3B．（a0+a1+a2+a3）x3C．a0+a1x+a2x2+a3x3D．a0x3+a1x2+a2x+a37．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5分）给出以下四个函数的大致图象：则函数f（x）=xlnx，g（x）=，h（x）=xe x，t（x）=对应的图象序号顺序正确的是（）A．②④③①B．④②③①C．③①②④D．④①②③9．（5分）在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有（）A．24种B．36种C．60种D．96种10．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x|≤4成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=+mx是定义在R上的奇函数，则实数m=．13．（5分）圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线﹣=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．15．（5分）已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=，则min{h（0），h（1）}的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．（1）求C（2）若△ABC的面积为5，b=5，求sinA．17．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=AB=，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PB=PC=，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（12分）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X﹣Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19．（12分）如表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．（1）求a n1和a4n；（2）设b n=+（﹣1）n•a（n∈N+），求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若=t，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1，l2，两切线交于点N，求△ACN与△BDN 面积之积的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x++1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性与极值点的个数；（2）当a=0时，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有2个不同的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞2．2016年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣5x+6≥0}，则∁U A=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞3或x＜2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣5x+6≥0}={x|x≤2或x≥3}，所以∁U A={x|2＜x＜3}，故选：D．2．（5分）设复数z满足（2﹣i）z=5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（2﹣i）z=5i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若0≤a≤1且0≤b≤1”则“0≤ab≤1”成立．若“0≤ab≤1”，例如a=﹣1，b=﹣1，则不成立，∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由|2﹣|=，得，又向量，的夹角为60°，且||=1，∴4×12﹣4×，整理得：，解得||=1．故选：A．5．（5分）在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1﹣30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[77，90]内的学生人数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由茎叶图可得30名学生的成绩如下：94，94，92，92，91；90，90，88，88，87；87，85，84，83，83；83，83，82，82，82；81，80，78，78，77；73，72，71，70，70．若用系统抽样，则需分6段，则第2，3，4，5区间段内抽取的学生成绩符合题意，有4人．故选：C．6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S表示的值为（）A．a0+a1+a2+a3B．（a0+a1+a2+a3）x3C．a0+a1x+a2x2+a3x3D．a0x3+a1x2+a2x+a3【解答】解：当k=0，S=a0时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=1，S=a0x+a1，当k=1，S=a0x+a1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=2，S=a0x2+a1x+a2，当k=2，S=a0x2+a1x+a2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=3，S=a0x3+a1x2+a2x+a3，当k=3，S=a0x3+a1x2+a2x+a3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：a0x3+a1x2+a2x+a3，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵将f（x）向右平移个单位长度与原图象重合，∴f（x）=f（x﹣），即sin2ωx=sin2ω（x﹣）=sin（2ωx﹣），∴﹣=2kπ，解得ω=﹣4k，k∈Z．∵ω＞0，∴当k=﹣1时，ω取得最小值4．故选：B．8．（5分）给出以下四个函数的大致图象：则函数f（x）=xlnx，g（x）=，h（x）=xe x，t（x）=对应的图象序号顺序正确的是（）A．②④③①B．④②③①C．③①②④D．④①②③【解答】解：函数f（x）=xlnx，g（x）=，的定义域为：x＞0；x=1时，两个函数y=0，x→+∞时，f（x）=xlnx→+∞，g（x）=→0，f（x）=xlnx的图象是②，g（x）=的图象是④．h（x）=xe x，x=0时，函数值为0，函数的图象为：③；t（x）=，的定义域x≠0，函数的图象为：①．故选：A．9．（5分）在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有（）A．24种B．36种C．60种D．96种【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A43=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种，共有24+36=60种．故选：C．10．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．【解答】解：由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，又∠F1AF2=90°，∴AF2=c，AF1=c，∴c+=2a，可得==﹣1．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x|≤4成立，则实数a的取值范围是[﹣4，4] ．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x|就表示点P到横坐标为0的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x|≤4成立，只要最小值|a|≤4就可以了，∴﹣4≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣4≤a≤4．故答案为：[﹣4，4]．12．（5分）已知函数f（x）=+mx是定义在R上的奇函数，则实数m=1．【解答】解：由题意，f（0）==0，∴m=1，此时，满足f（﹣x）=﹣f（x）．故答案为1．13．（5分）圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线﹣=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是（x﹣5）2+y2=9．【解答】解：双曲线﹣=1的虚半轴长为：3，所以圆的半径为3，双曲线的渐近线为：，3x±4y=0，设圆的圆心（m，0）m＞0，该双曲线的渐近线与圆相切，可得，解得m=5．与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是：（x﹣5）2+y2=9．故答案为：（x﹣5）2+y2=9．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为32π．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面为直角三角形，故底面外接圆半径r=2，棱柱的高为4，故球心到底面的距离d=2，故棱柱的外接球半径R满足：R2=r2+d2=8，故棱柱的外接球表面积S=4πR2=32π，故答案为：32π15．（5分）已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=，则min{h（0），h（1）}的取值范围为（0，）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个零点，∴，由题意作平面区域如下，，∵f（0）=b，f（1）=1+a+b，∴min{f（0），f（1）}=，结合图象可知，D（﹣1，），当﹣1≤a＜0时，0＜b＜，当﹣2＜a＜﹣1时，0＜1+a+b＜，综上所述，min{f（0），f（1）}的取值范围是（0，）；故答案为：（0，）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．（1）求C（2）若△ABC的面积为5，b=5，求sinA．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C，∴3（cosAcosB﹣sinAsinB）+1=cos2C，可得：3cos（A+B）+1=cos2C，…2分∴﹣3cosC+1=2cos2C﹣1，可得：2cos2C+3cosC﹣2=0，…4分可得：（2cosC﹣1）（cosC+2）=0，∴解得：cosC=或cosC=﹣2（舍去），…5分∵0＜C＜π，∴C=…6分（2）∵S=absinC=5，b=5，C=，可得：a=4，…8分△ABC∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣2×=21，可得：c=，…10分∴由正弦定理可得：sinA===…12分17．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=AB=，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PB=PC=，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）取AB的中点E，连结CE，∵AB∥CD，DC=AB，∴DC AE，∴四边形AECD是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是正方形，∴CE⊥AB，∴△CAB是等腰三角开有，且CA=CB=2，AB=2，∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴AC⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AC⊥PB．解：（2）设BC的中点为F，连结PF，∵PB=PC，∴PF=BC，∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，连结EF，则EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，分别以FE、FB、FP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=PB=PC=，则F（0，0，0），A（2，﹣1，0），B（0，1，0），D（1，﹣2，0），P（0，0，1），∴=（0，1，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），=（0，0，1），若在线段PB上存在一点M，设=，（0≤λ＜1），∵，∴=λ（0，1，﹣1）+（0，0，1）=（0，λ，1﹣λ），∴M（0，λ，1﹣λ），，设平面MAD的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，），平面ABCD的法向量=（0，0，1），∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得或λ=2（舍）．∴存在点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为，且=．18．（12分）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X﹣Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为10×=1人，选修数学2的人应为10×=3人，选修数学3的人应为10×=3人，选修数学4的人应为10×=1人，选修数学1的人应为10×=1人．从选出的10名学生中随机抽取3人共有=120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有+=22种，∴这3人中至少有2人选择数学2的概率P==．（2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为﹣1，0，1，2，3．P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）==．P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）==．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）==．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）==．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）==．ξ的分布列为：∴Eξ=﹣1×+0×+1×+2×+3×=．19．（12分）如表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．（1）求a n1和a4n；（2）设b n=+（﹣1）n•a（n∈N+），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设第1列依次组成的等差公差为d，设第1行依次组成的等比数列的公比为q，根据题意a31+a61=（1+2d）+（1+5d）=9，∴d=1，∴a n1=a11+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∵a31=a11+2d=3，∴a35=a31•q4=3q4=48，∵q＞0，∴q=2，∵a41=4，∴a4n=a41q n﹣1=4×2n﹣1=2n+1；（2）由b n=+（﹣1）n•a（n∈N+）=+（﹣1）n•n=+（﹣1）n•n=﹣+（﹣1）n•n，前n项和S n=1﹣+﹣+…+﹣+[﹣1+2﹣3+4﹣5+（﹣1）n•n]，当n为偶数时，S n=1﹣+；当n为奇数时，S n=S n﹣1+b n=1﹣++﹣﹣n=1﹣﹣=﹣．20．（13分）在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若=t，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1，l2，两切线交于点N，求△ACN与△BDN 面积之积的最小值．【解答】解：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x2=4y；（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，设（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵=t，∴t=﹣，∴=﹣t﹣+2=﹣4k2，∴t+=4k2+2∵f（t）=t+在[1，2]上单调递增，∴2≤t+，∴；②y=，y′=，∴直线AN：y﹣x12=x1（x﹣x1），BN：y﹣x22=x1（x﹣x2），两式相减整理可得x=（x1+x2）=2k，∴N（2k，﹣1），N到直线AB的距离d=2，∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，∴|AC||BD|=1∴△ACN与△BDN面积之积===1+k2，当且仅当k=0时，△ACN与△BDN面积之积的最小值为0．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x++1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性与极值点的个数；（2）当a=0时，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有2个不同的实数根x 1，x2，证明：x1+x2＞2．【解答】解：（1）f′（x）=﹣1﹣=，x＞0方程﹣x2+x﹣a=0的判别式为△=1﹣4a，①当a≥时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞），为减函数，无极值点，②当0≤a＜时，令f′（x）=0，解得x1=＞0，x2=，当f′（x）＜0，解得0＜x＜，x＞，此时f（x）在（0，），（，+∞）为减函数，当f′（x）＞0时，解得＜x＜，此时f（x）在（，）为增函数，此时f（x）有一个极大值点x=，和一个极小值点x=，③当a＜0，令f′（x）=0，解得x1=＜0，x2=＞0，当f′（x）＞0，解得0＜x＜，此时f（x）在（0，），为增函数，当f′（x）＜0时，解得x＞，此时在（，+∞）为减函数，此时f（x）有一个极大值点x=；（Ⅱ）由题意知f（x1）=m，f（x2）=m，故f（x1）=f（x2），∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，∴lnx1﹣x1+1=lnx2﹣x2+1，∴ln=x2﹣x1，令=t，则x2=tx1，∴lnt=（t﹣1）x 1，∴x1=，x2=tx1=，故要证x1+x2=lnt＞2，t＞1，即证（t+1）lnt＞2（t﹣1），令g（t）=（t+1）lnt﹣2t+2，∴g′（t）=+lnt﹣2=，令h（t）=tlnt﹣t+1，t＞1，则h′（t）=lnt＞0，∴h（t）在t∈（1，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（1）=0，∴g（t）在（1，+∞）为增函数，∴g（t）＞g（1）=0，∴（t+1）lnt＞2（t﹣1），即lnt＞2，∴x1+x2＞2赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。

高三数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题． 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一个符合题目要求的选项．） 1．设x ∈Z ，集合A 为偶数集，若命题p ：∀x ∈Z ，2x ∈A,则 p ⌝A ．∀x ∈Z ，2x ∉AB ．∀x ∉Z ，2x ∈AC ．∃x ∈Z ，2x ∈AD ．∃x ∈Z ，2x ∉A2． 设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x |x =B b A a a b ∈∈-,,}，则C 中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ． 63．已知幂函数)(x f y =的图像过点（21，22），则)2(log 2f 的值为A ．21 B ．－21C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，内角A 、B 的对边分别是a 、b ，若abB A =cos cos ，则△ABC 为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形5．若当x ∈R 时，函数0()(||>=a a x f x 且1≠a ）满足)(x f ≤1，则函数)1(log +=x y a 的图像大致为6．已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④7．等差数列{n a }的前20项和为300，则4a +6a +8a +13a +15a +17a 等于A ．60B ．80C ．90D ．1208．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,120,2)(x x x a x f x （R a ∈），若函数)(x f 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ． ]1,(-∞C ．)0,1[-D ． ]1,0(9．已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且n s +n a =2n （n ∈N *），则下列数列中一定是等比数列的是A ．{n a }B ．{n a －1}C ．{n a －2}D ．{n a +2}10．已知函数)3sin()(πω+=x x f （0>ω）的最小正周期为π，将函数)(x f y =的图像向右平移m （m >0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值为A ．6πB ．3π C ．125π D ．65π11．设函数x x x x f sin )(2+=，对任意),(,21ππ-∈x x ，若)()(21x f x f >，则下列式子成立的是A ．21x x >B ．2221x x > C ．||21x x > D ．||||21x x <12．不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≥311 D ．a ≥29 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．=⎰2123dt t .14．若21)4tan(=-θπ，则=θθcos sin .15．已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{}221|<<x x ，则0)2(>xf 的解集为 。

高三数学（理科）基础训练四1. 已知全集,U =R 集合2{|37},{|7100},()A x x B x x x A B =≤<=-+<R I 则ð=A ．(),3(5,)-∞+∞UB ．()[),35,-∞+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．(],3(5,)-∞+∞U2.设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（ ） A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a3. 若平面向量(2,3)a =r和(2,2)b x =+-r 垂直，则||a b +=r r （ ）A. 26B.5C.26D. 234. 已知直线y kx b =+与曲线22010ln y ax x =+-相切于点(1,2012)P ，则b 的值为 A ．2010 B ．2011 C ．2009 D ．2012 5. 在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且520S =，76a =，则9S 等于（ ） A ．35 B ．90 C ．45 D ．70 6.已知直线,l m 平面α，β且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥. 其中真命题是（ ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.已知2()sin f x x x =，则()f x 在[,]ππ-上的图象为（ ）A B C D8. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A.3-B.3C.2D.2- 10. 已知()cos()(0)3f x x πωω=+>的图象相邻两个对称中心的距离为2π，要得到 ()y f x =的图像，只须把sin y x ω=的图象（ ）A.向左平移512π个单位B. 向右平移512π个单位C. 向左平移1112π个单位D. 向右平移1112π个单位9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. (22)π+B.223π++ 121112C. (32)π+D.3232π++ 10. 一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆的长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为A ．12B. 22C. 512- D 312-12.设函数()f x 定义在实数集上，(2)(),1,()ln f x f x x f x x -=≥=且当时，则有（ ）A ．11()(2)()32f f f <<B ．11()(2)()23f f f <<C ．11()()(2)23f f f <<D ．11(2)()()23f f f <<13. 已知24log log 1a b +=，则12a b +的最小值为 .14. 从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则一条切线长的最小值为15.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．16. 若c b a ,,是ABC ∆三个内角的对边，且sin 3sin 3sin c C a A b B =+，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为 ．17. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>离心率32e =，左顶点为M 到直线1x ya b+=的距离455d =,O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；。

高三上学期期中客观题强化训练（三）一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集R U =，集合{}|22M x x =-≤≤，{}2|30N x x x =-≤，则()U M N ð＝（ ）A.[2,0]-B. [2,0)-C.[0,2]D. (0,2]2．已知,,O A B 是平面上的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC CB =-,则OC 等于( )A. 32OA OB -B. 23OA OB -+C. 2OA OB -D. 2OA OB -+ 3.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列. 则q =（ ） A ．1或12-B ．1C ．12- D ．2- 4．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11a b >，11,a b N *∈，则数列{}n b a 的前10项的和等于（ ）A ．65B ．75C ．85D ．955.若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为( ） A.等腰三角形 B.正三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形6. ABC ∆中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 7. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC ∆的位置关系是 （ ）A.P 在ABC ∆内部B.P 在ABC ∆外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 8.设函数ax x x f m+=)(的导函数12)(+='x x f ，则数列*)}()(1{N n n f ∈的前n 项和是（ ） A ．1+n nB ．12++n n C ．1-n n D ．nn 1+ 9.已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A =（ ） A.9331）（ B.9231）（ C.9431）（ D.11231）（10．已知函数)(x f 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，()f x '为)(x f 的导函数，函数)('x f y =的图象如右图所示：若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则33b a ++的取值范围是（ ） A ．)34,76(B ．)37,53(C ．)56,32(D ．)3,31(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

2015-2016学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题.本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项装，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤03．（5分）命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=4．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当S n 取得最小值时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．D．28．（5分）如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m 到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是（）A．15m B．5m C．10m D．15m9．（5分）在△ABC中，若sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°的等腰三角形10．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项a m，a n，使得=4a 2，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．12．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=．13．（5分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=．15．（5分）某小型餐馆一天装要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元，根据需要，A蔬菜至少要买6千克，B蔬菜至少要买4千克，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元，如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜交工后每千克分别为2元和1元，则该餐馆的最大利润最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin （A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．18．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m∈R）19．（12分）已知等差数列{a n}，a1+a5=10，a4=7，等比数列{b n}中，b3=4，b6=32．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c}的前n项和T n．20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500平方米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（14分）已知数列{a n}中a n＞0，其前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=（a+2a n+1），等比数列{b n}的通项公式为b n=3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n+b n}的前n项和T n；（3）设c n=2+（﹣1）n t•b n（t为非零整数，n∈N*），若对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立，求t的取值范围．2015-2016学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项装，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．【解答】解：将原数列写成：，，，，．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，∴数列1，，，，的一个通项公式a n是．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤0【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+1≤0”故选：D．3．（5分）命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=【解答】解：命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是“若tanα≠，则α≠”．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．5．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜【解答】解：A．当c=0时，ac＞bc不成立；B．当c=0时，=0，故＞0不成立；C．∵a＞b，∴a﹣b＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）c2≥0，成立．D．当a，b异号时，a＞b⇔⇔＜⇔＞，故D不成立综上可知：只有C成立．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当S n 取得最小值时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由题意a3=﹣11，a6+a10=﹣2，∴a1+2d=﹣11，2a1+14d=﹣2解得a1=﹣15，d=2，∴S n=﹣15n+=n2﹣16n=（n﹣8）2﹣64．∴当S n取最小值时，n=8．故选：B．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知直线OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此时k=，故选：C．8．（5分）如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m 到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是（）A．15m B．5m C．10m D．15m【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=30，∠BCD=105°，∠BDC=30°，∠CBD=45°由正弦定理可得BC==15∴x=15∴x=15故塔高AB为15m故选：D．9．（5分）在△ABC中，若sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°的等腰三角形【解答】解：△ABC中，∵sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），即sin（B﹣C）=1﹣2sinCcosB，即sinBcosC﹣cosBsinC=1﹣2sinCcosB，即sin（B+C）=1．再结合0＜B+C＜π，可得B+C=，∴A=，故△ABC的形状一定是直角三角形，故选：B．10．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项a m，a n，使得=4a 2，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q：∵a8﹣a7﹣2a6=0，∴=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q=2，，a n，使得=4a2，∵存在两项a∴=4a1q，q=2．化为：m+n=8，则+==≥（10+2）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．∴+的最小值为2．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．12．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，∴，化为=6，∴a1=．∴a6==．故答案为：．13．（5分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．【解答】解：由等差数列的性质可得===，又=，∴==．故答案为：．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=．【解答】解：∵△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，∵c=3，∴由正弦定理=得：b===，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=a2+﹣2a，解得：a=，故答案为：15．（5分）某小型餐馆一天装要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元，根据需要，A蔬菜至少要买6千克，B蔬菜至少要买4千克，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元，如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜交工后每千克分别为2元和1元，则该餐馆的最大利润最大为52元．【解答】解：依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：…（3分）画出的平面区域如图．…（6分）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…（7分）∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4）…（9分）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52…（11分）答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…（12分），故答案为：52三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根，∴，解得：a＞1，又∵命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立，当a=0时：不等式变为：﹣3x﹣1≤0，解得：x≥﹣，显然不符合题意，当a≠0时：，解得：﹣9＜a＜﹣1，若P∨Q是真命题，则实数a的范围是：﹣9＜a＜﹣1或a＞1．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin（A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵bsin（A+B）﹣ccosB=0．∴bsin（π﹣C）﹣ccosB=0．可得：bsinC﹣ccosB=0．∴由正弦定理可得：sinBsinC=sinCcosB，∵sinC≠0，可得：tanB=，∵0＜B＜π，解得：B=…6分（2）∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=，c=2，B=，∴7=a2+4﹣2a，即a2﹣2a﹣3=0，∵a＞0，解得：a=3，=acsinB=…12分∴S△ABC18．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m∈R）【解答】解：当m=0时，不等式化为﹣x+4＞0，解得x＜4；当m＜0时，不等式化为（mx﹣1）（x﹣4）＞0，即（x﹣）（x﹣4）＜0，解得＜x＜4；当m＞0时，不等式化为（x﹣）（x﹣4）＞0，令=4，解得m=，此时原不等式化为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；当＜4，即m＞时，解不等式得x＜或x＞4；当＞4，即0＜m＜时，解不等式得x＜4或x＞；综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；m＜0时，不等式的解集是{x|＜x＜4}；0＜m＜时，不等式的解集是{x|x＜4或x＞}；m=时，不等式的解集是{x|x≠4}；m＞时，不等式的解集是{x|x＜或x＞4}．19．（12分）已知等差数列{a n}，a1+a5=10，a4=7，等比数列{b n}中，b3=4，b6=32．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=10，a4=7，∴，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，∵b3=4，b6=32．∴，解得b1=1，q=2．∴b n=2n﹣1．（2）∵c n是a n、b n的等比中项，∴=a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{c}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣T n=1+2×2+2×22+…+2n﹣（2n﹣1）•2n=﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）×2n﹣3，∴T n=（2n﹣3）×2n+3．20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500平方米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【解答】解（1）依题意得y=（800+50x ）+=800+50x +（x ∈N *）；（2）由y=800+50x +≥800+1200=2000，当且仅当50x=，即x=12时取得等号，故该公寓应建造12层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为2000元．21．（14分）已知数列{a n }中a n ＞0，其前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =（a+2a n +1），等比数列{b n }的通项公式为b n =3n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n +b n }的前n 项和T n ；（3）设c n =2+（﹣1）n t•b n （t 为非零整数，n ∈N *），若对任意n ∈N *，c n +1＞c n 恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）∵对任意的n ∈N *，都有S n =（a +2a n +1），当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，S n ﹣1=，∴4a n =，化为（a n +a n﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵a n ＞0，∴可得：a n ﹣a n ﹣1=2．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为2． ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．（2）设数列{（﹣1）n a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ．B n ==．当n=2k （k ∈N *）为偶数时，A n =﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4+…﹣a 2k ﹣1+a 2k =（3﹣1）+（5﹣3）+…+[2k ﹣（2k ﹣1）]=2k=n ．T n =n +．当n=2k ﹣1（k ∈N *）为奇数时，A n =A n ﹣1﹣a n =（n ﹣1）﹣（2n ﹣1）=﹣n ．T n =﹣n +．∴T n=．（3）c n=2+（﹣1）n t•b n =4n +（﹣1）n t•3n ．c n +1＞c n 即：4n +1+（﹣1）n +1t•3n +1＞4n +（﹣1）n t•3n ． 当n 为偶数时，可得4n +1﹣t•3n +1＞4n +t•3n ，化为t ＜，∴．当n 为奇数时，可得4n +1+t•3n +1＞4n ﹣t•3n ，化为，∴t ＞﹣1．综上可得：，∵t 为非零整数，∴t=1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

高三数学上学期期中模拟（二）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则A35 B 45 C 35- D 45- 3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且201320132013a S ==，则1a =（ ）A. 2012B. -2012C. 2011D. -2011 4. 下列有关命题的说法正确的是A ．命题 “若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“对任意,R x ∈均有210x x -+>”的否定是：“存在,R x ∈使得012<+-x x ”． D ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题．5.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C.||||a ba b =D. a b = 6.若}{n a 为首项为1的等比数列，n S 为其前项和，已知2,,2432+a S a 三个数成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ）A ．341B ．10003C ．1023D ．1024 7.已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为32，则a =A.14B.12C.1D.28. ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对边分别为a A b B A a c b a 3cos sin sin ,,,2=+，则=ab（ ） A.2 B.3 C.22 D.32 9. 设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10.如图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设()(g x f f x =⎡⎣ 则函数()y g x =的图象为（ ）AC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.等比数列{}n a 中，已知1,214321=+=+a a a a ，则87a a +的值为 . 12.不等式|21||1|2x x ++-<的解集为13.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=，△ABC 的面积为23，那么b 等于_____________ 14.()y f x =是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上递增,不等式112x f f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的解集为15.下列命题中，正确的是（1）平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a ，1=b ，则=+b a （2）已知()()sin ,1cos ,1,1cos a b θθθ=+=-，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则a b ⊥ （3）对于,x R ∈绝对值不等式|10||2|8x x +--≥的解集为[0,)+∞；（4）在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AC=4，则16AB AC =-三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）向量(sin cos ,1)a x x ωω=+，((),sin )b f x x ω=，其中0＜ω＜1，且a ∥b ，将()f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位，沿y 轴向下平移12个单位，得到()g x 的图象，已知()g x 的图象关于(,0)4π对称。

高三数学（理科）基础训练四1. 已知全集,U =R 集合2{|37},{|7100},()A x x B x x x A B =≤<=-+<R 则ð= A ．(),3(5,)-∞+∞B ．()[),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(],3(5,)-∞+∞2.设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a3. 若平面向量(2,3)a =和(2,2)b x =+- 垂直，则||a b += （ ）A. 26B.5C.26D. 234. 已知直线y kx b =+与曲线22010ln y ax x =+-相切于点(1,2012)P ，则b 的值为 A ． 2010B ．2011C ．2009D ．20125. 在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且520S =，76a =，则9S 等于（ ）A ．35B ．90C ．45D ．706.已知直线,l m 平面α，β且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥. 其中真命题是（ ） A.①②B.①③C.①④D.②④7. 已知2()sin f x x x =，则()f x 在[,]ππ-上的图象为（ ）A B C D8. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A.3-B.3C.2D.2-10.已知()cos()(0)3f x x πωω=+>的图象相邻两个对称中心的距离为2π，要得到 ()y f x =的图像，只须把sin y x ω=的图象（ ）A.向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向左平移1112π个单位 D. 向右平移1112π个单位 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何 体的表面积是（ ）A. (22)π+B.2232π++ C. (32)π+ D.3232π++ 10. 一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆的长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为 A ．12 B. 22C. 512- D 312- 12.设函数()f x 定义在实数集上，(2)(),1,()ln f x f x x f x x -=≥=且当时，则有（ ）A ．11()(2)()32f f f << B ．11()(2)()23f f f << C ．11()()(2)23f f f <<D ．11(2)()()23f f f <<13. 已知24log log 1a b +=，则12a b+的最小值为 .14. 从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则一条切线长的最小值为15.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．16. 若c b a ,,是ABC ∆三个内角的对边，且sin 3sin 3sin c C a A b B =+，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为 ．17. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>离心率32e =，左顶点为M 到直线1x y a b +=的距离455d =,O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；12111。

2
上有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ B ）
A． 1,2 B．1,2 C． 1,2 D．1,2
函数的零点通常转化为方程的根，进一 步转化为两个函数图象的交点问题
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 f x ex 1 ax(a R) 。 （1）求函数 f x 的单调区间；
f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x ，若区间 a,b
上 f x 0 ，则称函数 f x 在区间 a,b 上为“凹函
数”，已知 f x 1 x5 1 x4 2x2 在 1,3 上为“凹函
20 12
数”，则实数 m 的取值范围是（C ）
A．(, 31) B．[31,5] C．,3 D．,5
9
9
14、某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15 的看
台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶
部的仰角分别为 60 或 30 ，第一排和最后一排的距离
AB 10 6m ，则旗杆 CD 的高度为
m
P
最后一排
看台
（2）当 x 0, 2 时，讨论函数 F x f x x ln x 零点的个数；
（3）若 g x ln(ex 1) ln x ，当 0 a 1时，求证： f [g(x)] f x
10、设函数 y f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x ，
（2）当 x 0, 2 时，讨论函数 F x f x x ln x 零点的个数；
（3）若 g x ln(ex 1) ln x ，当 0 a 1时，求证： f [g(x)] f x
21、（本小 （1）求函数 f x 的单调区间；
y

2016届山东省潍坊中学高三上学期开学考试高三数学（理科）2015.9本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．复数31iz i-=-等于（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2答案：C 试题分析：31i z i -=-(3)(1)422(1)(1)2i i ii i i -++===+-+； 故选C ．考点：复数的运算．2．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 答案：B试题分析：化简集合得{0,,2}A x x or x =≤≥，{2}B x x =>；知当x A ∈时不一定有x B ∈，但当x B ∈时一定有x A ∈．故“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件． 故选：B ．考点：充要条件．3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是 ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．① D ．②③ 答案：A试题分析：对于①空间内的类比结论为：平行于同一平面的两个平面平行，成立； 对于②空间内的类比结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；．对于③空间内的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，也成立． 故选：A ．考点：类比推理．4．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必试卷第2页，总13页须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种 答案：A试题分析：分两步进行：第一步从c,d,e,f 中任选两个，有24C 种不同的方法；第二再将选出的两个字母和a,b 排成一列，a,b 必须相邻，有33A 种不同的方法；则共有23436636C A =⨯= 种不同的方法；故选A ．考点：排列与组合．5．已知命题p :若x y >，则x y -<-；命题q :若x y <，则22x y >；在下列命题中：(1);(2);(3)();(4)()p q p q p q p q ∧∨∧⌝⌝∨，真命题是A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4） 答案：C试题分析：由不等式的性质易知：命题p 是真命题，命题q 是假命题，从而由真值表可知：(2);(3)()p q p q ∨∧⌝是真命题；(1);(4)()p q p q ∧⌝∨是假命题；故选C ．考点：复合命题真假的判断：真值表．【方法点晴】本题主要考查的是简单合命题和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意不等式基本性质的应用，复合命题真假判断的真值表必须清楚，否则很容易出现错误．判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 6．下列推理过程是演绎推理的是A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠D ．在数列{}n a 中，12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式 答案：C试题分析：A 是类比推理；B 是归结推理；C 是演绎推理：大前题是：两条直线平行，同位角相等；小前题是：A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角；结论为：A B ∠=∠． 故选：C ．考点：推理与证明．7．函数y ＝ax 3－x 在（－∞，＋∞）上的减区间是[－1,1]，则 A ．13a =B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a≤0 答案：A试题分析：因为函数y ＝ax 3－x 在（－∞，＋∞）上的减区间是[－1,1]，所以函数的导函数2310y ax '=-≤的解集是[－1,1]，故11133a a =∴=． 故选：A ．考点：导数与函数单调性的关系．8．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C 的是A ．P （ξ＝2）B ．P （ξ＝3）C ．P （ξ≤2）D ．P （ξ≤3） 答案：B试题分析：从12人选6人共有612C 种若ξ=3，则6人中“三好生”的人数3人的种数为3357C C 种，则3357612(3)C C P C ξ==P ； 故选：B ．考点：古典概型及其概率计算公式． 9．若201523201501232015(12)...(),x a a x a x a x a x x R +=+++++∈则320142015122320142015--...22222a a a a a +++-的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 答案：B试题分析：取0x =，代入已知二项式得01a =，再取12x =-，代入已知二项式得32014201512023********022222a a a a a a -+-+-= 320142015122320142015122222a a a a a ∴-+-+-=- ． 故选：B ．考点：二项式定理．【思路点晴】本题主要考查的是用赋值法求解二项式的求值问题，属于基础题．本题只需取0x =，代入已知二项式得01a =，再取12x =-，代入已知二项式得3201420151202320142015022222a a a a a a -+-+-= 即可求解．善于观察赋予恰当的值是求解的关键．10．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(0,1)D ．(0,)e 答案：D试题分析：设ln t x =，则不等式(ln )3ln 1f x x >+等价于()31f t t <+， 设()()31g x f x x =--， 则()()3g x f x ''=-， ∵()f x 的导函数()3f x '<，试卷第4页，总13页∴()()30g x f x ''=-<，此时函数在R 上单调递减， ∵(1)4f =，∴(1)(1)310g f =--=， 则当1x >时，()(1)0g x g <=，即()0g x <，则此时()()310g x f x x =--<， 即不等式()31f x x <+的解为1x >， 即()31f t t <+的解为1t >， 由ln 1x >，解得x e >，即不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为(,)e +∞，故选：B ．考点：1．导数的运算；2．不等式的解法．【方法点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．解题时一定要注意根据题目已知条件构造合适的函数，以能用已知条件判断函数的单调性，并能将所解不等式转为一般不等式为标准．第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项:1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤3）＝0．841 3，则P （ξ≤1）＝________． 答案：0．1587试题分析：随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，所以(23)(12)P P ξξ≤≤=≤≤，(2)(2)P P ξξ>=<， 故(1)(3)1(3)10.84130.1587P P P ξξξ≤=>=-≤=-=． 故答案为：0．1587．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．答案：100试题分析：作出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x 所表示的平面区域如图：由图可知只需平移直线0:520l x y +=到经过点B （20，0）时，y x z 25+=取得最大值为：max 100z =． 故答案为：100．考点：线性规划．13．已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx （a ，b ∈R ）的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a 的值为________．答案：-3．试题分析：由已知可得(0)0f '=，因为2()32f x x ax b '=++，所心得0b =， 则32()f x x ax =+，令()0f x =得120,x x a ==-由切线0y =与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274得： 027()4af x dx --=⎰，即32027()4a x ax dx --+=⎰，即430127()434aa x x --+=试卷第6页，总13页所以有：4327(())434a a a -+⨯-=，即4273124a a =⇒=± 由图可知0,3a a <∴=-故答案为：-3．考点：1．导数的几何意义；2．定积分．14．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．答案：13． 试题分析：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ，则p+2p=3p=1， 解得13p =，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为222833327⨯⨯=， ②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为111133327⨯⨯=，则概率为81127273+=； 故答案为：13．考点：相互独立事件的概率乘法公式．【易错点睛】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．解题时一定要仔细分析各种可能性，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．15．定义在R 上的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log )(log )e e b f ππ=，()22c f =--，则,,a b c 的大小关系为___ ； 答案：a c b >>． 试题分析：设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，∵当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<恒成立，∴此时()()()0g x f x xf x ''=+<，即此时函数()()g x xf x =在(,0)-∞上单调递减，∵f （x ）是奇函数，∴()()g x xf x =是偶函数， 即当x ＞0时，函数()()g x xf x =单调递增， 则3(3)(3),(log )(log )(log )a f gb e f e g e πππ====，2(2)(2)(2)c f g f =--=-=，∵0log 123e π<<<<， ∴(3)(2)(log )g g g e π>>，即a c b >>，故答案为：a c b >>．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．导数的运算．【方法点睛】本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．应用已知条件：“当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立”构造函数()()g x xf x =，然后利用导数确定函数的单调性，并确定函数的奇偶性，从而将比较大小的实数转化为比较函数值的大小．16．（本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f （x ）＝（3－2a ）x 是增函数．若p q ∨为真，p q ∧为假．求实数a 的取值范围．答案：1≤a<2，或a ≤－2．试题分析：根据一元二次不等式的恒成立的条件求出命题P 为真命题的a 的范围；根据指数函数的单调性求出命题q 为真命题的a 范围，再根据复合命题的真值表分析求解即可．试题解析：设g （x ）＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g （x ）的图像开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2．又∵函数f （x ）＝（3－2a ）x是增函数， ∴3－2a>1，∴a<1．又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． （1）若p 真q 假，则221a a -<<⎧⎨≥⎩∴1≤a<2；（2）若p 假q 真，则221a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或 ∴ 2a ≤-综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2 考点：复合命题的真假．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数1z i =-（i 是虚数单位），函数()214f x x x =+--． （1）若233z az b i ++=-,求实数,a b 的值;试卷第8页，总13页（2）解不等式()2b f x >． 答案：（1）1a =-，4b =；（2）}357{>-<x x x 或．试题分析：（1）求出2z ，然后利用，利用复数相等的充要条件列出方程组求解即可． （2）转化|2x+1|-|x-4|＞2，通过令y=|2x+1|-|x-4|，画出函数的图象，然后求解不等式的解集．试题解析：（Ⅰ）()2212z i i =-=-， 由233z az b i ++=-得()2133i a i b i -+++=-， 即()()233a b a i i ++-=-，所以323a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得1a =-，4b =；（2）由（1）知，4b =．所以()214f x x x =+--2>令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为}357{>-<x x x 或注：用零点分区间法相应给分． 考点：绝对值不等式的解法． 18．（本小题满分12分）观察下列等式11= 第一个式子 9432=++ 第二个式子 2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子 照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．答案：（Ⅰ）5671381++++= ；（Ⅱ）第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n ．试题分析：（Ⅰ）第5个等式 2567139++++= ；（Ⅱ）猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n ，再用数学归纳法加以证明． 试题解析：（Ⅰ）第5个等式 5671381++++=（Ⅱ）猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n 证明：（1）当1=n 时显然成立；（2）假设),1(+∈≥=N k k k n 时也成立， 即有2)12()23()2()1(-=-+++++k k k k k那么当1+=k n 时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-++++=k k k k k k2222]1)1(2[)12(8144)13()3()12()12(133)12()23()2()1(-+=+=++-=+++-+-=+++-+-++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k而右边2]1)1(2[-+=k 这就是说1+=k n 时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何+∈N n 都成立．考点：1．数学归纳法；2．归纳推理． 19．（本小题满分12分）如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d 的平方和宽度a 的乘积成正比，同时与它的长度l 的平方成反比．（1）在a ＞d ＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？（2）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l ，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？答案：（1）变大；（2）当宽2a =，高d =试题分析：（1）设安全负荷为212(0)ad y k k l=>，求出翻转90°后的表达式，然后求试卷第10页，总13页解比值的最大值．（2）设截取的宽为a（0a <<，高为d，222a d +=2（），得到安全负荷为22()k y f a ad l ==，令22()(3),4a g a ad a ==-(0,a ∈利用函数的导数求解最大值即可．试题解析：设安全负荷为212(0)ad y k k l =>,翻转90°后222(0)da y k k l=>,可得：12y d y a=, 当a ＞d ＞0时，12y dy a=<1 ．此时枕木的安全负荷变大． （2）设截取的宽为a （0＜a ＜，高为d，2222,122a d a d +=∴+=2（）…6分其长度l 及k 为定值，安全负荷为22()k y f a ad l==令22()(3),4a g a ad a ==-(0,a ∈此时23()3,()024g a a g a a ''=-+==由，得 由()0g a '<,可得2a <<∴()(()0,2g a 在递增，在递减 所以当宽2a =时，()g a取得取大值，此时高d =所以，当宽2a =，高d =考点：导数在最大值、最小值问题中的应用． 20．（本小题满分13分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）． （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？54EX =-；（2）511512． 试题分析：（1）X 可能的取值为10，20，100，-200．运用几何概率公式得出求解相应的概率，得出分布列，再由分布列及数学期望公式计算出其数学期望．（2）利用对立事件求解得出1()P A =2()P A =31()(200)8P A P X ==-=，求解123()P A A A 即可得出1231()P A A A -．试题解析：（1）X 可能的取值为10，20，100，－200．根据题意，有P （X ＝10）＝1123113()(1)228C ⨯⨯-=， P （X ＝20）＝2213113()(1)228C ⨯⨯-=， P （X ＝100）＝3303111()(1)228C ⨯⨯-=，．X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54（2）设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i （i ＝1，2，3），则 P （A 1A 2A 3）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）＝P （X ＝－200）＝18． 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P （A 1A 2A 3）＝311511118512512⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭． 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512． 考点：1．离散型随机变量及其分布列；2．互斥事件的概率加法公式．【易错点睛】本题考查了离散型的概率分布问题，几何互斥事件，对立事件概率求解即可，属于中档题，准确计算，思路清晰．解题时一定要抓住重要字眼“至少”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．21．（本小题满分14分）已知函数2()(1)ln ,f x a x x a R =-+∈．（1）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间；试卷第12页，总13页（2）12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-，求()h x 在[]1,e 的最大值和最小值； （3）当[)1,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在不等式组1,1x y x ≥⎧⎨≤-⎩所表示的区域内，求实数a 的取值范围． 答案：（1）单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞； （2）min ()1ln 2h x =-，max ()h x =242e -．（3）0≤a 试题分析：（1）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（2）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（3）构造函数，转化为设()(1)2ln 1,[1,)g x a x x x x =-+-+∈+∞，则max ()0g x ≤，x ∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．试题解析： （1）41-=a ,x x x f ln )1(41)(2+--=,（x>0） f ＇（x ）xx x x x x x x 2)1)(2(22121212+--=++-=++-=， 当0< x < 2时，f ＇（x ）>0，f （x ）在（0,2）单调递增；当x>2时，f ＇（x ）<0，f （x ）在),2(+∞单调递减；所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞．（2）2()h x x x'=-，令()h x '=0得x =当x ⎡∈⎣时()h x '<0，当x ⎤∈⎦时()h x '>0，故x =()h x 在[]1，e 上唯一的极小值点，故min ()1ln 2h x h ==- 又1(1)2h =, 211()222h e e =->, 所以max ()h x =2122e -=242e - 注：列表也可． （3）由题意得1ln )1(2-≤+-x x x a 对),1[+∞∈x 恒成立，设=)(x g 1ln )1(2+-+-x x x a ，),1[+∞∈x ，则0)(max ≤x g ，),1[+∞∈x 求导得xx ax x x a g )1)(12(1)12(2ax (x)'2--=++-=， 当0≤a 时，若1>x ，则0)('<x g ，所以)(x g 在),1[+∞单调递减00)1()(max ≤==g x g 成立，得0≤a ；当21≥a 时，121≤=ax ,)(x g 在),1[+∞单调递增， 所以存在1>x ，使0)1()(=>g x g ，则不成立； 当210<<a 时，121>=ax ，则)(x f 在]21,1[a 上单调递减，),21[+∞a 单调递增， 则存在),21[1+∞∈a a ，有01ln 111ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a a a a a a g ， 所以不成立，综上得0≤a ．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用导数求闭区间上函数的最值；3．导数在最大值、最小值问题中的应用．【方法点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．解题时一定要注意函数的定义域，利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．恒成立问题总是转化为函数的最值问题加以处理．。

2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1、（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A、1+2iB、1﹣2iC、﹣1+2iD、﹣1﹣2i2、（5分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A、（﹣1，1）B、（0，1）C、（﹣1，+∞）D、（0，+∞）3、（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]、根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A、56B、60C、120D、1404、（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A、4B、9C、10D、125、（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示、则该几何体的体积为（）A、+πB、+πC、+πD、1+π6、（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内、则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件7、（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A、B、πC、 D、2π8、（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=、若⊥（t+），则实数t的值为（）A、4B、﹣4C、D、﹣9、（5分）已知函数f（x）的定义域为R、当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）、则f（6）=（）A、﹣2B、1C、0D、210、（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质、下列函数中具有T性质的是（）A、y=sinx B、y=lnx C、y=e x D、y=x3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为、12、（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=、13、（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是、14、（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为、15、（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是、三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16、（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+、（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值、17、（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线、（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值、18、（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1、（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n、19、（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分、已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响、各轮结果亦互不影响、假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX、20、（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R、（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立、21、（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点、（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M、（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1、（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A、1+2iB、1﹣2iC、﹣1+2iD、﹣1﹣2i题目分析：设出复数z，通过复数方程求解即可、试题解答解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i、解得a=1，b=﹣2、z=1﹣2i、故选：B、点评：本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力、2、（5分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A、（﹣1，1）B、（0，1）C、（﹣1，+∞）D、（0，+∞）题目分析：求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案、试题解答解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）、故选：C、点评：本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题、3、（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]、根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A、56B、60C、120D、140题目分析：根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数、试题解答解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D、点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目、4、（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A、4B、9C、10D、12题目分析：由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）、∵，∴x2+y2的最大值是10、故选：C、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题、5、（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示、则该几何体的体积为（）A、+πB、+πC、+πD、1+π题目分析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案、试题解答解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=、故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C、点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键、6、（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内、则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立、试题解答解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立、∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题、7、（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A、B、πC、 D、2π题目分析：利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期、试题解答解：函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos （x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B、点评：本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档、8、（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=、若⊥（t+），则实数t的值为（）A、4B、﹣4C、D、﹣题目分析：若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值、试题解答解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B、点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题、9、（5分）已知函数f（x）的定义域为R、当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）、则f（6）=（）A、﹣2 B、1 C、0 D、2题目分析：求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论、试题解答解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1、∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2、故选：D、点评：本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题、10、（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质、下列函数中具有T性质的是（）A、y=sinx B、y=lnx C、y=e x D、y=x3题目分析：若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案、试题解答解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A、点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3、题目分析：根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案、试题解答解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1、第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：3点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答、12、（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=﹣2、=（ax2）5﹣r，化简可得求的题目分析：利用二项展开式的通项公式T r+1x5的系数、试题解答解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r=（ax2）5﹣r=a5﹣+1r，令10﹣=5，解得r=2、∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2、点评：考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型、13、（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2、题目分析：可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值、试题解答解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）、故答案为：2、点评：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题、14、（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为、题目分析：利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求、试题解答解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3、圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜、∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=、故答案为：、点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题、15、（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）、题目分析：作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可、试题解答解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）、点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题、三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16、（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+、（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值、题目分析：（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值、试题解答解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为、点评：考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质、17、（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线、（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值、题目分析：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC、（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值、试题解答证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC、解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣、∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为、点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用、18、（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1、（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n、题目分析：（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n、试题解答解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n=b n﹣1+b n，﹣1∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1、∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2、点评：本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题、19、（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分、已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响、各轮结果亦互不影响、假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX、题目分析：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望、试题解答解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题、20、（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R、（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立、题目分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=、则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立、由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立、试题解答（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）、若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+、令g（x）=x﹣lnx，h（x）=、则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；又，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，∴F（x）＞恒成立、即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立、点评：本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题、21、（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点、（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M、（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标、题目分析：（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=﹣、进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0），S2=|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标、试题解答解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02、设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣、即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）点评：本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题。

2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【答案】B【解析】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．【2016山东（理）】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）【答案】C【解析】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，【2016山东（理）】若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π【答案】B【解析】解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin （2x+），∴T=π，【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【答案】B【解析】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】D【解析】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【答案】A【解析】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．【答案】3【解析】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，【2016山东（理）】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．【答案】﹣2【解析】解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．【2016山东（理）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．【答案】2【解析】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【2016山东（理）】在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【答案】【解析】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解析】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH∥，又∵EF BO，∴GQ BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．【2016山东（理）】已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解析】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解析】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；又，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【解析】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．【2016山东（理）】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）3．【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1404．【2016山东（理）】若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．125．【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π6．【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π8．【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．210．【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．12．【2016山东（理）】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．13．【2016山东（理）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．14．【2016山东（理）】在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．15．【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．17．【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．18．【2016山东（理）】已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20．【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．。

2015-2016学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，log x＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，1）6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣1或﹣D．28．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（）A．B．C．D．10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=______．12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为______．13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为______．14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=______．15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f （x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．（1）用、分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{a n}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+，求数列{a n2•b n}的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，令c n=，{c n}的前n项和为T n，若T n＞λ恒成立，求λ的取值范围．21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；（3）证明：1n．（n∈N*）2015-2016学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}【分析】化简集合N，求出它在M中的补集．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，∴∁M N={0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，log x＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：关于命题p：∀x＞1，log x＞0，则0＜x＜1，命题p是假命题；关于命题q：∃x∈R，x3≥3x，则是假命题，故选：B．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由数列{a n}和{b n}都是等差数列，得{a n+b n}为等差数列，由已知求出{a n+b n}的公差，再代入等差数列通项公式求得a7+b7．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}都是等差数列，∴{a n+b n}为等差数列，由a2+b2=3，a4+b4=5，得d=．∴a7+b7=（a4+b4）+3×1=5+3=8．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，关键是由数列{a n}和{b n}都是等差数列，得{a n+b n}为等差数列，是基础题．4．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，1）【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数，∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，），故选：B．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（）A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺【分析】设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d，前30项和为390，由此利用等差数列前n项和公式能求出结果．【解答】解：设每天多织d尺，由题意a1=5，{a n}是等差数列，公差为d∴，解得d≈0.55．故选：A．【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣1或﹣D．2【分析】利用分段函数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得4=f（1﹣b），当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，故选：A．【点评】本题看看菜分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．8．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案．【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=﹣2或x=1或x=﹣1，∴该函数由三个零点，排除B；当x＜﹣2时，x+2＜0，|x|＞2，∴ln|x|＞ln2＞0，∴当x＜﹣2时，y=（x+2）ln|x|＜0，排除C，D．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断．9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（）A．B．C．D．【分析】由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC，进而可得sin∠ADB，在△ADB中由正弦定理可得sinB．【解答】解：由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC==，∴sin∠ADB=sin∠ADC==，∴在△ADB中由正弦定理可得sinB===，故选：C【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题．10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【分析】求出函数的f（x）的定义域，f'（x），由f'（1）=0，得b=1﹣a，通过讨论a的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出a的取值范围即可．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=．①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=1．【分析】根据二倍角公式得到1﹣2sin2=cosx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（1﹣2sin2）dx=cosxdx=sinx|=1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是利用二倍角公式化简，属于基础题．12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为{x|x＜2.5} ．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集．【解答】解：由于|x|﹣|x﹣3|表示数轴上的x对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离，而2.5对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离正好等于2，故不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为{x|x＜2.5}．故答案为：{x|x＜2.5}．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为1．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式把函数f（x）的解析式化为cosx，再利用余弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）=cos（x+φ）cosφ﹣sin（x+φ）sinφ+2sinφsin （x+φ）=cos（x+φ）cosφ+sin（x+φ）sinφ=cos（x+φ﹣φ）=cosx，故函数f（x）的最大值为1．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，余弦函数的值域，属于基础题．14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=2016．【分析】由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，即a（37，6）为672个数，再由数列的通项公式，可得答案．【解答】解：由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，即a（37，6）为672个数，∴a（37，6）=672×3=2016，故答案为：2016【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f （x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．【分析】根据f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4为周期的函数，再根据函数的奇偶性原问题等价为：x ∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，再令x=﹣2代入f（x+4）=f（x）得，f（﹣2）=f（2）=﹣f（2），所以，f（﹣2）=f（2）=0，因此，要使f（x）=0在[﹣4，4]上有9个零点，则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（﹣2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）即令f（x）=ln（x2+a）=0，分离a得，a=1﹣x2，x∈（0，2），解得a∈（﹣3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，尤其是奇偶性和周期性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．（1）用、分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．【分析】（1），，=，代入可得；同理可得：．（2）=c，=b．由•=15，||=3，∠BAC=．分别利用数量积运算性质、余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1），，=，∴===；同理可得：=．（2）=c，=b．∵•=15，||=3，∴•=++=+b2+bccos=+b2+bc=15，=，化为b2+c2﹣bc=27．∴bc=18．∴S△ABC===．【点评】本题考查了数量积运算性质、余弦定理、三角形面积计算公式、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，解不等式求出集合A即可；（Ⅱ）先求出集合A，B，问题转化为A 是B的子集，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）关于p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，解不等式2x2﹣3ax+a2＜0，得：a＞0时：＜x＜a；a＜0时：a＜x＜，∴a＞0时：A=[，a]；a＜0时：A=[a，]；（Ⅱ）当a＜0时：A=[a，]，B=[﹣5，2]，若￢p是￢q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即A⊆B，∴，解得：﹣5≤a＜0．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）=2sin（2ωx﹣），由题意可求周期T=，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，进而得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=2sin（4x+4m﹣），由题意可得4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，可求m的最小值，由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．∴周期T=，由=，可得ω=2．∴f（x）=2sin（4x﹣），∴f（）=2sin（4×﹣）=2sin=1…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x﹣），则g（x）=2sin（4x+4m﹣），∵（，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，∴2sin（4×+4m﹣）=0，解得：4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，当k=1时，m取得最小值…10分本题此时g（x）=2sin（4x+），由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z…12分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范围．（Ⅱ）利用生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，建立不等式，即可求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，∴x2﹣300x≤0，∵x＞0，∴0＜x≤300；（Ⅱ）生产B产品创造利润12（a﹣x）x万元，设备升级后生产这批A产品的利润12（500﹣x）（1+0.5x%），∴12（a﹣x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），∴a≤++．∵+≥2=4，当且仅当=，即x=250时等号成立，∴0＜a≤5.5，∴a的最大值是5.5．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生解不等式的能力，属于中档题．20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{a n}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+，求数列{a n2•b n}的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，令c n=，{c n}的前n项和为T n，若T n＞λ恒成立，求λ的取值范围．【分析】（1）设递增等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项和性质，计算即可得到q，进而得到通项公式；（2）化简b n=log3a n+=（n﹣1）log3+=，再由数列的求和方法：错位相减法可得前n项和S n；（3）求得c n===4（﹣），运用裂项相消求和，可得T n，判断单调性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范围．【解答】解：（1）设递增等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质可得，a32﹣2a3a5+a52=36，即有（a3﹣a5）2=62，可得a5﹣a3=6，即q4﹣q2=6，解得q2=3（﹣2舍去），即有q=，数列{a n}的通项公式为a n=（）n﹣1；（2）b n=log3a n+=（n﹣1）log3+=，数列{a n2•b n}的通项为n•3n﹣1．前n项和S n=（1+2•3+3•32+4•33+…+n•3n﹣1），3S n=（1•3+2•32+3•33+4•34+…+n•3n），两式相减可得，﹣2S n=（1+3+32+33+…+3n﹣1﹣n•3n）=（﹣n•3n），化简可得S n=﹣；（3）c n===4（﹣），{c n}的前n项和为T n=4（﹣+﹣+…+﹣）=4（﹣）=2﹣，由2﹣为递增数列，即有n=1时，取得最小值2﹣=．由T n＞λ恒成立，可得λ＜．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；（3）证明：1n．（n∈N*）【分析】（1）由f（1）=0，f′（1）=1；从而写出切线方程即可；（2）化简可得m（x﹣）﹣lnx≥0，从而令g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；则问题等价于∀x≥1，g （x）≥0恒成立；从而求导确定函数的单调性及取值情况，从而解得．（3）由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，从而化简可得lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；再设i∈N*，则＞1，从而证明．【解答】解：（1）f（1）=ln1=0，f′（1）=ln1+1=1；故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0；（2）∵x≥1，f（x）≤m（x2﹣1），∴xlnx≤m（x2﹣1），∴m（x﹣）﹣lnx≥0，设g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；则问题等价于∀x≥1，g（x）≥0恒成立；注意到g（1）=0，∵g′（x）=m（1+）﹣，∵x≥1，∴，∴当m≤0时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，故不成立；当m＞0时，g′（x）=，令h（x）=mx2﹣x+m，∵△=1﹣4m2，①若△=1﹣4m2≤0，即m≥时；此时，h（x）≥0，故g′（x）≥0，故g（x）在[1，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（1）=0，故成立；②若△=1﹣4m2＞0，即0＜m＜时；此时，h（x）=0存在两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，故x1x2=1，故x1＜1＜x2，故g（x）在[1，x2）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0，故不成立；综上所述，实数m的最小值为；（3）证明：由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，即lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；设i∈N*，则＞1，故ln＜（+1）（﹣1）=，故ln＜，故，即1n．（n∈N*）．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用及联加的应用，属于难题．。

高三数学（文）期末模拟试题三班级： 姓名： 学号：一、选择题：本大墨共10小题．每小恿5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合M={x|（）x≥1}，N={x|y=lg （x+2）}，则M ∩N 等于（ ）A ．[0，+∞）B ．（﹣2，0]C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） 2.已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为(A)22(2)(2)3x y -+±= (B)22(2)(3x y -+±=(C)22(2)(2)4x y -+±= (D)22(2)(4x y -+±= 4.某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．π B ．C ．π D ．π5.如果双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x ﹣y+=0平行，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．36.函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是（ ）7.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：附：参考公式和临界值表：K 2=A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC=3，BD=5，sin ∠ABC=，则CD 的长为（ ）A ．B ． 4C ． 2D ． 5 9.三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为（ ）(B)32π (C)3π (D)12π 10.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（ ） (A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos 2α= ．12.()G x 表示函数2cos 3y x =+的导数，在区间,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，随机取值a ，则()1G a <的概率为__________.13.已知a>b>0,ab=1，则22a b a b+-的最小值为 ．14.已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m= .15.若变量x，y满足约束条件，且z=x+3y的最小值为4，则k= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.(本小题满分12分)某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）求实数a的值并求这36名学生成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；（2）已知数学成绩为120分有4位同学，从这4位同学中任选两位同学，再从数学成绩在[80，90）中任选以为同学组成“二帮一”小组，已知甲同学的成绩为81分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率．17.(本小题满分12分)已知函数f（x）=sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．18.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++⋅=+-，且13b =．(I)求n a ，n b ；(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．19.(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB=BE=AF=1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA=，BC=，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求三棱锥A﹣BCE的体积．20．(本小题满分13分)已知函数3()f x x x =--(I)判断()f x x的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；(III)令()lng x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围．21.(本小题满分14分)椭圆=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x+my=恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN 其中G在椭圆C上，当≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．。

2014-2015学年某某省潍坊市高密三中高一（下）3月月考数学试卷（创新班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若α是第四象限的角，则π﹣α是( )A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A．和B．和C．和D．和3．已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，则x的值是( )A．6B．﹣6C．9D．124．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A．y=cos2xB．y=﹣sin2xC．D．5．若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．已知向量、满足，，，则一定共线的三点是( )A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D7．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )A．B．C．D．8．函数y=的其中一个对称中心为( )A．B．C．（0，0）D．9．已知如图示是函数．的图象，那么( )A．B．C．D．10．向量，，若与的夹角为钝角，则λ的X围( ) A．B．（2，+∞）C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．记cos（﹣70°）=k，那么ta n110°等于__________．12．已知向量，满足，，，则=__________．13．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为__________．14．已知向量=（6，2），=（﹣4，），过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的方程为__________．15．定义平面向量之间的一种运算（⊗）如下：对任意的，令，下面说法正确的序号为__________．（把所有正确命题的序号都写上）①若共线，则②③对任意的④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且，试求．17．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（1）求函数的解析式y=f（x）；（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．18．设两个非零向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3﹣3，求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，与的夹角为60°，是否存在实数m，使得m+与﹣垂直？并说明理由．19．已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sinα﹣cosα．20．（13分）如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ，cosβ，tanβ的值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．2014-2015学年某某省潍坊市高密三中高一（下）3月月考数学试卷（创新班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若α是第四象限的角，则π﹣α是( )A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：先求出α的表达式，再求﹣α的X围，然后求出π﹣α的X围．解答：解：若α是第四象限的角，即：2kπ﹣π＜α＜2kπ k∈Z所以2kπ＜﹣α＜2kπ+π，k∈Z2kπ+π＜π﹣α＜2kπ+k∈Z故选C．点评：本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．2．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A．和B．和C．和D．和考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．解答：解：不共线的向量可以作为基底；∴不能作为基底的便是共线向量；显然B，；∴和共线．故选：B．点评：考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共面向量基本定理．3．已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，则x的值是( )A．6B．﹣6C．9D．12考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的关系进行求解即可．解答：解：∵，∴，即2x+3×4=0，解得x=﹣6，故选：B．点评：本题主要考查向量垂直的应用，根据向量数量积的关系建立方程是解决本题的关键．4．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A．y=cos2xB．y=﹣sin2xC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．解答：解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin （ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．5．若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点：同角三角函数间的基本关系；象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：化简已知等式可得sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，由同角的三角函数关系式，及二倍角公式即可求解．解答：解：∵sinθ+cosθ=﹣1，∴sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，∴若θ是第一象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ+cos2θ=1，不正确；若θ是第二象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ≠﹣1，不正确；若θ是第三象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ﹣cos2θ=﹣1，正确；若θ是第四象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ+cos2θ=cos2θ≠﹣1，不正确；故选：C．点评：本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．6．已知向量、满足，，，则一定共线的三点是( )A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点解答：解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选A．点评：本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．7．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：分析法．分析：先根据周期排除C，D，再由x的X围求出2x+的X围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．解答：解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．8．函数y=的其中一个对称中心为( )A．B．C．（0，0）D．考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：对于函数y=，令2x﹣=，求得x的值，可得函数的图象的对称中心．解答：解：对于函数y=，令2x﹣=，求得x=π，k∈Z，故函数的图象的对称中心为（π，0），k∈Z，故选：A．点评：本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．9．已知如图示是函数．的图象，那么( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：利用x=0，y=1，结合φ的X围，求出φ的值，结合选项ω的值，确定函数的周期，利用图象判断正确选项．解答：解：f（0）=1，即．得，又当对应的周期T为，又由图可知，且，故，于是有T=π，则ω=2，故选D点评：本题考查选择题的解法，图象的应用能力，若非选择题，条件是不够的，不能由图得到周期的值，当然也不能得到ω的值．10．向量，，若与的夹角为钝角，则λ的X围( ) A．B．（2，+∞）C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：与的夹角为钝角，＜0，且不能反向共线，解出即可．解答：解：∵与的夹角为钝角，∴＜0，且不能反向共线，∴﹣2λ+1＜0，解得，共线时可得λ+2=0，λ=﹣2，∴λ的X围为．故选：D．点评：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．记cos（﹣70°）=k，那么tan110°等于﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：已知等式变形表示出cos70°，利用同角三角函数间的基本关系表示出sin70°，进而表示出tan70°，即可表示出所求式子．解答：解：∵cos（﹣70°）=cos70°=k，∴sin70°=，tan70°=，则tan110°=﹣tan70°=﹣，故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．已知向量，满足，，，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积的性质即可求解解答：解：∵====故答案为：2点评：本题主要考查了平面向量的数量积的基本运算，属于基础试题13．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．解答：解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．14．已知向量=（6，2），=（﹣4，），过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的方程为3x+2y﹣7=0．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：直线与圆．分析：根据向量+2与直线l平行，求出直线的斜率k，利用点斜式求出直线l的方程．解答：解：∵向量=（6，2），=（﹣4，），∴+2=（6﹣8，2+1）=（﹣2，3）；∴过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的斜率为k=﹣，∴直线l的方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣3），化简为3x+2y﹣7=0．故答案为：3x+2y﹣7=0．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题目．15．定义平面向量之间的一种运算（⊗）如下：对任意的，令，下面说法正确的序号为①③④．（把所有正确命题的序号都写上）①若共线，则②③对任意的④．考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由向量共线的坐标表示结合新定义可得①正确；由新定义求出⊗与⊗，说明不一定相等；直接利用新定义计算可得③④成立．解答：解：①若共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq﹣np=0，而=0，正确；②由题目定义可得，，⊗=pn﹣mq，不一定相等，错误；③对任意的λ∈R，⊗=λmq﹣λnp=λ（mq﹣np）=λ（⊗）正确；④=（mq﹣np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=，正确．故答案为：①③④．点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了向量模的求法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且，试求．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积的运算律展开，利用向量的数量积公式将式子用向量的模、夹角表示，求出夹角．（2）设出的坐标；利用向量模的坐标公式及向量垂直的充要条件列出方程组，求出．解答：解：（1）∵= 61，∴cosθ=，∴θ=120°．（2）设，则，解得或．所以，或．点评：本题考查向量的数量积公式及数量积的运算律、考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件．17．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（1）求函数的解析式y=f（x）；（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，结合函数的对称轴和对称中心的定义进行求解即可．解答：解：（1）∵函数在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1，∴T==，∴ω=3．∵，∴（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得，∴函数．（2），得x=，即f（x）的对称轴为x=（k∈Z）；由3x﹣=kπ，即x=+，即函数的对称中心为（+，0），令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，解得+≤x≤+，即函数的单调递增区间为为[+，+]，k∈Z．点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．18．设两个非零向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3﹣3，求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，与的夹角为60°，是否存在实数m，使得m+与﹣垂直？并说明理由．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）首先利用向量的加法运算，得到，然后观察与的共线关系判断三点共线；（2）假设存在m，利用向量垂直，数量积为0，得到m的方程，解方程即可．解答：证明：（1）∵=++=（+）+（）+（）=6（+）=6∴且与有共同起点∴A、B、D三点共线（2）假设存在实数m，使得m与垂直，则（m）•（）=0∴∵=2，=3，与的夹角为60°∴，，∴4m+3（1﹣m）﹣9=0∴m=6故存在实数m=6，使得m与垂直．点评：本题考查了利用向量共线判断三点共线以及向量垂直的性质．19．已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sinα﹣cosα．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）根据向量模的公式，将表示为关于α的方程，化简整理得tanα=1，再结合α∈（，）可得角α的值；（2）根据向量数量积的坐标公式，代入，化简得sinα+cosα=，平方整理得2sinαcosα=﹣＜0，从而得出α为钝角，最后根据同角三角函数的平方关系，算出sinα﹣cosα=．解答：解：（1）．…∴==由，得sinα=cosα⇒tanα=1，…∵，∴α=…（2）由，得cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=﹣1，化简，得sinα+cosα=＞0，两边平方得，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=．∴2sinαcosα=﹣…∵，∴sinα＞0且cosα＜0∴sinα﹣cosα====（舍负）…点评：本题给出向量的坐标，在模相等的情况下求角α的值．着重考查了平面向量的坐标运算、向量的数量积和三角函数恒等变形等知识，属于基础题．20．（13分）如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ，cosβ，tanβ的值．考点：任意角的三角函数的定义；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由题意，sinα=，cosα=﹣，tanα=﹣，即可求的值；（Ⅱ）若，则sinβ=sin（α﹣90°）=﹣cosα=，cosβ=cos（α﹣90°）=sinα=，tanβ=．解答：解：（Ⅰ）由题意，sinα=，cosα=﹣，tanα=﹣，∴==；（Ⅱ）若，则sinβ=sin（α﹣90°）=﹣cosα=，cosβ=cos（α﹣90°）=sinα=，tanβ=．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（Ⅱ）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，x∈[﹣，]，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值．解答：解：（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图．x ﹣2x+0 π2πsin（2x+）0 1 0 ﹣1 0y ﹣（Ⅱ）y=sinx向左平移得到y=sin（x+），再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为y=sin（2x+），最后再向上平移个单位得到y=sin（2x+）+．（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴g（x）∈[m，+m]，∴m=2，∴gmax（x）=+m=，当2x+=即x=时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．。